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Sistemas de Ecuaciones Lineales yMatrices

Oscar G Ibarra-Manzano, DSc

Departamento de Area Basica - Tronco Comun DES de IngenierıasFacultad de Ingenierıa, Mecanica, Electrica y Electronica

Trimestre Invierno 2008,10 de enero de 2008

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Contenido

1 Sistemas de ecuaciones lineales y matricesSistemas de ecuaciones lineales - eliminacion deGauss-JordanResumen

2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricialVectores y matrices - productos vectorial y matricialResumen

3 Matrices y sistemas de ecuaciones linealesMatrices y sistemas de ecuaciones lineales


Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan

Propiedades de la lınea recta

x

y

(x2, y2)

(x1, y1)

∆x

∆y

La lınea rectaAlgunos hechos fundamentales sobre la lınearecta son:

Propiedad:

La pendiente m de una recta que pasa porlos puntos (x1, y1) y (x2, y2) esta dada por:

m = y2−y1x2−x1

= ∆y∆x si x1 6= x2




x

y

(x2, y2)

(x1, y1)∆x = 0

∆y


Propiedad:

Si x2 − x1 = 0 y y2 6= y1, entonces la rectaes vertical y se dice que la pendiente esindefinida.




x

y

b

y = mx + bm = ∆y

∆x


Propiedad:

Cualquier recta (excepto una con pendienteindefinida) se puede describir escribiendosu ecuacion en la formapendiente-ordenada y = mx + b, donde mes la pendiente de la recta y b es laordenada.




x

y

L1 : m1

L2 : m2b1

b2

y = mx + b


Propiedad:

Dos rectas distintas son paralelas si y solosi tienen la misma pendiente.




x

y

m = − ab

ax + by = c


Propiedad:

Si la ecuacion de la recta se escribe en laforma ax + by = c (b 6= 0), entonces, sepuede calcular facilmente la pendiente dela recta como, m = − a

b .




x

y

L1 : m1 L2 : m2

m2 = − 1m1


Propiedad:

Si m1 es la pendiente de la recta L1, y m2es la pendiente de la recta L2, m1 6= 0 y L1y L2 son perpendiculares, entoncesm2 = − 1

m1.




x

y

L : m = 0


Propiedad:

Las rectas paralelas al eje x tienen unapendiente de cero.




x

y

L : m→ indefinida


Propiedad:

Las rectas paralelas al eje de las y tienenuna pendiente indefinida.



Dos ecuaciones lineales con dos incognitas

Sistema de ecuacionesConsideremos el sistema dedos ecuaciones con dosincognitas:

a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

Un sistema con una solucion unicaConsidere el sistema

x − y = 7x + y = 5

SolucionSumando ambas ecuaciones y despuesrestandolas, obtenemos:

x = 6y = −1





a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

Un sistema con un numero infinito desolucionesConsidere el sistema

x − y = 72x − 2y = 14

SolucionPara este sistema podemos observar que2(x − y = 7), por lo tanto la solucion es de laforma:

y = x − 7





a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

Un sistema sin solucionConsidere el sistema

x − y = 72x − 2y = 13

Solucion

En este caso tenemos 2(x − y = 132 ), por lo

tanto las rectas son paralelas y diferentes.



Representacion matricial de sistemas lineales

La matriz de coeficientes, A es:

A =

2 4 64 5 63 1 −2

DefinicionUna Matriz es un arreglo rectangular denumeros. Por ejemplo, para el sistema deecuaciones lineales:

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4



Representacion matricial de sistemas lineales

La matriz aumentada del sistemaes: 2 4 6 | 18

4 5 6 | 243 1 −2 | 4

DefinicionUna Matriz es un arreglo rectangular denumeros. Por ejemplo, para el sistema deecuaciones lineales:

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4



Operaciones elementales en una matriz:

Operaciones elementales con renglones1 Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.2 Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.3 Intercambiar dos renglones.

Ejemplo: 2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4

R1 →12

R1−−−−−−−→

1 2 3 | 94 5 6 | 243 1 −2 | 4





Ejemplo:

2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4

R2 → R2 − 2R1−−−−−−−−−−−→

2 4 6 | 180 −3 −6 | −123 1 −2 | 4





Ejemplo: 2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4

R1 � R2−−−−−−→

4 5 6 | 242 4 6 | 183 1 −2 | 4



Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4

Procedimiento:1 Se selecciona el pivote.2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri

3 Se calcula Rj → Rj − cjRi

4 Se repite para todos loselementos del pivote.

2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4



Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4




2 4 6 | 184 5 6 | 243 1 −2 | 4

R1 → 1

2 R1−−−−−−−→ 1 2 3 | 9

4 5 6 | 243 1 −2 | 4



Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4




1 2 3 | 94 5 6 | 243 1 −2 | 4

R2 → R2 − 4R1R3 → R3 − 3R1−−−−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9

0 −3 −6 | −120 −5 −11 | −23



Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4




1 2 3 | 90 −3 −6 | −120 −5 −11 | −23

R2 → − 1

3 R2−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9

0 1 2 | 40 −5 −11 | −23



Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4




1 2 3 | 90 1 2 | 40 −5 −11 | −23

R3 → R3 + 5R2−−−−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9

0 1 2 | 40 0 −1 | −3



Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4




1 2 3 | 90 1 2 | 40 0 −1 | −3

R3 → − 1

1 R3−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9

0 1 2 | 40 0 1 | 3



Reduccion de Gauss

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 243x1 + 1x2 − 2x3 = 4




1 2 3 | 90 1 2 | 40 0 1 | 3

1x1 + 2x2 + 3x3 = 9

1x2 + 2x3 = 41x3 = 3 x1

x2x3

=

9− 2x2 − 3x34− 2x3

3



Reduccion de Gauss-Jordan

Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30




2 4 6 | 184 5 6 | 242 7 12 | 30




Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30




2 4 6 | 184 5 6 | 242 7 12 | 30

R1 → 1

2 R1−−−−−−−→ 1 2 3 | 9

4 5 6 | 242 7 12 | 30




Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30




1 2 3 | 94 5 6 | 242 7 12 | 30

R2 → R2 − 4R1R3 → R3 − 2R1−−−−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9

0 −3 −6 | −120 3 6 | 12




Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30




1 2 3 | 90 −3 −6 | −120 3 6 | 12

R2 → − 1

3 R2−−−−−−−−→ 1 2 3 | 9

0 1 2 | 40 3 6 | 12




Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30




1 2 3 | 90 1 2 | 40 3 6 | 12

R1 → R1 − 2R2−−−−−−−−−−−→R3 → R3 − 3R2−−−−−−−−−−−→ 1 0 −1 | 10 1 2 | 40 0 0 | 0




Ejemplo

2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 242x1 + 7x2 + 12x3 = 30




1 0 −1 | 10 1 2 | 40 0 0 | 0

1x1 − x3 = 1

1x2 + 2x3 = 4 x1x2x3

=

1 + x34− 2x3

x3


Resumen

Resumen

TeoremaEl sistema

a11x + a12y = b1a21x + a22y = b2

Tiene una solucion unica si y solo si a11a22 − a12a21 6= 0.No tiene solucion o tiene un numero infinito de soluciones si ysolo si a11a22 − a12a21 = 0.


Resumen

Resumen

Reduccion de Gauss & Gauss-JordanEn la eliminacion Gaussiana se reduce por renglon la matriz decoeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja elvalor de la ultima incognita y despues se usa la sustitucion haciaatras para las demas incognitas.En la eliminacion de Gauss-Jordan se reduce por renglon lamatriz de coeficientes a la forma escalonada reducida porrenglones usando el procedimiento descrito.


Resumen

Resumen

Problemas - Tarea1 Pruebe que la distancia entre un punto (x1, y1) y la recta

ax + by = c esta dada por:

d = |ax1+by1+c|√a2+b2

2 Encuentre la distancia entre la recta 2x − y = 6 y el punto deinterseccion de las rectas 2x − 3y = 1 y 3x + 6y = 12.


Resumen

Resumen

Problemas - Tarea - Reduccion de Gauss-Jordan1 ¿Para que valor de k tendra soluciones no triviales el siguiente

sistema?:

1x + 1y + 1z = 02x + 3y + 4z = 03x + 4y + kz = 0

2 Comprueba el resultado aplicando la reduccion de Gauss-Jordan


Contenido





Vectores y matrices - productos vectorial y matricial

Definiciones y operaciones basicas

Vector renglon de n componentes

Se define a un vector renglon de n componentes como unconjunto ordenado de n numeros escritos de la siguiente manera:(

x1 x2 · · · xn)

Ejemplo: 5-vector renglon

x =(

2 1 3 5 −1)




Vector columna de n componentes

Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenadode n numeros escritos de la siguiente manera:

x1x2...

xn

Ejemplo: 3-vector columna

u =

−110




Espacio vectorial Rn

Se usa el sımbolo Rn para denotar al conjunto de todos losn-vectores:

a1a2...

an

cada ai es un numero real




MatrizUna matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn numerosagrupados en m renglones y n columnas.

A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 a2j a2n...

......

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

......

...am1 am2 · · · amj · · · amn



Suma y multiplicacion de matrices

Suma de matricesConsideremos A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices m × n. Entonces lasuma de A y B es una matriz m × n, A + B dada por:

A + B = aij + bij

=

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n

......

...am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

Es decir, A + B es una matriz de m × n que se obtiene al sumar lascomponentes correspondientes de A y B.




Multiplicacion de una matriz por un escalar

Si A = (aij ) es una matriz m × n y si α es un escalar, entonces lamatriz m × n, αA, esta dada por:

αA = (αaij )

=

αa11 αa12 · · · αa1nαa21 αa22 · · · αa2n

......

...αam1 αam2 · · · αamn

Es decir, αA = (αaij ) es una matriz obtenida al multiplicar cadacomponente de A por α.




TeoremaSean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.Entonces:

1 A + 0 = A2 0A = 03 A + B = B + A (ley conmutativa)4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)6 1A = A7 (α + β)A = αA + βA



Producto escalar

Definicion: Producto escalar

Sean a =

a1a2...

an

y b =

b1b2...

bn

dos vectores. Entonces el

producto escalar de a y b, representado por a · b, esta definidocomo:

a · b = a1b1 + a2b2 + · · · anbn

Para poder realizar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan elmismo numero de componentes



Producto escalar

TeoremaSean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:

1 a · 0 = 02 a · b = b · a (ley conmutativa)3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)4 (αa) · b = α(a · b)



Producto de dos matrices

Definicion:Sea A = (aij ) una matriz m × n, y sea B = (bij ) una matriz de n × p.Entonces el producto de A y B es una matriz de m × p, C = (cij ), endonde:

cij = (renglon i de A) · (columna j de B)

Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglon i de Ay la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene:

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

Si el numero de columnas de A es igual al numero de renglones de B, entonces sedice que A y B son compatibles bajo la multiplicacion.



Producto de dos matrices

Ejemplificacion de la multiplicacion matricial

(cij) =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

ai1 ai2 · · · ain...

......

am1 am2 · · · amn

b11 b12 · · · b1j · · · b1p

b21 b22 · · · b2j · · · b2p...

......

...bn1 bn2 · · · bnj · · · bnp


Resumen

Resumen

La notacion Σ

El producto escalar y la multiplicacion de dos matrices puede serexpresada de la siguiente forma:

Producto escalar

a · b = a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn

=n∑

i=1

aibi

Multiplicacion de dos matrices

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

=n∑

k=1

aik bkj


Resumen

Resumen

Problemas - Tarea1 Sean a11, a12, a21 y a22 numeros reales dados tales que

a11a22 − a12a21 6= 0. Encuentre los numeros b11, b12, b21 y b22

tales que(

a11 a12a21 a22

)(b11 b12b21 b22

)=

(1 00 1

).

2 Calcule A2 si A =

(−1 2

3 4

).

3 Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a · b = 0.Determine todos los numeros α y β tales que los vectores

1−α

23

y

45

−2β7

sean ortogonales.


Contenido





Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Sistema de m ecuaciones y n incognitas

Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

La matriz de coeficientes es:

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn







......

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

Los vectores x y b son:

x =

x1x2...

xn

b =

b1b2...

bm







......

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

Representacion matricial de un sistema de ecuaciones:

Ax = b

Un sistema de ecuaciones lineales es homogeneo si:

Ax = 0







......

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

Ejemplo:

1x1 + 4x2 − 2x3 = 102x1 + 5x2 + 3x3 = 83x1 + 1x2 − 2x3 = 4

A =

1 4 −22 5 33 1 −2







......

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

Ejemplo (continuacion):

1x1 + 4x2 − 2x3 = 102x1 + 5x2 + 3x3 = 83x1 + 1x2 − 2x3 = 4

x =

x1x2x3

,b =

1084



Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo

Ejemplo:

1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18

La representacion de la matriz aumentadade Ax = b es: 1 1 −1 | 7

4 −1 5 | 46 1 3 | 18




Ejemplo:

1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18

Reduciendo la matriz aumentada a la formaescalonada, tenemos: 1 1 −1 | 7

4 −1 5 | 46 1 3 | 18

R2 → R2 − 4R1R3 → R3 − 6R1−−−−−−−−−−−→ 1 1 −1 | 7

0 −5 9 | −240 −5 9 | −24




Ejemplo:

1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18

Reduciendo la matriz aumentada a la formaescalonada, tenemos (continuacion): 1 1 −1 | 7

0 −5 9 | −240 −5 9 | −24

R2 → −R2

5−−−−−−−→ 1 1 −1 | 70 1 − 9

5 | 245

0 −5 9 | −24




Ejemplo:

1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18

Reduciendo la matriz aumentada a la formaescalonada, tenemos (continuacion): 1 1 −1 | 7

0 1 − 95 | 24

50 −5 9 | −24

R1 → R1 − R2

R3 → R3 + 5R2−−−−−−−−−−−→ 1 0 45 | 11

50 1 − 9

5 | 245

0 0 0 | 0




Ejemplo:

1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18

La reduccion queda como: 1 0 45 | 11

50 1 − 9

5 | 245

0 0 0 | 0

La solucion serıa: x1

x2x3

=

115 −

45 x3

245 + 9

5 x3x3




Ejemplo:

1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18

Considerando las soluciones x1 y x2 parax3 = 1 y x3 = 2, respectivamente:

x1,2 =

x1x2x3

=

115 −

45 x3

245 + 9

5 x3x3

La soluciones serıan:

x1 =

75

3351

x2 =

35

4252




Ejemplo:

1x1 + 1x2 − 1x3 = 74x1 − 1x2 + 5x3 = 46x1 + 1x2 + 3x3 = 18

Consideremos ahora el vector x = x1 − x2:

x =

753351

− 3

54252

=

45− 9

5−1

efectuando la multiplicacion Ax: 1 1 −1

4 −1 56 1 3

45− 9

5−1

=

000




TeoremaSean x1 y x2 soluciones alsistema no homogeneo.Entonces su diferencia x1 − x2,es una solucion al sistemahomogeneo relacionado

A(x1 − x2) = Ax1 − Ax2 = 0

Consideremos ahora el vector x = x1 − x2:

x =

753351

− 3

54252

=

45− 9

5−1

efectuando la multiplicacion Ax: 1 1 −1

4 −1 56 1 3

45− 9

5−1

=

000

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