Tema 7 - Matrices Positivas (Tema Completo)

Matrices positivas

Material para el Tema 7 de Matematicas IGrado de ADE

Curso 2014/2015

Indice

Matrices positivas 51. Matrices positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Matrices positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Matrices estrictamente positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Matrices positivas y modelos lineales de produccion . . . . . . . . . . . 8

2. Matrices productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. Denicion de matriz productiva. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Caracterizacion de las matrices productivas . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Traspuesta de una matriz productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Conjuntos autonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1. Denicion de conjunto autonomo. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Determinacion practica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Productos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Matrices indescomponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295. Estructuras productivas de subsistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326. Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.1. Demostracion del teorema sobre matrices productivas . . . . . . . . . . 36

Referencias 41

3

4 INDICE

Matrices positivas

1. MATRICES POSITIVAS

Notacion. En este texo, y siempre que no de lugar a confusion, escribiremos: P =(pi)

paradesignar una matriz columna P , y I para designar la matriz identidad, sin especicar el orden.

1.1. Matrices positivas

Definicion. De una matriz real A se dice es positiva si todos sus terminos son mayores oiguales que 0, y se escribe:

A O, o bien O A.Si A y B son dos matrices del mismo orden, con la notacion:

A B, o bien B A,

designaremos el hecho de que B A es positiva: B A O.Una consecuencia inmediata de la denicion es que una matriz nula (o matriz cero): O, es

positiva.

Propiedades. Se verica:

1) Si A =(aij)y B =

(bij)son dos matrices positivas del mismo orden, entonces A+B es

positiva.

Los terminos de A + B son de la forma: aij + bij, que son positivos o nulos por serlo los

terminos aij y bij.

2) Si A =(aij)y B =

(bij)son dos matrices positivas tales que AB esta definido, enton-

ces AB es positiva.

Si l es el numero de columnas de A (o el numero de las de B), entonces los terminos de ABson de la forma:

lk=1

aikbkj,

que son positivos o nulos por serlo todos los terminos aik y bkj.

6 Matrices positivas

Notacion. En lo sucesivo escribiremos:

k

aikbkj, en vez de:l

k=1

aikbkj,

si no hay lugar a confusion.

Proposicion 1. Consideremos una matriz A =(aij)de orden (n,m), y las m matrices columna

de orden (m, 1) siguientes:

E1 =

100...0

, E2 =

010...0

, . . . , Em =

00...01

.

Una condicion necesaria y suficiente para que la matriz A sea positiva es que, para cada 1 i m, la matriz AEi sea positiva:

AEi O para 1 i m.

Demostracion. La condicion es necesaria. Si suponemos que A es positiva, entonces, como paracada 1 i m la matriz Ei es positiva, AEi resulta ser el producto de dos matrices positivas, ypor tanto positiva (cf. propiedad 2).

La condicion es suciente. Si suponemos que para cada 1 i m la matriz AEi es positiva,entonces A es positiva, pues:

A =(AE1 AE2 . . . AEm

).

c.q.d.

1.2. Matrices estrictamente positivas

Definicion. De una matriz real A diremos es estrictamente positiva, y escribiremos:

O < A, o bien A > O,

si sus terminos son todos positivos.

Si A y B son dos matrices del mismo orden, con la notacion:

A < B, o bien B > A,

designaremos el hecho de que B A es estrictamente positiva:

B A > O.

Matrices positivas 7

Nota bene. Si x es un numero real, armar:

x 0 y x = 0

es lo mismo que armar:

x > 0.

No ocurre lo mismo con las matrices; esto es, si A es una matriz que verica:

A O y A = O,

entonces no necesariamente se deduce que A sea estrictamente positiva. Por ejemplo, la matriz:

A =(1 01 1

)

es positiva, no es nula, y no es estrictamente positiva.

Propiedades. Se verica:

1) Si A, B y C son tres matrices reales del mismo orden y es un numero real positivo,entonces:

(A < B) = (A + C < B + C),(A < B) = (A < B),

(A B y B < C) = (A < C),(A < B y B C) = (A < C).

Resulta inmediatamente de las deniciones.

2) Si A =(aij)y B =

(bij)son dos matrices reales estrictamente positivas tales que AB

esta definido, entonces AB es estrictamente positiva.

Los terminos de AB son de la forma:

k

aikbkj,

y son positivos, por serlo todos los terminos aik y bkj.

Proposicion 2. El producto de dos matrices reales, una estrictamente positiva y la otra positiva

e invertible, es una matriz estrictamente positiva.


Demostracion. Sean A =(aij)

y B =(bij)

dos matrices tales que su producto AB esta denido, laprimera estrictamente positiva, y la segunda cuadrada, positiva e invertible.

Sea C = AB. Los terminos de C son de la forma:

cij =k

aikbkj,

donde todos los terminos aik son positivos y todos los terminos bkj son positivos o nulos. Aseguramosque cij es positivo si al menos uno de los terminos bkj es no nulo.

Ahora bien, la matriz B es invertible, con lo que ninguna de sus columnas esta formada enteramentepor ceros; es decir, en cada columna de B hay al menos un termino positivo. En conclusion: cij espositivo y la matriz C = AB es estrictamente positiva.

Si, en vez del producto AB, esta denido el producto BA, el razonamiento es completamenteanalogo. c.q.d.

1.3. Matrices positivas y modelos lineales de produccion

Consideremos una estructura productiva que esta constituida por n industrias que producen nbienes. Cada industria produce un solo bien, y cada bien es producido por una sola industria.En lo sucesivo, representaremos con un numero natural de 1 a n tanto la industria como elbien que esta produce, y pondremos:

S = {1, 2, . . . , n}.

Representemos con aij (con i y j pertenecientes a S) la cantidad (positiva o nula) del bien inecesaria para producir una unidad del bien j. O bien: para producir una unidad del bien json necesarias aij unidades del bien i.

Supondremos se verican las siguientes hipotesis:

Hipotesis de rendimientos constantes a escala: para producir xj unidades del bien j sonnecesarias aijxj unidades del bien i.

Hipotesis de aditividad. Si se producen: x1, . . . , xj, . . . , xn unidades, respectivamente,de los bienes: 1, . . . , j, . . . , n, de la hipotesis anterior se deduce:

ai1x1 es la cantidad del bien i necesariapara producir las x1 unidades del bien 1,

...aijxj es la cantidad del bien i necesaria

para producir las xj unidades del bien j,...

ainxn es la cantidad del bien i necesariapara producir las xn unidades del bien n.


La hipotesis de aditividad arma que la cantidad:

ai1x1 + + aijxj + + ainxn =n

j=1

aijxj

es la cantidad del bien i que es utilizada por la estructura productiva. De:

nj=1

aijxj

diremos es el consumo intermedio del bien i.

Tambien supondremos que la cantidad disponible del bien i: xi, se utiliza de dos formasdiferentes:

consumo intermedio del bien i:n

j=1

aijxj ;

demanda nal del bien i, que denotaremos: yi (yi 0).Es decir:

xi =n

j=1

aijxj + yi, 1 i n,

o bien:

a11x1 + + a1jxj + + a1nxn + y1 = x1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ai1x1 + + aijxj + + ainxn + yi = xi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + + anjxj + + annxn + yn = xn,

y escrito en forma matricial:

AX + Y = X,

donde A, X e Y son las matrices positivas siguientes:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

, X =

x1x2...xn

y Y =

y1y2...yn

.

En las hipotesis anteriores se dice que el sistema de produccion es lineal, y que el modeloque lo representa es un modelo lineal.


Definicion. Del numero real positivo o cero aij diremos es un coeficiente tecnico, y de lamatriz A =

(aij), cuadrada de orden n y positiva, diremos es la matriz de coeficientes

tecnicos.

De la matriz columna positiva X de orden (n, 1) cuyos terminos son las cantidades pro-ducidas x1, x2, . . ., xn diremos es la matriz de produccion.

De la matriz columna positiva Y de orden (n, 1) cuyos terminos son las demandas finalesy1, y2, . . ., yn diremos es la matriz de demanda final.

Dado un bien j S, la industria j, que es la unica que lo produce, necesita como inputspara su produccion aquellos bienes i que verican:

aij = 0.

El conjunto de los bienes que la industria j precisa como inputs sera denotado: D(j); es decir,el conjunto:

D(j) = {i S | aij = 0}es el conjunto de los bienes que son directamente necesarios para la produccion del bien j.

Ejemplo 1. Consideremos una estructura productiva con sistema de produccion lineal con tresindustrias que produce tres bienes: cada bien es producido por una sola industria, y cada indus-tria produce un solo bien. Representemos las industrias y los bienes que producen por los mismosnumeros: 1, 2 y 3. Sea:

A =(aij)=

1/2 0 1/161 1/2 0

0 1 1/2

la matriz de coecientes tecnicos de la estructura productiva.

Entonces, para producir una unidad del bien 1, la industria 1 utiliza a11 = 1/2 unidades delbien 1, a21 = 1 unidades del bien 2 y a31 = 0 unidades del bien 3; por tanto, los inputs que laindustria 1 necesita son el bien 1 y el bien 2:

D(1) = {1, 2}.

La industria 2 utiliza 1/2 unidades del bien 2 y 1 unidad del bien 3 para producir una unidad del bien 2,y por tanto:

D(2) = {2, 3}.

Por ultimo, la industria 3 utiliza 1/16 unidades del bien 1 y 1/2 unidades del bien 3 para producir unaunidad del bien 3:

D(3) = {1, 3}.


Nota. En este contexto entendemos por unidad una cantidad que se toma como medida.Por ejemplo, si uno de los bienes producidos es acero, entonces la unidad podra ser la toneladametrica.

Si, por ejemplo, esta estructura productiva produce 1 unidad del bien 1, 3 unidades del bien 2 y 7unidades del bien 3, entonces la matriz de produccion es:

X =

x1x2

x3

=

13

7

,

y el consumo intermedio del bien 1 en la produccion es:

3j=1

a1jxj =12 1 + 0 3 + 1

16 7 = 15

16;

el consumo intermedio del bien 2 es:

1 1 + 12 3 + 0 7 = 5

2;

por ultimo, el consumo intermedio del bien 3 es:

132

.

Luego la matriz cuyos terminos son los consumos intermedios es:15/165/2

13/2

=

1/2 0 1/161 1/2 0

0 1 1/2

13

7

= AX.

Nos planteamos el siguiente problema: dada la matriz positiva A de coecientes tecnicos,y la matriz positiva Y de demanda nal, en que condiciones podemos encontrar una matrizde produccion X que satisfaga:

X = AX + Y, con X O,

o bien:(I A)X = Y, con X O. (1)

Ejemplo 2. Considerando la estructura productiva del ejemplo 1, que tena como matriz de coecientestecnicos:

A =(aij)=

1/2 0 1/161 1/2 0

0 1 1/2

,


se puede satisfacer la demanda nal:

Y =

y1y2

y3

=

1/161/2

1/2

,

pues con la produccion:

X =

x1x2

x3

=

13

7

se verica:

X = AX + Y.

En efecto: 13

7

=

1/2 0 1/161 1/2 0

0 1 1/2

13

7

+

1/161/2

1/2

.

En palabras: si la estructura productiva produce 1 unidad del bien 1, 3 del bien 2 y 7 del bien 3,entonces consumira en el proceso de produccion 15/16 unidades del bien 1, 5/2 unidades del bien 2y 13/2 unidades del bien 3, pudiendo as atender la demanda de 1/16 unidades del bien 1, 1/2 unidadesdel bien 2 y 1/2 unidades del bien 3.

Si la matriz I A es invertible, entonces de (1) deducimos:

X = (I A)1Y. (2)

Pero de (2) no podemos concluir que X O; sin embargo, si (IA)1 es una matriz positiva,como Y es positiva, el producto:

(I A)1Y = X

es una matriz positiva (cf. propiedad 2 de las matrices positivas).En conclusion: es suciente que la matriz I A sea invertible y que su inversa: (I A)1,

sea positiva para asegurar que (1) admite solucion.Estudiemos a continuacion que propiedades tienen las matrices positivas A tales que IA

es invertible y (I A)1 es positiva.

Matrices productivas 13

2. MATRICES PRODUCTIVAS

2.1. Definicion de matriz productiva. Ejemplos

Definicion. De una matriz real cuadrada A, de orden n y positiva, diremos es productivasi existe una matriz columna X , de orden (n, 1) y estrictamente positiva, tal que:

X AX > O.

Ejemplo 3. La matriz real:

A =(0.5 00 0.1

)es productiva, pues, por ejemplo, la matriz columna:

X =(11

)> O

verica:X AX =

(11

)(0.5 00 0.1

)(11

)=(11

)(0.50.1

)=(0.50.9

)> O.

Ejemplo 4. La matriz real: (1 00 1/2

)no es productiva.

En efecto: para que sea productiva deben existir dos numeros reales x1 > 0 y x2 > 0 tales que:(x1x2

)(1 00 1/2

)(x1x2

)> O;

pero: (x1x2

)(1 00 1/2

)(x1x2

)=(x1x2

)(

x1x2/2

)=(

0x2/2

),

con lo que obtenemos una matriz columna que no puede ser estrictamente positiva. En consecuencia,no es productiva la matriz: (

1 00 1/2

).

Ejemplo 5. Para cualquier numero real a 0, la matriz real:(0 a0 0

)

es productiva.En efecto, si tomamos dos numeros reales x1 > 0 y x2 > 0 de forma que:

x1 > ax2,


entonces: (x1x2

)(0 a0 0

)(x1x2

)=(x1x2

)(ax10

)=(x1 ax2

x2

)> O,

lo que muestra que, para cualquier numero real a 0, la matriz:(0 a0 0

)

es productiva.Un caso concreto: a = 2. Tomemos, por ejemplo,

x2 = 1 y x1 = 2 1 + 1 = 3 > x2;

se tiene: (x1x2

)(0 a0 0

)(x1x2

)=(3 2 1

1

)=(11

),

lo que conrma que es productiva la matriz: (0 a0 0

).

Observese que en el caso particular de a = 0 obtenemos una matriz cero: O, que es, por tanto,productiva.

Una interpretacion economica de las matrices productivas es la siguiente: si la matrizde coecientes tecnicos de una estructura productiva (con sistema de produccion lineal) esuna matriz productiva, podemos asegurar existe una matriz de produccion con la cual seconsiguen excedentes en todos los bienes que produce la estructura productiva: hay un nivelde produccion con el cual se produce estrictamente mas de lo que se consume.

Ejemplo 6. La matriz de coecientes tecnicos del ejemplo 1 (cf. p. 10):

A =

1/2 0 1/161 1/2 0

0 1 1/2

,

es productiva, pues para la produccion:

X =

13

7

,

se produce mas de lo que se consume; concretamente, el excedente es:

X AX =13

7

1/2 0 1/161 1/2 0

0 1 1/2

13

7

=

1/161/2

1/2

.


2.2. Caracterizacion de las matrices productivas

El siguiente teorema, cuya demostracion puede encontrar el lector en el apendice (cf. p. 36),caracteriza las matrices productivas.

Teorema 1 . Una condicion necesaria y suficiente para que una matriz real A (cuadrada y

positiva) sea productiva es que I A sea invertible y que su inversa: (I A)1, sea positiva.

Ejemplo 7. Con la ayuda del teorema 1 es facil comprobar que la matriz real del ejemplo 4 (cf. p. 13):

A =(1 00 1/2

),

no es productiva. En efecto:

I A =(1 00 1

)(1 00 1/2

)=(0 00 1/2

),

y esta ultima matriz no es invertible.

Ejemplo 8. Utilizando el teorema 1, estudiemos si la matriz real:

A =(1/2 01 1/2

)

es productiva.Se verica:

I A =(1 00 1

)(1/2 01 1/2

)=(1/2 01 1/2

),

y esta ultima matriz es invertible; su inversa es:

(I A)1 =(2 04 2

),

matriz que es positiva, luego es productiva la matriz:

A =(1/2 01 1/2

).

Ejemplo 9. La matriz de coecientes tecnicos (cf. ejemplo 6, p. 14):

A =

1/2 0 1/161 1/2 0

0 1 1/2

es productiva. Vamos a vericar que I A es invertible y que (I A)1 es positiva.La matriz I A es:

I A =1/2 0 1/161 1/2 0

0 1 1/2

,


y su rango es igual a 3 (como se comprueba con facilidad), y por tanto es invertible.Calculamos (I A)1. Se tiene:

I A =1/2 0 1/161 1/2 0

0 1 1/2

F12F1F2F2+F1

1 0 1/80 1/2 1/8

0 1 1/2

F22F2F3F3+F2

1 0 1/80 1 1/4

0 0 1/4

F34F3F2F2+(1/4)F3F1F1+(1/8)F3

1 0 00 1 0

0 0 1

= I,

y aplicando las mismas transformaciones elementales a la matriz identidad I:

I =

1 0 00 1 0

0 0 1

F12F1F2F2+F1

2 0 02 1 0

0 0 1

F22F2F3F3+F2

2 0 04 2 0

4 2 1

F34F3F2F2+(1/4)F3F1F1+(1/8)F3

4 1 1/28 4 1

16 8 4

= (I A)1,

y se verica que (I A)1 O.

Ejemplo 10. Veamos si es productiva la matriz real:

A =(2 01 3

).

Calculamos I A:I A =

(1 00 1

)(2 01 3

)=(1 01 2

).

Resulta ser invertible; su inversa es:

(I A)1 =(1 01/2 1/2

),

que no es positiva. Por el teorema 1 (cf. p. 15), A no es productiva.


Si la matriz de coecientes tecnicos de una estructura productiva (con sis-tema de produccion lineal) es una matriz productiva, entonces puede seratendida cualquier demanda nal.

En efecto, si la matriz de coecientes tecnicos A es productiva y Y es la matriz de demandanal, entonces para la matriz de produccion X1 denida por:

X1 = (I A)1Y,

se verica:

X1 O y X1 = AX1 + Y.

2.3. Traspuesta de una matriz productiva

Proposicion 3. La traspuesta de una matriz productiva es una matriz productiva.

Demostracion. Sea A una matriz productiva. Entonces: (a) I A es invertible, y (b) (I A)1 espositiva.

Se verica que I At es invertible, pues: I At = (I A)t, y como I A es invertible (cf. (a)),tambien lo es (I A)t.

Y tambien se tiene que (I At)1 es positiva, pues:(I At)1 = ((I A)t)1 = ((I A)1)t ,

y como (I A)1 es positiva (cf. (b)), tambien lo es ((I A)1)t.Con el teorema 1 (cf. p. 15), concluimos que At es productiva. c.q.d.


3. CONJUNTOS AUTONOMOS

3.1. Definicion de conjunto autonomo. Propiedades

Sea A =(aij)una matriz real cuadrada, de orden n y positiva, y sea:

S = {1, 2, . . . , n}.

Definicion. De un subconjunto no vaco T de S diremos es autonomo para la matriz Asi: T = S, o bien:

T S y i S T, j T, aij = 0.

Ejemplo 11. Consideremos la matriz real:

A3 =

1/2 1/3 1/40 1/2 0

1/2 1/4 1/4

.

El conjunto T = {1, 3} es autonomo. En efecto, se verica:

S T = {2}, T = {1, 3}, y {aij | i S T, j T} = {a21, a23};

y como a21 = a23 = 0, T es autonomo.

Por el contrario, el conjunto V = {1, 2} no es autonomo, pues por ejemplo:

3 S V, 2 V y a32 = 0.

El conjunto S = {1, 2, 3} es autonomo por denicion.

Ejemplo 12. Consideremos la matriz real:

A4 =

1/2 1/2 0 00 1/2 0 1/20 1/2 1/2 0

1/2 0 0 1/2

.

El conjunto T = {3} es autonomo, pues:

S T = {1, 2, 4} y {aij | i S T, j T} = {a13, a23, a43},

y a13 = a23 = a43 = 0.

El conjunto V = {2} no es autonomo; por ejemplo: 1 S V y a12 = 0.

Conjuntos autonomos 19

Ejemplo 13. Para la matriz real: 1 0 10 1 1

0 0 1

,

los conjuntos:{1}, {2}, {1, 2} y {1, 2, 3}

son autonomos:

S {1} = {2, 3} y a21 = a31 = 0, S {2} = {1, 3} y a12 = a32 = 0, S {1, 2} = {3} y a31 = a32 = 0, S = {1, 2, 3} es autonomo por denicion.

Nota bene. En los ejemplos anteriores el conjunto S es el conjunto:

{1, 2, . . . , n},

donde n es el orden de la matriz cuadrada considerada.

Veamos a continuacion algunas propiedades de los conjuntos autonomos.

Proposicion 4. Sea A una matriz real cuadrada, de orden n y positiva. Si T y V son dos

conjuntos autonomos para la matriz A, entonces se verifica:

1) T V , si es no vaco, es autonomo;2) T V es autonomo.

Demostracion. Sea A =(aij), y sea S = {1, 2, . . . , n}. Como T es autonomo, se tiene:

i S T, j T, aij = 0; (3)

y como V es autonomo, se tiene:

i S V, j V, aij = 0. (4)

Ahora:

1) De (3) y (4) se deduce que para cada j T V (hay alguno por tratarse de un conjunto no vaco)basta que i S T o que i S V para asegurar que aij = 0. En smbolos:

i (S T ) (S V ), j T V, aij = 0,

o bien (teniendo en cuenta que (S T ) (S V ) = S (T V )):

i S (T V ), j T V, aij = 0,


y por tanto T V es autonomo.2) Por otro lado, de (3) y (4) tambien se deduce que si j T V , hace falta que i S T y

que i S V para asegurar que aij = 0. En smbolos:

i (S T ) (S V ), j T V, aij = 0,

o bien (observando que (S T ) (S V ) = S (T V )):

i S (T V ), j T V, aij = 0,

y en consecuencia T V es autonomo. c.q.d.

Ejemplo 14. Consideremos la matriz real positiva:

A6 =

1 0 0 0 1 01 1 0 1 0 00 0 1 0 1 00 1 0 1 0 10 0 0 0 1 01 0 0 0 0 1

.

El conjunto T = {2, 3, 4} es autonomo para A; en efecto, se tiene que aij = 0 para cada i ST ={1, 5, 6} y cada j T = {2, 3, 4}. Tambien V = {1, 2, 4, 6} es autonomo:

i {3, 5}, j {1, 2, 4, 6}, aij = 0.

Entonces, de acuerdo con la proposicion anterior, los conjuntos:

T V = {2, 4} (que es no vaco) y T V = {1, 2, 3, 4, 6}

son autonomos. Se puede comprobar directamente:

i {1, 3, 5, 6}, j {2, 4}, aij = 0, y i {5}, j {1, 2, 3, 4, 6}, aij = 0.

3.2. Determinacion practica

Si la matriz real cuadrada A, de orden n y positiva, se interpreta como la matriz de coecientestecnicos de una estructura productiva, y el conjunto S:

S = {1, 2, . . . , n},

se interpreta como el conjunto de los bienes (o productos) que produce la estructura productiva,entonces el que un conjunto de bienes T S sea autonomo para la matrizA puede interpretarsecomo que no se necesitan los bienes de S T para producir los bienes de T .


Estamos ahora interesados en saber que bienes son necesarios, directa o indirectamente,en la produccion de un bien dado.

Dado un bien j S, ya sabemos que el conjunto:

D(j) = {i S | aij = 0}

es el de los bienes que son directamente necesarios para producir el bien j. Pero para producirlos bienes del conjunto D(j) tambien seran directamente necesarios otros bienes, de los cualespodemos decir que son indirectamente necesarios para producir el bien j.

Por ejemplo, en una empresa que fabrique automoviles, los neumaticos intervienen direc-tamente en el proceso de fabricacion, y en una empresa que fabrique neumaticos el cauchointerviene directamente en el proceso de fabricacion. El caucho no es un input de la empresaque fabrica automoviles, pero s es un input de una empresa que fabrica un input para aquella.De esta forma, podemos decir que el caucho interviene indirectamente en la fabricacion de au-tomoviles.

Asimismo, continuando con el ejemplo, la empresa que elabora el caucho tendra ciertosinputs : estos tambien seran bienes indirectamente necesarios para fabricar automoviles.

Dado el bien j, denotaremos por M(j) el conjunto formado por el bien j y los bienes queparticipan directa o indirectamente en la produccion del bien j. En smbolos:

M(j) = {j} {i S | k M(i), i D(k)} .

Daremos a continuacion un algoritmo que nos permitira escribir los elementos de M(j).Sea A =

(aij)una matriz de coecientes tecnicos, y sea:

S = {1, 2, . . . , n}

el conjunto de los bienes. Consideramos un bien j S.Primer paso. Observamos que, por denicion, al conjunto M(j) pertenecen entre otros

el bien j y aquellos bienes que son directamente necesarios en la produccion del bien j. Esdecir, el bien:

j

es un elemento de M(j), y el conjunto:

D(j) = {i S | aij = 0}

esta contenido en M(j).Este primer paso consiste en escribir el bien j:

j ,


y enlazarlo con todos los bienes i, distintos del propio bien j, del conjunto D(j). Sifuera D(j) = {j}, o D(j) = , no existira ningun bien i con estas caractersticas; el algoritmoterminara, y

M(j) = {j}.Que el bien j esta enlazado con el bien i lo representamos de la forma:

j i.

Tras llevar a cabo este paso, hemos escrito el bien j y todos los bienes del conjunto D(j).

Ejemplo 15. Llevemos a cabo este primer paso en el calculo de M(3) para la matriz del ejemplo 12(cf. p. 18):

A4 =

1/2 1/2 0 00 1/2 0 1/20 1/2 1/2 0

1/2 0 0 1/2

.

El conjunto de los bienes directamente necesarios en la produccion del bien 3 es:

D(3) = {i S | ai3 = 0} = {3}.

Escribimos:3 ,

y como D(3) = {3}, el algoritmo termina, y

M(3) = {3}.

Deducimos que solo el bien 3 es necesario, directa o indirectamente, en la produccion del bien 3.

Ejemplo 16. Hagamos el primer paso con el bien j = 1 para la matriz del ejemplo 11 (cf. p. 18):

A3 =

1/2 1/3 1/40 1/2 0

1/2 1/4 1/4

.

El conjunto de los bienes directamente necesarios en la produccion del bien 1 es:

D(1) = {i S | ai1 = 0} = {1, 3}.

Escribimos:1 ,

y como D(1) = {1, 3}, lo enlazamos con el bien i = 3, que es el unico elemento de D(1) distinto de 1:

1 3.


Ejemplo 17. Efectuemos el primer paso en el calculo de M(1) para la matriz del ejemplo 14 (cf. p. 20):

A6 =

1 0 0 0 1 01 1 0 1 0 00 0 1 0 1 00 1 0 1 0 10 0 0 0 1 01 0 0 0 0 1

.

Observamos que D(1) = {1, 2, 6}, luego debemos enlazar el bien 1 con el bien 2 y con el bien 6, queson los bienes de D(1) distintos del bien 1; lo representamos as:

1

2

6,

y el primer paso del algoritmo ha concluido.

Segundo paso. Para cada uno de los bienes k escritos en el paso anterior (salvo para elbien j), llevamos a cabo lo siguiente: enlazamos k con todos los bienes i que veriquen:

a) i D(k),b) el bien i no ha sido escrito todava en el desarrollo del algoritmo,

y continuamos de manera analoga con los nuevos bienes que se vayan escribiendo. El algo-ritmo termina cuando las restricciones anteriores: (a) y (b), impidan continuar el proceso;entonces M(i) es el conjunto de todos los bienes que han sido escritos.

Observese que en este segundo paso escribimos los bienes que son indirectamente necesariosen la produccion del bien j.

Ejemplo 18. En el calculo de M(1) para la matriz:

A3 =

1/2 1/3 1/40 1/2 0

1/2 1/4 1/4

,

tenamos (cf. ejemplo 16, p. 22):1 3. (5)

Para continuar con el segundo paso del algoritmo, observamos que para el bien k = 3 se verica:

D(k) = D(3) = {1, 3},

pero tanto el bien 1 como el bien 3 ya han sido escritos en (5), y por tanto no podemos encontrarningun bien i que verique simultaneamente las condiciones (a) y (b).

El algoritmo termina, y el conjunto M(3) es el formado por los bienes escritos:

M(3) = {1, 3}.


Ejemplo 19. Para la matriz

A6 =

1 0 0 0 1 01 1 0 1 0 00 0 1 0 1 00 1 0 1 0 10 0 0 0 1 01 0 0 0 0 1

,

el calculo de M(1) nos haba llevado (cf. ejemplo 17, p. 23) a:

1

2

6.(6)

Debemos, pues, analizar el bien 2 y el bien 6.Para el bien 2, se tiene:

D(2) = {2, 4}.Solo el bien 4 no ha sido escrito todava en (6); por tanto, enlazamos el bien 2 con el bien 4:

1

2 4

6.(7)

Para el bien 6, se tiene:D(6) = {4, 6},

y como tanto el bien 4 como el bien 6 ya han sido escritos (en (7)), no enlazamos el bien 6 con ningunotro.

Debemos proseguir con el bien que acabamos de escribir: el bien 4. Se tiene:

D(4) = {2, 4},

y como el bien 2 y el bien 4 ya han sido escritos, no podemos enlazar el bien 6 con ningun otro.Al no poder continuar el proceso, el algoritmo termina. El conjunto formado el bien 1 y los bienes

que son, directa o indirectamente, necesarios para producir el bien 1 es:

M(1) = {1, 2, 4, 6},

ya que los bienes 1, 2, 4 y 6 son los bienes que hemos escrito:

1

2 4

6.

Calculemos en este mismo ejemplo los conjuntos de bienes:

M(2), M(3), M(4), M(5) y M(6).


Por comodidad, escribamos todos los conjuntos D(j) (1 j 6):

D(1) = {1, 2, 6}, D(2) = {2, 4}, D(3) = {3},D(4) = {2, 4}, D(5) = {1, 3, 5}, D(6) = {4, 6}.

(8)

Se tiene:

M(2): Como D(2) = {2, 4}, enlazamos 2 con 4:

2 4,

y este es el resultado del primer paso. En el segundo paso, como:

D(4) = {2, 4},

y como el bien 2 ya esta escrito, concluimos:

M(2) = {2, 4}.

M(3): Como D(3) = {3}, se tiene: M(3) = {3}. M(4): Por ser D(4) = {2, 4}, escribimos:

4 2,

y por ser D(2) = {2, 4} el algoritmo termina, y M(4) = {2, 4}. M(5): La aplicacion del algoritmo nos hace escribir (cf. (8)):

5

1

2 4

63,

y por tanto: M(5) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. M(6): Se escribe:

6 4 2,

y en consecuencia: M(6) = {2, 4, 6}.

Nota bene. El algoritmo termina despues de un numero nito de enlaces (a lo mas, n1),y proporciona como resultado un unico conjunto.

A continuacion, estudiamos algunas propiedades del conjunto M(j) (j S):


Proposicion 5. Consideremos una matriz A =(aij)de coeficientes tecnicos, y sea S =

{1, 2, . . . , n} el conjunto de todos los bienes. Se verifica:1) j S, M(j) es un conjunto autonomo para la matriz A;2) si T es un conjunto autonomo para la matriz A al cual pertenece el bien j, enton-

ces T M(j).

Demostracion. Consideremos un bien j de S:

1) Debemos demostrar:

l S M(j), s M(j), als = 0.

Sean:

l S M(j) y s M(j).

Si als = 0, entonces: l D(s) (el bien l sera directamente necesario en la produccion del bien s);pero si l D(s), deberamos haber enlazado el bien s con el bien l:

s l,

y se tendra que l M(j), en contra de lo supuesto. Por tanto, se verica que als = 0.En consecuencia, el conjunto M(j) es autonomo.

2) Observemos que si s es un bien cualquiera del conjunto autonomo T , entonces se tiene:

D(s) T. (9)

En efecto: si l es un bien del conjunto S T , entonces als = 0 (por ser T autonomo), y portanto: l / D(s); en consecuencia: S T S D(s), que es equivalente a (9).

De la hipotesis: j T , y de (9), deducimos:

D(j) T, (10)

es decir, los bienes que se escriben en el primer paso del algoritmo son elementos de T .

En el desarrollo del algoritmo, como partimos de un elemento: j, que por hipotesis pertenecea T , todos los bienes que son enlazados con j elementos de D(j) son de T (cf. (10)). Conun razonamiento analogo, y teniendo en cuenta (9), comprobamos que todos los bienes que seescriben en el desarrollo del algoritmo para construir M(j) pertenecen a T .

En conclusion: M(j) T . c.q.d.

Corolario. Si j S, entonces M(j) es igual a la interseccion de todos los conjuntos autonomosa los que el bien j pertenece.


Demostracion. Sea la interseccion de todos los conjuntos autonomos a los que el bien j pertenece.Como j M(j) y M(j) es autonomo (cf. apartado (1) de la proposicion 5, p. 26), se tiene:

M(j). (11)

Por otro lado, es un conjunto autonomo (cf. apartado (1) de la proposicion 4, p. 19) al cualpertenece el bien j. Del apartado (2) de la proposicion 5 obtenemos:

M(j). (12)

De (11) y (12) se concluye: = M(j). c.q.d.

Podemos, pues, armar:

Para cada bien j, M(j) es el menor conjunto autonomo al que pertenece elbien j.

3.3. Productos fundamentales

Sea A una matriz de coeentes tecnicos, y sea S = {1, 2, . . . , n} el conjunto de los bienes.

Definicion. Del bien f de S se dice es un producto (o bien) fundamental para A si severifica:

i S, f M(i). (13)En palabras: el producto f es fundamental si es utilizado, directa o indirectamente, para la

produccion de cada bien en la estructura productiva representada por la matriz A.

Una caracterizacion de los productos fundamentales es la siguiente:

Proposicion 6. Una condicion necesaria y suficiente para que f sea un producto fundamental

para A es que f pertenezca a todos los conjuntos autonomos para la matriz A.

Demostracion. La condicion es necesaria. Sea T un conjunto autonomo para A (por tanto, T es novaco), y sea f un producto fundamental. Sea i T . De (13) y de la proposicion 5 (cf. p. 26) deducimos:

f M(i) T,

y en conclusion: f T .La condicion es suciente. Si f pertenece a todos los conjuntos autonomos para A, entonces

verica (13), pues para cada i S el conjunto M(i) es autonomo para A (cf. proposicion 5, p. 26), yen consecuencia f es producto fundamental.

c.q.d.


Corolario. El conjunto F S de los productos fundamentales, si no es vaco, es autonomo yesta contenido en cualquier conjunto autonomo.

Demostracion. Supongamos que F es no vaco, y sean:

l S F y k F.

De: l / F , se deduce (cf. denicion de producto fundamental):

i S, l / M(i),

pero k M(i) (por ser producto fundamental), y como M(i) es un conjunto autonomo, se tiene:

alk = 0,

y por tanto F es autonomo para A.Si T es un conjunto autonomo, entonces cada producto fundamental de F es un elemento de T

(cf. proposicion 6, p. 27), y por tanto: F T . c.q.d.

Ejemplo 20. Para la matriz del ejemplo 11 (cf. p. 18):

A3 =

1/2 1/3 1/40 1/2 0

1/2 1/4 1/4

,

se verica:M(1) = {1, 3}, M(2) = {1, 2, 3} y M(3) = {1, 3},

luego los unicos conjuntos autonomos son:

{1, 3} y {1, 2, 3},

y los productos fundamentales son el bien 1 y el bien 3, pues pertenecen a todos los conjuntos autono-mos.

Ejemplo 21. Para la matriz del ejemplo 13 (cf. p. 19):1 0 10 1 1

0 0 1

,

se tiene:M(1) = {1}, M(2) = {2} y M(3) = {1, 2, 3}.

No existe, pues, ningun bien que pertenezca simultaneamente a los conjuntos M(1), M(2) y M(3), yen consecuencia el conjunto de los productos fundamentales es vaco.

Matrices indescomponibles 29

Ejemplo 22. Para la matriz: 1 1 01 0 1

1 0 0

,

el unico conjunto autonomo, como se comprueba facilmente, es {1, 2, 3}, y todos los bienes son productosfundamentales.

4. MATRICES INDESCOMPONIBLES

Definicion. De una matriz real A cuadrada de orden n y positiva diremos es indescom-ponible (o irreducible) si el unico conjunto autonomo que admite es: S = {1, 2, . . . , n}.

Como consecuencia de esta denicion, si la matriz A es estrictamente positiva, entonces esindescomponible. En efecto, si T S es un conjunto autonomo para A, entonces T = S, puessi ocurriese que T S, tendramos que aij = 0 cuando i S T y j T , en contradiccioncon que A es estrictamente positiva.

Si una matriz A se considera como una matriz de coecientes tecnicos, entonces, comoconsecuencia de la denicion anterior y de la proposicion 6 (cf. p. 27), para la matriz inde-scomponible A todos los bienes son productos fundamentales.

Ejemplo 23. La matriz del ejemplo 20 (cf. p. 28) no es indescomponible, pues ademas del conjunto S ={1, 2, 3}, tambien es autonomo el conjunto {1, 3}.

La matriz del ejemplo 21 (cf. p. 28) tampoco es indescomponible, pues hay mas conjuntos autonomosademas de S = {1, 2, 3}.

La matriz del ejemplo 22 (cf. p. 29) es indescomponible, pues S = {1, 2, 3} es el unico conjuntoautonomo. Todos los bienes son productos fundamentales.

Proposicion 7. Sea A =(aij)una matriz real cuadrada de orden n y positiva, y sea S =

{1, 2, . . . , n}. Si el conjunto T = S es autonomo para la matriz A, entonces el conjunto S Tes autonomo para la matriz At.

Demostracion. Al ser T = S, se tiene que S T no es el conjunto vaco, y se verican las siguientesequivalencias:

(T es autonomo para A) i S T, j T, aij = 0 j S (S T ), i S T, atji = 0 S T es autonomo para At

(para la segunda equivalencia recuerdese que los terminos de la matriz traspuesta: atji, verican pordenicion que atji = aij). c.q.d.


Corolario. Si A es una matriz indescomponible, entonces tambien la matriz At es indescom-

ponible.

Demostracion. Si L fuera un conjunto distinto de S autonomo para At, entonces S L sera unconjunto, tambien distinto de S, autonomo para la matriz:

(At)t = A,

lo cual es absurdo, pues A es indescomponible.Por tanto, At no admite ningun conjunto autonomo distinto de S, esto es, el unico conjunto

autonomo que admite la matriz At es S. En otras palabras: At es indescomponible. c.q.d.

Para las matrices indescomponibles tambien se verica:

Proposicion 8. Sea B =(bij)una matriz indescomponible, y un numero real positivo. Si P

es una matriz columna positiva, no nula, que verifica:

P = BP, (14)

entonces P es estrictamente positiva.

Demostracion. Sea:

P =(pi)=

p1p2...pn

.

De (14) se deduce:

pi =n

k=1

bikpk 0, 1 i n. (15)

Pero como cada sumando de (15) es no negativo, se tiene:

pi =n

k=1

bikpk bijpj 0, 1 i n, 1 j n. (16)

Sea S = {1, 2, . . . , n}, y denamos:

T = {i S | pi > 0} .

Entonces T es no vaco, pues P es positiva y no nula, y T es un conjunto autonomo para la matriz B.En efecto, si i / T y j T , entonces:

pi = 0 y pj > 0,

Matrices indescomponibles 31

y de (16) deducimos:0 = pi bijpj 0,

es decir:bijpj = 0,

y como y pj son positivos: bij = 0. El conjunto T es, pues, autonomo.Pero B es una matriz indescomponible, y el unico conjunto autonomo que admite es S, es de-

cir, T = S, o equivalentemente:pi > 0, 1 i n,

y P =(pi)> O. c.q.d.

Proposicion 9. Sea B =(bij)una matriz indescomponible, y un numero real positivo.

Si P =(pi)y P =

(pi)son dos matrices columna estrictamente positivas tales que:

P = BP y P = BP , (17)

entonces existe un numero real positivo tal que P = P .

Demostracion. Sea el menor de los numeros siguientes:p1p1

,p2p2

, . . . ,pnpn

;

por tanto, existe k, 1 k n, tal que: =

pkpk

. (18)

Denamos la matriz columna V =(vi)de la forma:

V = P P . (19)Entonces se verica:

a) V es positiva.Es una consecuencia inmediata de (18) y (19).

b) vk = 0.Tambien es una consecuencia de (18) y (19):

vk = pk pk = pk pkpk

pk = 0.

c) V verica que V = BV .En efecto (cf. (17) y (19)):

BV = B(P P ) = BP BP = P P = V.

Si V no fuese nula, de (a) y (c), y de la proposicion 8 (cf. p. 30), deduciramos que V > O, encontradiccion con (b).

En conclusion: V es nula, y P = P . c.q.d.


5. ESTRUCTURAS PRODUCTIVAS DE SUBSISTENCIA

Sea A =(aij)una matriz de coecientes tecnicos. Si existe una matriz de produccion X tal

que:AX = X, X O y X = O, (20)

de la estructura productiva representada por la matriz A diremos es una estructura pro-ductiva de subsistencia.

Nota. Algunos autores denominan economa de subsistencia, o economa cerrada, a lo queaqu llamamos estructura productiva de subsistencia.

La interpretacion de (20) es que el total de la produccion se dedica exclusivamente alconsumo intermedio.

Ejemplo 24. La siguiente matriz de coecientes tecnicos:

A =(1/2 01/3 1

)

representa una estructura productiva de subsistencia, pues para la matriz de produccion:

X =(02

)

se verica:AX =

(1/2 01/3 1

)(02

)=(02

)= X.

Si la matriz A no es productiva, entonces no necesariamente representa una produccion desubsistencia.

Ejemplo 25. La matriz:

A =

2 1 11 2 2

1 1 1

no es productiva, pues (cf. teorema 1, p. 15):

I A =1 1 11 1 21 1 0

,

y esta matriz es de rango 2, y por tanto no invertible.Si resolvemos el sistema homogeneo de tres ecuaciones con tres incognitas:

(I A)X = O,

Estructuras productivas de subsistencia 33

es decir, buscamos X tal que AX = X, la solucion son las matrices columna de la forma:

0

, R,

que no pueden ser positivas y no nulas.En conclusion, A no es productiva, ni representa una produccion de susbsistencia.

Fijaremos nuestro interes en matrices de coecientes tecnicos, representantes de estructurasproductivas de subsistencia, que sean indescomponibles, y supondremos en el resto de estaseccion que la matriz A es indescomponible.

En este caso, de (20) se deduce que X > O (como una consecuencia inmediata de laproposicion 8 (cf. p. 30), cuando hacemos = 1), y escribiremos:

AX = X, X > O. (21)

Ejemplo 26. La matriz:

A =(1/2 1/21/3 2/3

)representa una produccion de subsistencia, pues para la matriz de produccion:

X =(11

),

se verica: AX = X.La matriz A es tambien indescomponible, al ser estrictamente positiva, y por tanto cualquier matriz

que verique:AX = X, con X O y X = O,

debe ser estrictamente positiva.En efecto, se comprueba que las matrices X tales que: AX = X (es decir, las soluciones del sistema

homogeneo: (I A)X = O), y que a su vez verican que X O y X = O, son las matrices columnade la forma: (

), con > 0,

que son estrictamente positivas.

El teorema de DebreuHerstein (que no demostraremos) arma que si se verica (21),siendo A una matriz indescomponible, entonces existe una matriz columna P tal que:

P = AtP y P > O.

Podemos interpretar la matriz columna estrictamente positiva P como aquella cuyos ter-minos son los precios unitarios de los bienes.


Ejemplo 27. Sea:

A =(a11 a12a21 a22

)

una matriz de coecientes tecnicos indescomponible, y:

P =(p1p2

)

una matriz columna estrictamente positiva tal que: P = AtP , es decir:

(p1p2

)=(a11 a21a12 a22

)(p1p2

),

o bien: {p1 = a11p1 + a21p2,

p2 = a12p1 + a22p2.(22)

Entonces, interpretando p1 y p2 como los precios unitarios del bien 1 y del bien 2, respectivamente,se tiene que la cantidad:

a11p1 + a21p2

es el coste de producir una unidad del bien 1, y la cantidad:

a12p1 + a22p2

es el coste de producir una unidad del bien 2.De (22) deducimos que el coste de produccion de una unidad de cada uno de los bienes es igual al

valor bruto de dicha unidad.

Ademas, si existe otra matriz columna estrictamente positiva P :

P =(p1p2

),

tal que:

P = AtP ,

como At es indescomponible (cf. corolario de la proposicion 7, p. 30), entonces (cf. proposicion 9, p. 31)existe > 0 tal que P = P . De esta forma, si jamos el precio de un bien (numerario), quedanunvocamente determinados los precios de los demas bienes.

Ejemplo 28. Consideremos la matriz de coecientes tecnicos indescomponible siguiente:

A =

1/3 2/3 2/31/3 1/3 0

0 1/2 1/2

.

Estructuras productivas de subsistencia 35

Para probar que A es una matriz representante de una produccion de subsistencia debemos encon-trar una matriz columna X, X > O, tal que AX = X, es decir, debemos resolver el sistema:

(I A)X = O,

siendo X estrictamente positiva. Sus soluciones son las matrices columna de la forma:

21

1

, > 0.

Por tanto, la produccion es de subsistencia. Por ejemplo, haciendo = 2, una matriz de producciones:

X =

42

2

.

Sabemos que existe una matriz de precios P , estrictamente positiva, para esta estructura productiva,es decir, tal que:

P = AtP.

Para encontrarla debemos resolver el sistema:

(I At)P = O,

siendo P estrictamente positiva. Sus soluciones son las matrices columna de la forma:

36

4

, > 0.

Fijado el precio del primer bien igual a 1, es decir, haciendo = 1/3, obtenemos la siguiente matriz deprecios:

P =

12

4/3

.


6. APENDICE

6.1. Demostracion del teorema sobre matrices productivas

En este apartado demostramos la siguiente caracterizacion de las matrices productivas:Una condicion necesaria y suficiente para que la matriz real A (cuadrada de orden n y

positiva) sea productiva es que I A sea invertible y (I A)1 positiva.Demostracion de la condicion suficiente. Demostremos que si I A es invertible y (I A)1es positiva, entonces A es productiva.

Si U es la matriz columna de orden (n, 1) cuyos terminos son todos iguales a 1, entoncesla matriz columna:

P = (I A)1U (23)es estrictamente positiva (proposicion 2, p. 7, a la matriz estrictamente positiva U y a lamatriz positiva e invertible (I A)1). Por otro lado, multiplicando por la izquierda en (23)por la matriz I A, resulta:

(I A)P = (I A)(I A)1U = U > O;

en consecuencia: (I A)P > O, o bien:

P AP > O,

con lo que A es productiva.

Demostracion de la condicion necesaria. Supongamos que A es productiva, y demostremosque I A es invertible y (I A)1 es positiva.

En primer lugar, probemos que I A es invertible.Por ser A productiva, existe una matriz columna P > O, P =

(pi), tal que:

P > AP. (24)

Hagamos la siguiente hipotesis:

(H)

existe una matriz columna X =(xi), de orden (n, 1), tal

que:a) X = AX ,b) X tiene al menos un termino positivo.

El apartado (b) de (H) asegura que el conjunto:{pjxj

1 j n, xj > 0}

Apendice 37

es no vaco. Seapkxk

el menor de sus elementos. Obviamente:

pkxk

> 0 y j {1, 2, . . . , n} , xj > 0 pkxk pj

xj. (25)

Denimos la matriz columna Z =(zi)de la forma:

Z =pkxk

X.

Se verica:

1) Z = AZ.En efecto: multiplicando la ecuacion de (a) por pk/xk, resulta:

pkxk

X =pkxk

AX = A(

pkxk

X

),

es decir: Z = AZ.

2) P Z O.Sea j {1, 2, . . . , n}. Si zj 0, entonces: zj 0 < pj . Por el contrario, si zj > 0, entonces:

zj =pkxk

xj pjxj

xj = pj,

donde la primera igualdad es la denicion de Z y la desigualdad del centro se obtiene de (25).En denitiva:

j {1, 2, . . . , n} , pj zj ;

es decir, P Z, o bien: P Z O.3) P Z tiene al menos un termino nulo.

En efecto:

pk zk = pk pkxk

xk = 0.

De (24) y del apartado 1, se deduce: P Z > AP AZ, o bien:

P Z > A(P Z).

Se tiene: A O y P Z O (apartado 2), as que A(P Z) O; entonces:

P Z > A(P Z) O,

de donde: P Z > O, que contradice el hecho de que P Z tiene al menos un termino nulo(apartado 3).


Como consecuencia del razonamiento anterior, la hipotesis (H) es falsa. As, la ecua-cion X = AX , o bien: (I A)X = O, no tiene como solucion ninguna matriz columna X conalgun termino positivo; podemos escribir:

(I A)X = O = X no tiene terminos positivos.

Pero si (I A)X = O, tambien: (I A)(X) = O, luego X no tiene terminos positivos. Endenitiva:

(I A)X = O = X = O, (26)lo cual establece que IA es invertible (de (26) se deduce que la aplicacion lineal canonicamenteasociada a la matriz I A es una aplicacion lineal inyectiva de Rn en Rn, y por tanto unautomorsmo de Rn, y la matriz I A es invertible).

Finalmente, demostremos que si A es productiva, entonces (I A)1 es positiva.De nuevo, por ser A productiva, existe una matriz columna P > O, P =

(pi), tal que:

P > AP. (27)

Hacemos la siguiente hipotesis: (H) (I A)1 no es positiva.Sean:

E1 =

100...0

, E2 =

010...0

, . . . , En =

00...01

.

De acuerdo con (H), alguna de las matrices:

Y1 = (I A)1E1, Y2 = (I A)1E2, . . . , Yn = (I A)1En

no es positiva (cf. proposicion 1, p. 6).Supongamos que Yl = (IA)1Xl, con l {1, 2, . . . , n}, no es positiva, y notemos a partir

de ahora:Y = Yl =

(yi)

y X = Xl =(xi).

Entonces se verica:

X O y Y = (I A)1X, o bien X = (I A)Y. (28)

Como la matriz columna Y no es positiva, tendra algun termino negativo, as que elconjunto: {

pjyj

1 j n, yj < 0}

Apendice 39

es no vaco. Seapkyk

el mayor de sus elementos. Claramente:

pkyk

< 0 y j {1, 2, . . . , n} , yj < 0 pkyk pj

yj. (29)

Denimos la matriz columna V =(vi)de la forma:

V =pkyk

Y.

Se verica:

1) P V O.Sea j {1, 2, . . . , n}. Si yj < 0, entonces:

vj =pkyk

yj pjyj

yj = pj,

donde la primera igualdad es la denicion de V y, para la desigualdad del centro, se utiliza (29)y que yj < 0 (cambio del sentido de la desigualdad). Por el contrario, si yj 0, entonces:

vj =pkyk

yj 0 < pj

(pk/yk es negativo). En denitiva: P V , o bien: P V O.2) P V tiene al menos un termino nulo.

En efecto:pk vk = pk pk

ykyk = 0.

3) (I A)(V ) O.En efecto, de (28) y de la denicion de V se obtiene:

(I A)(V ) = (I A)(pk

ykY

)= pk

yk(I A)Y = pk

ykX O,

ya que:pk

yk> 0 y X O.

De (27) y del apartado 3, se deduce: (I A)(P V ) > O, o bien:

P V > A(P V ).

De ser A O y P V O (apartado 1) se tiene: P V > A(P V ) O, de donde:P V > O, en contradiccion con que P V tiene al menos un termino nulo (apartado 2).

En conclusion: (H) es falsa; y (I A)1 O.

Referencias

Ahijado, M. (1988), Notas de Microeconoma, Asignacion y Distribucion II, Madrid: Centrode Estudios Ramon Areces.

Alvarez, A. et al. (2001), Matematicas Avanzadas Aplicadas a la Economa. UnidadesDidacticas, Madrid: UNED.

Arrow, K. J. y F. H. Hahn (1977),Analisis General Competitivo, Madrid: Fondo de CulturaEconomica.

Debreu, G. (1973), Teora del Valor, Barcelona: Antoni Bosch.

Leontief, W. (1973), Analisis Economico Input-Output, Barcelona: Ariel.

Michel, P. (1989), Cours de Mathematiques pour Economistes, Pars: Economica. Segundaedicion.

Michel, P. (1990), Mathematiques de leconomiste, captulo 10 de una obra no conocida,entregado por el autor en una conferencia que pronuncio en la UNED en la primaverade 1994.

Nicola, P. (2000), Mainstream Mathematical Economics in the 20th Century, Nueva York:Springer.

Prieto, E. (1999), Lecciones Elementales de Algebra Lineal para Economa y Empresa,Madrid: Centro de Estudios Ramon Areces.

Prieto, E. et al. (2000), Algebra Lineal. Problemas Resueltos y Cuestiones Comentadas,Madrid: Centro de Estudios Ramon Areces.

Takayama, A. (1985), Mathematical Economics, Cambridge: Cambridge University Press.Segunda edicion.

Tema 7 - Matrices Positivas (Tema Completo)

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