Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Oscar G Ibarra-Manzano, DSc

Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierı́as Facultad de Ingenierı́a, Mecánica, Eléctrica y Electrónica

Trimestre Invierno 2008, 10 de enero de 2008

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Contenido

1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Resumen

2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Resumen

3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Contenido

1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Resumen

2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Resumen

3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Propiedades de la lı́nea recta

x

y

(x2, y2)

(x1, y1)

∆x

∆y

La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

Propiedad:

La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:

m = y2−y1x2−x1 = ∆y ∆x si x1 6= x2

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Propiedades de la lı́nea recta

x

y

(x2, y2)

(x1, y1)∆x = 0

∆y

La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

Propiedad:

Si x2 − x1 = 0 y y2 6= y1, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida.

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Propiedades de la lı́nea recta

x

y

b

y = mx + b m = ∆y∆x

La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

Propiedad:

Cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede describir escribiendo su ecuación en la forma pendiente-ordenada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada.

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Propiedades de la lı́nea recta

x

y

L1 : m1

L2 : m2b1

b2 y = mx + b

La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

Propiedad:

Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Propiedades de la lı́nea recta

x

y

m = − ab

ax + by = c

La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

Propiedad:

Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax + by = c (b 6= 0), entonces, se puede calcular fácilmente la pendiente de la recta como, m = − ab .

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Propiedades de la lı́nea recta

x

y

L1 : m1 L2 : m2

m2 = − 1m1

La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

Propiedad:

Si m1 es la pendiente de la recta L1, y m2 es la pendiente de la recta L2, m1 6= 0 y L1 y L2 son perpendiculares, entonces m2 = − 1m1 .

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Propiedades de la lı́nea recta

x

y

L : m = 0

La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

Propiedad:

Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente de cero.

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Propiedades de la lı́nea recta

x

y

L : m→ indefinida

La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

Propiedad:

Las rectas paralelas al eje de las y tienen una pendiente indefinida.

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistema de ecuaciones Consideremos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

Un sistema con una solución única Considere el sistema

x − y = 7 x + y = 5

Solución Sumando ambas ecuaciones y después restándolas, obtenemos:

x = 6 y = −1

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistema de ecuaciones Consideremos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

Un sistema con un número infinito de soluciones Considere el sistema

x − y = 7 2x − 2y = 14

Solución Para este sistema podemos observar que 2(x − y = 7), por lo tanto la solución es de la forma:

y = x − 7

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistema de ecuaciones Consideremos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

Un sistema sin solución Considere el sistema

x − y = 7 2x − 2y = 13

Solución

En este caso tenemos 2(x − y = 132 ), por lo tanto las rectas son paralelas y diferentes.

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Representación matricial de sistemas lineales

La matriz de coeficientes, A es:

A =

 2 4 64 5 6 3 1 −2

 Definición Una Matriz es un arreglo rectangular de números. Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones lineales:

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + 1x2 − 2x3 = 4

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Representación matricial de sistemas lineales

La matriz aumentada del sistema es:  2 4 6 | 184 5 6 | 24

3 1 −2 | 4



Definición Una Matriz es un arreglo rectangular de números. Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones lineales:

2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + 1x2 − 2x3 = 4

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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

Operaciones elementales en una matriz:

Operaciones elementales con renglones 1 Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero. 2 Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón. 3 Intercambiar dos renglones.

Ejemplo: 2 4 6 | 184 5 6 | 24 3 1 −2 | 4

R1 → 12R1−−−−−−−→  1 2 3 | 94 5 6 | 24

3 1 −2 | 4



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Operaciones elementales