Tema 1.- MATRICES

Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08 1

Tema 1.-Tema 1.- MATRICES MATRICES

MATRICESMATRICES

PRODUCTO DE MATRICESPRODUCTO DE MATRICES

POTENCIAS NATURALES DE POTENCIAS NATURALES DE

MATRICES CUADRADASMATRICES CUADRADAS


Un poco de historiaUn poco de historia

Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices, aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término matriz (1850), para distinguir las matrices de los determinantes, que serán estudiados en el Tema 3. De hecho, la intención era que el término matriz tuviera el significado de “madre de los determinantes”. Tanto Sylvester como Cayley son considerados entre los mejores matemáticos de su tiempo. Sylvester fue el primer profesor del Departamento de Matemáticas en la Universidad John Hopkins, y fundó la prestigiosa revista American Journal of Mathematics.

(Sir) Arthur Cayley (1821-1895)(Sir) Arthur Cayley (1821-1895) nació en Surrey, Inglaterra, y estudió en la nació en Surrey, Inglaterra, y estudió en la Universidad de Cambridge. Ejerció la abogacía y al mismo tiempo escribía Universidad de Cambridge. Ejerció la abogacía y al mismo tiempo escribía aportaciones en matemáticas. Pocos años después de encontrar a su colega Sylvester, aportaciones en matemáticas. Pocos años después de encontrar a su colega Sylvester, otro licenciado y matemático, dejó la abogacía y se dedicó de tiempo completo a las otro licenciado y matemático, dejó la abogacía y se dedicó de tiempo completo a las matemáticas.matemáticas.

James Joseph Sylvester (1814-1897)James Joseph Sylvester (1814-1897) nació en Londres, de padres judíos. Entró en la nació en Londres, de padres judíos. Entró en la Universidad de Cambridge, pero por su religión no pudo obtener un diploma, sino Universidad de Cambridge, pero por su religión no pudo obtener un diploma, sino hasta varios años después de haber terminado sus estudios. También ejerció la hasta varios años después de haber terminado sus estudios. También ejerció la abogacía y al mismo tiempo hacía investigaciones en el campo de las matemáticas. Él y abogacía y al mismo tiempo hacía investigaciones en el campo de las matemáticas. Él y Cayley tuvieron una larga y fructífera colaboración en la teoría de los invariantes, Cayley tuvieron una larga y fructífera colaboración en la teoría de los invariantes, campo relacionado con el Álgebra Lineal.campo relacionado con el Álgebra Lineal.


A continuación veamos un ejemplo de lo que ocupaba a Cayley. Tres sistemas coordenados (x , y), (x’ , y’) y (x’’ , y’’) están conectados mediante las siguientes transformaciones:

La relación entre (x , y) y (x’’ , y’’) se describe con la sustitución:

Esta transformación también puede escribirse como sigue: si abreviamos los tres cambios de coordenadas mediante las matrices de los coeficientes, tenemos:

Ahora es posible calcular C directamente de A y B, mediante la multiplicación matricial: C = A · B.


Ejemplo introductorio: gráficos de computador Ejemplo introductorio: gráficos de computador en diseño de automóvilesen diseño de automóviles

El diseño asistido por computador El diseño asistido por computador (CAD) le ahorra a la Ford Motor (CAD) le ahorra a la Ford Motor Company millones de dólares cada Company millones de dólares cada año. Adoptados por primera vez por año. Adoptados por primera vez por Ford a principios de 1970, CAD y Ford a principios de 1970, CAD y CAM (fabricación asistida por CAM (fabricación asistida por computador) han revolucionado la computador) han revolucionado la industria automovilística. Hoy día, los industria automovilística. Hoy día, los gráficos por computador constituyen gráficos por computador constituyen el corazón, y el Álgebra Lineal el el corazón, y el Álgebra Lineal el alma del diseño moderno de alma del diseño moderno de automóviles.automóviles.

Muchos meses antes de que se construya un nuevo modelo de automóvil, Muchos meses antes de que se construya un nuevo modelo de automóvil, los ingenieros diseñan y construyen un automóvil matemático: un los ingenieros diseñan y construyen un automóvil matemático: un modelo de alambre que existe solamente en la memoria de un modelo de alambre que existe solamente en la memoria de un computador y en las terminales de exhibición de gráficos. computador y en las terminales de exhibición de gráficos.

Lincoln Mark VIII de 1993


Este modelo matemático organiza e influye en cada paso del diseño y fabricación Este modelo matemático organiza e influye en cada paso del diseño y fabricación del automóvil. Trabajando en más de 2600 estaciones de trabajo para gráficos, los del automóvil. Trabajando en más de 2600 estaciones de trabajo para gráficos, los ingenieros de Ford perfeccionan el diseño original, esculpen las líneas fluidas de la ingenieros de Ford perfeccionan el diseño original, esculpen las líneas fluidas de la carrocería, ponen a prueba la capacidad de las láminas de metal para soportar las carrocería, ponen a prueba la capacidad de las láminas de metal para soportar las deformaciones y los dobleces necesarios para producir la carrocería, ajustan la deformaciones y los dobleces necesarios para producir la carrocería, ajustan la colocación de los asientos interiores, planean y disponen las partes mecánicas, y colocación de los asientos interiores, planean y disponen las partes mecánicas, y producen los planos de ingeniería para los miles de componentes que los producen los planos de ingeniería para los miles de componentes que los proveedores fabricarán. Los ingenieros inclusive hacen pruebas de carretera para proveedores fabricarán. Los ingenieros inclusive hacen pruebas de carretera para la suspensión del carro matemático, colocan el automóvil en un túnel de viento la suspensión del carro matemático, colocan el automóvil en un túnel de viento matemático y ¡hacen repetidas pruebas de colisión del auto en el computador!matemático y ¡hacen repetidas pruebas de colisión del auto en el computador!

El modelo de alambre del automóvil se almacena en muchas matrices de datos para El modelo de alambre del automóvil se almacena en muchas matrices de datos para cada componente principal. Cada columna de una matriz enumera las coordenadas cada componente principal. Cada columna de una matriz enumera las coordenadas de un punto sobre la superficie del componente. Las demás columnas describen de un punto sobre la superficie del componente. Las demás columnas describen cuáles puntos se deben conectar con curvas. Un escáner tridimensional genera los cuáles puntos se deben conectar con curvas. Un escáner tridimensional genera los puntos de datos originales pasando sensores por un modelo de arcilla de tamaño puntos de datos originales pasando sensores por un modelo de arcilla de tamaño natural del automóvil. Las piezas individuales del interior del automóvil también se natural del automóvil. Las piezas individuales del interior del automóvil también se almacenan como matrices de datos. Los componentes más pequeños se trazan con almacenan como matrices de datos. Los componentes más pequeños se trazan con software de gráficos por computador en la pantalla y las piezas mayores se forman software de gráficos por computador en la pantalla y las piezas mayores se forman ensamblando matemáticamente los componentes más pequeños.ensamblando matemáticamente los componentes más pequeños.


Posteriormente, los programas matemáticos generan más puntos, curvas y Posteriormente, los programas matemáticos generan más puntos, curvas y datos para datos para interpretar y dibujarinterpretar y dibujar la superficie exterior del automóvil, haciendo la superficie exterior del automóvil, haciendo que éste se vea tan real en la pantalla que parezca un automóvil de verdad en que éste se vea tan real en la pantalla que parezca un automóvil de verdad en la sala de exhibición de un distribuidor. Los clientes potenciales opinan la sala de exhibición de un distribuidor. Los clientes potenciales opinan mientras el automóvil gira en el “piso de la sala de exhibición”. Si a los mientras el automóvil gira en el “piso de la sala de exhibición”. Si a los clientes no les gusta el automóvil, el diseño puede cambiarse antes de que se clientes no les gusta el automóvil, el diseño puede cambiarse antes de que se construya el coche real.construya el coche real.

Ya sea que trabajen en el diseño general de la carrocería o modifiquen un Ya sea que trabajen en el diseño general de la carrocería o modifiquen un componente pequeño, los ingenieros llevan a cabo varias operaciones componente pequeño, los ingenieros llevan a cabo varias operaciones básicas sobre imágenes gráficas, como cambiar la orientación o la escala de básicas sobre imágenes gráficas, como cambiar la orientación o la escala de una figura, hacer un acercamiento de alguna región pequeña o cambiar una figura, hacer un acercamiento de alguna región pequeña o cambiar entre vistas bi y tridimensionales. El Álgebra Lineal es en verdad el “alma” entre vistas bi y tridimensionales. El Álgebra Lineal es en verdad el “alma” del software de gráficos porque todas las manipulaciones de imágenes en la del software de gráficos porque todas las manipulaciones de imágenes en la pantalla se logran mediante técnicas de Álgebra Lineal.pantalla se logran mediante técnicas de Álgebra Lineal.


Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

incógnitas:incógnitas:

coeficientes:coeficientes:

términos independientes:términos independientes:


La teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajar La teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajar cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que brinda una notación simple y compacta para designar brinda una notación simple y compacta para designar amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez en amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez en una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos de datos desde un punto de vista computacional.de datos desde un punto de vista computacional.

La teoría de matrices no sólo debe su importancia a la bondad La teoría de matrices no sólo debe su importancia a la bondad de sus cualidades operativas, sino que además tiene gran de sus cualidades operativas, sino que además tiene gran relevancia teórica, ya que una matriz es la representación de relevancia teórica, ya que una matriz es la representación de determinadas transformaciones vectoriales determinadas transformaciones vectoriales (aplicaciones aplicaciones linealeslineales)


MATRICESMATRICES

MATRIZ DE ORDEN .-MATRIZ DE ORDEN .-

Toda distribución de elementos dispuestos en Toda distribución de elementos dispuestos en m filas y filas y n columnas columnas

Habitualmente se denotan las matrices con letras mayúsculas ( Habitualmente se denotan las matrices con letras mayúsculas ( A, B, C,... ) y con ... ) y con minúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos están minúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos están ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de la ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de la fila fila i-ésima y la columna -ésima y la columna j-ésima se le denotará por -ésima se le denotará por aij . Es decir, con el primer . Es decir, con el primer

subíndice subíndice i se indica la fila en la que está el elemento y con el segundo subíndice se indica la fila en la que está el elemento y con el segundo subíndice j , , la columna.la columna.


Matriz filaMatriz fila::

Matriz columnaMatriz columna::

Matriz nulaMatriz nula::

Matriz opuesta deMatriz opuesta de

Dos matrices del mismo orden y Dos matrices del mismo orden y

se dicen iguales, y se escribe si:se dicen iguales, y se escribe si:

todos sus elementos son todos sus elementos son 0..


Matriz cuadradaMatriz cuadrada de orden de orden n::

forman la forman la diagonal principaldiagonal principal

Mismo número de filas Mismo número de filas que de columnasque de columnas


Matriz triangular superiorMatriz triangular superior

Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:

Matriz triangular inferiorMatriz triangular inferior

Ceros debajo de la diagonal principalCeros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principalCeros encima de la diagonal principal


Matriz diagonalMatriz diagonal Matriz unidadMatriz unidad

Ceros fuera de la diagonal principalCeros fuera de la diagonal principal

Ceros fuera de la diagonal principal,Ceros fuera de la diagonal principal,unos en la diagonal principalunos en la diagonal principal Matriz escalarMatriz escalar

Delta de KroneckerDelta de Kronecker


SUMA DE MATRICES.SUMA DE MATRICES.PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZPRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

conjunto de todas las matrices de orden conjunto de todas las matrices de orden

con elementos reales. con elementos reales.

La aritmética para vectores que se describió en el tema anterior admite una extensión natural a las matrices. Si A y B son matrices , entonces la suma A + B es la matriz cuyas columnas son las sumas de las columnas correspondientes de A y B. Puesto que la suma vectorial de las columnas se hace por entradas, cada entrada en A + B es la suma de las entradas correspondientes de A y B. La suma A + B está definida sólo cuando A y B son del mismo tamaño.

Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo escalar r · A es la matriz cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de A. Al igual que con vectores, definimos –A como (–1) · A y escribimos A – B en vez de A + (–1) · B.


SUMA DE MATRICES.-SUMA DE MATRICES.- ((Operación interna en Operación interna en ))

Sean ,Sean ,

AA y y BB tienen que tener el mismo orden tienen que tener el mismo orden


PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.-PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.-

((Operación externa en Operación externa en con dominio de operadores con dominio de operadores ))

Sean ,Sean ,


PRODUCTO DE MATRICESPRODUCTO DE MATRICES

Si es una matriz y es una matriz , se Si es una matriz y es una matriz , se define la define la matriz productomatriz producto , , en este ordenen este orden, como la , como la matriz tal que:matriz tal que:

fila fila ii de de AAcolumnacolumna jj de de BB


--Ejemplo.Ejemplo.--

--ATENCIÓN.ATENCIÓN.-- Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.

Propiedades del producto de matrices.Propiedades del producto de matrices.- -

1.-1.-

2.-2.-

3.-3.-

4.-4.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativoEl producto de matrices no es necesariamente conmutativo


se puede hacer este producto, pero

no se puede hacer

es una matriz

es una matriz


-OBSERVACIONES.--OBSERVACIONES.-

1.- 1.- El producto de matrices no es necesariamente El producto de matrices no es necesariamente conmutativo.conmutativo.

2.- 2.- Puede ser con y .Puede ser con y .

3.-3.-

4.- 4.- no implica necesariamente .no implica necesariamente .


POTENCIAS NATURALES DE POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADASMATRICES CUADRADAS

Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales de matrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversas aplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida.

Si y :Si y : -PROPIEDADES.--PROPIEDADES.-

1.-1.-

2.-2.-


TRASPUESTA DE UNA MATRIZTRASPUESTA DE UNA MATRIZ

Cambiar filas por columnasCambiar filas por columnas

-PROPIEDADES.--PROPIEDADES.-

1.-1.-

2.-2.-

3.-3.-

4.-4.-

5.-5.- AtenciónAtención


Sólo para matrices cuadradasSólo para matrices cuadradas

A simétrica si y sólo si , es decir:

A antisimétrica si y sólo si , es decir:

¿Cómo son los elementos de la diagonal¿Cómo son los elementos de la diagonal principalprincipalde una matriz antisimétrica?de una matriz antisimétrica?

Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar utilizando la relación que tienen con sus traspuestas.utilizando la relación que tienen con sus traspuestas.


Sólo para matrices cuadradasSólo para matrices cuadradas

A periódica si . Si p es el menor número natural que satisface , entonces decimos que A es una matriz periódica de período p.

A idempotente si .

A nilpotente si . Si p es el menor número natural que satisface , decimos que A es una matriz nilpotente de índice p.

A involutiva si .

A continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al A continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo, comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo, desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría.desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría.


CONCEPTO DE MATRIZ RECTANGULAR

ÁLGEBRA DE MATRICES

Casos especiales

Matriz filaMatriz columnaMatriz nulaMatriz cuadradaMatriz triangular superiorMatriz triangular inferiorMatriz diagonalMatriz escalarMatriz unidad

IgualdadSuma/RestaMultiplicación por un escalarProductoPotenciación enteraTrasposición Propiedades

DeterminanteInversión

Matrices especiales

Matriz periódicaMatriz idempotenteMatriz nilpotenteMatriz involutiva

Matriz simétricaMatriz antisimétrica

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