Cap 1 - Ecuaciones Lineales y Matrices

8/18/2019 Cap 1 - Ecuaciones Lineales y Matrices

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ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

Capítulo 1: Ecuaciones Lineales y Matrices

1.1. Sistemas lineales

1.2. Matrices

1.3. Producto entre un escalar y una matriz, multiplicación de

1.4. Propiedades de las operaciones con matrices

1.5. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

1.6. La inversa de una matriz.


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Sistemas Lineales

Una recta en el planoxy

puede representarse algebraicamente po

ecuación de la forma

1 2a x a y b

Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las vari

De manera más general, una ecuación lineal en las variables ,

define como una ecuación que se puede expresar en la forma

1 1 2 2 3 3 ....

n na x a x a x a x b


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Dos Ecuaciones Lineales con Dos incógnitas

Si considera un sistema de la forma

11 12 1

21 22 2

a x a y ba x a y b

Propiedades

1. Sia=byc=d,entoncesa+c=c+d

2. Sia=bycescualquiernumeroreal,entoncesca =cb


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2 3 1

5 7

x y

x y

Sistem

Solución Única:

los coeficientes de x y y de las

dos ecuaciones NO son proporcionales

2 3 1

4 6 7

x y

x y

2 3 1

4 6 2

x y

x y

Sin Solución: Los coeficientes de x e y de una

ecuación son proporcionales a los de la otra,

mientras que los términos independientes no lo

son

Infinito Número de Soluciones: Los coeficientesde x e y , y el término independiente de unaecuación, son proporcionales a los de la otra


5/24ECUACIONES LINEALES Y MATRICES


2 3 1

5 7

x y

x y

Sistema Inconsistente

Solución Única.

2 3 1

4 6 7

x y

x y

2 3

4 6

x y

x y

Sin Solución

Infinito Núme



Deber Nº 1.1 En parejas)

Problemas 1.1 (Pág 6) (Soluciones de sistemas de ecuaciones de 2

Nº: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

Graficar las soluciones

GROSSMAN STANLEY; Algebra Lineal, Editorial Mc Graw Hill, 7ma E

México, 2012 ISBN: 9786071507600



m Ecuaciones con n incógnitas

De manera más general, un sistema de m ecuaciones lineales co

incógnitas

, , … , al que podemos llamar simplemente siste

lineal

, es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una coincógnitas. Un sistema lineal puede denotarse sin mediante:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b


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m Ecuaciones con n incógnitas

Si considera un sistema de la forma

2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

x y z

x y z

x y z

Determinar la solución del sistema

+ 2 + 3 = 62 − 3 + 2 = 14

3 + − = −2

3 + 2 + = 2

4 + 2 + 2 = 8 − + = 4


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Deber Nº 1.1 En parejas)


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Matrices

Matriz

Una matriz A de mx nes un arreglo rectangular de mn números dispuesto

filas

(renglones) horizontales y ncolumnas

verticales.

La i-ésima fila de A es

La j-ésima fila de A es

1 2 1i i ina a a i m

1

2 1

i

i

in

a

a j n

a

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a a

a a a a

Aa a a a

a a a a


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Matrices

Diremos que A es m por n (que se escribe m × n). Si m = n, dec

que A es una matriz cuadrada de orden n, y que los núm

, , … , forman ladiagonal principal

de A. Nos referimnúmero , que está en la i-ésima fila (renglón) y la j-ésima colu

de A, como el i, j-ésimo elemento de A, o la entrada i, j) de

escribe como

= []


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Matrices

Sean

A= 1 2 3−1 0 1 B=

1 42 −3 C=

1

−12 D=

1 1 0

2 0 13 −1 2 E=

3

A es una matriz de 2 × 3 con = , = , = y = ;

B es una matriz de 2 × 2, con = , = , = y = −

C es una matriz de 3 × 1, con = , = − y = ;

D es una matriz de 3 × 3;E es una matriz de 1 × 1,

F es una matriz de 1 × 3. En D, los elementos = , = y forman la diagonal principal.


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Vectores y Matrices

Vector renglón de n componentes

Un vector de ncomponentes se

define como un conjunto ordenado de

nnúmeros escritos de la siguiente

manera:

1 2, , , nu x x x

Vector Columna de n co

Un vector columna de n

componentes es un conjunt

ordenado de nnúmeros esc

de la siguiente manera:

Las matrices de 1 x n; o n x 1 de denominan n-vectores y se denotan con l

minúscula


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Matrices: Tipos

Matriz cuadrada2 1 5

6 8 4

2 8 7

A

1 0 0

0 1 0

0 1 0

I

Matriz identidad

12 13

23

1

0 5

0 0 8

a a

B a

21

31 32

1 0 0

5 0

8

C a

a a

Matriz Tr

Matriz Tri

Matriz Diagonal:

Una matriz cuadrada A= [], en donde cada términof

diagonal principal es igual a cero, es decir, =0 para ≠ ,es una matriz

3 0 0

0 2 0

0 0 4

H

4 0

0 2 K


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Matrices: Tipos

Matriz Transpuesta

: Si A= [], de m x n, la matriz = [

], de n x m, e

transpuesta de A. En consecuencia, las entradas de cada fila de son la

correspondientes en la columna de A

4 2 3

0 5 2 A

4 0

2 5

3 2

T A

6 2 4

3 1 2

0 4 3

B

6 3 0

2 1 4

4 2 3

T B

3 5 1 D

3

5

1

T D


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ALGEBRA LINEAL

Operaciones con Matrices

=−1 3

4 0

1 2

=6 4

−3 5

4 1

= + ?

EJEMPLO

Suma de Matrices

Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz sumaA+B es ma matriz m x n, dada por:

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

ij ij

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a b A B a b

a b a b a b


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ALGEBRA LINEAL


Suma de Matrices

Ejercicios Clase:

A=3 1 20 5 −3

7 0 4

B=−1 2 4

2 5 8

0 1 −2

Encontrar:A+=CA-B=D

A=−1 2 4

2 7 6B=

3 2 0

0 − 3 − 1 C=

5 −1 3

1 1 2

Encontrar:A+B+CA-B+C

Ejemplo 1

Ejemplo 2


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ALGEBRA LINEAL


B=−1 2 4

2 5 8

0 1 −2

∝= 5 B=−5 10 20

10 25 40

0 5 −10

Multiplicación de una matriz por un escalar

Sea A una matriz de m x n; y si α es un escalar cualquiera, el producto αA

dado por la multiplicación del escalar por cada uno de los elementos de la

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

ij

m m mn

a a a

a a a A a

a a a


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ALGEBRA LINEAL


#Columnas 1era = #Filas 2da

Multiplicación de Matrices

Sean A y B dos matrices cuyas longitudes son (m x n y (p x q respectiv

son multiplicables si el número de columnas de la primera matriz es

número de filas de la segunda; el tamaño de la matriz resultante del p

está determinado por el número de filas de la primera matriz y el nú

columnas de la segunda.


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ALGEBRA LINEAL


MULTIPLICACIÓN DE MATRICES #Columnas 1era = #Filas

120

311

123

Primero con Primero

Segundo con Segundo

Tercero con Tercero

3

1

2

1*22*0

1*12*1

1*22*3


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ALGEBRA LINEAL


MULTIPLICACIÓN DE MATRICES #Columnas 1era = #Filas 2da


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ALGEBRA LINEAL


MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

= 1 2 4

2 6 0

=4 1 4

0 −1 3

2 7 5

3

1

2

=

C=1 ∗ 4 + 2 ∗ 0 + 4 ∗ 2 1 ∗ 1 + 2 ∗ −1 + 4 ∗ 7 1 ∗ 4 + 2 ∗ 3 + 4 ∗ 5 1 ∗

2 ∗ 4 + 6 ∗ 0 + 0 ∗ 2 2 ∗ 1 + 6 ∗ −1 + 0 ∗ 7 2 ∗ 4 + 6 ∗ 3 + 0 ∗ 5 2 ∗

= 4 + 8

8

1 − 2 + 2 8

2 − 6

4 + 6 + 2 0

8 + 1 8

3 + 2 + 8

6 + 6 =

12

8

27

−4

30

26

13

12

#Columnas 1era = #Fila


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ALGEBRA LINEAL


Ejemplo

A=

2 0 1

3 0 05 1 1

B=

1 0 1

1 2 11 1 0

Encontrar C=A*B

=

− =

−

=

=

− −

1. X=(3B*C) - D

2. Z=2Y-5A donde Y=C*B


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ALGEBRA LINEAL


Tarea:

Resolver los siguientes ejercicios en grupos, y entregar

UNtrab

por grupo.

• Página 59 - Problemas 2.1: # 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53y resta de matrices)

• Página 80,81 - Problemas 2.2: # 11,13, 25, 29, 31, 34, 35,(multiplicación de matrices)

Cap 1 - Ecuaciones Lineales y Matrices

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