sistemas dinamicos

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  • Ampliacion de Ecuaciones Diferenciales

    Manuel Fernandez Garca-Hierro

  • Indice general

    Captulo 1. Sistemas Diferenciales Lineales 51. Sumario sobre Sistemas Lineales 52. Sistemas lineales autonomos 73. Conjugacion 194. Clasificacion topologica de sistemas hiperbolicos 215. Sistemas diferenciales lineales periodicos 256. Ejercicios 27

    Captulo 2. Sistemas diferenciales 291. Sumario sobre el problema de valor inicial 292. Diferenciabilidad de la solucion respecto de las condiciones

    iniciales y parametros 313. Integrales primeras 334. Sistemas autonomos. Orbitas 345. Relacion entre sistemas autonomos y no autonomos 376. Sistemas dinamicos 397. Linealizacion 398. Ejercicios 40

    Captulo 3. Estabilidad en Sistemas Diferenciales Autonomos 431. Conjuntos lmites 432. Estabilidad de los puntos de equilibrio. El metodo de Liapunov 473. Sistemas gradientes 504. Sistemas Hamiltonianos 525. Inestabilidad 546. Conjuntos invariantes 567. Ejercicios 60

    Captulo 4. Soluciones periodicas en sistemas autonomos planos 651. Sistemas Hamiltonianos en el plano 652. El Teorema del flujo tubular 673. El Teorema de Poincare-Bendixon 714. Ejercicios 74

    3

  • Captulo 1

    Sistemas Diferenciales Lineales

    1. Sumario sobre Sistemas Lineales

    1.1. Funciones matriciales. Sea A Mn(K) donde K = R o C. Sedefine

    A = supx=1

    Ax,

    donde x es una norma en Kn.La aplicacion A es una norma en Mn(K) que verifica:

    Ax A x,AB A B,

    donde A,B Mn(K) y x Kn.Si n 6= m lo anterior sigue siendo valido con los cambios obvios.Sea la funcion t I A(t) Mn(K). Se verifica:1. A(t) es continua si y solo si aij(t) es continua para todos i, j, dondeA(t) = [aij(t)].

    2. A(t) es derivable si y solo si aij(t) es derivable para todos i, j.Ademas

    A(t) = [aij(t)].3. A(t) es integrable si y solo si aij(t) es integrable para todos i, j.

    Ademas A(t) dt =

    [aij(t) dt

    ].

    4. Sean Ak, A Mn(K), k = 1, 2, . . . Entonces Ak A, k si ysolo si akij aij , k para todos i, j.

    1.2. Existencia y unicidad de soluciones para el problema devalor inicial.

    Teorema 1.1. Sean A : I Mn(K), b : I Kn funciones continuasen el intervalo I. Entonces para cada (t0, x0) I Kn existe una unicasolucion, definida en todo I, del problema de valor inicial

    x = A(t)x+ b(t), x(t0) = x0.

    Sea A : I Mn(K) continua. Entonces el conjunto de soluciones dex = A(t)x es un espacio vectorial n-dimensional y el conjunto de solucionesde x = A(t)x+ b(t) es un espacio afn n-dimensional.

    5

  • 6 1. SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES

    1.3. Soluciones matriciales fundamentales. Una ecuacion dife-rencial lineal matricial tiene la forma

    X = A(t)X,

    donde A : I Mn(K).Una solucion matricial es una funcion derivable X : I Mn(K) tal que

    X (t) = A(t)X(t) para todo t I.Es facil comprobar que si x0 Kn

    (X(t)x0) = X (t)x0 = A(t)X(t)x0.

    De modo que X(t)x0 es solucion de x = A(t)x.

    Teorema 1.2. Sea t I A(t) Mn(K) continua. El problema devalor inicial

    X = A(t)X, X(t0) = X0 Mn(K), t0 I,tiene una unica solucion matricial definida en todo I.

    Proposicion 1.3 (Formula de Abel-Jacobi-Liouville). Sea t I A(t) Mn(K) continua. Si X(t) es una solucion matricial de x = A(t)x yt0 I, entonces

    detX(t) = detX(t0) exp

    ( tt0

    traza A(s) ds

    ),

    para todo t I.El valor | detX(t)| representa el volumen del paraleleppedo determi-

    nado por los vectores columnas, X1(t), . . . , Xn(t). De modo que la formuladescribe como vara el volumen de dicho paraleleppedo a lo largo del tiempo.

    Definicion 1.1. Una solucion matricial X(t) de x = A(t)x se dice fun-damental si X(t) es invertible para todo t, o equivalentemente si es invertiblepara algun t0.

    Entonces, fijado t0 I se verifica que x(t) es solucion si y solo six(t) = X(t)X1(t0)x(t0).

    Proposicion 1.4. Sean X1, X2 soluciones matriciales de X = A(t)X.

    Si X1 es fundamental, entonces existe C Mn(K) tal queX2(t) = X1(t)C.

    1.4. Soluciones del sistema no homogeneo. Formula de varia-cion de constantes. Si X(t) es una solucion matricial fundamental dex = A(t)x, la solucion de x = A(t)x+ b(t), x(t0) = x0 es

    x(t) = X(t)X1(t0)x0 +X(t) tt0

    X1(s)b(s) ds,

    donde t, t0 I.

  • 2. SISTEMAS LINEALES AUTONOMOS 7

    2. Sistemas lineales autonomos

    2.1. Resultados basicos sobre sistemas diferenciales autono-mos. Un sistema diferencial autonomo es de la forma

    (1.1) x = f(x)

    donde f : U Kn es una funcion definida en U Rn. Si f(x) = Ax, dondeA Mn(K), entonces el sistema autonomo es lineal.

    El sistema x = f(x), admite la siguiente interpretacion geometrica:A cada punto x U le asignamos el vector f(x). As tenemos definidoun campo de direcciones. Las soluciones son curvas tangentes al campo dedirecciones. El siguiente resultado es fundamental para lo que sigue.

    Proposicion 1.5. Si x : I U es solucion de (2.6), entonces paracualquier R, x(t+ ) es tambien solucion de (2.6) definida en + I ={t : t I}.

    Demostracion.

    dx(t+ )

    dt(t) =

    dx

    dt(t+ ) = f(x(t+ )).

    Definicion 1.2. Se dice que x0 U es un punto de equilibrio de (2.6)

    si f(x0) = 0. A los demas puntos se les llama regulares.

    Se verifica que x0 U es un punto de equilibrio si y solo si x(t) x0 essolucion de (2.6).

    Sea x : I U una solucion de (2.6). La orbita de x es orb(x) = x(I) ={x(t) : t I}.

    Proposicion 1.6. Supongase que por cada condicion inicial hay unaunica solucion que la verifica. Entonces por cada x0 U pasa una unicaorbita.

    Demostracion. La existencia es obvia. Probemos la unicidad. Seanx : I U solucion maximal tal que x(0) = x0 e y : J U solucion maximaltal que y(t0) = x0. Entonces x : t0 + I U , x(t) = x(t t0) tambien essolucion y verifica, x(t0) = x(0) = x0 = y(t0). Por tanto, t0 + I = J yx(t) = y(t) para todo t J . As que orb(x) = orb(x) = orb(y).

    2.2. Exponencial de una matriz. Si es un autovalor de A y p unautovector asociado, entonces

    x(t) = etp

    es solucion de (1.2). Ademas, si p1, . . . , pn es una base de autovectores conautovalores 1, . . . , n respectivamente, entonces

    et1p1, . . . , etnpn

    es una base de soluciones de (1.2).

  • 8 1. SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES

    Para resolver el sistema x = Ax, A Mn(K), se define la exponencialde A, que es una matriz denotada por eA, con casi las mismas propiedadesque la exponencial de un escalar.

    Del mismo modo que las soluciones de la ecuacion escalar x = ax, a K, son x(t) = etax0, x0 K, las soluciones de(1.2) x = Ax, A Mn(K),seran x(t) = etAx0, x0 Kn, donde etA es la exponencial de la matriz tA,que definiremos a continuacion.

    Definicion 1.3. Sean t R y A Mn(K). La funcion etA es la unicasolucion matricial fundamental de X = AX tal que X(0) = I.

    Las propiedades de etA, que llamaremos exponencial de la matriz tA,vienen recogidas en la siguiente proposicion.

    Proposicion 1.7. Se verifica

    1. (etA)

    = AetA, e0A = I.

    2.

    etA =k=0

    tkAk

    k!,

    siendo la convergencia de la serie uniforme en cada intervalo com-pacto de R.

    3.

    e(t+s)A = etAesA,(etA)1

    = etA.

    4. Sean A Mn(K), B Mm(K) y P Mnm(K) tales que AP =PB. Entonces

    etAP = PetB, para todo t R.5. Si AB = BA, entonces para todo t R

    etAB = BetA,

    et(A+B) = etAetB.

    2.3. Soluciones complejas. Sea A Mn(K). El polinomio carac-terstico de A es

    |A I| = PA() = (1)n( 1)n1 ( r)nr ,donde 1, . . . r son los autovalores distintos de A con multiplicidades alge-braicas n1, . . . nr respectivamente. El Teorema de descomposicion de Jor-dan garantiza la existencia de una matriz no singular P y una matriz

  • 2. SISTEMAS LINEALES AUTONOMOS 9

    B = diag(B1, . . . , Br), Bl = diag(Jl1, . . . , J

    lpl

    ), l = 1, . . . , r, donde

    J lk =

    l 1 0 . . . 00 l 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . l 10 . . . . . 0 l

    ,tales que AP = PB. As que una solucion matricial fundamental de x = Axes etAP = PetB y todo lo que tenemos que hacer es calcular etB. Puesto que

    etB = diag(etB1 , . . . , etBr), etBl = diag(eJl1 , . . . , eJ

    lpl ),

    debemos calcular etJ , donde

    J =

    1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . 10 . . . . 0

    .La matriz J = I +N , donde

    N =

    0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . 0

    .La potencias sucesivas de N son

    N2 =

    0 0 1 0 . . . 00 0 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . 0 10 . . . . . . . 0 00 . . . . . . . 0 0

    , . . . , Nm = 0,

    donde m es el orden de la matriz N . Entonces

    etJ = etI+tN = etIetN

    = et(I +

    tN

    1!+ + (tN)

    m1

    (m 1)!)

    = et

    1 t1! . . .

    tm1(m1)!

    0 1 . . . tm2

    (m2)!. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

    .

  • 10 1. SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES

    Si P es una matriz nm cuyas columnas son P 1, . . . , Pm, entoncesPetJ = [P 1 . . . Pm]etJ

    = et[P 1 tP 1 + P 2 t

    m1

    (m 1)!P1 + + Pm

    ].

    A partir de la formula anterior se deduce que las componentes de cual-quier solucion son funciones de la forma etp(t), donde es un autovalor deA y donde p(t) es un polinomio de grado estrictamente menor que la mul-tiplicidad del autovalor . Tambien es facil, aunque de escritura engorrosa,calcular una base de soluciones de x = Ax sin mas que considerar las ncolumnas de etBP .

    2.4. Soluciones reales. Sea A Mn(R) y considerese el sistemax = Ax, x Rn. Si permitimos soluciones con valores complejos, tene-mos que x(t) es solucion si y solo si Rex(t) y Imx(t) son soluciones. Pa-ra obtener una base de solucio