Capítulo 4 Sistemas Dinamicos

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Capítulo 4 Sistemas Eléctricos 4.1 Elementos eléctricos 4.2 Sistemas eléctricos Resistencia Capacitor Grados de libertad (DOF) Respuesta natural Respuesta forzada con Simulink Inductor Leyes de Kirchhoff Circuitos con amplificadores operacionales Métodos de modelamiento Fuentes de Voltaje y Corriente Amplificador Operacional

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Capítulo 4

Sistemas Eléctricos

4.1 Elementos eléctricos

4.2 Sistemas eléctricos

Resistencia Capacitor

Grados de libertad (DOF)

Respuesta natural

Respuesta forzada con Simulink

Inductor

Leyes de Kirchhoff

Circuitos con amplificadores operacionales

Métodos de modelamiento

Fuentes de Voltaje y Corriente

Amplificador Operacional

Elementos eléctricos: fuentes de voltaje y corriente

DC y AC

Elementos eléctricos: resistencia

Energía disipada (efecto Joule)

Símbolos para representación gráfica

ρlR

A

resistividad

longitud

área

22 v

E Ri t vit tR

Ley de Ohm

( ) ( )v t Ri t

voltaje corriente

22 v

P Ri viR

Resistencia de alambre – cálculo Relación voltaje-corriente

potencia energía

Unidad SI: Ω (Ohmio)

(variable)

Potenciómetro

Elementos eléctricos: resistencia

Serie Paralelo

Conexiones de resistencias

1 2v v v

1 2sR R R

1 2i i i

1 2v v v

1 2i i i

1 2

1 1 1

pR R R

Resistencia equivalente

Principios

Elementos eléctricos: resistencia

Ejemplo 4.1

Elementos eléctricos: resistencia

Elementos eléctricos: capacitor

Símbolos para representación gráfica

εAC

g

permitividad

área

separación

Capacitor de placas paralelas:

Cálculo de capacitancia: Relaciones básicas

( )( )

dv ti t C

dt

0

1( ) ( )

t

v t i t dtC

( )( )

dq ti t

dt

221 1 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

q tE t Cv t q t v t

C

( )( ) ( ) ( )

dv tP t v t i t vC

dt

Energía almacenada

potencia energía

( ) ( )q t Cv t

Unidad SI: F (faradio)

Aplicación: actuador y sensor en MEMS

Actuador

Transversal (placa-paralela)

Sensor

0

A AC

g g x

2 2

2

0

ε

2 2

E v C Avf

x x g x

2

0 2

0

ε

2

Avf

g

0

Δ Δbvv x

g

Una placa del capacitor es móvil

Placa móvil del capacitor se mueve hacia la placa

fija; área se mantiene constante; la separación varía

Se genera una fuerza/momento Se genera un voltaje

Fuerza variable

Elementos eléctricos: capacitor

Fuerza electrostática variable

Elementos eléctricos: capacitor

2 2

2

0

ε

2 2

E v C Avf

x x g x

Actuador

Longitudinal

Sensor

0 0

( )A x wxC

g g

Placa móvil del capacitor se mueve paralela a la fija;

separación es constante; área superpuesta varía

Se genera fuerza/momento Se genera voltaje

2 2ε

2 2

E v C wvf

x x g

Fuerza constante

0

ΔΔ

Δb

xv v

x x

Elementos eléctricos: capacitor

Aplicación: actuador y sensor en MEMS

Serie Paralelo

Conexiones de capacitores

1 2v v v

1 2pC C C

1 2q q q

1 2v v v

1 2q q q

1 2

1 1 1

sC C C

Capacitancia equivalente

Principios

Elementos eléctricos: capacitor

Elementos eléctricos: inductor

Símbolos para representación gráfica

Inductor cilíndrico de alambre: Cálculo de inductancia

Relaciones Voltaje-corriente

21( ) ( )

2E t Li t

Energía almacenada

energía

( )( )

di tv t L

dt

0

1( ) ( )

t

i t v t dtL

( )( ) ( ) ( ) ( )

di tP t v t i t Li t

dt potencia

2 2πμ

4

N DL

l

permeabilidad

diámetro

longitud

# de vueltas

Unidad SI: H (Henrio)

Serie Paralelo

Conexiones de inductores

1 2v v v

1 2sL L L

1 2i i i

1 2v v v

1 2i i i

1 2

1 1 1

pL L L

Inductancia equivalente

Principios

i

v1 v2

i L1 L2

L1

v

i

i1

i2 L2

Le i

v

Elementos eléctricos: inductor

Funciones

Op Amp

Elementos eléctricos: Amplificador operacional

Funciones:

• Amplificar voltajes

• Aislar circuitos

• Contar señales

• Operaciones

matemáticas (suma,

integración,

diferenciación, etc.)

Sistemas eléctricos: Leyes de Kirchhoff

Primera ley de Kirchhoff: de nodos (KNL)

Ejemplo

Suma algebraica de corrientes conectadas a un nodo= 0

1 2 3 4 0i i i i

1 2 2 3 4 3 5 6 8 1 5 7 4 6 7 8; ; ; ; ;i oi i i i i i i i i i i i i i i i i i

4 6 1 5 4 1 3 1 2o ii i i i i i i i i i i

Segunda ley de Kirchhoff: de voltajes (KVL)

Suma algebraica de voltajes en los componentes = Suma algebraica de fuentes de voltaje

En una malla:

Ejemplo 1 2

( ) 1( ) ( )R L C

di tv v v L Ri t i t dt v v

dt C

2

1 22

( ) ( ) 1( )

d q t dq tL R q t v v

dt dt C

Vea Ejemplo 4.6

Vea Ejemplo 4.7

Sistemas eléctricos: grados de libertad (DOF)

Grados de libertad (DOF) Mínimo número de parametros que definen completamente la

configuración (estado) de un sistema eléctrico

Ejemplos

Sistema de un-DOF Sistema de dos-DOF

# mallas = 1

# DOF = # mallas con KVL

Regla práctica para establecer # DOF

# mallas = 2

Método de análisis de mallas

Se conoce: v, R1, R2 , R3, R4, R5

Sistemas Eléctricos: métodos de modelamiento

• Utiliza leyes de Kirchhoff

• Usualmente, calcula corrientes Ejemplo

Encuentre: i1, i2 , i3

Derive el modelo matemático

1 5 1 4 3

2 3 2 4 3

1 2 3

0

0

R R i R i v

R R i R i

i i i

KVL

KNL

Modelo Matemático

1 5 4 1

2 3 4 2

3

0

0 0

1 1 1 0

R R R i v

R R R i

i

2 3 4

1

1 2 3 4 2 3 4 5 4 5

42

1 2 3 4 2 3 4 5 4 5

2 3

3

1 2 3 4 2 3 4 5 4 5

R R R vi

R R R R R R R R R R

R vi

R R R R R R R R R R

R R vi

R R R R R R R R R R

Solución

Vea Ejemplo 4.9

Ver MATLAB/Ejemplo 4.9

Método de análisis de nodos

Sistemas eléctricos: métodos de modelamiento

• Utiliza leyes de Kirchhoff

• Usualmente, calcula voltajes

Se conoce: v, i, R1, R2 , R3, R4

Ejemplo

Encuentre: vA, vC, i1, i2, i3, i4

Derive el modelo matemático

Modelo matemático

Solución

1 2

1 2

2 3 4

2 3 4

0; or

0; or

A CA

A C C C

v vvi i i i

R R

v v v v vi i i

R R R

1 2 3 3 4 4 2 1 3

1 2 3 4 3 4 1 2 3 4 3 4

3 1 21 3 4

1 2 3 4 3 4 1 2 3 4 3 4

A

C

R R R R R R R R Rv i v

R R R R R R R R R R R R

R R RR R Rv i v

R R R R R R R R R R R R

Vea Ejemplo 4.10

Ver MATLAB/Ejemplo 4.10

1

𝑅1+

1

𝑅2−

1

𝑅2

−1

𝑅2

1

𝑅3+

1

𝑅4+

1

𝑅2

𝑣𝐴𝑣𝐶

=𝑖

1

𝑅4𝑣

Sistemas eléctricos: respuesta natural

Ejemplo

Frecuencia natural

Sistemas conservativos de un-DOF

( ) 1( ) 0

di tL i t dt

dt C

10Lq q

C

2 22 21 1 1 1

2 2 2 2

q qE Li Lq

C C

10q Lq q

C

10q q

LC

1ωn

LC

Modelo matemático

Ley de voltaje de Kirchhoff

Método de la energía ( )i t q

( ) 0d

E tdt

Ver Ejemplo 4.11

Circuito LC

Type equation here.

Sistemas eléctricos: respuesta natural

Ejemplo

Frecuencias naturales

Sistemas conservativos de Múltiple-DOF: método analítico

Modelo matemático

Ecuaciones KVL

1 1 1 2

2 2 2 1

10

10

L q q qC

L q q qC

2

1 1 2

2

1 2 2

1 1ω 0

1 1ω 0

L Q QC C

Q L QC C

2

1

2

2

1 1ω

01 1

ω

LC C

LC C

1

1 22

1 2

ω 0

ω

n

n

L L

CL L

1 1

2 2

sin ω

sin ω

q Q t

q Q t

1 2

1 2

1 2

2 1ω

0.6L L

CL L

Q L

Q L

2

2

1

0.6

11

n

L

LQ

Modo (vectores propios)

Ecuación característica

Ver Ejemplo 4.12

Solución armónica

Sistemas eléctricos: respuesta natural

Ejemplo

Sistemas conservativos de Múltiple-DOF: método MATLAB

Modelo matemático

1 1 1 2

2 2 2 1

10

10

L q q qC

L q q qC

Ver Ejemplo 4.12

𝐿1 00 𝐿2

𝑞1 𝑞2

+

1

𝐶−

1

𝐶

−1

𝐶

1

𝐶

𝑞1𝑞2

=00

𝐿 𝑞 + 𝐶 𝑞 = 0

det ( 𝐿 −1 𝐶 - λ 𝐼 ) = 0

λ = ωn2 = Valores Propios

𝐿 −1 𝐶 = 𝐷

D = Matriz Dinámica

[Q, W] = eig(D) En MATLAB:

Cuando se asume una solución sinusoidal

Vectores Propios (modos) Valores Propios (ωn2 )

Sistemas eléctricos: respuesta natural

Ejemplo 4.13 Derive el modelo matemático y determine las frecuencias naturales y

los modos, para L1 = L2 = L = 50 mH; C1 = C2 = C = 800 µF.

Sistemas conservativos de Múltiple-DOF

Ver MATLAB/Ejemplo 4.13

Energía Total:

Método de la energía:

dE/dt = 0

Sistemas eléctricos: respuesta natural

Ejemplo 4.13

Sistemas conservativos de Múltiple-DOF

De MATLAB,

frecuencias

naturales:

De MATLAB,

Vectores Propios

(Modos):

Factor de amortiguamiento eléctrico

Ejemplo Modelo matemático

Sistemas eléctricos: respuesta libre amortiguada

( ) 1( ) ( ) 0

di tL Ri t i t dt

dt C

10

Rq q q

L LC

( )i t q

22ξω ω 0n nq q q

σ σ σ

1 2cos ω sin ω sin ωt t t

d d dq Q e t Q e t Qe t

2

σ ξω

ω ω 1 ξ

n

d n

Frecuencia natural

2 1ω

2ξω

n

n

LC

R

L

Solución para sistema subamortiguado (0<ξ<1)

Donde: atenuación

frecuencia natural amortiguada

Ejemplo 4.14

Modelo matemático

Sistemas eléctricos: respuesta libre amortiguada

10

Rq q q

L LC

2 1ω

2ξω

n

n

LC

R

L

¿Qué cambios se deben aplicar a C y L

para que ξ sea 25% menor y ωn

incremente 30%? R = 250Ω

ξ = 0.45

ωn = 1200 Hz

L1 = 0.03684H

C1 = 4.77x10-7F

Nuevos valores:

ξ2 = 0.75 ξ = 0.3375

ωn2 = 1.3 ωn = 9,801.77 rad/s

= 2.75 x 10-7 H

= 37.79 x 10-3 H

Voltaje de entrada diferencial

Amplificador

Operacional

Propiedades

Circuitos de Amplificadores Operacionales

Voltaje de salida

2 1 1 2o iv Kv K v v K v v

Ganancia

• Alta impedancia de entrada (resistencia a la corriente)

• Baja impedancia de salida

Amplificador inversor 1 2 3i i i

1 1 2 2

i o o ov v v v

R KR R KR

Realimentación negativa

1 2

1 2

;i A A ov v v vi i

R R

o Av Kv

2

1

o

i

v R

v R

K

Circuitos de Amplificadores Operacionales

Sumador

Circuitos de Amplificadores Operacionales

Integrador

Sistemas eléctricos: respuesta forzada con Simulink

Ejemplo 4.17

• Identifique un circuito eléctrico cuyo modelo matemático es:

• Use Simulink para resolver esta ecuación diferencial para x(0) = 0

y ω = 100 rad/s

Si:

R = 1Ω

C = 0.1F

v = Cos(100t)V

)100(10 tCosqq

Para Simulink: )100(10 tCosqq

Ver MATLAB/Simulink/Ejemplo 4.17 )2/100()100( tSentCos

Ejemplo

Modelo matemático

Sistema de op amp de dos etapas

18sin 5 Viv tGrafique vo

Valores de todas las resistencias Se conoce:

Saturación de voltaje

Se satura fuera de -10 V — 15 V

2 4 2 4

1 3 1 3

o o

i i

v v R R R RvK

v v v R R R R

,min ,min

,min ,max

,max ,max

,

,

,

o i i

o i i i i

o i i

v v v

v Kv v v v

v v v

Vea Ejemplo 4.18

Sistemas eléctricos: respuesta forzada con Simulink

Ejemplo 4.18 (continuación)

Gráfico de vo

Modelo en Simulink

Sistemas eléctricos: respuesta forzada con Simulink

Ver MATLAB/Simulink/Ejemplo 4.18

Ver MATLAB/Ejemplo 4.18

Problemas Capítulo 4

Problema 4.1

Problema 4.6

Problema 4.21

Problema 4.27