TEMA 2 : ALGEBRA DE MATRICES.

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TEMA 2 : ALGEBRA DE MATRICES. 1.- Definiciones. 2.- Fórmulas. 3.- Esquema. 4.- Ejercicios.

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TEMA 2 : ALGEBRA DE MATRICES. 1.- Definiciones. 2.- Fórmulas. 3.- Esquema. 4.- Ejercicios. 2.1.NOMENCLATURA Y DEFINICIONES. Matriz: Son unas tablas de números dispuestos en filas y columnas. Los son números reales - PowerPoint PPT Presentation

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TEMA 1 : SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS.

TEMA 2 : ALGEBRA DE MATRICES.1.- Definiciones.2.- Frmulas.3.- Esquema.4.- Ejercicios.

2.1.NOMENCLATURA Y DEFINICIONESMatriz: Son unas tablas de nmeros dispuestos en filas y columnas.

Los son nmeros realesDimensin de una matriz: La dimensin viene dada as: el nmero de filas el nmero de columnas.

Vector Fila: Matriz de dimensin (1j).Vector Columna: Matriz de dimensin (i1).Matriz Cuadrada: Matriz que tiene el mismo nmero de filas que de columnas.

Matrices iguales: Dos matrices son iguales cuando son de la misma dimensin y adems, coinciden trmino a trmino.

Matriz Traspuesta: La matriz traspuesta de una matriz A es otra matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas y las columnas por filas. La Matriz traspuesta se denota por

Matriz Simtrica: Una matriz es simtrica si cumple:

Una matriz simtrica ha de ser Cuadrada.

Suma de matrices: Dos matrices se pueden sumar si tienen la misma dimensin y se suman trmino a trmino.Producto de un nmero por una matriz: Se multiplica cada trmino por el nmero.

Producto de una matriz fila por una matriz columna:El producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma dimensin, es un nmero que se obtiene multiplicndolos trmino a trmino y sumando los resultados

2.2 OPERACIONES CON MATRICES

Producto de Matrices:Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse debe cumplirse la siguiente condicin: El nmero de columnas de la primera matriz (A) coincida con el nmero de filas de la segunda (B).En tal caso, el producto AB=C es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera matriz(A) por cada vector columna de la segunda (B).La matriz C resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B.

Propiedades de la suma de matrices:ASOCIATIVA: CONMUTATIVA:ELEMENTO NEUTRO: la matriz O cuyos elementos son todos ceros, sumada con cualquier otra matriz de su misma dimensin, la deja igual.

MATRIZ OPUESTA: Propiedades del producto de nmeros por matrices:Sean a, b nmeros reales y A, B matrices:ASOCIATIVA:DISTRIBUTIVA I:DISTRIBUTIVA II:PRODUCTO POR EL NMERO 1:

2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

Propiedades del producto de matrices:ASOCIATIVA:Esta propiedad nos permite prescindir de los parntesis cuando multipliquemos matrices siempre y cuando las matrices sean multiplicables.El producto de matrices NO ES CONMUTATIVOen general:

Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que aparezcan las matrices que han de multiplicarse, utilizamos expresiones del tipo La matriz M est multiplicando por la izquierda (o por la derecha)

Las matrices cuadradas de orden m, adems de sumarse y multiplicarse por un nmero, pueden multiplicarse entre s. Veamos algunas definiciones y propiedades:Matriz Unidad: Matriz cuya diagonal principal son todos unos y el resto de trminos son ceros.

Matriz Inversa de otra: Algunas matrices cuadradas tienen matriz inversa, pero otras no. La notacin si existe de la matriz inversa es A-1Cumple la siguiente propiedad:El procedimiento para calcularla lo veremos en la unidad 4.

2.4 MATRICES CUADRADAS

2.5 COMPLEMENTOS TERICOS PARA EL ESTUDIO DE MATRICESEspacio vectorial: Todo conjunto V que cumpla las dos siguientes operaciones se define como Espacio Vectorial:Suma de dos elementos:Producto por un nmero real:El conjunto de las matrices forman un espacio vectorial.n-Uplas de nmeros reales: Una coleccin de n nmeros reales dados en un cierto orden se llama n-upla. Tanto las filas como las columnas de las matrices son n-uplas de nmeros reales.Combinacin lineal de vectores: Dados

El vector formado porSe llama combinacin lineal de los vectores

Dependencia e independencia lineal:Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de ellos se puede poner como combinacin lineal de los dems.Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como combinacin lineal de los dems.El mximo nmero posible de n-uplas linealmente independientes es n.

2.6 RANGO DE UNA MATRIZLlamamos rango de una matriz al nmero de filas (o columnas) que son linealmente independientes.Teorema: En una matriz, el nmero de filas L.I. coincide con el nmero de columnas L.I. Segn esto, el rango de una matriz es el nmero de filas o de columnas L.I.Ejemplos:el mximo rango posible es 2

porque

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