Tema 6 Matrices y sistemas lineales.

Tema 6

Matrices y sistemas lineales.

6.1. Matrices y operaciones con matrices.

Definición 6.1 Una matriz real de orden m × n es una tabla ordenada de m × n números reales en la cual

las líneas horizontales reciben el nombre de filas y las verticales el de columnas

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

♣

Nota (Términos y notaciones)

Dos matrices son iguales si son del mismo orden y los elementos correspondientes son iguales.

El elemento situado en la fila i y en la columna j se denota por ai j, indicando el primer subíndice la

fila en la que está situado y el segundo la columna.

Una matriz genérica se denota por A = (ai j) ó A = (ai j)m,ni, j=1 y el conjunto de todas las matrices reales

de orden m × n se denota porMm×n(R).

Las matrices cuadradas tienen el mismo número de filas que columnas (con orden n es m = n) y la

diagonal principal la forman a11, a22, · · · , ann .

219

Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES

Las matrices de orden 1 × n reciben el nombre de matrices fila y las de orden m × 1 el de matrices

columna. ♣

▶ Aunque un vector deℜn es un segmento orientado determinado por su longitud, dirección y sentido

que se representa por la n-tupla correspondiente a las coordenadas cartesianas del vector trasladado al

origen, desde el punto de vista del Álgebra un vector no es más que una matriz columna

Ejemplo 6.2 3 −1 0

2 1/2 5

4 0 1

(

1 −1 2 0) 2

1

Matriz cuadrada (orden 3) Matriz fila (orden 4) Matriz columna (orden 2) ♣

Maxima 6.3 En Maxima un vector de ℜn se pueden representa mediante una lista. Sin embargo, las ma-

trices tienen que declararse como matrices y se construyen con el comando matrix aplicado a sus filas, que

es el que indica a Maxima que tenemos una matriz.

( % i1) u:[1,2,3]; /*vector*/

[1, 2, 3] (u)

( % i2) A:matrix ([a,b], [c, d]); /*matriz*/

a b

c d

(A)

( % i3) args(A); /*lista de listas*/

[[a, b], [c, d]] ( % o3)

( % i4) apply(’matrix,[[a,b],[c,d]]); /*matriz*/

a b

c d

( % o4)

Ejercicio 6.4 Determinar las matrices reales de orden 3 × 2 (3 filas y 2 columnas) definidas por

(a) ai j = i + j (b) bi j = (−1)i+ j (c) ci j = (1/2)i− j

Solución

(a) A =

2 3

3 4

4 5

(b) B =

1 −1

−1 1

1 −1

(c) C =

1 2

12 1

14

12

♣

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 220

http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html

TEMA 6. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES.

Maxima 6.5 En Maxima podemos construir una matriz mediante una fórmula basada en los subíndices del

elemento. En particular, aunque hay comandos para ello, podemos generar la matriz nula de orden m × n

(formada solo por ceros) y la matriz identidad de orden n (cuadrada y formada por unos en la diagonal

principal y ceros en el resto)

θ = (0)m,ni, j=1 I = (δi j)n,n

i, j=1 con δi j =

1 si i = j

0 si i , j

donde la función δi j recibe el nombre de delta de Kronecker y en Maxima el comando es kron_delta:

( % i2) genmatrix (lambda ([i, j], 0), 3, 2);

zeromatrix (3, 2)$ /*mejor opción*/

0 0

0 0

0 0

( % o2)

( % i4) genmatrix (lambda ([i, j], kron_delta(i,j)), 3, 3);

ident(3)$ /*mejor opción*/

1 0 0

0 1 0

0 0 1

( % o3)

Ejemplo 6.6 Una empresa posee 3 tiendas en las que se venden 4 productos. Las unidades de cada uno de

los 4 productos que la primera tienda tiene en existencia son 30, 20, 20 y 0; las de la segunda son 20, 30,

0 y 40; y las de la tercera son 10, 50, 20 y 20. Las existencias en cada tienda se pueden expresar mediante

una tabla ordenada de 3 × 4 números distribuidos en 3 filas y 4 columnas.

P1 P2 P3 P4

T1 30 20 20 0

T2 20 30 0 40

T3 10 50 20 20

En la tabla a14 = 0 indica que la primera tienda no tiene existencias del cuarto producto y a23 = 0 que la

segunda no tiene existencias del tercero. ♣

Ejemplo 6.7 (Tabla Input-Output) Si se divide el sistema económico de un territorio en n sectores produc-

tivos y se representa por xi, j el valor en unidades monetarias de las ventas efectuadas por el sector i al

sector j se obtiene una matriz que representa las interacciones entre los n sectores. En esta matriz conta-

Página 221 PROYECTO MATECO 3.14159



bilizamos por filas los bienes y servicios vendidos por cada sector u outputs y por columnas los bienes y

servicios adquiridos o inputs (cada xi,i de la diagonal principal es el valor de los productos del sector i que

utiliza el propio sector i en su producción)

1 2 . . . j . . . n

1 x1,1 x1,2 . . . x1, j . . . x1,n

2 x2,1 x2,2 . . . x2, j . . . x2,n

......

......

......

...

i xi,1 xi,2 . . . xi, j . . . xi,n

......

......

......

...

n xn,1 xn,2 . . . xn, j . . . xn,n ♣

Definición 6.8 (Suma de matrices) Sean A = (ai j), B = (bi j) ∈ Mm×n(R)

La matriz suma de A y B es la matriz real de orden m × n:

A + B = (ai j + bi j)m,ni, j=1. ♣

Obsérvese que la suma de matrices de ordenes distintos no está definida y que para poder sumar dos

matrices ambas tienen que tener el mismo tamaño.

Ejemplo 6.9

A =

1 2 0

3 −1 2

B =

0 1 4

2 3 −2

=⇒A + B =

1 + 0 2 + 1 0 + 4

3 + 2 −1 + 3 2 − 2

= 1 3 4

5 2 0

♣

Ejemplo 6.10 La compañía Refresquillos S.A. produce tres tipos de refrescos que vende en dos países. Las

ventas en miles de litros durante los dos semestres del año 2005 vienen dadas por las matrices:

A cola limón naranja

España 353 86 44

Portugal 81 50 31

B cola limón naranja

España 676 185 166

Portugal 324 157 107

La matriz correspondiente a las ventas del año completo es:




A + B cola limón naranja

España 1029 271 210

Portugal 405 207 138 ♣

Proposición 6.11 (Propiedades de la suma de matrices)

1. A + B ∈ Mm×n(R) ∀ A, B ∈ Mm×n(R) (operación interna).

2. A + (B +C) = (A + B) +C ∀A, B,C ∈ Mm×n(R) (asociativa)

3. La matriz nula de orden m × n definida por θ = (0)m,ni, j=1 verifica que

A + θ = θ + A = A ∀A ∈ Mm×n(R) (existencia del elemento neutro)

4. La matriz opuesta de A ∈ Mm×n(R) definida por −A = (−ai, j)m,ni, j=1 verifica que

A + (−A) = (−A) + A = θ (existencia del elemento opuesto)

5. A + B = B + A ∀A, B ∈ Mm×n(R) (conmutativa) ♣

Ejercicio 6.12

Sean A =

1 2 0

3 −1 2

, B =

1 3 4

5 2 0

y C =

0 −2 1

4 0 1

.Calcular

(a) A + B +C (b) A − (B −C)

Solución

(a) A + B +C =

2 3 5

12 1 3

(b) A − (B −C) =

0 −3 −3

2 −3 3

♣

Definición 6.13 (Producto de un escalar por una matriz) Sean A = (ai j) ∈ Mm×n(R) (matriz real) y

α ∈ R (número real o escalar).

La matriz producto de α por A es la matriz real de orden m × n:

α · A = αA = (αai j)m,ni, j=1. ♣




Ejemplo 6.14

α =12

A =

1 5

0 −1

2 3

=⇒ α · A =

12

112

5

12

012

(−1)

12

212

3

=

12

52

0 −12

132

♣

Ejemplo 6.15 La compañía Refresquillos S.A. produce tres tipos de refrescos que vende en dos países. Si

los precios de cada litro en 2005 venían dados por la matriz P y éstos experimentan una subida del 5 %, la

matriz 1.05 · P corresponde a los precios en 2006 (redondeados al céntimo).

P cola limón naranja

España 0.91 1.05 1.32

Portugal 1.00 1.10 1.21

1.05 · P cola limón naranja

España 0.96 1.10 1.39

Portugal 1.05 1.16 1.27 ♣

Ejercicio 6.16 Determinar con los datos del ejercicio 6.10 la matriz correspondiente a las ventas medias

mensuales de cada uno de los tres tipos de refrescos que produce la compañía Refresquillos S.A. en cada

uno de los dos países.

Solución112 (A + B) cola limón naranja

España 85.75 22.58 17.5

Portugal 33.75 17.25 11.5 ♣

Proposición 6.17 (Propiedades del producto de escalares por matrices)

Sean α, β ∈ R A, B ∈ Mm×n(R)

1. αA ∈ Mm×n(R) (operación externa).

2. (α + β)A = αA + βA (distributiva respecto a la suma de escalares).

3. α(A + B) = αA + αB (distributiva respecto a la suma de matrices).

4. α(βA) = (αβ)A (asociativa mixta).

5. 1A = A (buen comportamiento del elemento neutro de los escalares). ♣




Ejercicio 6.18

Sean A =

3 −1 0

2 1/2 5

4 0 1

, B =

1 2 0

3 −1 2

, C =

1 3 4

5 2 0

y D =

0 −2 1

−2 2 5/3

4 0 1

.Calcular

(a)−A + 2D (b) 2B − (3/2)C (c) 3A − 2B

Solución

(a)−A + 2D =

−3 −3 2

−6 7/2 −5/3

4 0 1

(b) 2B − (3/2)C =

1/2 −1/2 −6

−3/2 −5 4

(c) No es posible calcular 3A − 2B ♣

Definición 6.19 (Producto de una matriz fila por una matriz columna)

Sean a una matriz de orden 1 × n (matriz fila) y b una matriz de orden n × 1 (matriz columna).

El producto de la fila a por la columna b es el número real:

ab =(

a1 . . . an

)

b1

...

bn

= a1b1 + a2b2 + · · · + anbn.♣

Ejemplo 6.20

a =(

1 2 3)

b =

0

−1

2

=⇒ a b =(

1 2 3)

0

−1

2

= 1 · 0 + 2 · (−1) + 3 · 2 = 4

♣

Ejemplo 6.21 La compañía Ropacara S. A. ha vendido durante la campaña de navidad 100 pantalones

para niños, 210 para jóvenes, 150 para caballeros y 110 para señoras. Los respectivos precios en euros

son 20, 25, 40 y 35. El valor de las ventas es

(100 210 150 110

)

20

25

40

35

= 100 · 20 + 210 · 25 + 150 · 40 + 110 · 35 = 17.100 euros

♣




Definición 6.22 (Producto de matrices) Sean A = (ai j)m,ni,k=1 ∈ Mm×n(R) (matriz real de orden m × n) y

B = (bkl)p,qk, j=1 ∈ Mp×q(R) (matriz real de orden p × q) con n = p.

El producto de A por B es la matriz de orden m × q:

A · B = AB = (ci j)m,qi, j=1 donde ci j es el producto de la fila “i” de A por la columna “ j” de B. ♣

▶ Obsérvese que el producto AB sólo está definido si el número de columnas de A es igual al número

de filas de B y que, siempre y cuando esté definido, tiene tantas filas como A y tantas columnas como B.

Ejemplo 6.23

A =

1 2 0

1 3 1

B =

2 3 1

0 1 1

5 0 1

=⇒ A · B =

c11 c12 c13

c21 c22 c23

= 2 5 3

7 6 5

donde la matriz producto se obtiene multiplicando las filas de A por las columnas de B:

c11 =

(1 2 0

)

2

0

5

= 2 c12 =

(1 2 0

)

3

1

0

= 5 c13 =

(1 2 0

)

1

1

1

= 3

c21 =

(1 3 1

)

2

0

5

= 7 c22 =

(1 3 1

)

3

1

0

= 6 c23 =

(1 3 1

)

1

1

1

= 5

♣

Ejemplo 6.24 Las tres tiendas de la compañía Ropacara S.A. (T1, T2, T3) venden cuatro tipos de panta-

lones (P1, P2, P3, P4) que les suministran dos fabricas distintas (F1, F2). El número de pantalones que

necesita cada una de las tiendas viene dado por la matriz A y los precios de cada pantalones según el ca-

tálogo de los dos proveedores por la matriz B. El valor total del pedido de cada tienda en cada proveedor




viene dado por la matriz A B.

A P1 P2 P3 P4

T1 400 200 0 300

T2 0 100 200 100

T3 200 200 100 0

B F1 F2

P1 32 30

P2 10 12

P3 22 20

P4 16 18

A B F1 F2

T1 19.600 17.800

T2 7.000 7.000

T3 10.600 10.400

aik = cantidad que la tienda Ti necesita del pantalón Pk.

bk j = precio del pantalón Pk en el proveedor F j.

ci j = valor total del pedido de la tienda Ti al proveedor F j

donde ci j corresponde al producto de la fila i de A por la columna j de B:

ci j = ai1b1 j + ai2b2 j + ai3b3 j + ai4b4 j. ♣

Nota (Matriz identidad) La matriz cuadrada de orden n con unos en la diagonal principal y con ceros en

el resto recibe el nombre de matriz identidad de orden n

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · 1

Esta matriz se puede escribir como I = (δi j)n,ni, j=1 con δi j =

1 si i = j

0 si i , j ♣

Proposición 6.25 (Propiedades del producto de matrices)

1. A(BC) = (AB)C ∀A ∈ Mn×m(R), ∀B ∈ Mm×p(R) ∀C ∈ Mp×q(R) (asociativa)

2. A(B +C) = AB + AC ∀A ∈ Mn×m(R) ∀B,C ∈ Mm×p(R) (distributiva respecto a la suma).

3. AI = IA = A ∀A ∈ Mn×n(R) (existencia de elemento neutro para matrices cuadradas). ♣




Nota Las propiedades del producto de matrices son similares a las propiedades del producto de números.

Sin embargo, el producto de matrices no posee la propiedad conmutativa. Esto hace que las propiedades

de los números que proceden de la propiedad conmutativa no se cumplan. En particular, las fórmulas de las

potencias de un binomio no son ciertas para matrices. ♣

Ejercicio 6.26

Sean A =

1 2

−1 0

y B =

0 1

2 1

Calcular

(a) AB y BA (b) (A + B)(A − B) y A2 − B2 (c) (A + B)2 y A2 + 2AB + B2

Solución

(a) Obsérvese que AB , BA:

AB =

4 3

0 −1

BA =

−1 0

1 4

(b) Obsérvese que (A + B)(A − B) , A2 − B2:

(A + B)(A − B) =

−8 −2

−2 0

A2 − B2 =

−3 1

−3 −5

(c) Obsérvese que (A + B)2 , A2 + 2AB + B2:

(A + B)2 =

4 6

2 4

A2 + 2AB + B2 =

9 9

1 −1

♣

▶ Al cambiar el orden en el producto de dos matrices puede que la operación no se pueda hacer, puede

que las matrices sean distintas y puede que las dimensiones de las matrices cambien.

Ejemplo 6.27 Si multiplicamos una matriz fila de orden 1×n y una matriz columna de orden n×1 la matriz

A · B es un número y la matriz B · A es una matriz cuadrada de orden n × n:




• A · B =(

a11 a12 · · · a1n

)

b11

b21

...

bn1

= a11b11 + a12b21 + · · · a1nbn1

• B · A =

b11

b21

...

bn1

(

a11 a12 · · · a1n

)=

b11a11 b11a12 · b11a1n

b21a11 b21a12 · · · b21a1n

· · · · · ·. . . · · ·

bn1a11 bn1a12 · · · bn1a1n

♣

▶ El producto de la matriz cero por cualquier matriz es la matriz cero, pero no es el único caso en el

cual el producto es la matriz cero, ya que también puede serlo sin que ninguna sea cero.

Ejemplo 6.28 (θ · A = θ y AB = θ con A, B , 0) 0 0

0 0

0 0

2 3

= 0 0

0 0

1 0

2 0

0 0

2 3

= 0 0

0 0

♣

Definición 6.29 (Potencia de una matriz)

An = A ·n veces ·A ♣

Ejemplo 6.30

A =

1 3

1 1

=⇒ A3 =

10 18

6 10

♣

Ejercicio 6.31

Sean A =

0 1 0

0 0 1

0 0 0

, B =

1 0

0 0

y C =

cosθ senθ

senθ −cosθ

.Probar:

1. A3 = θ (A es nilpotente de orden 3)

2. B2 = B (B es idempotente)




3. C2 = I (C es involutiva)

Solución Es una simple comprobación. ♣

Definición 6.32 (Traspuesta de una matriz) Sea A = (ai j)m,ni, j=1 ∈ Mm×n(R)

La matriz traspuesta de A es la matriz que se obtiene al intercambiar filas por columnas

At = (a ji)n,mj,i=1. ♣

Ejemplo 6.33

A =

1 2 3

4 5 6

=⇒ At =

1 4

2 5

3 6

♣

Proposición 6.34 (propiedades de la trasposición de matrices)

a) Si A es d e orden m × n su traspuesta es de orden n × m

b) (At)t = A ∀A ∈ Mm×n(R).

c) (A + B)t = At + Bt ∀A, B ∈ Mm×n(R).

d) (αA)t = αAt ∀α ∈ R ∀A ∈ Mm×n(R).

e) (AB)t = Bt · At ∀A ∈ Mm×n(R) ∀B ∈ Mn×p(R). ♣

Ejercicio 6.35

Sean A =

1 2 −2

2 −1 4

−2 4 0

, B =

0 1 2

−1 0 −3

−2 3 0

y C =

0 −1 0

1 0 0

0 0 1

.Probar:

1. A = At (A es simétrica)

2. B = −Bt (B es antisimétrica)

3. C ·Ct = I (C es ortogonal)

Solución Es una simple comprobación (A simétrica, antisimétrica u ortogonal =⇒ A cuadrada). ♣




Ejercicio 6.36 Demostrar que se verifica

1. A + At simétrica ∀A ∈ Mn×n(R).

2. A − At antisimétrica ∀A ∈ Mn×n(R).

3. A · At es simétrica ∀A ∈ Mm×n(R).

Solución Es una simple comprobación. ♣

Maxima 6.37 Se pueden realizar las operaciones habituales con matrices, teniendo en cuenta que en Ma-

xima hay múltiples formas de operar que utilizan distintos signos o combinaciones de símbolos. Utilizamos

para la suma tanto de vectores como de matrices el signo “+”, para el producto escalar de vectores y el

producto de matrices el punto normal “.” y para la potencia de matrices el doble exponente “ ˆˆ ” (en este

ejemplo indicamos algunas operaciones que se realizan de forma distinta).

( % i1) u:[u1,u2];

[u1, u2] (u)

( % i2) v:[v1,v2];

[v1, v2] (v)( % i3) A:matrix ([a11,a12], [a21, a22]);

a11 a12

a21 a22

(A)

( % i4) B:matrix ([b11,b12], [b21, b22]);

b11 b12

b21 b22

(B)

( % i5) u+v; /*suma de vectores (=v+u) */

[v1 + u1, v2 + u2] ( % o5)

( % i6) A+B; /*suma de matrices (=B+A) */

b11 + a11 b12 + a12

b21 + a21 b22 + a22

( % o6)

( % i7) α+A; /*suma α a los elementos de A

(=A+α)*/

α + a11 α + a12

α + a21 α + a22

( % o7)

( % i8) u+A; /*fila i de A más coordenada i de u

(=A+u)*/;

u1 + a11 u1 + a12

u2 + a21 u2 + a22

( % o8)

( % i9) α*u; /*producto de

escalar por vector

(=u*α)*/

[u1α, u2α] ( % o9)

( % i10) u.v; /*producto escalar

de vectores

(=v.u)*/

u2 v2+ u1 v1 ( % o10)

( % i11) u*v; /*elemento a ele-

mento

(=v*u)*/

[u1 v1, u2 v2] ( % o11)




( % i12) A.u,u.A; /*producto de matriz por vector*/

a12 u2 + a11 u1

a22 u2 + a21 u1

,(a21 u2 + a11 u1 a22 u2 + a12 u1

)( % o12)

( % i13) A.B,B.A; /*producto de matrices*/

a12 b21 + a11 b11 a12 b22 + a11 b12

a22 b21 + a21 b11 a22 b22 + a21 b12

,a21 b12 + a11 b11 a22 b12 + a12 b11

a21 b22 + a11 b21 a22 b22 + a12 b21

( % o13)

( % i14) A*u; /*fila i de A por coordenada i de u

(=u*A)*/ a11 u1 a12 u1

a21 u2 a22 u2

( % o14)

( % i15) A*B; /*elemento a elemento

(=B*A)*/

a11 b11 a12 b12

a21 b21 a22 b22

( % o15)

( % i16) Aˆˆ2;/*potencia de matrices*/

a12 a21 + a112 a12 a22 + a11 a12

a21 a22 + a11 a21 a222 + a12 a21

( % o16)

( % i17) Aˆ2;/*elemento a elemento*/

a112 a122

a212 a222

( % o17)

Maxima 6.38 Las tres granjas de una cooperativa (G1, G2, G3) venden huevos de tres calidades distintas

(C1, C2, C3) a dos cadenas de supermercados (S 1, S 2). La producción de huevos de cada granja viene dada

por la matriz A y los precios de cada tipo de huevos en cada cadena por B:

A C1 C2 C3

G1 500 200 350

G2 170 250 100

G3 400 250 150

B C1 C2 C3

F1 1.25 1.00 0.75

F2 1.5 0.75 0.60

Determinar el valor de las ventas de cada granja en cada cadena si venden los huevos con un descuento

del 25 % con respecto a los precios de venta en el supermercado. ¿Con cuál de las cadenas le interesaría

firmar un contrato de exclusividad a cada granja? ♣




6.2. Determinantes de matrices cuadradas.

Para definir el determinante de una matriz cuadrada vamos a utilizar la fórmula de Leibniz en la que el

determinante es la suma de todos los productos de elementos de la matriz con un sólo elemento de cada

fila y un sólo elemento de cada columna, multiplicados por +1 ó -1 dependiendo de los subindices de los

elementos del producto. Este signo, +1 ó -1, recibe el nombre de signatura y se denota por sgn(σ).

Para determinar el signo ordenamos los elementos del producto con respecto al primer subíndice y

consideramos el segundo subindice, denotándolo por σi si el primero es i. De esta forma obtenemos una

permutación en el orden de los subindices 1, 2, · · · , n que se denota por σ:

σ = (σ1, σ2, . . . , σn)

El signo será +1 si la permutación se puede obtener con un número par de intercambios sucesivos de

elementos dos a dos (transposiciones) y -1 si este número es impar, distinguiendo entre permutaciones pares

e impares 1. ♣

Definición 6.39 (Fórmula de Leibniz) El determinante de una matriz cuadrada A ∈ Mn×n(R) se denota

por det(A) o |A| y se define

det(A) =∑σ∈Pn

sgn(σ)a1,σ1 · a2,σ2 · · · an,σn

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciones de los n primeros números (el número de permu-

taciones pares e impares es el mismo). ♣

Para calcular un determinante mediante la fórmula de Leibniz hay que calcular una suma con n! suman-

dos, cada uno producto de n factores y en el que hay que determinar su signatura. Sólo la usaremos en la

práctica para órdenes pequeños en los que existen reglas nemotécnicas para recordarlos (n ≤ 3).

Si la matriz es de orden 1 el determinante es el número (no es el valor absoluto)

1Una permutación es par si puede ser obtenida con un número par de intercambios sucesivos e impar si este número es impar(aunque el número de intercambios sucesivos en los que se puede descomponer no es único si lo es su paridad). La signaturatambién se puede definir considerando que un par de elementos de la permutación forman una inversión si el número mayorprecede al menor, en cuyo caso una perputación es par si su número total de inversiones es par e impar si este numero es impar.




Si es de orden 2 su determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la diagonal

secundaria; ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Si A es una matriz de orden 3 su determinante sigue la regla de Sarrus:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.

Ejemplo 6.40

(a) det(−2) = −2

(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2

3 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−4) − (−2) · 3 = −4 + 6 = 2

(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 3

3 −2 4

0 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 · (−2) · 3 + (−2) · 4 · 0 + 3 · 3 · 1 − 3 · (−2) · 0 − (−2) · 3 · 3 − 1 · 4 · 1 = 17

♣

Maxima 6.41 Maxima calcula el determinante directamente con el comando determinat(A). ♣

Para calcular el determinante de una matriz de orden 4 no existe ninguna fórmula fácil de recordar y se

utiliza una forma alternativa que nos permite reducir su cálculo al cálculo de determinantes de orden inferior

de manera recursiva (diremos que el determinante se calcula por adjuntos).




Teorema 6.42 (Teorema de Laplace) El determinante de A ∈ Mn×n(R) con n > 1 se puede calcular

desarrollándolo por los adjuntos de la fila i

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 · · · a1 j · · · a1n

......

...

ai1 · · · aij · · · ain

......

...

an1 · · · an j · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + aijAin · · · + ainAin.

donde el adjunto de ai j es Ai j = (−1)i+ jMi j con Mi j su menor complementario, correspondiente al determi-

nante de la submatriz de orden n − 1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j de A

Ai j = (−1)i+ jMi j = (−1)i+ j

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 · · · a1 j · · · a1n

......

...

ai1 · · · ai j · · · ain

......

...

an1 · · · an j · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ♣

Observación El valor del determinante no depende de la fila elegida para su cálculo y también se puede

calcular por los adjuntos de una columna: det(A) = a1 jA1 j + a2 jA2 j + · · · + an jAn j. ♣

Ejercicio 6.43 Comprobar la regla de Sarrus desarrollando por los adjuntos de la primera fila.

Solución

El menor complementario de a11 es M11 y su adjunto A11 = (−1)1+1M11 = a22a33 − a23a32

El menor complementario de a12 es M12 y su adjunto A12 = (−1)1+2M12 = −(a21a33 − a23a33)

El menor complementario de a13 es M13 y su adjunto A13 = (−1)1+3M13 = a21a32 − a22a31




det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a33) + a13(a21a32 − a22a31) =

a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31. ♣

Proposición 6.44 (Propiedades del determinante) Sea A ∈ M(R)n×n (matriz cuadrada de orden n).

a) det(A) = det(At) (las propiedades son válidas intercambiando el papel de filas y columnas).

b) Si B se obtiene multiplicando una fila por α ∈ R |B| = α|A| (por tanto |αA| = αn|A|).

c) Si una fila de se descompone en suma de dos filas y se forman dos matrices A1 y A2 con el resto de

las filas iguales |A| = |A1| + |A2|

d) Si B se obtiene de A por intercambio de dos filas consecutivas |B| = −|A|.

e) Si A tiene dos filas iguales o una es múltiplo de la otra |A| = 0.

f) Si B se obtiene sumando a una fila otra fila distinta multiplicada por un escalar |B| = |A| ♣

Ejemplo 6.45 Desarrollamos un determinante por la primera fila se tiene∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 12 −1 0

1 0 5 6

0 3 0 0

0 4 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 5 6

3 0 0

4 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣− 12

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 5 6

0 0 0

0 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 6

0 3 0

0 4 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣− 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 5

0 3 0

0 4 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −150.

Obsérvese que el calculo del determinante es más corto desarrollanándolo por la tercera fila. De he-

cho, un procedimiento que se utiliza para calcular un determinante es transformar la matriz en otra cuyo

determinante coincida y cuyo cálculo sea más sencillo (método de Gauss):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 12 −1 0

1 0 5 6

0 3 0 0

0 4 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)3+23

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 −1 0

1 5 6

0 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −150.

♣

En el método de Gauss el objetivo es utilizar las propiedades de los determinantes para transformar en

ceros todos elementos de una fila/columna menos uno sin que cambie el valor del determinante. Posterior-

mente se desarrolla el determinante por esta fila/columna. En general se parte de un elemento distinto de




cero que recibe el nombre de pivote. Si vamos a hacer ceros por columnas, la columna en la que está el

pivote recibe el nombre de columna objetivo y la fila el de fila del pivote (la posición recibe el nombre

de posición del pivote). El método de Gauss consiste en combinarla con las otras filas de forma que todos

los elementos de la columna objetivo menos el pivote sean cero. Como el valor del determinante no cambia

podemos calcular este determinante como el producto de un número por un determinante de orden inferior.

Ejemplo 6.46 En este primer caso el pivote es el elemento a11 = 1 y transformamos en ceros los elemento

de la columna objetivo restando a cada fila la fila del pivote multiplica por su primer elemento (en general

hay que multiplicar por el elemento de la fila del pivote dividido por el pivote).

Columna objetivo

↓∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −1 0

−1

0

2

0 1 2

2 3 0

1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

← Fila del pivote

El elemento en la posición 2.1. se transforma en cero restando a la fila 2 la fila del pivote multiplica

por a21 = −1 (lo que corresponde a sumar la fila).

El elemento a31 ya es cero, por lo que no tenemos que transformarlo.

El elemento en la posición 2.1. se transforma en cero restando a la fila 4 la fila del pivote multiplica

por a41 = 2 (lo que corresponde a sumar la fila multiplicada por −2).

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −1 0

−1 0 1 2

0 2 3 0

2 1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣F2 + F1 →

F4 − 2F1 →

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −1 0

0 2 0 2

0 2 3 0

0 −3 3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 2

2 3 0

−3 3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 18

♣




Ejercicio 6.47 Calcular por el método de Gauss

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2 −1 0

−1 0 1 2

0 2 3 0

1 1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Solución

♦ Opción 1 El pivote va a ser a11 = 3 y la columna objetivo en la que vamos a “hacer ceros” la columna

1 (la fila del pivote será la fila 1):

Transformamos los elemento de la columna objetivo en ceros restando a la fila correspondiente la fila

del pivote multiplica por un número adecuado (el determinante no cambia por la propiedad 5):

Restamos a la fila 2 la fila del pivote multiplica por a21a11= −1

3 .

El elemento a31 ya es cero, por lo que no tenemos que transformarlo.

Restamos a la fila 4 la fila del pivote multiplica por a41a11= 1

3 .∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2 −1 0

−1 0 1 2

0 2 3 0

1 1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣F2 +

13 F1 →

F4 −13 F1 →

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2 −1 0

0 23

23 2

0 2 3 0

0 13

43 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 3 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣23

23 2

2 3 0

13

43 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 6

♦ Opción 2 Si trasladamos el elemento a23 = 1 a la posición del pivote evitamos el uso de fracciones

Como está en la columna 3 y queremos llevarlo a la columna 1 hay que realizar dos cambios entre

columnas consecutivas, que suponen dos cambios de signo (propiedad 3)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2 −1 0

−1 0 1 2

0 2 3 0

1 1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= C2 ×C3 = −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 −1 2 0

−1 1 0 2

0 3 2 0

1 1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= C1 ×C2 = +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 3 2 0

1 −1 0 2

3 0 2 0

1 1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣PROYECTO MATECO 3.14159 Página 238



Como está en la fila 2 y queremos llevarlo a la fila 1 hay que realizar un cambio entre filas consecuti-

vas, que supone un cambio de signo (propiedad 3)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 3 2 0

1 −1 0 2

3 0 2 0

1 1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= F1 × F2 = −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 2

−1 3 2 0

3 0 2 0

1 1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣A continuación procedemos como antes.

♦ Opción 3 Se puede calcular el determinante trabajando con un elemento que no esté en la posición 1.1,

como ejemplo vamos a utilizar el elemento a23 = 1 como pivote para hacer ceros en la columna 3 restando

múltiplos de la fila 2 a las filas 1, 3 y 4 (al estar en la posición 2.3 hay que multiplicar luego el determinante

por (−1)2+3):∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2 −1 0

−1 0 1 2

0 2 3 0

1 1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

F1 + F2 →

F3 − 3F2 →

F4 − F2 →

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 2 0 2

−1 0 1 2

3 2 0 −6

2 1 0 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)2+3 · 1 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 2 2

3 2 −6

2 1 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 6

♣

Definición 6.48 Sea A ∈ Mn×n(R) (matriz cuadrada de orden n).

La matriz inversa de A es una matriz, denotada por A−1, tal que A · A−1 = A−1 · A = In. ♣

Teorema 6.49 Sea A ∈ Mn×n(R) (matriz cuadrada de orden n).

A tiene inversa si y sólo si det(A) , 0. En este caso

A−1 =1

det(A)Adj(A)t

donde Adj(A) es la matriz adjunta, formada por los adjuntos de los elementos de A. ♣




Ejemplo 6.50 Calcular la matriz inversa de

A =

2 1 −1

0 2 0

1 −1 3

B =

−1 1

2 −2

Solución

(a) En primer lugar tenemos que ver si existe, calculando el determinante de A:

|A| = 14 , 0 =⇒ ∃A−1

Una vez comprobado que existe, calculamos la matriz de los adjuntos:

A11 = +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 0

−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6 A12 = −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 0

1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 A13 = +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 2

1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2

A21 = −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1

−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2 A22 = +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1

1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 7 A23 = −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1

1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 3

A31 = +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1

2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 A32 = −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1

0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 A33 = +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1

0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4

Por tanto

Adj(A) =

6 0 −2

−2 7 3

2 0 4

Por último, calculamos la matriz inversa:

A−1 =1

det(A)Adj(A)t =

114

6 −2 2

0 7 0

−2 3 4

=

37−

17

17

012

0

−17

314

27




(b) B no tiene inversa, ya que, |B| = 0 ♣

Ejemplo 6.51 Calcular la inversa de

(a) A =

3 5

1 2

(b) B =

−3 1

2 −2

(c) C =

−1 0

−2 −1

Solución

A−1 =

2 −5

−1 3

B−1 =

−1/2 −1/4

−1/2 −3/4

C−1 =

−1 0

2 −1

♣

Ejemplo 6.52 Calcular la inversa de

(a) A =

1 −1 1

2 1 2

0 0 1

(b) B =

1 −1 1

2 1 −2

−1 −2 3

Solución

Como |A| = 3 , 0 tenemos A−1 =1

det(A)Adj(A)t =

13

1 1 −3

−2 1 0

0 0 3

=

1/3 1/3 −1

−2/3 1/3 0

0 0 1

B no tiene inversa, ya que, |B| = 0. ♣

Maxima 6.53 Maxima calcula la inversa de una matriz cuadrada con el comando invert(A) o escribiendo

Aˆˆ-1 siempre y cuando su determinante sea distinto de cero (también podemos obtener la matriz adjunta

traspuesta con el comando adjoint (A)). ♣

6.3. Rango de una matriz.

Definición 6.54 Sea A ∈ Mm×n(R).

Un menor de orden h de A es el determinante de una submatriz cuadrada de orden h que resulta de

suprimir filas y/o columnas de A. ♣

Ejemplo 6.55 A la primera submatriz marcada le corresponde un menor de orden 2 (resulta de suprimir

la fila 3 y las columnas 2 y 4), pero a la segunda no le corresponde ningún menor (no resulta de suprimir

filas y columnas)




2

3

4

0

1

5

2

3

0 3 0 7

2 4 1 2

3 0 5 3

0 3 0 7

♣

Definición 6.56 (rango de una matriz) Sea A ∈ Mm×n(R).

La matriz A tiene rango r, rg(A) = r, si existen menores de orden r distintos de cero y todos los

menores de orden superior a r son cero.

Cuando A tiene rango r, cualquier menor de orden r distinto de cero recibe el nombre de menor

principal de A. ♣

Maxima 6.57 Maxima calcula directamente el rango de una matriz cualquiera con el comando rank(A)

pero no tiene un comando para obtener un menor principal ni distingue los distintos casos que aparecen

en una matriz con parámetros. ♣

Ejemplo 6.58 Calcular el rango de 2 1 3 4

1 1 2 3

3 2 5 7

Solución

hay menores de orden 2 distintos de cero, por ejemplo:

2 1

1 1

3 4

2 3

3 2 5 7

con

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1

1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 , 0

2 1 3 4

1 1 2 3

3 2 5 7

con

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 4

3 7

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 , 0

suprimimos las columnas 3 y 4 y la fila 3 suprimimos las columnas 2 y 3 y la fila 2




todos los menores de orden 3 son iguales a cero (la comprobación se deja como ejercicio):

2 1 3

1 1 2

3 2 5

4

3

7

2 1

1 1

3 2

3

2

5

4

3

7

2

1

3

1

1

2

3 4

2 3

5 7

2

1

3

1 3 4

1 2 3

2 5 7

suprimida la col. 4 suprimida la col. 3 suprimida la col. 2 suprimida la col. 1

El rango de la matriz es 2 y cualquiera de los menores de orden 2 distintos de cero es un menor principal.♣

Ejemplo 6.59 Una matriz cuadrada de orden n con determinante distinto de cero tiene rango n, ya que no

hay menores de orden superior. En este ejemplo el determinante no es cero y, por tanto, el rango es 3:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 1 2

5 −4 3

2 −5 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, 0 =⇒ rg

3 1 2

5 −4 3

2 −5 2

= 3

♣

Como los menores de At son los traspuestos de los menores de A y el determinante no cambia al tras-

ponerlos, todas las afirmaciones sobre el rango son válidas intercambiando el papel de filas y columnas. En

particular, el rango de una matriz y su traspuesta son iguales.

Proposición 6.60 Sea A ∈ Mm×n(R) rg(A) = rg(At). ♣

Definición 6.61 Sean A ∈ Mm×n(R) y M un menor de A de orden h.

El menor de orden h+ 1 cuyas filas son las de M más la fila p de A y cuyas columnas son las de M más

la columna q de A se dice que se obtiene al orlar M con la fila p y la columna q. ♣

Ejemplo 6.62 Menores que se obtienen al orlar el menor marcado de una matriz:




1 2

0 1

3 1

0 0

2 1

0 0

6 2

1 0

1 2

0 1

3 1

0 0

2 1

0 0

6 2

1 0

1 2

0 1

3 1

0 0

2 1

0 0

6 2

1 0

1 2

0 1

3 1

0 0

2 1

0 0

6 2

1 0

fila 3 y columna 3 fila 3 y columna 4 fila 4 y columna 3 fila 4 y columna 4∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2

0 1

3

0

2 1 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2

0 1

1

0

2 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2

0 1

3

0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2

0 1

1

0

0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

Proposición 6.63 Sean A ∈ Mm×n(R) y M un menor de A de orden h no nulo.

Si son nulos todos los menores de orden h + 1 que se forman orlando M con una fila y cada una de las

columnas que no son de M entonces esta fila es combinación lineal de las filas de M. ♣

Nota Las filas y columnas que forman parte de un menor principal son linealmente independientes (si

fuesen combinación lineal unas de otras el menor sería nulo y no sería un menor principal). A su vez, las

filas y columnas que no forman parte del menor principal son combinación lineal de las filas y columnas que

sí forman parte de él (todos los menores de orden superior son cero). De este modo, el rango corresponde

al número de filas y columnas linealmente independientes. ♣

Ejemplo 6.64 Calcular el rango de la matriz del ejemplo 6.62.

Solución

Como los dos menores que se obtienen al orlar con la tercera fila son nulos esta fila es combinación de

las anteriores. Sin embargo, la cuarta es independiente ya que el menor del que forma parte es distinto de

cero. Por tanto, el rango de la matriz es tres y este menor es un menor principal.

Obsérvese que, a pesar de haber trabajado con filas, podemos afirmar que la primera, segunda y cuarta

columnas son independientes y que la tercera es una combinación lineal de éstas. ♣

Cálculo del rango de una matriz determinando un menor principal:




Se considera un menor de orden h distinto de 0, M.

Se orla M con una fila de A y con las restantes columnas de A (de una en una).

Op1 Si alguno de estos menores es distinto de 0 tenemos un menor de orden h + 1 con el que se

repite el procedimiento desde el principio (el rango será al menos h + 1).

Op2 Si todos estos menores son 0 se suprime la fila y se repite el procedimiento con la siguiente fila

de la matriz (la fila suprimida es combinación lineal de las que forman el menor M).

Ejemplo 6.65 Calcular el rango de las siguientes matrices

(a) A =

1 0 −1 1 2

0 1 −2 1 1

1 1 −3 −2 3

0 −1 2 0 −1

(b) A =

1 3 −1 2

1 3 −1 2

2 6 −2 4

(c) A =

1 2 −1 0

2 −2 0 1

−1 0 −1 1

1 1 1 1

Solución

(a) En primer lugar, como vamos a analizar sus filas, buscamos un menor de orden 2 distinto de cero que

nos permita afirmar que las filas de las que forma parte son linealmente independientes.

A =

1 0

0 1

−1 1 2

−2 1 1

1 1

0 −1

−3 −2 3

2 0 −1

Para analizar la tercera fila orlamos el menor con la tercera columna (y la tercera fila)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

−1

−2

1 1 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0




Como es cero, no podemos afirmar nada y orlamos el menor con la cuarta columna (y la tercera fila)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

1

1

1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −1 , 0

Como es distinto de cero, podemos afirmar que las tres primeras filas son independientes y que el rango

de la matriz es al menos tres.

A =

1 0

0 1

1 1

−1

−2

−3

1

1

−2

2

1

3

0 −1 2 0 −1

Para analizar la cuarta fila orlamos el menor con la tercera columna (y la cuarta fila)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0

0 1

1 1

−1

−2

−3

1

1

−2

0 −1 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

Como es cero, no podemos afirmar nada y orlamos con la quinta columna (y la cuarta fila)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0

0 1

1 1

1

1

−2

2

1

3

0 −1 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

Como también es cero y es el último posible, la cuarta fila es combinación lineal de las del menor y se

puede suprimir para el cálculo del rango. Al no quedar más filas, el último menor de orden 3 que habíamos

encontrado es un menor principal de la matriz y el rango es 3.

(b) El rango de la matriz es uno, ya que todas las filas (y columnas) son múltiplos de la primera.

(c) El rango es cuatro pues su determinante es distinto de cero (filas y columnas son independientes). ♣




6.4. Sistemas de ecuaciones lineales.

Definición 6.66 Sea (⋆) el sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas (cuyas ecuaciones sólo tienen

términos de primer orden)

(⋆)

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

La expresión matricial del sistema, A X = b, es:

(⋆)

A︷︸︸︷

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

...


X︷︸︸︷

x1

x2

...

xn

=

b︷︸︸︷

b1

b2

...

bm

∗ La matriz A recibe el nombre de matriz de coeficientes.

∗ El vector X recibe el nombre de vector de incógnitas.

∗ El vector b recibe el nombre de vector de términos independientes.

La matriz ampliada, que recoge toda la información del sistema, es

A = (A|b) =

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2

......

. . ....

...

am1 am2 · · · amn bm




Una solución del sistema es un vector x∗ = (x∗1, x∗2, · · · , x

∗n) tal que al sustituir x1 por x∗1, x2 por x∗2,

· · · , xn por x∗n se verifican todas las ecuaciones simultáneamente, es decir, tal que A x∗ = b:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

...


x∗1

x∗2...

x∗n

=

b1

b2

...

bm

El conjunto de soluciones del sistema es el conjunto formado por todas sus soluciones.

En la expresión vectorial interpretamos las incógnitas como los coeficientes que permiten expresar

el vector de términos independientes como combinación de las columnas de A:

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b ♣

Ejemplo 6.67 En el sistema 3x + y − z = 1

2x − y + 2z = 1

La expresión matricial, A X = b, es

3 1 −1

2 −1 2

x

y

z

= 1

1

La matriz ampliada A = (A|b) es 3 1 −1 1

2 −1 2 1

Una soluciones del sistema es x∗ = (0, 3, 2) ya que

3 1 −1

2 −1 2

0

3

2

= 1

1

♣

Definición 6.68 Sea (⋆) un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.




El sistema es compatible determinado si tiene una única solución.

El sistema es compatible indeterminado si tiene solución pero ésta no es única.

El sistema es incompatible si no tiene solución. ♣

Ejemplo 6.69 Estudiar la compatibilidad de los siguientes sistemas (es decir, estudiar si son compatibles

determinados, compatibles indeterminados o incompatibles). Si es posible, determinar sus soluciones por

el método de sustitución.

(1)

x + y = 2

x − y = 0(2)

x + y = 2

2x + 2y = 4(3)

x + y = 2

x + y = 1

Solución

(a) El sistema tiene una única solución (sistema compatible determinado), ya que al despejar y de la

primera ecuación y sustituirla en la segunda obtenemos un único valor de x al que corresponde un

único valor de y

x + y = 2 =⇒ y = 2 − x y = 2 − 1 = 1

x − y = 0 x − (2 − x) = 0 =⇒ x = 1

=⇒ x∗ = (1, 1)

(b) El sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado), ya que al despejar y de

la primera ecuación y sustituirla en la segunda obtenemos una identidad (la segunda ecuación es

redundante pues es la misma ecuación multiplicada por dos).

x + y = 2 =⇒ y = 2 − x

2x + 2y = 4 2x + 2(2 − x) = 4 =⇒ 0 = 0

Como tenemos una ecuación y dos variables, una de las variables del sistema dependen de la otra y

podemos considerar que, por ejemplo, la variable x actúa como parámetro:

x = α

x + y = 2 =⇒ y = 2 − x = 2 − α

=⇒ x∗ = (α, 2 − α) α ∈ R




(c) El sistema no tiene solución (sistema incompatible), ya que al despejar y de la primera ecuación y

sustituirla en la segunda obtenemos una contradicción (no se verifican simultáneamente).

x + y = 2 =⇒ y = 2 − x

x + y = 1 x + (2 − x) = 1 =⇒ 0 = −1 →← ♣

Teorema 6.70 (Teorema de Rouché-Frobenius) El sistema (⋆) es compatible si y sólo si

rg(A) = rg(A).

Además si el rango coincide con el número de incógnitas tiene solución única y si no coincide la

solución depende de n − r parámetros, donde n es el número de incógnitas y r el rango de A. ♣

Nota Esto hace que tengamos los siguientes casos

rg(A) = rg(A) = número de incógnitas Sistema Compatible Determinado.

rg(A) = rg(A) < número de incógnitas Sistema Compatible Indeterminado.

rg(A) , rg(A) Sistema Incompatible. ♣

Ejemplo 6.71 Estudiar la compatibilidad de los siguientes sistemas.

(a)

x − y + z − t = 1

x + y + z + t = 0

2x + 2z = 1

x + y + z − t = 1

(b)

x − y + z − t = 0

x + y + z + t = 0

2x + 2z = 1

x + y + z − t = 0

(c)

x − y + z − t = 1

x + y + z + t = 0

z = 1

x + y + z − t = 1

Solución

(a) Estudiamos si rg(A) = rg(A):

rg

1 −1 1 −1

1 1 1 1

2 0 2 0

1 1 1 −1

= rg

1 −1 1 −1 1

1 1 1 1 0

2 0 2 0 1

1 1 1 −1 1

= 3

Sistema compatible indeterminado cuya solución depende de un parámetro (r = 3, n = 4 y n− r = 1).




(b) Estudiamos si rg(A) = rg(A):

rg

1 −1 1 −1

1 1 1 1

2 0 2 0

1 1 1 −1

= 3 , 4 = rg

1 −1 1 −1 0

1 1 1 1 0

2 0 2 0 1

1 1 1 −1 0

El sistema es incompatible (rg(A) , rg(A))

(c) Estudiamos si rg(A) = rg(A):

rg

1 −1 1 −1

1 1 1 1

0 0 1 0

1 1 1 −1

= rg

1 −1 1 −1 1

1 1 1 1 0

0 0 1 0 1

1 1 1 −1 1

= 4

El sistema es compatible determinado (r = 4, n = 4 y, por tanto, n = r). ♣

Nota Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero (b = θ). Estos sistemas

siempre tiene como solución la solución trivial x∗ = (0, 0, · · · , 0) y, por tanto, siempre son compatibles.

♦ Si rg(A) = n el sistema es compatible determinado y su única solución es la solución trivial.

♦ Si rg(A) = r < n el sistema es compatible indeterminado y además de la trivial tiene infinitas soluciones

que dependen de n − r parámetros. ♣

Ejemplo 6.72 Estudiar la compatibilidad de los siguientes sistemas homogéneos

(a)

x + y + z = 0

x + 2y − z = 0

x + 3y + z = 0

(b)

x + y + 2z = 0

x + 2y + 3z = 0

x + 3y + 4z = 0

Solución

rg

1 1 1

1 2 −1

1 3 1

= 3 (número de variables) rg

1 1 2

1 2 3

1 3 4

= 2 < 3 (número de variables)

(a) Sistema compatible determinado con única solución x = y = z = 0




(b) Sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. ♣

▶ Para resolver un sistema en primer lugar estudiamos si es compatible y, si lo es, determinamos un

menor principal de la matriz de coeficientes (este menor principal también es un menor principal de la

matriz ampliada). Partiendo de este menor, de orden r = rg(A), suprimimos las ecuaciones que quedan

fuera del menor principal (filas) y consideramos como parámetros las incógnitas que quedan fuera del menor

principal (columnas). El sistema que queda tiene r ecuaciones, r incógnitas y depende de n − r parámetros

y se puede resolver por cualquiera de los métodos clásicos de resolución que veremos posteriormente.

Ejemplo 6.73 Resolver los siguientes sistemas

(a)

2x − y + 2z + t = 4;

x + y + z + 2t = 2(b)

x1 + x3 = 0

x2 + x3 = 0

x1 + x2 + 2x3 = 0

Solución

(a) En primer lugar estudiamos si es compatible, para lo que consideramos la matriz ampliada del sistema y

determinamos si su rango coincide con el rango de la matriz del sistema que nos da el número de ecuaciones

independientes.

nº de ecuaciones independientes = rg

2 −1 2 1 4

1 1 1 2 2

= 2

En este caso las dos ecuaciones son independientes y dos de las cuatro variables del sistema dependen de

las otras y tendremos dos parámetros, que serán las variables que quedan fuera del menor:

z = α, t = β con α, β ∈ R.

▶ Sustituimos los parámetro en las ecuaciones y resolvemos el sistema:

2x − y + 2α + β = 4 =⇒ y = 2x + 2α + β − 4 =⇒ y = −β + 8

x + y + α + 2β = 0 =⇒ x = −α − β + 6




▶ Al ordenar todas las variables se obtiene la solución

x = 6 − α − β

y = 8 − β

z = α

t = β

α, β ∈ R.

(b) Como el sistema es homogéneo tiene solución trivial y tenemos que ver si es o no única.

♦ El rango de la matriz nos da el número de ecuaciones implícitas linealmente independientes:

nº de ecuaciones implícitas l.i. = rg(A) = rg

1 0 1

0 1 1

1 1 2

= 2

▶ Eliminamos las ecuaciones implícitas dependientes:

F :

x1 + x3 = 0

x2 + x3 = 0

♦ Determinamos el número de parámetros (como hay dos ecuaciones implícitas independientes dos de las

tres variables dependen de la otra)

nº de variables -nº de ecuaciones independientes = n − rg(A) = 3 − 2 = 1

▶ La variable que queda fuera del menor que determina el rango actúa como parámetro:

x3 = α con α ∈ R.

♦ Sustituimos el parámetro en las ecuaciones implícitas y resolvemos el sistema:

x1 + x3 = 0 =⇒ x1 + α = 0 =⇒ x1 = −α

x2 + x3 = 0 =⇒ x2 + α = 0 =⇒ x2 = −α




▶ Al ordenar todas las variables se obtiene la solución:

x1 = −α

x2 = −α

x3 = α

α ∈ R.

♣

Maxima 6.74 Para resolver un sistema lineal utilizaremos el comando solve que distingue si el sistema es

incompatible o compatible. Si es compatible también distingue si es determinado o indeterminado, en cuyo

caso introduce los parámetros necesarios.

( % i1) sist:[2*x+2*y+5*z=21,2*x-y+z=6];

[5z + 2y + 2x = 21, z − y + 2x = 6] (sist)

( % i6) sist:[2*x+2*y+5*z=21,2*x+2*y+5*z=6];

[5z+2y+2x = 21, 5z+2y+2x = 6] (sist)

( % i4) A:coefmatrix(sist,[x,y,z]);

Aamp:augcoefmatrix(sist,[x,y,z]);

if rank(A)=rank(Aamp) then

’numpar=length(A[1])-rank(A);

2 2 5

2 −1 1

(A)

2 2 5 −21

2 −1 1 −6

(Aamp)

numpar = 1 ( % o4)

( % i9) A:coefmatrix(sist,[x,y,z]);

Aamp:augcoefmatrix(sist,[x,y,z]);

if rank(A)=rank(Aamp) then

’numpar=length(A[1])-rank(A);

2 2 5

2 2 5

(A)

2 2 5 −21

2 2 5 −6

(Aamp)

false ( % o9)

( % i5) solve(sist,[x,y,z]);

[[x = −7 %r1 − 33

6,

y = −4 %r1 − 15

3,

z = %r1]]

( % o5)

( % i10) solve(sist,[x,y,z]);

[] ( % o10)

El parámetro utilizado en el primer sistema es z = %r1 y lo introduce Maxima numerando los paráme-

tros que aparecen en cada sesión de manera sucesiva. ♣




6.5. Métodos clásicos de resolución de sistemas lineales.

Resolución de sistemas por el método de sustitución.

Despejamos una variable de la primera ecuación y la sustituimos en el resto de ecuaciones.

∗ Si aparece una ecuación redundante se elimina

∗ Si aparece una contradicción el sistema no tiene solución.

Se repite el proceso con el sistema obtenido hasta que tenemos una única ecuación.

En la última ecuación despejamos una variable, considerando que son parámetros las variables que

no han sido despejadas previamente.

Volvemos hacia atrás para obtener el valor de las variables que habíamos despejado. ♣

Ejemplo 6.75 Resolver por el método de sustitución

(a)

2x − y − z − t = −2

5x − 2y − 2z − 2t = 0

6x − 3y − 3z − 3t = −6

3x − y − z − t = 2

(b)

2x − y − z − t = −1

2x + y + z + 2t = 6

6x + y − 3z − 2t = 2

4x − 2y − 2z − 2t = −2

Solución

(a) Despejamos t de la primera ecuación y la sustituimos en el resto (obtenemos un sistema con tres ecua-

ciones y tres incógnitas):

2x − y − z − t = −2 =⇒ t = 2x − y − z + 2

=⇒

5x − 2y − 2z − 2t = 0 ⇔ 5x − 2y − 2z − 2(2x − y − z + 2) = 0 ⇔ x = 4

6x − 3y − 3z − 3t = −6 ⇔ 6x − 3y − 3z − 3(2x − y − z + 2) = −6 ⇔ 0 = 0

3x − y − z − t = 2 ⇔ 3x − y − z − (2x − y − z + 2) = 2 ⇔ x = 4

Se eliminan las dos últimas ecuaciones, ya que la segunda es una identidad y la tercera redundante.

Como se obtiene una única ecuación las variables que no han sido despejadas previamente y no aparecen

en la ecuación actuarán como parámetros

y = α z = β con α, β ∈ R




Volvemos hacia atrás para obtener el valor de todas las variables (dependen de α y β):

x = 4

y = α

z = β

t = 2x − y − z + 2 =⇒ t = −α − β + 10

Por tanto, la solución del sistema en forma de vector es x∗ = (4, α, β,−α − β + 10)

(b) Despejamos t de la primera ecuación y la sustituimos en el resto:

2x − y − z − t = −1⇔ t = 2x − y − z + 1

2x + y + z + 2t = 6

6x + y − 3z − 2t = 2

4x − 2y − 2z − 2t = −2

⇔

2x + y + z + 2(2x − y − z + 1) = 6⇔ 6x − y − z = 4

6x + y − 3z − 2(2x − y − z + 1) = 2⇔ 2x + 3y − z = 4

4x − 2y − 2z − 2(2x − y − z + 1) = −2⇔ 0 = 0

Eliminamos la tercera ecuación y repetimos el proceso hasta tener una única ecuación:

6x − y − z = 4 =⇒ z = 6x − y − 4

2x + 3y − z = 4 2x + 3y − (6x − y − 4) = 4⇔ y = x

Consideramos que la variable x actúa como parámetro x = α con α ∈ R:

Volvemos hacia atrás para obtener las variables que hemos despejado (dependen de α):

x = α

y = x =⇒ y = α

z = 6x − y − 4 =⇒ z = 5α − 4

t = 2x − y − z + 1 =⇒ t = −4α + 5

Por tanto, la solución del sistema en forma de vector es x∗ = (α, α, 5α − 4,−4α + 5). ♣

Resolución de sistemas por el método de Gauss:

Si el coeficiente de la primera variable en la primera ecuación es cero (a11 = 0) reordenamos ecua-

ciones y/o variables para que sea distinto de cero, con lo que suponemos a11 , 0




Eliminamos la primera variable del resto de ecuaciones sustituyéndolas por combinaciones lineales

de ellas mismas con la primera ecuación.

∗ Si aparece una ecuación redundante se elimina

∗ Si aparece una contradicción el sistema no tiene solución.

Repetimos el proceso con el sistema obtenido hasta que tengamos una única ecuación.

Resolvemos el sistema triangular obtenido:

∗ Despejamos una variable de la última ecuación considerando las restantes parámetros.

∗ Volvemos hacia atrás calculando el valor del resto de variables. ♣

Ejemplo 6.76 .

2x − y + 2z − t = −4

3x + y + z + 2t = 5

x + y − z + 2t = 7

4x + 3y − z − t = 4

Eliminamos la variable x de las ecuaciones 2, 3 y 4:

2x − y + 2z − t = −4

3x + y + z + 2t = 5 ← 2E2 − 3E1 → 5y − 4z + 7t = 22

x + y − z + 2t = 7 ← 2E3 − E1 → 3y − 4z + 5t = 18

4x + 3y − z − t = 4 ← E4 − 2E1 → 5y − 5z + t = 12

Eliminamos la variable y de las ecuaciones 3 y 4:

5y − 4z + 7t = 22

3y − 4z + 5t = 18 ← 5E3 − 3E2 → −8z + 4t = 24

5y − 5z + t = 12 ← E4 − E2 → −z − 6t = −10




Eliminamos la variable z de la ecuación 4:

−8z + 4t = 24

−z − 6t = −10 ← 8E4 − E3 → −52t = −104

Resolvemos el sistema triangular obtenido:

2x − y + 2z − t = −4 =⇒ x = 1

5y − 4z + 7t = 22 =⇒ y = 0

−8z + 4t = 24 =⇒ z = −2

−52t = −104 =⇒ t = 2

Por tanto, la solución del sistema en forma de vector es x∗ = (1, 0,−2, 2). ♣

Resolución de sistemas por la regla de Cramer:

Proposición 6.77 (Regla de Cramer) Sea un sistema (⋆) con matriz cuadrada (m = n).

Si el determinante de la matriz del sistema es distinto de cero el sistema es compatible determinado y

su única solución es x∗ = A−1 b. ♣

Nota La regla de Cramer nos da una fórmula para obtener la única solución del sistema:

x1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b1 a12 · · · a1n

b2 a22 · · · a2n

......

. . ....

bn an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, x2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 b1 · · · a1n

a21 b2 · · · a2n

......

. . ....

an1 bn · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

, · · · , xn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · b1

a21 a22 · · · b2

......

. . ....

an1 an2 · · · bn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ejemplo 6.78 Resolver los siguientes sistemas




(a)

x + y + 2z = 7

x − y + z = 6

2x − 3y + z = 1

(b)

x − y + z − t = 1

x + y + z + t = 0

2x + 2z = 1

x + y + z − t = 1

Solución

(a) Este sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz

es distinto de cero (det(A) = 1 , 0) y, por tanto, podemos aplicar la regla de Cramer.

x =

7 1 2

6 −1 1

1 −3 1

1 1 2

1 −1 1

2 −3 1

= −25 y =

1 7 2

1 6 1

2 1 1

1 1 2

1 −1 1

2 −3 1

= −10 z =

1 1 7

1 −1 6

2 −3 1

1 1 2

1 −1 1

2 −3 1

= 21

La solución en forma de vector es x∗ = (−25,−10, 21)

(b) Estudiamos si rg(A) = rg(A) y determinamos un menor principal (se deja como ejercicio):

rg

1 −1

1 1

1

1

−1

1

2 0 2 0

1 1 1 −1

= rg

1 −1 1 −1 1

1 1 1 1 0

2 0 2 0 1

1 1 1 −1 1

= 3 con

1 −1 −1

1 1 1

1 1 −1

= −4 , 0




▶ Suprimimos las ecuaciones que quedan fuera del menor (ecuación 3) y consideramos como paráme-

tros las incógnitas que quedan fuera del menor (variable z):

z = α

x − y + z − t = 1 =⇒ x − y − t = 1 − α

x + y + z + t = 0 =⇒ x + y + t = −α

x + y + z − t = 1 =⇒ x + y − t = 1 − α

1 −1 −1 1 − α

1 1 1 −α

1 1 −1 1 − α

Resolvemos el sistema por la regla de Cramer (se puede utilizar otro método):

x =

1 − α −1 −1

−α 1 1

1 − α 1 −1

1 −1 −1

1 1 1

1 1 −1

=12− α y =

1 1 − α −1

1 −α 1

1 1 − α −1

1 −1 −1

1 1 1

1 1 −1

= 0 t =

1 −1 1 − α

1 1 −α

1 1 1 − α

1 −1 −1

1 1 1

1 1 −1

= −12

Por tanto, la solución del sistema en forma de vector es x∗ = ( 12 − α, 0, α,−

12 ). ♣

Ejercicio 6.79 Calcular las matrices X e Y que verifican:

3X − 2Y =

−1 0 −3

0 2 −3

X + Y =

3 −5 −1

0 −1 4

Solución

X =

1 −2 −1

0 0 1

Y =

2 −3 0

0 −1 3

♣




Ejercicios del tema.

Ejercicio 6.80 Dadas las matrices:

A =

−1 1 0

2 −2 0

1 −1 0

, B =

0 −1 1

−2 0 1

0 0 1

, C =

1 3 0

0 −2 0

y D =

1 2 0

3 −1 2

.Calcular, si es posible:

(a) A + B (b) A3 (c) A · B (d) B · A (e) (A + B)(A − B) (f) A2 − B2 (g) (A − B)2

(h) 2C − 3D (i) B ·C (j) C · B (k) At · Dt (l) (D · A)t (m) C · Dt (n) D ·Ct

Solución

(a) A + B =

−1 1 0

2 −2 0

1 −1 0

+

0 −1 1

−2 0 1

0 0 1

=−1 + 0 1 + (−1) 0 + 1

2 + (−2) −2 + 0 0 + 1

1 + 0 −1 + 0 0 + 1

=−1 0 1

0 −2 1

1 −1 1

(b) A3 =

−1 1 0

2 −2 0

1 −1 0

·−1 1 0

2 −2 0

1 −1 0

·−1 1 0

2 −2 0

1 −1 0

=

3 −3 0

−6 6 0

−3 3 0

·−1 1 0

2 −2 0

1 −1 0

=−9 9 0

18 −18 0

9 −9 0

(c) A · B =

−2 1 0

4 −2 0

2 −1 0

(d) B · A =

−1 1 0

3 −3 0

1 −1 0

(e) (A + B) · (A − B) =

2 −3 0

−7 3 1

−4 3 −1

(f) A2 − B2 =

1 −3 0

−6 4 1

−3 3 −1

(g) (A − B)2 =

−1 2 −1

4 −2 −1

1 −1 −1

·−1 2 −1

4 −2 −1

1 −1 −1

=

8 −5 0

−13 13 −3

−4 3 1

(h) 2C − 3D = 2 ·

1 3 0

0 −2 0

− 3 ·

1 2 0

3 −1 2

= 2 − 3 6 − 6 0 − 0

0 − 9 −4 + 3 0 − 6

= −1 0 0

−9 −1 −6

(i) B ·C no se puede hacer




(j) C · B =

1 3 0

0 −2 0

·

0 −1 1

−2 0 1

0 0 1

= a11 a12 a13

a21 a22 a23

= −6 −1 4

4 0 −2

a11 =

(1 3 0

)·

0

−2

0

= −6 a12 =

(1 3 0

)·

−1

0

0

= −1 a13 =

(1 3 0

)·

1

1

1

= 4

a21 =

(0 −2 0

)·

0

−2

0

= 4 a22 =

(0 −2 0

)·

−1

0

0

= 0 a23 =

(0 −2 0

)·

1

1

1

= −2

(k) At · Dt =

3 −3

−3 3

0 0

(l) (D · A)t = At · Dt =

3 −3

−3 3

0 0

(m) C · Dt =

7 0

−4 2

(n) D ·Ct = (C · Dt)t =

7 −4

0 2

♣

Ejercicio 6.81 Calcula los siguientes determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3

3 1 2

2 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3

1 1 1

3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1

1 −1 0 1

1 1 −1 1

1 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 2 −1

−1 0 1

0 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(f)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0

0 1 1

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(g)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

1 1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(h)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1

1 −1 1 −1

2 0 2 0

1 1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Solución

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3

3 1 2

2 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (1 + 8 + 27) − (6 + 6 + 6) = 36 − 18 = 18 (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3

1 1 1

3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

(c) Desarrollamos por la cuarta fila




∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1

1 −1 0 1

1 1 −1 1

1 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= () = (−1)4+1 · 1 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

−1 0 1

1 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ (−1)4+3 · 1 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

1 −1 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

−1 0 1

1 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

1 −1 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= − (1 + 1 + 1 + 1) − (−1 + 1 + 1 + 1 − 1 − 1) = −4

(d) Aplicamos el método de Gauss (hacemos ceros en la primera fila)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

C2 = C2 −C1

C3 = C3 −C1

C4 = C4 −C1

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 0

1 1 1 1

1 1 2 2

1 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)1+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

1 2 2

1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1

(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 2 −1

−1 0 1

0 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= [3 · 0 · 3 + 2 · 1 · 0 + (−1) · 2 · (−1)] − [(−1) · 0 · 0 + 2 · (−1) · 3 + 3 · 2 · 1] = 2

(f)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0

0 1 1

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= [1 · 1 · 1 + 0 · 0 · 0 + 1 · 1 · 1] − [0 · 0 · 1 + 1 · 0 · 1 + 1 · 0 · 1] = 2

(g) Aplicamos las propiedades de los determinantes para poder aplicar fácilmente el método de Gauss:

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 1 1

1 2 1 1

1

1

1

1

2 1

1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= {(C1 = C1 +C2 +C3 +C4)} =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 1 1 1

5 2 1 1

5

5

1

1

2 1

1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

F2 = F2 − F1

F3 = F3 − F1

F4 = F4 − F1

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 1 1 1

0 1 0 0

0

0

0

0

1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)1+1 · 5 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 0 1

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 5

(h) det(A) = 0 ♣




Ejercicio 6.82 Calcular, si es posible, la inversa de las siguientes matrices:

(a) A =

1 −1 1

2 1 2

0 0 1

(b) A =

1 −1 1

2 1 −2

−1 −2 3

(c) A =

1 −1 1

1 1 1

1 0 0

(d) A =

1 1 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2 3 4

(e) A =

1 −1 0 1

0 2 −1 1

1 −2 1 1

−1 0 1 3

(f) A =

2 −1 −1 −1

5 −2 −2 −2

6 −3 −3 −3

3 −1 −1 −1

Solución Sólo hacemos detallado el primer ejercicio

(a) det(A) = 3 , 0 y existe A−1.

Ad j (A) =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

=

1 −2 0

1 1 0

−3 0 3

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 2

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2 A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1

0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

A21 = (−1)2+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 A22 = (−1)2+2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 A23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1

0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

A31 = (−1)3+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1

1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −3 A32 = (−1)3+2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

2 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 A33 = (−1)3+3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1

2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 3

=⇒ A−1 =1|A|

[Ad j(A)

]t=

13

1 1 −3

−2 1 0

0 0 3

=

1/3 1/3 −1

−2/3 1/3 0

0 0 1

(b) No existe A−1

(c) A−1 =

0 0 1

−1/2 1/2 0

1/2 1/2 −1

(d) A−1 =

2 −1 0 0

0 1 −1 0

2 0 1 −1

−3 0 0 1

(e) A−1 =

−1 1 32 −1

2

−32 1 5

4 −14

−52 1 9

4 −14

12 0 −1

414




(f) No existe A−1 ♣

Ejercicio 6.83 Calcular el rango de las siguientes matrices determinando un menor principal:

(a) A =

1 2 0 3

0 1 1 1

1 3 1 4

(b) A =

1 0 2

0 1 1

1 0 1

1 0 0

(c) A =

1 2 −1 0

2 −2 0 1

−1 0 −1 1

1 1 1 1

(d) A =

1 0 1 0 0

2 0 0 1 0

1 1 1 1 0

0 1 2 0 1

(e) A =

2 −2 −2 −1

2 −2 −2 2

2 −3 0 −3

(f) A =

2 −1 −1 −1

5 −2 −2 −2

6 −3 −3 −3

3 −1 −1 −1

Solución

(a) A =

1 2 0 3

0 1 1 1

1 3 1 4

con

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 , 0 (rg(A) ≥ 2)

Orlamos con la 3ª fila y la 3ª columna y, como sale cero, con la 4ª:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0

0 1 1

1 3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3

0 1 1

1 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

Como todos los posibles menores de orden 3 valen cero rg (A) = 2 y cualquier menor de orden 2 distinto

de cero es un menor principal, por ejemplo, el menor que habíamos elegido al principio. Obsérvese que al

ser todos los determinantes de orden tres cero, la tercera fila es combinación lineal de la 1ª fila y de la 2ª fila

(se ve fácilmente que F3 = F1 + F2).

(b) A =

1 0 2

0 1 1

1 0 1

1 0 0

con

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 , 0 (rg(A) ≥ 2)




Orlando con tercera fila y tercera columna:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2

0 1 1

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 − 2 = −1 , 0

Como no podemos aumentar sus dimensiones el rango es tres, rg(A) = 3, y el menor de orden tres será

un menor principal.

(c) Como es una matriz cuadrada de orden 4 si calculamos su determinante y no es cero el rango es 4 A =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −1 0

2 −2 0 1

−1 0 −1 1

1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)2+4•1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1

−1 0 −1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+(−1)3+4•1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1

2 −2 0

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+(−1)4+4•1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1

2 −2 0

−1 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 20

Así, rg(A) = 4 y el único menor principal que hay es el determinante de la matriz.

(d) A =

1 0 1 0 0

2 0 0 1 0

1 1 1 1 0

0 1 2 0 1

con

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 , 0→ Rg(D) ≥ 2

Orlamos con la 2ª fila y la 3ª columna:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

1 1 1

0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 2 , 0→ Rg(D) ≥ 3

Orlamos con la 1ª fila y la 4ª columna y, como sale cero, con la 5ª

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 1 0

2 0 0 1

1 1 1 1

0 1 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 1 0 0

2 0 0 1 0

1 1 1 1 0

0 1 2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 2 , 0→ Rg (D) = 4

(e) rg(A) = 3 (f) rg(A) = 2 ♣

Ejercicio 6.84 Estudiar los siguientes sistemas y, si es posible, determinar sus soluciones:




(a)

x + y + z = 2

x − y − z = −2

2x + 2y − z = 5

(b)

x + y + z = 2

x − y − z = −2

3x + y + z = 2

(c)

x + y + z = 2

x − y − z = −2

4x + 2y + 2z = 2

(d)

2y − z = 1

3x − 2z = 11

y + z = 6

2x + y − z = 9

(e)

x + y + z = 3

x + 2y = 4

x + 2z = 2

(f)

x + y + z = 0

x + y − z = 0

x + y = 0

(g)

x + y − z + t = 0

2x + 2y − 2z + 2t = 0(h)

x + y + 2z = 0

x + 2y + 3z = 0

x + 3y + 4z = 0

(i)

x + y + z + t = 0

x + y − z + t = 0

x + y + t = 0

Solución

(a)

x + y + z = 2 (1)

x − y − z = −2 (2)

2x + 2y − z = 5 (3)

con A =

1 1 1 2

1 −1 −1 −2

2 2 −1 5

|A| = 6 =⇒ Rg (A) = 3 y Rg

(A)= 3 por lo tanto el sistema es compatible determinado S.C.D. y tiene

una única solución.

(1) + (2) =⇒ 2x = 0 =⇒ x = 0

(3) − (2) =⇒ 3y = 7 =⇒ y = 7/3

Sustituyendo en (1) los valores de x e y tenemos z = 2 − x − y = 2 − 7/3 =⇒ z = − 1/3

Solución: (0, 7/3,−1/3)

(b) x∗ = (0, α, 2 − α) (S.C.I. con 1 par.)

(c) S.I.

(d)

2y − z = 1

3x − 2z = 11

y + z = 6

2x + y − z = 9

con A =

0 2 −1 1

3 0 −2 11

0 1 1 6

2 1 −1 9

Estudiamos los rangos de A y de A




∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 2

3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −6 , 0

Orlamos

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 2 −1

3 0 −2

0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −9 , 0→ rg (A) = 3 (rg

(A)≥ 3)

Orlamos∣∣∣A∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 2 −1 1

3 0 −2 11

0 1 1 6

2 1 −1 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 17 , 0→ rg

(A)= 4.

Como rg (A) = 3 y rg(A)= 4 es un Sistema incompatible (S. I.), es decir, no tiene solución.

(e)

x + y + z = 3

x + 2y = 4

x + 2z = 2

con A =

1 1 1 3

1 2 0 4

1 0 2 2

|A| = 0 =⇒ Rg (A) < 3, veamos si es 2, ∃

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 , 0 =⇒ Rg (A) = 2

Para estudiar rg (A) partimos del menor anterior (rg(A)≥ 2) y orlamos:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 3

1 2 4

1 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

El otro menor de orden 3 ya lo hemos estudiado al calcular |A|, luego rg(A)= 2

Como rg (A) = rg(A)= 2 < número de incognitas es un sistema compatible indeterminado(S.C.I.) con

infinitas soluciones, eliminamos la tercera ecuación y tomamos como parámetro libre z = α.

x + y = 3 − α (1)

x + 2y = 4 (2)

Observamos que hemos dejado en el primer miembro de las ecuaciones las variables que proporcionan

el menor principal que hemos utilizado para el cálculo del rango.

Hacemos (2) − (1) =⇒ y = 4 − (3 − α) = 1 + α y despejando en (1) x = 3 − α − (1 + α) = 2−2α

Solución: {(2 − 2α, 1 + α, α) /α ∈ R}




(f)

x + y − z + t = 0

2x + 2y − 2z + 2t = 0con A =

1 1 −1 1 0

2 2 −2 2 0

Rg (A) = Rg

(A)= 1 < número de incognitas =⇒ S .C.I.

Como el rango es uno nuestro menor será cualquier número de la matriz, por ejemplo el número 1 que

ocupa la posición a11. Así, eliminamos la segunda ecuación y tomamos como parámetros libres y, z, t

y = α, z = β, t = γ, =⇒ x = −α + β − γ

Por lo tanto la solución es { (−α + β − γ, α, β, γ) / α, β, γ ∈ R}

(g)

x + y + z = 0

x + y − z = 0

x + y = 0

con A =

1 1 1 0

1 1 −1 0

1 1 0 0

Sistema homogéneo por lo tanto el sistema siempre es compatible∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1

1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 y |A| = 0 =⇒ Rg (A) = 2 = Rg(A)< número de incognitas =⇒ S .C.I.

Eliminamos la primera ecuación, tomamos como parámetro libre x = α y resolvemos el sistema

y − z = −α

y = −α

Si despejamos z de la primera ecuación y sustituimos y tenemos z = y + α = −α + α = 0

Por lo tanto la solución es (α, −α, 0) / α ∈ R}

(h)

x + y + 2z = 0

x + 2y + 3z = 0

x + 3y + 4z = 0

con A =

1 1 2 0

1 2 3 0

1 3 4 0

Sistema homogéneo por lo tanto el sistema siempre es compatible

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 , 0 y |A|= 0 =⇒ Rg (A) = Rg(A)= 2 < nº de incognitas =⇒ S .C.I.




Eliminamos la tercera ecuación y tomamos como parámetro libre z = α

x + y = −2α (1)

x + 2y = −3α (2)=⇒ (2) − (1) =⇒ y = −α, x = −2α − y = −2α + α = −α

Por lo tanto la solución es { (−α, −α, α) / α ∈ R}

(i)

x + y + z + t = 0

x + y − z + t = 0

x + y + t = 0

con A =

1 1 1 1 0

1 1 −1 1 0

1 1 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1 , 0

Si orlamos con la 1ª fila y la 1ª columna el menor es cero (tiene dos columnas iguales) y si orlamos con

1ª fila y la 2ª columna sucede lo mismo. Por tanto, Rg (A) = Rg(A)= 2 y es S.C.I.

Eliminamos la primera ecuación y tomamos como parámetros libres x = α, y = β

−z + t = −α − β

t = −α − β

Si despejamos z de la primera ecuación y sustituimos y tenemos z = α + β + t = α + β − α − β = 0

Por tanto la solución es { (α, β, 0, −α − β) / α, β ∈ R} ♣

Ejercicio 6.85 Resolver por la regla de Cramer

(a)

x − 3y + 4z = 13

3x − y + 2z = −3

−3x + 5y − z = 9

(b)

4x − 3y + 3z = 0

6x + y − 9z = 9

2x − 5y − 6z = 5

Solución

(a)

x − 3y + 4z = 13

3x − y + 2z = −3

−3x + 5y − z = 9

con A =

1 −3 4

3 −1 2

−3 5 −1

y |A| = 48




x =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣13 −3 4

−3 −1 2

9 5 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

=−186

48= −

318, y =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 13 4

3 −3 2

−3 9 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

=38, z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −3 13

3 −1 −3

−3 5 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

=92

(b)

4x − 3y + 3z = 0

6x + y − 9z = 9

2x − 5y − 6z = 5

con A =

4 −3 3

6 1 −9

2 −5 −6

y |A| = −354

x =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 −3 3

9 1 −9

5 −5 −6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

=12, y =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 3

6 9 −9

2 5 −6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

= 0, z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 −3 0

6 1 −9

2 −5 −6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−354

= −23

♣



Tema 6 Matrices y sistemas lineales.

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