Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices - fimee.ugto.mx · PDF fileSistemas de ecuaciones...

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  • Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

    Oscar G Ibarra-Manzano, DSc

    Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierı́as Facultad de Ingenierı́a, Mecánica, Eléctrica y Electrónica

    Trimestre Invierno 2008, 10 de enero de 2008

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Contenido

    1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Resumen

    2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Resumen

    3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Contenido

    1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan Resumen

    2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Resumen

    3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Propiedades de la lı́nea recta

    x

    y

    (x2, y2)

    (x1, y1)

    ∆x

    ∆y

    La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

    Propiedad:

    La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:

    m = y2−y1x2−x1 = ∆y ∆x si x1 6= x2

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Propiedades de la lı́nea recta

    x

    y

    (x2, y2)

    (x1, y1)∆x = 0

    ∆y

    La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

    Propiedad:

    Si x2 − x1 = 0 y y2 6= y1, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida.

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Propiedades de la lı́nea recta

    x

    y

    b

    y = mx + b m = ∆y∆x

    La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

    Propiedad:

    Cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede describir escribiendo su ecuación en la forma pendiente-ordenada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada.

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Propiedades de la lı́nea recta

    x

    y

    L1 : m1

    L2 : m2b1

    b2 y = mx + b

    La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

    Propiedad:

    Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Propiedades de la lı́nea recta

    x

    y

    m = − ab

    ax + by = c

    La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

    Propiedad:

    Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax + by = c (b 6= 0), entonces, se puede calcular fácilmente la pendiente de la recta como, m = − ab .

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Propiedades de la lı́nea recta

    x

    y

    L1 : m1 L2 : m2

    m2 = − 1m1

    La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

    Propiedad:

    Si m1 es la pendiente de la recta L1, y m2 es la pendiente de la recta L2, m1 6= 0 y L1 y L2 son perpendiculares, entonces m2 = − 1m1 .

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Propiedades de la lı́nea recta

    x

    y

    L : m = 0

    La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

    Propiedad:

    Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente de cero.

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Propiedades de la lı́nea recta

    x

    y

    L : m→ indefinida

    La lı́nea recta Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea recta son:

    Propiedad:

    Las rectas paralelas al eje de las y tienen una pendiente indefinida.

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

    Sistema de ecuaciones Consideremos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

    a11x + a12y = b1

    a21x + a22y = b2

    Un sistema con una solución única Considere el sistema

    x − y = 7 x + y = 5

    Solución Sumando ambas ecuaciones y después restándolas, obtenemos:

    x = 6 y = −1

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

    Sistema de ecuaciones Consideremos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

    a11x + a12y = b1

    a21x + a22y = b2

    Un sistema con un número infinito de soluciones Considere el sistema

    x − y = 7 2x − 2y = 14

    Solución Para este sistema podemos observar que 2(x − y = 7), por lo tanto la solución es de la forma:

    y = x − 7

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

    Sistema de ecuaciones Consideremos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

    a11x + a12y = b1

    a21x + a22y = b2

    Un sistema sin solución Considere el sistema

    x − y = 7 2x − 2y = 13

    Solución

    En este caso tenemos 2(x − y = 132 ), por lo tanto las rectas son paralelas y diferentes.

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Representación matricial de sistemas lineales

    La matriz de coeficientes, A es:

    A =

     2 4 64 5 6 3 1 −2

     Definición Una Matriz es un arreglo rectangular de números. Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones lineales:

    2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + 1x2 − 2x3 = 4

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Representación matricial de sistemas lineales

    La matriz aumentada del sistema es:  2 4 6 | 184 5 6 | 24

    3 1 −2 | 4

    

    Definición Una Matriz es un arreglo rectangular de números. Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones lineales:

    2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + 1x2 − 2x3 = 4

  • Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Operaciones elementales en una matriz:

    Operaciones elementales con renglones 1 Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero. 2 Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón. 3 Intercambiar dos renglones.

    Ejemplo: 2 4 6 | 184 5 6 | 24 3 1 −2 | 4

    R1 → 12R1−−−−−−−→  1 2 3 | 94 5 6 | 24

    3 1 −2 | 4

    

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    Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan

    Operaciones elementales