Trabajo Colaborativo N°2 Sistemas Dinamicos

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TRABAJO COLABORATIVO N°2 SISTEMAS DINAMICOS ANGEL ALEJANDRO RODRIGUEZ TUTOR CARLOS ALBERTO GARZON JUAN CLIMACO PINILLA OSPITIA CODIGO 201527_39

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TRABAJO COLABORATIVO N°2

SISTEMAS DINAMICOS

ANGEL ALEJANDRO RODRIGUEZ

TUTOR

CARLOS ALBERTO GARZON

JUAN CLIMACO PINILLA OSPITIA

CODIGO 201527_39

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

TECNOLOGIA EN ELECTRONICA

2014 

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INTRODUCCION

En el módulo del curso de Sistemas Dinámicos, nos enseña el modelo matemático

de un sistema, para determinar su comportamiento en el dominio del tiempo y la

frecuencia.

Dependiendo de la entrada, los sistemas presentan una respuesta en el tiempo

debido a unos parámetros y en especial a las fuerzas de entrada, a partir de las

entradas y la respuesta en la salida, se integran unas ecuaciones que buscan

llegar a encontrar el cálculo de la respuesta en el tiempo a través de la función de

transferencia.

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OBJETIVOS

Estudiar y entender la Unidad No. 2 del módulo de sistemas dinámicos.

Resolver analíticamente cada uno de los ejercicios propuestos en la guía de

trabajo colaborativo No. 2.

Realizar la actividad practica solicitada en la guía de trabajo colaborativo

No. 2 utilizando la herramienta de software LabVIEW®

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DESARROLLO DE EJERCICIOS

Actividad Teórica

Un sistema de primer orden puede expresarse en forma general a través de su función de transferencia de la siguiente forma:

G (S )= bs+a

= Kdcτs+1

Por tanto si se toma el limite cuando s->0, la constante Kdc o ganancia del sistema es b/a.

b0+a

= Kdc0 s+1

ba=Kdc

Pero debe recordarse que este último postulado se cumple solo cuando el sistema que se está analizando es estable. La estabilidad de un sistema depende mayormente del denominador de su función de transferencia o ecuación característica del sistema. Teniendo en cuenta la función de transferencia del sistema que se está analizando:

V (S)U (S)

= 1ms+b

Donde Masa del vehículo: m = 1000 kg

Coeficiente de amortiguamiento: b= 50 N. s/m Se obtiene que:

V (S)U (S)

= 1ms+b

= 11000 s+50

La estabilidad depende de la ubicación de los polos del sistema en el plano s o eje real, si todos los polos de un sistema se encuentran en la parte negativa de dicho plano, puede decirse que el sistema es estable.

Polos del Sistema.

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1000 s+50=0

1000 s=−50

s= −501000

=−0.05

Aunque el sistema presenta un polo en -0.05, como se muestra en la figura 1. Puede considerarse que dicho sistema es estable, pues ninguno de los polos del mismo se encuentra en la parte positiva del eje s o eje real, además no tiene polos en el origen, pues en el último caso el sistema se consideraría críticamente estable.

Figura 1. Diagrama de polos y ceros del sistema.

Por tanto, si se considera el sistema definido por la ecuación de transferencia:

V (S)U (S)

= 1ms+b

= 11000 s+50

Como un sistema estable, la ganancia DC del sistema es por definición el resultado de la respuesta del sistema cuando s tiende a cero, cuando al sistema

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se le aplica una entrada definida o de referencia, por ejemplo una entrada escalón unitario:

Kdc=lims→0

s [ 11000 s+50

¿]1s¿

Kdc=Ganancia DC del sitema= 150

=0.02

b) La constante de tiempo es el tiempo que le toma al sistema alcanzar el 63% del valor en estado estacionario. Para un sistema de primer orden:

G(s) bs+a

T=1a

G(s)= 11000∗S+50

G(s)= 1/1000S+50/1000

G (s )=1 /1000S+0.05

Luego la constante de tiempo T=1/0.05=20 S

c) El tiempo de establecimiento Ts es el tiempo requerido para que la salida del sistema caiga en este caso 2%.

Tenemos nuestra salida con u(t)=500, se requiere llegar a 500-500*2%=490La forma de la salida es la siguiente:

Y (T )=(1−eTt )u(t)

Y (Ts )=(1−eTTS)=490

ln (1−eTTS)=lg (490)

(1−eTTS)=6.1944

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Ts20

=6.1944

Ts=123.8880

d) Frecuencia de Corte ωc =1/T

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Ejercicio 2: La función de transferencia para el control de velocidad de un motor

DC es:

P (s )=Ω(s)V (s)

= K(Js+b ) (Ls+R )+k2

Los parámetros a tener en cuenta son:

Momento de inercia del rotor: J = 0.01

Constante de fricción viscosa del motor: b = 0.1

Constante del motor: k = 0.01

Resistencia eléctrica: R = 1

Inductancia eléctrica: L = 0.5

De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que la entrada al sistema es el

voltaje v, y la salida es la velocidad w, encuentre:

a) la ganancia DC.

b) el coeficiente de amortiguamiento.

c) la frecuencia natural.

d) el tiempo de establecimiento (criterio 2%).

e) la frecuencia de corte del sistema w.

1R/ P (s )=Ω(s)V (s)

= K(Js+b ) (Ls+R )+k2

= kJLs2+s ( JR+bL )+bR+k2

Si se toma el sistema como estable, entonces la ganancia es el valor de la

función de transferencia cuando s=0:

P (s )=K dc=k

JL s2+s (JR+bL )+bR+k2= k

bR+k2= 0.01

(0.1 ) (1 )+(0.01)2=1000

Kdc=1000

Para hallar el coeficiente de amortiguamiento:

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ζ= b

2√ km

Teniendo en cuenta las analogías Fuerza – Torque – Corriente y Fuerza –

Torque – Voltaje, se determina que: masa=Inercia → m=J.

ζ= b

2√ kJ

= 0.1

2√ 0.010.01

= 0.12(1)

=0.05

La frecuencia natural es la frecuencia (en rad/s) a la que el sistema oscilará

cuando no hay amortiguamiento, ζ = 0.

wn=√ km

=√ kJ=√ 0.010.01

=1

Tiempo de establecimiento (criterio 2%):

T s=3.9ζ wn

= 3.9(0.05)(1)

=78 seg

Actividad Práctica

Ejercicio 1: Con los datos suministrados en el Ejercicio 1 de la Actividad Teórica,

utilice LabVIEW® para:

a) Obtener la respuesta del sistema ante una entrada escalón de 500 N.

b) obtener el mapa de polos-ceros.

c) obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.

a) Obtener la respuesta del sistema ante una entrada escalón de 500 N.

Para obtener la respuesta del sistema a una entrada tipo escalón se hace el siguiente montaje en LABVIEW.

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Figura 1.

En la figura 1 puede apreciarse el montaje que debe realizarse para obtener la respuesta de un sistema ante una entrada escalón, en este caso la magnitud de la entrada es de 500, como puede apreciarse en el valor conectado al bloque de función de transferencia y ganancia (TF X Gain). Del bloque de modelo de construcción de función de transferencia se crean numeradores y denominadores simbólicos, el numerador es la ganancia estática del sistema, el denominador es la suma por un lado de la constante temporal más la constante 1, como se muestra en la siguiente ecuación:

G (S )= bs+a

= Kdcτs+1

Para que en el entorno del panel frontal puedan observarse los resultados pedidos por la guía de actividades es necesario crear unos indicadores de función de transferencia y grafica de respuesta del sistema a entrada escalón, conectados a los bloques de función de transferencia y entrada escalón respectivamente. Para el bloque de función de transferencia se definen las variables, con los valores obtenidos de manera teórica en el ejercicio teórico número 1. La respuesta del sistema a una entrada escalón de magnitud 500, se muestra en la figura 2.

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Figura 2.

b) Obtener el mapa de polos-ceros del sistema.

Para la construcción del diagrama de polos y ceros del sistema se hace uso del diagrama mostrado en la figura 3.

Figura 3.

La figura 3 muestra el diagrama de conexión para hallar el mapa de polos y ceros del sistema, para este fin se hizo uso del montaje realizado para hallar la respuesta del sistema ante una entrada tipo escalón. Se tuvieron en cuenta los valores para la constante de tiempo y ganancia estática Kdc del sistema. Se

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adiciono para hallar el diagrama de polos y ceros del sistema un bloque llamado, mapa de polos y ceros, a partir del cual se creó un indicador con el fin de poder apreciar los resultados en el panel frontal de de la aplicación de este bloqué.

Figura 4. Mapa de polos y ceros del sistema.

c) Obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase del sistema.

Para hallar los diagramas de Bode en Magnitud y Fase del sistema se hace uso del siguiente montaje.

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Figura 5.

En la figura 5 lo que se hizo fue agregar un bloque de Bode al montaje existente anteriormente, a través del cual en primer lugar se había calculado la respuesta del sistema ante una entrada escalo de magnitud 500 y posteriormente el diagrama de polos y ceros del sistema. El bloque de Bode para poder ser visualizado tanto en magnitud como en fase requiere de la creación de un par de indicadores, que se muestran en la figura 5 como Bode Magnitud y Bode fase. En la figura 6 se muestran los diagramas de Bode en magnitud y fase para el sistema que se está analizando.

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Figura 6. Diagramas de Bode en magnitud y fase del sistema.

La idea general de construir cada uno de los montajes para hallar, la respuesta del sistema ante entrada escalón, para construir el mapa de polos y ceros del sistema y los diagramas de Bode del mismo, es poder mostrar todos los requerimientos de la guía para este primer ejercicio práctico en una sola gráfica, como puede observarse en la grafica 7.

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Figura 7.

Ejercicio 2: Con los datos suministrados en el Ejercicio 2 de la Actividad Teórica,

utilice LabVIEW® para:

a) Obtener la respuesta del sistema ante una entrada escalón de 1 V.

b) obtener el mapa de polos-ceros.

c) obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase.

La función de transferencia para el control de velocidad de un motor DC es:

P (s )=Ω(s)V (s)

= K(Js+b ) (Ls+R )+k2

Los parámetros a tener en cuenta son:

Momento de inercia del rotor: J = 0.01

Constante de fricción viscosa del motor: b = 0.1

Constante del motor: k = 0.01

Resistencia eléctrica: R = 1

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Inductancia eléctrica: L = 0.5

Parámetros calculados en el ejercicio teórico 2:

Ganancia estática del sistema (Kdc)

Kdc=1.53Coeficiente de amortiguamiento del sistema (Zeta)

ζ=0.021Frecuencia natural del sistema

Wn=5.7 rad / seg

Función de Transferencia del sistema

G (s )= Kdc (wn )2

S2+2 ζwnS+wn2

G (s )= 1.53 (5.7 )2

S2+2 (0.021 ) (5.7 )S+ (5.7 )2= 49.7

S2+0.024 S+32.49

a) Obtener la respuesta del sistema ante una entrada escalón de magnitud 1 V.

En primer lugar se crea la función de transferencia del sistema, ingresando en el arreglo de la figura 1, los parámetros calculados en el ejercicio teórico 2.

Figura 1. Creación de la función de transferencia del sistema.

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La figura 1 muestra el montaje en LABVIEW de un sistema de segundo orden, propósito para el cual, en primer lugar se ha creado una función de transferencia, a través del bloque de construcción de función de transferencia, para ese bloque se han creado un numerador y un denominador simbólico, en el cual se han introducido para el denominador una función que multiplica la ganancia estática del sistema (Kdc) con la frecuencia angular wn del mismo. Para el denominador simbólico se han definido tres funciones, una para cada término del mismo según la ecuación:

G (s )= Kdc (wn )2

S2+2 ζwnS+wn2

Donde en orden de izquierda a derecha se enlistan los parámetros contenidos en esta ecuación, es decir por un lado se define en la primera casilla de la izquierda el valor del termino independiente, representado por el cuadrado de la frecuencia natural del sistema, en la segunda casilla de izquierda a derecha se define el término que acompaña a la variable s como la multiplicación de 2 veces el factor de amortiguamiento del sistema y la frecuencia natural del mismo, en la última casilla de izquierda a derecha se enlista el término que acompaña a la variable s elevada al cuadrado. Para que la función de transferencia del sistema pueda apreciarse debe hacerse uso de un dibujante de función de transferencia, para el cual se define un indicador que permite visualizar dicha función en el panel frontal del programa LABVIEW.

Para obtener la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario se hace uso del montaje mostrado en la figura 2.

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Figura 2. Construcción del montaje para hallar la respuesta del sistema ante una entrada escalón.

En la figura 2 se observa el montaje para hallar la respuesta del sistema ante una entrada escalón, para tal propósito se ha incorporado al esquema de la figura 1 un bloque de respuesta ante entrada escalón, al cual se le ha acoplado un bloque de ganancia y función de transferencia (TF x Gain), en donde se introduce el valor de la magnitud de la entrada, que para este caso es uno, como puede observarse. Para que el resultado de la respuesta del sistema ante la entrada escalón unitario se observable en el panel control de LABVIEW, es necesario crear un indicador para el bloque de respuesta ante entrada escalón, este indicador se denomina grafica de respuesta escalón.

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Figura 3. Grafica de la respuesta del sistema ante entrada escalón.

b) Obtener el mapa de polos-ceros del sistema.

Para obtener el mapa de polos y ceros del sistema es necesario incorporar al esquema de la figura 2, un bloque de diagramas o mapas de polos y ceros, conectado a la salida del bloque de generación de función de transferencia, para este bloque de generación de polos y ceros del sistema es necesario crear un indicador, que permita observar el diagrama en el panel frontal del software LABVIEW. El procedimiento descrito en el párrafo anterior se muestra en la figura 4.

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Figura 4. Adición de un bloque para generar mapa de polos y ceros del sistema.

Figura 5. Mapa de polos y ceros del sistema.

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c) Obtener los diagramas de Bode de magnitud y fase del sistema.

Para obtener los diagramas de bode de magnitud y fase del sistema se hace uso del siguiente montaje en LABVIEW, teniendo como referencia los parámetros calculados en el ejercicio teórico número 2.

Figura 6. Adición del bloque de generación de diagrama de polos y ceros del sistema.

En la figura 6 puede observarse que para generar los diagramas de Bode del sistema, tanto en magnitud como en fase es necesario adicionar un bloque de construcción de diagramas de Bode, para que dichos diagramas sean visibles por el usuario para el bloque de creación de diagramas de bode es necesario crear dos indicadores, uno para magnitud y otro para fase, los cuales generaran en el panel frontal del LABVIEW, las gráficas correspondientes, como puede apreciarse en la figura 7.

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Figura 7. Diagramas de Bode en magnitud y Fase del sistema.

La principal motivación de ir generando en un mismo esquema los diferentes requerimientos de la guía de actividades para este segundo ejercicio práctico, es decir en primer lugar generar la gráfica de respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario a través de la adicción al diagrama de la figura 1 de los bloques necesarios para tal propósito, después generar el mapa de polos y ceros del sistema, también a parir de la utilización de los bloques de construcción correspondientes, para finalizar con la construcción de los diagramas de bode del sistema a partir del uso de sus correspondientes bloques de construcción, es que todos los parámetros solicitados, puedan apreciarse en una sola gráfica, como se muestra en la figura 8, además que todos los parámetros puedan ser calculados en el archivo ejecutable .VI que genera el programa LABVIEW por defecto.

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Figura 8. Grafica que muestra la respuesta del sistema ante escalón unitario, mapa de polos y ceros del sistema, diagramas de Bode en magnitud y fase del sistema.

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CONCLUSIONES

Se realizaron los ejercicios analíticos solicitados mediante el desarrollo de

algunas ecuaciones y a su vez, el uso de herramientas telemáticas que

facilitan la simulación y la validación de los mismos.

Se afianzaron los conocimientos adquiridos en el desarrollo del curso,

permitiendo al estudiante adquirir destrezas y argumentos de apoyo para su

proceso de formación profesional y laboral.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Sendoya, D. (2007). Módulo de Sistemas Dinámicos. Neiva