Tema i matrices algebra lineal iutajs

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL

TEMA I: MATRICES (USANDO CALCULADORA DE CASIO MODELO FX-

570ES PLUS)

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester

El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858,

A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema

de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de

su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de

forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los

lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores

como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...

Definición: Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en

general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden

n" "m a un conjunto rectangular de elementos ija dispuestos en m filas y en n

columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y

n números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de las

mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, Un

elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe . aij Si el elemento

genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: ) (aA ji

nmmnmm

ij

n

n

nm

aaa

a

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Ejemplo: Sea la matriz ,4

5

2

3

76

1

32

A donde sus filas son:

53

6

1 y

427 . Y sus columnas son: ,

76

1

2

3 y .

4

5

TEMA I: MATRICES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA LINEAL

Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.

El número total de elementos de una matriz A nm es .m·n

En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de

matrices. Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del

otro.

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

La suma de dos matrices n mj ) (aiA y qpij ) (bB de la misma dimensión

(equidimensionales): pm y q n es otra matriz

.nmjijinmji b a cB AC

Por ejemplo, sean las matrices:

,

21

22221

11211

nmmnmm

ij

n

n

nm

aaa

a

aaa

aaa

AA

.

21

22221

11211

nmmnmm

ij

n

n

nm

bbb

b

bbb

bbb

BB

Definimos la suma mediante:

,

2211

2222222121

1112121111

nmmnmnmmmm

ijij

nn

nn

bababa

ba

bababa

bababa

BA

Es una ley de composición interna con las siguientes propiedades:

· Asociativa: CB) (AC) (BA

· Conmutativa: A BB A

· Elemento neutro: (Matriz cero nm0 ), A AA 00

· Elemento simétrico: (Matriz opuesta -A ), 0 A (-A) (-A) A

Al conjunto de las matrices de dimensión n m cuyos elementos son números reales lo

vamos a representar por M nm y como hemos visto, por cumplir las propiedades

anteriores, ) ( M, es un grupo abeliano.



NOTA: La suma de dos matrices y la diferencia de dos matrices (Suma de una matriz

con la opuesta de otra matriz) NO están definidas si sus dimensiones son distintas.

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los

elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

mnmm

ij

n

n

nmmnmm

ij

n

n

ijnm

aaa

a

aaa

aaa

A

aaa

a

aaa

aaa

aAA

21

22221

11211

21

22221

11211

;

Es una ley de composición externa con las siguientes propiedades:

· Asociativa: AA )()(

· Distributiva I: BABA )(

· Distributiva II: AAA )(

· Elemento Neutro de escalares: AA 1

Para todo ;1,, R para toda matriz .nmMA Por lo tanto la terna ],,[ RM nm

constituye un espacio vectorial.

MATRICES IGUALES

Dos matrices a A n mij

y qpijb B

son iguales, sí y solo si, tienen en los

mismos lugares elementos iguales, es decir: j ibaqnpm ijij , ;,

Ejercicio: Dadas las siguientes matrices

;810

321

A ;

853

201

B 1 y 2

Calcular:

,BA ,A ,BA ,B .BA

Solución:



Calculemos :BA

1663

522

885130

230211

853

201

810

321

BA

BA

BA

Calculemos :A

810

321

8111 01

312111

810

3211

A

A

A

Calculemos :BA

043

120

885130

230211

853

201

810

321

815131

2101 11

810

321

853

2011

810

321

BA

BA

BA

BA

BA

043

120

885130

230211

853

201

810

321

815131

2101 11

810

321

853

2011

810

321

BA

BA

BA

BA

BA



NOTA: ¿Qué nos define la operación ,BA de acuerdo a lo estudiado en la

diferencia de vectores? Se puede decir que define la resta de vectores.

Calculemos :B

16106

40 2

825232

2202 12

853

2012

B

B

B

Calculemos :BA

896

12 1

168101-60

430221

1610 6

40 2

81-0

321

825232

2202 12

8111 01

312111

853

20 12

810

3211

BA

BA

BA

BA

BA

Usando calculadora: Utilizaremos el modelo fx-570ES PLUS de CASIO que ofrece la

posibilidad de trabajar en dos líneas, se aproxima a la escritura natural, similar a la que

estamos habituados a utilizar en el aula cuando escribimos en la pizarra. Del curso:

Matemáticas a través de la calculadora científica



Esta actividad se realiza con la colaboración y el patrocinio de:

Profesorado: Encarnación Amaro Parrado

Agustín Carrillo de Albornoz Torres

José María Chacón Íñigo

Manuel Amaro Parrado

EMULADOR DE LA CALCULADORA fx-570ES PLUS

Para el desarrollo del curso utilizaremos el emulador de la calculadora fx-570ES

PLUS que nos permitirá realizar todas las operaciones como en una calculadora real,

con la ventaja de poder capturar las imágenes que produce para pegarlas

posteriormente en un procesador.

La calculadora CASIO FX 570-ES permite trabajar con matrices de hasta 3 filas x 3

columnas. Para entrar en el modo de cálculo matricial, debemos pulsar en MODE

6: MATRIX

Ahora nos aparece la siguiente pantalla donde podemos definir tres matrices, MatA,

MatB y MatC

Al seleccionar una de las matrices, normalmente, la A, aparece una nueva pantalla

para elegir la dimensión de la matriz.



Pulsaríamos 2, para elegir la dimensión e ir introduciendo los números de dicha

matriz por filas pulsando la tecla después de cada nuevo ingreso. Al borrar la

pantalla nuestra matriz se ha almacenado en una variable llamada MatrizA

Para operar con las matrices, debemos entrar en el submenú de operaciones pulsando

. Nos aparece el siguiente menú:

1: Dim para dimensionar la matriz

2: Data nos permite entrar de nuevo en la matriz y modificar sus datos, también

podemos seleccionar los datos, borrarlos o copiarlos a otra matriz

3: MatA pulsando esta opción nos permite "llamar" a esa matriz para operar con

ella.

4: MatB Ídem con la matriz B

5: MatC Ídem con la matriz C

6: MatAns es la memoria de respuesta de los cálculos matriciales

7: det calcula el determinante de una matriz.

8: Trn halla la transpuesta de una matriz

Ahora sean las matrices:

La suma :BA

Además :A



Y :BA

Además :B

Y :BA

Recordar que las matrices al ser elementos de un espacio vectorial, son denominadas

vectores, lo cual no concuerda con la idea de vectores de los físicos, es decir, con la idea de

un ente con dirección y sentido a parte de una magnitud o módulo. Al igual que las matrices

de acuerdo a que ),,()( KXAKM nm donde ,nm EEX tenemos que las funciones son

vectores también.

En esta parte, veremos cómo puede asociarse una matriz a una transformación lineal.

Esta asociación, resulta ser de gran interés, con sorprendentes y excelentes resultados.

Usando dicha correspondencia, seremos capaces de describir como son todos los espacios

vectoriales de dimensión n. Este resultado será realmente interesante. En toda esta parte,

supondremos que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita. Comencemos con

algunas definiciones básicas.

PRODUCTO DE MATRICES

El producto de dos matrices )( ijaA de dimensión nm y otra matriz

)( jkbB de dimensión pn es la matriz BA. dada por: ).(. ikcBA



Con ,. jkijik bac es decir, cada elemento ikc se obtiene multiplicando la fila i -

ésima de la primera matriz por la columna k -ésima de la segunda matriz.

Si

mnm

n

aa

aa

A

1

111

y

npn

p

bb

bb

B

1

111

entonces tenemos que:

npmnpmnmnm

npnpnn

babababa

babababa

AB

111111

1111111111

Por ejemplos:

1. Sean las matices:

,0

7

5

4

1

2

A

17

43

01

B

Podemos realizar el producto de las matrices 32)( ijaA y otra matriz 23)( jkbB

dándonos una matriz BA . dada por: .)(. 22 ikcBAC

.algebraica suma la Realizando 2016

.2359A

productos. los Realizando 02000151

716049122

matrices. de

producto de Definición 104501703511

174402773412

17

43

01

0

7

5

4

1

2

B

BA

BA

BA



Usando la calculadora: Sean las matrices:

Luego, multiplicandolas:

2. Se puede realizar el producto AB en las matrices anteriores:

,0

7

5

4

1

2

A

17

43

01

B

En efecto, podemos realizar el producto de las matrices 23)( jkbB y otra

matriz 32)( kiaA dándonos una matriz AB dada por: .)( 33 jicABD

productos. los Realizando

049528114

021201246

070402

matrices. de producto de Definición

017751471127

047354431423

007150411021

0

7

5

4

1

2

17

43

01

AB

AB

AB



.algebraica suma la Realizando

492315

21810

742

AB

Usando la calculadora: Sean las matrices:


¿Siempre se podrá hacer el producto de BA y de AB ?

3. De acuerdo con la pregunta anterior que sucede con las matrices: ,01

32

A

3

5B . En las cuales podemos realizar el producto de las matrices 22)( ijaA

y otra matriz 12)( jkbB dándonos una matriz BA . dada por:

.)(. 12 ikcBAC


19


910

matrices. de producto de Definición 3051

3352

3

5

01

32

BA

BA

BA

BA




19


910


3352

3

5

01

32

BA

BA

BA

BA

Usando la calculadora:

Sean las matrices:


Pero no podemos realizar el producto de las matrices 12)( jkbB y otra matriz

22)( ijaA .

Y la misma calculadora nos dice un error:

Concluyendo que para realizar la multiplicación o producto de dos matrices, el número de

filas da la primera matriz deben ser igual al número de columnas de la segunda matriz.

4. Si las matrices son cuadradas del mismo orden siempre se van a poder multiplicar

BA y AB , por ejemplo sean las matrices:

,01

32

A

72

10B



En las cuales podemos realizar el producto de las matrices 32)( ijaA y otra matriz

22)( jkbB dándonos una matriz BA . dada por: .)(. 22 ikcBAC

En efecto:


236


21260


73122302

72

10

01

32

BA

BA

BA

BA

Usando la calculadora:

Sean las matrices:


Además, podemos realizar el producto de las matrices 22)( jkbB y otra

matriz 22)( kiaA dándonos una matriz AB dada por: .)( 22 jicABD



En efecto:


01


0010


01301120

01

32

72

10

AB

AB

AB

AB


Y ahora surge la siguiente pregunta: ¿ ABBA ?

Es decir: ¿El producto de matrices es conmutativo?

GUIA DE EJERCICIOS DE MATRICES

MATRIZ DE ORDEN .nm

Sea K un cuerpo, una matriz de orden nm es una aplicación f cuyo dominio es

nm II y su codominio es ,K siendo ,,,2,1 mIm .,,2,1 nIn La matriz f asocia

a cada par ordenado ,),( nm IIji un elemento .),( Kajif ij

Y la matriz .)( nmijaf El primer subíndice i toma valores desde 1 hasta m y el

subíndice j toma valores desde 1 hasta .n



Ejemplo: Sea la matriz en ,RK 32)( ijaf dada por la aplicación jijif ),(

donde ,21 i .31 j Es una matriz 32 (2 filas y 3 columnas), cuyos elementos son:

532)3,2(

422)2,2(

312)1,2(

431)3,1(

321)2,1(

211)1,1(

23

22

21

13

12

11

fa

fa

fa

fa

fa

fa

Luego, la matriz así definida se escribe en la forma: 32

543

432

f

Ejercicio: Sea A la matriz en RK definida por la aplicación 22),( jijiA con

,31 i .51 j Escribir la matriz A como un arreglo rectangular.

SUMA DE MATRICES

1. Sea A una matriz tal que .

3,303

21

22

AA Hallar .A

2. Demuestre que:

a) ABBA [Propiedad Conmutativa]

b) CBACBA [Propiedad Asociativa]

c) AAA 00 [Existencia del elemento neutro]

d) 0 AAAA [Existencia del elemento opuesto]

3. Sea

Ryx

xy

yxM ,:

5

2 Verifique que si A y B son matrices del conjunto

,M entonces .MBA

4. Determine cuáles de las siguientes par de matrices se pueden sumar:

a. ,652A

3,2779

501B

b. ,

71189

7605

4321

A

71187

17602

241521

B

5. Hallar x e y sabiendo que

xy

y

54

11

1

3

63

21



6. Sean A y B matrices de orden mn tal que .BA Demuestre que si X es otra

matriz de orden ,mn entonces .XBXA

[Este resultado nos demuestra que si ,A B y C son matrices del mismo orden,

entonces si ,CBA tenemos que .BCBBA Luego,

,0 BCA y por tanto ,BCACBA es decir podemos despejar una

ecuación donde intervienen matrices].

7. Hallar una matriz X tal que ,BXA donde las matrices A y B están definidas

como sigue:

,

33

28

27

51

A ,

3

1

9

1

2

1

35

29

B

8. Verifique que la suma de matrices triangulares superiores, triangulares inferiores, y

diagonales es una matriz triangular inferior, triangular superior ó diagonal

respectivamente.

9. Demuestre que toda matriz cuadrada se escribe como suma de:

a) Una matriz triangular superior y una matriz triangular superior.

b) Una matriz triangular superior, una matriz triangular superior y una matriz

diagonal.

c) Una matriz simétrica y una matriz triangular inferior ó triangular superior.

10. Sean A y B matrices del mismo orden. Demuestre que: .TTTBABA

11. Verifique que la suma de matrices simétricas es también una matriz simétrica.

12. Compruebe que sí A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces

.BtrAtrBAtr Donde dada una matriz cuadrada ijaA de orden n se

llama traza de la matriz A al número que se obtiene sumando los elementos de la

diagonal principal. A este número lo denotamos .Atr Calcule además, nItr y

.0ntr

PRODUCTO DE MATRICES

1. Dadas las Matrices:

,

dc

baA

hg

feB

¿Será cierto que BAAB ? ¿Se cumple la propiedad conmutativa?

2. Determinar si es posible hacer el producto ,AB donde A y B son las

siguientes matrices:



a) ,351 A

43

21B

b)

312

531A ,

21

12

31

B

3. Consideremos las matrices:

0132

1102

6417

A ,

512

302B

¿Cuál de los productos es posible AB ó BA?

4. Sea

312

231A , .

21

12

31

B Calcular AB y BA ¿Qué

concluyes?

5. Demuestre que si A es una matriz cuadrada de orden ,n entonces

.AAIAI nn para la matriz identidad de orden “ n ” ,nI la cual es el

elemento neutro para la multiplicación de matrices de orden “ n ”.

6. Sean

522

51

A y ,42

105

B las cuales no son matrices nulas.

Calcular .AB [En este ejercicio se puede observar que el producto de

matrices no nulas da como resultado la matriz nula, situación que no ocurre

con los números reales, pues: 00. aba ó .0b ]

7. Demuestre:

a) BCACAB [Propiedad asociativa]

b) ACABCBA [Propiedad distributiva a izquierda]

c) BCACCBA [Propiedad distributiva a derecha]

8. Sean ,

012

52

31

z

y

x

A ,

59

20

01

z

y

x

B .

2225

5109215

3266

z

yyC

Hallar los valores de ,x ,y z de tal forma que .CAB

9. Sean A una matriz cuadrada y las siguientes matrices:



,

0000

0000

0000

0001

1

A ,

0000

0000

0010

0000

2

A ,

0000

0100

0000

0000

3

A

.

1000

0000

0000

0000

4

A

Verificar que .4321 AAAAAAAAA

10. Sean R , y consideremos la matriz ,cos

cos

sen

senA

.cos

cos

sen

senB Verifique que

.cos

cos

sen

senAB

11. Sean A y B matrices tales que se puedan realizar los productos AB y .BA

¿Qué se pueden decir de los órdenes de A y B ?

12. Sean A y B matrices tales que .BAAB Verifique que

.2 222BABABA ¿Cuándo se espera que

2222 BABABA ? Da un ejemplo de matrices A y B tales que

2222 BABABA y .2 222

BABABA

[Potencias de Matrices: Sea A una matriz cuadrada. Las potencias de A se

definen de la siguiente manera:

,0

nIA ,1 AA ,2 AAA ,23 AAAAAA

Y en general si 1n es un entero entonces 1 nn AAA ]

EJERCICIOS VARIADOS

1. Determine los valores de ,x y para que las matriz

120

02

yx

yxA sea

una matriz nula.

2. Determine explícitamente la diagonal principal de la matriz

1410

7,021

34

a

a

a

C sabiendo que a es el sexto término de una progresión



geométrica de razón 3r y con segundo término igual a 11. [El término general de

esta progresión geométrica 2

2

n

n rbb para Nnn ,2 ]

3. Indicar el orden de cada una de las siguientes matrices y especifique cuales son

matrices cuadradas, triangulares superiores, triangulares inferiores, simétricas, filas

o columnas:

a)

000

000

000

A b)

21

421B

c)

8,12152,08

11

C d)

17000

1,01200

10150

10810

D

e)

100

2,0

5

10

26

3

0

2

1

36

32 3 82

10

0 2

25,012ln2

1 304ln2,0

33

32

E

4. Verifique que la transpuesta de una matriz fila es una matriz columna y viceversa.

5. Determine cuando una matriz es igual a su transpuesta.

6. Verifique que la transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz

triangular inferior y viceversa.

7. Verifique que si A es una matriz cuadrada, entonces A y TA tienen la misma

diagonal. ¿Qué relación hay entre Atr y TAtr ?

8. Una matriz se dice antisimétrica si .AAT Da ejemplos de matrices antisimétricas

y determina que matriz es simétrica y antisimétrica.

9. Verifique que la suma de matrices antisimétricas es también una matriz

antisimétrica.

10. Determine los valores de las constantes ,x ,y z de tal forma que la matriz

238

3 7,027

3 25

8 771

zx

yxyxA

Sea una matriz simétrica.



11. Sean ,a ,b ,c Rd y considere la matriz .

11

1

11

d

cb

a

A Verifique que las

matrices TAA y AAT son matrices simétricas.

12. Sean ,

3

8

3

175,20

2

eA .

5

2

4

5

722

72

3

e

B Hallar .5

12 BA

13. Resuelve .0

8

3

6

51,1

68,32

1021

2

1

3

233

khg

fed

cba

14. Resuelve .

2

91

5

10

3

2

5

371

7

2

5

1

wz

yx

15. Demuestre que toda matriz cuadrada de orden 2 se puede escribir en la forma

.10

00

01

00

00

10

00

014331

aaaa

Trata de generalizarlo.

16. Sea

0,02,0:

0wuzyyx

wu

zyxM

a) Muestre algunas matrices del conjunto .M

b) Verifique que

,,:

02

Rux

uu

xxx

M

Ruz

uu

zzzM ,:

0

22

c) Verifica que si A y B son matrices en M y ,R entonces se cumple que

MBA y .MA

17. Sea x un número real. Calcule de varias formas

21

0114

21

015

21

012 xx

18. Sean A y B matrices del mismo orden. Verificar que si ,0 entonces BA

.1

BA



19. Sean

435

11

D y .01

98

E Hallar una matriz X tal que .

3

25

2

1EXD

20. Sean

32

51D y .

03

25

E Resuelve el sistema de

ecuaciones:

EYX

DYX

2

32

21. Sea A una matriz de orden ,nm verifica que:

a) AA1

b) mnA 00

c) AA 1 [Es decir A1 es la matriz opuesta de la matriz A ]

22. Determina si existen números ,a ,b y c tales que las matrices ,

000

00

01

b

a

A

00

001

102

c

B sea conmutativo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial

Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. México.

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos

eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones

y la programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish

Edition. ISBN-10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.

https://www.createspace.com/5230822

Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera

reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Reverté.

Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F

"No estoy de acuerdo con tus ideas, pero defiendo tu sagrado derecho a expresarlas.”

Francois Marie Arouet Voltaire

https://www.createspace.com/5230822

Tema i matrices algebra lineal iutajs

Education

Transcript of Tema i matrices algebra lineal iutajs