Sistemas de Numeracion

Índice

Reseña histórica de las matemáticas………………… 3

Sistemas de numeración………………………………… 9

Características de sistemas de numeración………… 10

Sistema de numeración griego………………………… 12

Sistema de numeración egipcio……………………….. 13

Sistema de numeración chino………………………….. 14

Sistema de numeración maya………………………….. 15

Sistema de numeración romano……………………….. 17

Sistema de numeración binario…………………………18

Reseña histórica de las matemáticas

Las matemáticas empiezan con el conteo. Sin embargo, no es razonable sugerir que el conteo de la antigüedad era matemático. Se puede decir que las matemáticas empiezan solamente cuando se empezó a llevar un registro de ese conteo y, por ello, se tuvo alguna representación de los números.

En Babilonia, las matemáticas se desarrollaron a partir del 2000 a. C. Antes de esto, durante un largo periodo había evolucionado un sistema numérico posiciónala con base 60. Esto permitió representar números arbitrariamente grandes y fracciones y se convirtió en los cimientos de un desarrollo matemático más fuerte y dinámico.

Problemas numéricos tales como el de las tripletas pitagóricas (a, b, c) con a2 + b2 = c2 fueron estudiados desde al menos el 1700 a. C. Los sistemas de ecuaciones lineales fueron estudiados en el contexto de resolver problemas numéricos. Las ecuaciones cuadráticas también fueron estudiadas y estos ejemplos llevaron a una especie de álgebra numérica.

También se estudiaron problemas geométricos relacionados con figuras similares, área y volumen y se obtuvieron valores para π.

La base matemática babilónica fue heredada a los griegos y el desarrollo independiente de las matemáticas griegas empezó alrededor del 450 a. C. Las paradojas de Zenón de Elea condujeron a la teoría atómica de Demo criíto. Una formulación más precisa de

conceptos los llevó a darse cuenta de que los números racionales no bastaban para medir todas las longitudes. Surgió entonces una formulación geométrica de los números irracionales. Estudios sobre áreas condujeron a una forma de integración. La teoría de las secciones cónicas muestra una cima en el estudio de las matemáticas puras de Apolonio. Muchos otros descubrimientos matemáticos surgieron de la astronomía, por ejemplo, el estudio de a trigonometría.

El mayor progreso griego en las matemáticas se dio entre el 200 a. C. y el 200 d. C. Después de esa época el progreso continuó en los países islámicos. Las matemáticas florecieron en especial en Irán, Siria e India. Este trabajo no igualó los avances hechos por los griegos pero además de los suyos propios, preservó las matemáticas griegas. Desde alrededor del siglo XI, Abelardo de Bath, y después Fibonacci, llevaron las matemáticas islámicas y sus conocimientos de las matemáticas griegas de regreso a Europa.

Los grandes adelantos matemáticos en Europa reiniciaron a principios del siglo XVI con Pacioli y después Cardán, Tartaglia y Ferari con la solución algebraica de ecuaciones cúbicas y cuárticas. Copérnico y Galileo revolucionaron las aplicaciones de las matemáticas en el estudio del universo.

El progreso en el álgebra tuvo un importante efecto psicológico y el entusiasmo por la investigación matemática, en particular del álgebra, se extendió desde Italia a Stevin en Bélgica y Viète en Francia.

El siglo XVII vio a Napier, Briggs y otros ampliar enormemente el poder de las matemáticas como una ciencia para calcular con el descubrimiento de los logaritmos. Cavaliere hizo progresos hacia el cálculo con sus métodos infinitesimales y Descartes añadió el poder de los métodos algebraicos a la geometría.

El avance hacia el cálculo continuó con Fermat, quien, junto con Pascal, inició el estudio matemático de la probabilidad. Sin embargo, el cálculo sería el tema de mayor relevancia que evolucionó en el siglo XVII.

Newton, edificando sobre el trabajo de muchos matemáticos anteriores a él, tales como su maestro Barrow, convirtió al cálculo en una herramienta que impulsó el estudio de la naturaleza. Su trabajo era rico en nuevos descubrimiento que mostraban la interacción entre las matemáticas, la física y la astronomía. La teoría de la gravedad de Newton así como su teoría de la luz, nos llevan hasta el siglo XVIII.

Sin embargo, debemos mencionar también a Leibniz, cuyo acercamiento mucho más riguroso al cálculo (a pesar de no ser aún totalmente satisfactorio) puso las condiciones para la labor matemática del siglo XVIII más que el de Newton. La influencia de Leibniz sobre los muchos miembros de la familia Bernoulli fue importante para hacer crecer la fuerza del cálculo y la variedad de sus aplicaciones.

El matemático más importante del siglo XVIII fue Euler quien, además de trabajar en toda una gama de ramas de las matemáticas, inventó dos nuevas: el cálculo de variaciones y la geometría diferencial. Euler también impulsó la investigación sobre la teoría de números que había iniciado tan eficazmente Fermat.

Hacia finales del siglo XVIII, Lagrange iniciaría una rigurosa teoría de funciones y de la mecánica. Ese periodo vio la gran obra de Laplace sobre mecánica celeste así como grandes progresos de Monge y Carnot en la geometría sintética.

El siglo XIX vio rápidos avances. El trabajo de Fourier sobre el calor tuvo fundamental importancia. En geometría, Plücker produjo obras importantes sobre geometría analítica y Steiner sobre geometría sintética.

La geometría no-euclidiana desarrollada por Lobachevsky y Bolyai condujo a la caracterización de la geometría por Riemann. Gauss, considerado por algunos como el mejor matemático de todos los tiempos, estudió la reciprocidad cuadrática y las congruencias de enteros. Su trabajo sobre geometría diferencial revolucionaría la materia. También hizo grandes contribuciones a la astronomía y el magnetismo.

El siglo XIX vio el trabajo de Galois sobre ecuaciones y su visión sobre el camino que seguirían las matemáticas en el estudio de las operaciones fundamentales. La introducción de Galois al concepto de grupo anunciaría una nueva dirección para la investigación en matemáticas la cual ha continuado desde entonces.

Cauchy, construyendo sobre el trabajo sobre funciones de Lagrange, empezó un análisis riguroso y comenzó el estudio de la teoría de funciones de una variable compleja. Esta labor la continuarían Weierstrass y Riemann.

La geometría algebraica fue impulsada por Cayley, cuyo trabajo sobre matrices y álgebra lineal complementó el de Hamilton y Grassmann. El término del siglo XIX vio a Cantor inventar la teoría de conjuntos casi sin ayuda mientras que su análisis del concepto de número se sumó al importante trabajo de Dedekind y Weierstrass sobre los número irracionales. El análisis fue conducido por los requerimientos de la física matemática y la astronomía. La obra de Lie sobre ecuaciones diferenciales llevó al estudio de los grupos topológicos y la topología diferencial. Maxwell revolucionaría la aplicación del análisis a la física matemática. La mecánica estadística fue desarrollada por Maxwell, Boltsmann y Gibbs y condujo a la teoría ergódica.

El estudio de las ecuaciones integrales fue impulsado por el estudio de la electrostática y la teoría potencial. El trabajo de Fredholm llevó a Hilbert a desarrollar el análisis funcional.

Notación y comunicación

Hay muchos descubrimientos matemáticos importantes pero solamente aquellos que pueden ser comprendidos por otras personas conducen al progreso. Sin embargo, la facilidad de uso y de comprensión de los conceptos matemáticos depende de su notación.

Por ejemplo, es muy claro cómo el trabajo con números se entorpece con una notación pobre. Intenta multiplicar dos cifras usando notación en números romanos. ¿Cuánto da MLXXXIV por MMLLLXIX? La suma, por supuesto, es otra cuestión y, en ese caso los números romanos alcanzan todo su potencial; los mercaderes, quienes hacían la mayor parte de sus cuentas sumando cifras, se mostraron reacios a dejar de usar los números romanos.

Hay otros ejemplos de problemas con la notación. El más conocido probablemente sea la notación para el cálculo usada por Leibniz y Newton. La de Leibniz llevó con mayor facilidad hacia la extensión de las ideas del cálculo mientras que la de Newton, aunque buena para describir velocidad y aceleración, tenía mucho menor potencial cuando se consideran funciones con dos variables. Los matemáticos británicos que muy patrióticamente usaban la notación de Newton, se colocaron en desventaja respecto a los matemáticos de la Europa continental que siguieron a Leibniz.

Pensemos por un momento sobre cuánto dependemos de la notación matemática y de las convenciones. Pídele a cualquier matemático que resuelva ax = b y obtendrás como respuesta x = b/a. Me sorprendería mucho que recibieras la respuesta a = b/x pero no hay realmente razón para que no sea así. Estamos usando, muchas veces sin darnos cuenta, la convención de que las últimas letras del alfabeto representan las incógnitas mientras que las del principio representan cantidades conocidas.

No siempre fue así: Harriot usó a como su incógnita, lo mismo que otros de sus contemporáneos. La convención que empleamos (las letras finales del alfabeto como incógnitas) fue iniciada por Descartes en 1637. Otras convenciones han caído en desgracia; por ejemplo la notación de Viète, quien usó las vocales como incógnitas y las consonantes como cantidades conocidas.

Por supuesto que ax = b contiene otras convenciones de notación que utilizamos sin notarlo. Por ejemplo, el signo de igual ('=') fue usado por primera vez por Recorde en 1557. También tenemos que ax se usa para denotar el producto de a por x, ¡la notación más eficiente de todas ya que no requiere escribir nada para denotar el producto!

¿Descubrimientos brillantes?

Es muy difícil comprender la brillantez de los descubrimientos matemáticos más importantes. Por un lado, muchas veces aparecen como destellos aislados aunque de hecho son la culminación de la obra de muchos matemáticos, con frecuencia menos

hábiles, durante un largo periodo de tiempo.

Por ejemplo, la controversia de si el cálculo fue descubierto por Newton o por Leibniz puede ser resuelta fácilmente. Ninguno de ellos lo hizo ya que no hay duda que Newton lo aprendió de su maestro, Barrow. Claro que no estoy sugiriendo que Barrow deba recibir el crédito de haber descubierto el cálculo; simplemente estoy señalando que el cálculo surge de un largo periodo de progreso que empieza con las matemáticas griegas.

Ahora estamos en peligro de reducir los más importantes descubrimientos matemáticos a la simple suerte de alguien que estaba trabajando sobre un tema en 'el momento idóneo'. Esto también sería totalmente injusto (aunque algo ayuda a explicar por qué tantas veces dos o más personas descubrieron lo mismo de manera independiente más o menos al mismo tiempo). Todavía existe el destello de genio en los descubrimientos, muchas veces proveniente de un entendimiento más profundo o de poder ver la importancia de ciertas ideas con mayor claridad.

Cómo vemos la historia

Vemos la historia de las matemáticas desde nuestra propia posición de entendimiento y sofisticación. No puede ser de otro modo pero aún así tenemos que tratar de comprender la diferencia entre nuestro punto de vista y el de los matemáticos de hace siglos. Muchas veces la manera en que se enseñan las matemáticas hoy en día hace que cueste trabajo que entendamos las dificultades del pasado. No hay razón alguna para que alguien introdujera los números negativos nada más para resolver ecuaciones como x + 3 = 0. De hecho, no hay una verdadera razón para introducir los números negativos. Nadie tenía -2 libros. Podemos pensar en el 2 como una propiedad abstracta que posee todo conjunto con dos elementos. Esto en sí mismo es una idea muy profunda. Añadir dos manzanas a tres manzanas es una cosa. Darse cuenta de que hay propiedades abstractas 2 y 3 que se aplican a cada conjunto con 2 y 3 elementos y de que 2 + 3 = 5 es un teorema general que aplica ya sea que los conjuntos tengan manzanas, libros o árboles, es dar el paso de contar hacia el mundo de las matemáticas.

Los números negativos no tienen este tipo de representación concreta sobre la cual construir la abstracción. No debe sorprendernos que su uso empezara solamente después de una larga lucha. Entender estas dificultades sería beneficioso para cualquier profesor que esté tratando de enseñar a niños de primaria. Hasta los enteros, a los cuales consideramos el concepto más básico, tienen una sofisticación que nada más puede ser comprendida adecuadamente si se examina su contexto histórico.

Sistemas de numeraciones

Introducción. El Concepto de Base

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

Características de sistemas de numeración

Sistemas de Numeración Aditivos Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en

forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes.Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.

Sistemas de Numeración Multiplicativo Se caracteriza por tener símbolos para la unidad, la base, sus potencias y todos los números comprendidos entre la unidad y la base. Son de este tipo el babilónico y el maya.

Sistemas de Numeración Híbridos En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posiciónal, ya que si los signos del 10, 100 etc. se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070... Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.

Sistemas de Numeración Posiciónales

Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posiciónales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas... o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas

no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

Sistema de Numeración Griego El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 AC. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente.

De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.

El Sistema de Numeración Egipcio Desde el tercer milenio AC. Los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una

estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

El Sistema de Numeración Chino La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 AC. Aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura.

No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10. Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

El Sistema de Numeración Maya Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas. Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año. El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.

Sistema de numeración Romano El sistema de números romanos carece del 0 por lo que se convierte en un sistema muy complicado al querer realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema de numeración, ha caído en desuso y sólo se lo usa con fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (para numerar: los siglos, los papas, los reyes y reinas, etc.). Las reglas para escribir los números son: 1- Un símbolo no se puede repetir más de tres veces seguidas 2- Si un símbolo de valor inferior, antecede a otro de valor superior, el primer símbolo resta su valor, al valor del símbolo de la derecha. 3- Una raya encima de un símbolo, multiplica por mil el valor del símbolo. Dos rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo

El sistema de numeración binario

El sistema de numeración binario Utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

BIBLIOGRAFÍA • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html • www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/NumRom.htm

• www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc • Gran Enciclopedia LAROUSSE(24 volúmenes) Editorial Planeta • Nueva Enciclopedia Temática Editorial Planeta (14 volúmenes)

http://www.buenastareas.com/ensayos/Sistemas-De-Numeracion/772184.html

http://www.buenastareas.com/ensayos/Sistemas-De-Numeracion/772184.html

LOS SISTEMAS DE NUMERACION A LO LARGO DE LA HISTORIA

En esta página encontrará información acerca de las distintas clases de sistemas de numeración que distintas culturas han usado a lo largo de la Historia Introducción. El Concepto de Base Sistemas de Numeracion Aditivos Egipcio Griego Sistemas de Numeracion Hibridos Chino Sistemas de Numeracion Posicionales Babilónico Maya

Introducción. El Concepto de Base Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de simbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la

multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un metodo diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez simbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones. Sistemas de Numeracion Aditivos Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema geroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un geroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 geroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están fisicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los simbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judios y árabes.

El Sistema de Numeración Egipcio Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema deescribir los números en base diez utilizando los geroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podian escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.

Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitian mayor rapidez y comodidad a los escribas

En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

El Sistema de Numeración Griego El primer sitema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente


Sistemas de Numeracion Híbridos En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacion del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 ... Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.

El Sistema de Numeración Chino La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura

y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental,ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.

Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10. Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documento importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

Sistemas de Numeración Posicionales

Mucho más efectivos que los sitemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la intraducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de simbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio nigún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo

conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el sss. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cáculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos dificilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

El Sistema de Numeración Babilónico Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y asi sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.

El Sistema de Numeración Maya Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que seañadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cífras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carater religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimiento astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.

Santiago Casado [email protected]

Sistema de numeración Índice [ocultar] 1 Sistemas de numeración Nociones

Número Cifra Numeral Base Notaciones Posicional Aditiva Mixta Numeraciones Numeración Pipil (mesoamericana) Árabe Armenia Ática Babilónica Camboyana (Jémer) China Cirílica Egipcia Etrusca Griega Fenicia Hebrea Numeración india brahmánica India Japonesa Maya Muisca Romana Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Un sistema de numeración puede representarse como donde: es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.). es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}. son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas. Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema. Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema. Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de

raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas. Clasificación 2 Sistemas de numeración no posicionales 3 Sistemas de numeración posicionales 4 Teorema Fundamental de la numeración 4.1 Ejemplo en el sistema decimal 4.2 Ejemplo en el sistema binario 5 Véase también 6 Referencias 6.1 Bibliografía Sistemas de numeración Nociones Número Cifra Numeral Base

Notaciones

Posicional Aditiva Mixta

Numeraciones

Numeración Pipil (mesoamericana) Árabe Armenia Ática Babilónica Camboyana (Jémer) China Cirílica Egipcia Etrusca Griega Fenicia Hebrea Numeración india brahmánica India

Japonesa Maya Muisca Romana

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Un sistema de numeración puede representarse como

donde: es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.). es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}. son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas. Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema. Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema. Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas. Clasificación Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales: En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número. En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número. Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños. [editar]Sistemas de numeración no posicionales Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para

representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos . Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2 Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas. [editar]Sistemas de numeración posicionales Artículo principal: Sistema de numeración posicional. El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior. Ejemplo en el sistema de numeración decimal Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando. De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100. El cuentakilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda. Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión. Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útilescomo este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema binario, de base 8 sistema octal y el de base 16 sistema hexadecimal. También los antiguos mayas tuvieron un sistema de numeración posicional el cual ya no se usa. [editar]Teorema Fundamental de la numeración Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de

numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas: , número válido en el sistema de numeración. , base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema. , un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración. ,: número de dígitos de la parte entera. , coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria. ,: número de dígitos de la parte decimal. La fórmula general para construir un número N, con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:

El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número. Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas. [editar]Ejemplo en el sistema decimal En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (el número de símbolos válidos en el sistema) es diez En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.

Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria. Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10-1=0,1), centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) . Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como: 1492/36

[editar]Ejemplo en el sistema binario Véase ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior. En la figura inferior puede verse el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.

Siguiendo con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba, en este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo existen 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios. En el sistema binario, para representar cifras mayores que 1 se combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda columna de un orden superior. Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que se cuenta (suma) dos se han agotado los símbolos disponibles para esa columna, y se deben poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda. Así, contando en binario, tras el número viene el , pero si se cuenta una unidad más se debe usar otra columna, resultando Se sigue contando ,,,. Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos disponibles), y se debe formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también se agotan los símbolos disponibles para esa columna, y se deben formar una unidad de tercer orden o . Así, en el sistema binario Ejemplos: El número está formado por un solo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor de , el segundo de y el tercero de , dando como resultado el valor del número: .

Sistema de numeración decimal

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Para otros usos de este término, véase Sistema decimal (desambiguación). El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética laspotencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis(6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.

Índice [ocultar]

1 Notación decimal 2 Historia 2.1 Numeraciones decimales 3 Escritura decimal 4 Véase también 5 Notas y bibliografía [editar]Notación decimal Véase también: Nombres de los números en español. Véase también: Escalas numéricas larga y corta. Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de las unidades, el dígito se multiplica por (es decir 1) ; el siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc.

Ejemplo:

otro ejemplo:

o también:

Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria.

Ejemplo:

o también:

El sistema de numeración romano es decimal, pero no-posicional:

. [editar]Historia Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. También existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Cronología Año Acontecimiento III milenio a.C. Los egipcios utilizan un sistema decimal no posicional. Otras culturas de mesopotamia (Sumeria, Babilonia, ...) utilizaban un sistema posicional sexagesimal.

Antes de 1350 los chinos. hacia -600 los etruscos hacia -500 Registros en sánscrito.

La civilización maya [editar]Numeraciones decimales El sistema decimal es el más común. Por ejemplo, las numeraciones: árabe, armenia, china, egipcia, gótica, griega, hebrea, inda, japonesa, mongol, romana, tchouvache, thaï. [editar]Escritura decimal

En un sistema de numeración posicional de base racional, como la decimal, podemos representar números enteros, sin parte decimal, y números fraccionarios, un número fraccionario que tiene los mismos divisores que la base dara un número finito de cifras decimales, racional exacto, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita: la parte fraccionaria presentará un período de recurrencia pura, números racionales periódicos puros, cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta, números racionales periódicos mixtos, (aquella en la que hay dígitos al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base. La escritura única (sin secuencias recurrentes) puede ser de los tipos: Número entero Número decimal exacto. Número decimal periódico. Número decimal periodico puro. Número decimal periodico mixto. Número irracional.

Esta ley de tricotomía aparece en todo sistema de notación posicional en base entera n, e incluso se puede generalizar a bases irracionales, como la base áurea. Sistema binario

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Página del artículo Explication de l'Arithmétique Binaire de Leibniz. El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental. Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI. En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario. El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual. En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

[editar]Aplicaciones En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés yconmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales. En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell, construyó una computadora basada en relés —a la cual apodó "Modelo K" (porque la construyó en una cocina, en inglés "kitchen")— que utilizaba la suma binaria para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigación a finales de 1938, con Stibitzal mando. El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una "Calculadora de Números Complejos", la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, quien escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros. Véase también: Código binario. [editar]Representación

ejemplo: el sistema binario puede ser representado solo por dos digitosUn número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de usar dos estados mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico binario: 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 | - | - - | | - | - x o x o o x x o x o y n y n n y y n y n El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos voltajes diferentes; también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la nomenclatura usada. De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números árabes, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los números binarios se escriben a menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son equivalentes: 100101 binario (declaración explícita de formato) 100101b (un sufijo que indica formato binario) 100101B (un sufijo que indica formato binario) bin 100101 (un prefijo que indica formato binario) 1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación) %100101 (un prefijo que indica formato binario) 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación) [editar]Conversión entre binario y decimal [editar]Decimal a binario Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división. A continuación se ordenan los restos empezando desde el último al primero, simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división, se les da la vuelta. Éste será el número binario que buscamos. Ejemplo Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple: 131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0 16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0 8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0 4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0 2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0 1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1 -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

En sistema binario, 131 se escribe 10000011 Ejemplo Transformar el número decimal 100 en binario.

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Ejemplo 100|0 50|0 25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo entre 2 12|0 6|0 3|1 1|1 --> Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151-128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente. Ejemplo 20= 1|0 21= 2|0 22= 4|0 23= 8|0 24= 16|0 25= 32|0 26= 64|0 27= 128|1 [editar]Decimal (con decimales) a binario Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario: 1. Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente). 2. Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado

1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte entera del resultado). 3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención. 4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.

Ejemplo 0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario). Proceso: 0,3125 · 2 = 0,625 => 0 0,625 · 2 = 1,25 => 1 0,25 · 2 = 0,5 => 0 0,5 · 2 = 1 => 1 En orden: 0101 -> 0,0101 (binario) Ejemplo 0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario). Proceso: 0,1 · 2 = 0,2 ==> 0 0,2 · 2 = 0,4 ==> 0 0,4 · 2 = 0,8 ==> 0 0,8 · 2 = 1,6 ==> 1 0,6 · 2 = 1,2 ==> 1 0,2 · 2 = 0,4 ==> 0 0 1 1 0,0 0011 0011 ... (binario periódico) Ejemplo 5.5 = 5,5 5,5 (decimal) => 101,1 (binario). Proceso: 5 => 101 0,5 · 2 = 1 => 1 En orden: 1 (un sólo dígito fraccionario) -> 101,1 (binario) Ejemplo 6,83 (decimal) => 110,110101000111 (binario). Proceso: 6 => 110 0,83 · 2 = 1,66 => 1 0,66 · 2 = 1,32 => 1 0,32 · 2 = 0,64 => 0 0,64 · 2 = 1,28 => 1 0,28 · 2 = 0,56 => 0 0,56 · 2 = 1,12 => 1 0,12 · 2 = 0,24 => 0 0,24 · 2 = 0,48 => 0 0,48 · 2 = 0,96 => 0 0,96 · 2 = 1,92 => 1

0,92 · 2 = 1,84 => 1 0,84 · 2 = 1,68 => 1 En orden: 110101000111 (binario) Parte entera: 110 (binario) Encadenando parte entera y fraccionaria: 110,110101000111 (binario) [editar]Binario a decimal Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente: 1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 20). 2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. Ejemplos: (Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)

También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1. Ejemplo El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera:

entonces se suman los números 64, 16 y 2:

Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:

[editar]Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria) 1. Inicie por el lado izquierdo (la primera cifra a la derecha de la coma), cada número multiplíquelo por 2 elevado a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia -1, 2-1). 2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. Ejemplos 0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso: 1 · 2 elevado a -1 = 0,5 0 · 2 elevado a -2 = 0 1 · 2 elevado a -3 = 0,125 0 · 2 elevado a -4 = 0 0 · 2 elevado a -5 = 0 1 · 2 elevado a -6 = 0,015625 La suma es: 0,640625

0,110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso: 1 · 2 elevado a -1 = 0,5 1 · 2 elevado a -2 = 0,25 0 · 2 elevado a -3 = 0 1 · 2 elevado a -4 = 0,0625 1 · 2 elevado a -5 = 0,03125 1 · 2 elevado a -6 = 0,015625 La suma es: 0,859375 [editar]Operaciones con números binarios [editar]Suma de números binarios La tabla de sumar para números binarios es la siguiente: + 0 1 0 0 1 1 1 10 Las posibles combinaciones al sumar dos bits son: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición. Ejemplo 1 10011000 + 00010101 ——————————— 10101101 Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal). [editar]Resta de números binarios El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo,

sustraendo y diferencia. Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1) La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1. Ejemplos 10001 11011001 -01010 -10101011 —————— ————————— 00111 00101110 En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varios métodos: Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas: 100110011101 1001 1001 1101 -010101110010 -0101 -0111 -0010 ————————————— = ————— ————— ————— 010000101011 0100 0010 1011 Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo. Ejemplo La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es: 1011011 1011011 -0101110 el C2 de 0101110 es 1010010 +1010010 ———————— ———————— 0101101 10101101 En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia. Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos: 11011011 11011011 -00010111 el C2 de 00010111 es 11101001 +11101001 ————————— ————————— 11000100 111000100 Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal. Utilizando el complemento a uno. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit que se desborda. [editar]Producto de números binarios

La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente: · 0 1 0 0 0 1 0 1 El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto. Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001: 10110 1001 ————————— 10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110 En sistemas electrónicos, donde suelen usarse números mayores, se utiliza el método llamado algoritmo de Booth. 11101111 111011 __________ 11101111 11101111 00000000 11101111 11101111 11101111 ______________ 11011100010101 [editar]División de números binarios La división en binario es similar a la decimal; la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario. Ejemplo Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13): 100010010 /1101 = 010101 -0000 ———————

10001 -1101 ——————— 01000 - 0000 ——————— 10000 - 1101 ——————— 00111 - 0000 ——————— 01110 - 1101 ——————— 00001 [editar]Conversión entre sistema binario y octal [editar]Sistema Binario a octal Debido a que el sistema octal tiene como base 8, que es la tercera potencia de 2, y que dos es la base del sistema binario, es posible establecer un método directo para convertir de la base dos a la base ocho, sin tener que convertir de binario a decimal y luego de decimal a octal. Este método se describe a continuación: Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente: 1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111 Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha. Ejemplos 110111 (binario) = 67 (octal). Proceso: 111 = 7 110 = 6 Agrupe de izquierda a derecha: 67 11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso: 111 = 7 001 = 1 11 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3 Agrupe de izquierda a derecha: 317 1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso: 011 = 3 000 = 0 1 entonces agregue 001 = 1 Agrupe de izquierda a derecha: 103 Si el número binario tiene parte decimal, se agrupa de tres en tres desde el punto decimal hacia la derecha siguiendo los mismos criterios establecidos anteriormente para números enteros. Por ejemplo: 0.01101 (binario) = 0.32 (octal) Proceso: 011 = 3 01 entonces agrege 010 = 2 Agrupe de izquierda a derecha: 32 Agrege la parte entera: 0.32 [editar]Octal a binario Cada dígito octal se convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden. Ejemplo 247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111. [editar]Conversión entre binario y hexadecimal [editar]Binario a hexadecimal Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda. 2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Número en binario 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000

1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Número en hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda. Ejemplos 110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso: 1010 = A 1011 = B 1 entonces agregue 0001 = 1 Agrupe de derecha a izquierda: 1BA 11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso: 0101 = 5 1111 = F 110 entonces agregue 0110 = 6 Agrupe de derecha a izquierda: 6F5 [editar]Hexadecimal a binario Note que para pasar de Hexadecimal a binario, se remplaza el número Hexadecimal por el equivalente de 4 bits, de forma similar a como se hace de octal a binario. [editar]Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Gray o Reflejado Decimal Binario Hexadecimal

Octal BCD Exceso 3 Gray o Reflejado 0 0000 0 0 0000 0011 0000 1 0001 1 1 0001 0100 0001 2 0010 2 2 0010 0101 0011 3 0011 3 3 0011 0110 0010 4 0100 4 4 0100 0111 0110 5 0101 5 5 0101

1000 0111 6 0110 6 6 0110 1001 0101 7 0111 7 7 0111 1010 0100 8 1000 8 10 1000 1011 1100 9 1001 9 11 1001 1100 1101 10 1010 A 12 0001 0000

1111 11 1011 B 13 0001 0001

1110

12 1100 C 14 0001 0010

1010 13 1101 D 15 0001 0011

1011 14 1110 E 16 0001 0100

1001 15 1111 F 17 0001 0101

1000 [editar]Factorialización Tabla de conversión entre binario, factor binario, hexadecimal, octal y decimal Binario Factor binario Hexadecimal Octal Decimal 0000 0010 21 2 2 2 0000 0100 22 4 4

4 0000 1000 23 8 10 8 0001 0000 24 10 20 16 0010 0000 25 20 40 32 0100 0000 26 40 100 64 1000 0000 27 80 200 128 Sistema octal El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. Para convertir un número en base decimal a base octal se divide por 8 sucesivamente hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado. Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112. En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar conbytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales. Índice [ocultar]

1 Sistema de numeración octal 2 Fracciones 3 Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal y octal 4 Véase también 5 Enlaces externos [editar]Sistema de numeración octal El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. El teorema fundamental aplicado al sistema octal sería el siguiente:

Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452,32 tenemos que: 2*80 + 5*81 + 4*82 + 3*83 + 3*8-1 + 2*8-2 = 2 + 40 + 4*64 + 3*512 + 3*0,125 + 2*0,015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0,375 + 0,03125 = 1834 + 0,40625d Entonces, 3452,32q = 1834,40625d El sub índice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra 'o' y el número 0. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Es utilizado como una forma abreviada de representar números binarios que emplean caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito octal (del griegooktō 'ocho') Esto es muy importante por eso. [editar]Fracciones La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2. Todas las fracciones que tengan un denominador distinto de una potencia de 2 tendrán un desarrollo octal periódico. Fracción Octal Resultado en octal 1/2 1/2 0,4 1/3 1/3 0,25252525 periódico 1/4 1/4 0,2 1/5

1/5 0,14631463 periódico 1/6 1/6 0,125252525 periódico 1/7 1/7 0,111111 periódico 1/8 1/10 0,1 1/9 1/11 0,07070707 periódico 1/10 1/12 0,063146314 periódico [editar]Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal y octal Decimal Binario Hexadecimal octal 0 00000 0 0 1 00001 1 1 2 00010 2 2 3 00011 3 3 4 00100 4 4 5 00101

5 5 6 00110 6 6 7 00111 7 7 8 01000 8 10 9 01001 9 11 10 01010 A 12 11 01011 B 13 12 01100 C 14 13 01101 D 15 14 01110 E 16 15 01111 F 17 16 10000

10 20 17 10001 11 21 18 10010 12 22 19 10011 13 23 20 10100 14 24 21 10101 15 25 22 10110 16 26 23 10111 17 27 30 11110 1E 36 31 11111 1F 37 32 100000 20 40 33 100001

21 41 Sistema hexadecimal

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Tabla de multiplicar hexadecimal. El sistema numérico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado como Hex, no confundir con sistema sexagesimal) es unsistema de numeración que emplea 16 símbolos. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues loscomputadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa valores posibles, y esto puede representarse como

que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 , dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de enteros— a un byte. En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:

Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882. El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15. Índice [ocultar] 1 Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal 2 Fracciones 3 Operaciones en Sistema Hexadecimal 3.1 Suma 3.2 Resta hexadecimal 3.2.1 Complemento C15

3.2.2 Complemento C16 4 Véase también 5 Enlaces externos [editar]Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal

0hex = 0dec = 0oct

0 0 0 0

1hex = 1dec = 1oct

0 0 0 1

2hex =

2dec = 2oct

0 0 1 0

3hex = 3dec = 3oct

0 0 1 1

4hex = 4dec = 4oct

0 1 0 0

5hex = 5dec = 5oct

0 1 0 1

6hex = 6dec = 6oct

0 1 1 0

7hex = 7dec = 7oct

0 1 1 1

8hex = 8dec = 10oct

1 0 0 0

9hex = 9dec = 11oct

1 0 0 1

Ahex = 10dec = 12oct

1 0 1 0

Bhex =

11dec = 13oct

1 0 1 1

Chex = 12dec = 14oct

1 1 0 0

Dhex = 13dec = 15oct

1 1 0 1

Ehex = 14dec = 16oct

1 1 1 0

Fhex = 15dec = 17oct

1 1 1 1

[editar]Fracciones Como el único factor primo de 16 es 2, todas las fracciones que no tengan una potencia de 2 en el denominador, tendrán un desarrollo hexadecimal periódico. Fracción Hexadecimal

Resultado en hexadecimal 1/2 1/2 0,8 1/3 1/3 0,5 periódico 1/4 1/4 0,4 1/6 1/6 0,2A periódico 1/7 1/7 0,249 periódico 1/8 1/8 0,2 1/9 1/9 0,1C7 periódico 1/10 1/A 0,19 periódico 1/11 1/B 0,1745D periódico 1/12 1/C 0,15 periódico 1/13 1/D 0,13B periódico 1/14 1/E 0,1249 periódico 1/15 1/F 0,1 periódico 1/16 1/10 1 Existe un sistema para convertir números fraccionarios a hexadecimal de una forma más

mecánica. Se trata de convertir la parte entera con el procedimiento habitual y convertir la parte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 16 hasta convertir el resultado en un número entero. Por ejemplo: 0,06640625 en base decimal. Multiplicado por 16: 1,0625, el primer decimal será 1. Volvemos a multiplicar por 16 la parte decimal del anterior resultado: 1. Por lo tanto el siguiente decimal será un 1.Resultado: 0,11 en base hexadecimal. Como el último resultado se trata de un entero, hemos acabado la conversión. Hay ocasiones en las que no llegamos nunca a obtener un número entero, en ese caso tendremos un desarrollo hexadecimal periódico. [editar]Operaciones en Sistema Hexadecimal En el sistema hexadecimal, al igual que en el sistema decimal, binario y octal, se pueden hacer diversas operaciones matemáticas. Entre ellas se encuentra la resta entre dos números en sistema hexadecimal, la que se puede hacer con el método de complemento a 15 o también utilizando el complemento a 16. Además de éstas, debemos manejar adecuadamente la suma en sistema hexadecimal, explicada a continuación:

Hexadecimal Decimal A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15

[editar]Suma 9 + 7 = 16 (16 - 16 nos llevamos 1 y es = 10 ) En este caso la respuesta obtenida, 16, no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 10 (sistema hexadecimal). Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

A + 6 = 16 (16 - 16 = 0 y nos llevamos 1) Ocurre lo mismo que en el ejemplo anterior.

A + A = 20 ( 20 – 16 = 4 y nos llevamos 1) La respuesta es 20 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo

tanto, la respuesta obtenida será 14 (sistema hexadecimal). Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

F + E = 29 ( 29 – 16 =D y nos llevamos 1) La respuesta es 29 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 1D (sistema hexadecimal). Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones. Ahora haremos una operación más complicada: A + 2 = 12 (12 corresponde a C) Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica. [editar]Resta hexadecimal [editar]Complemento C15 Podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 15. Para ello tendremos que sumar al minuendo el complemento a quince del sustraendo, y finalmente sumarle el bit de overflow (bit que se desborda). Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo. Ésta es la resta que tenemos que resolver: A4FC9 - DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿? Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de números. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes. A4FC9 - 00DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿? Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo. FFFFF - 00DE8 ————————— FF217 La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. La diferencia obtenida se denomina el complemento a 15. Recuerda el valor correspondiente a cada letra al operar. Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en sistema hexadecimal, mencionada anteriormente. A4FC9 + FF217

————————— 1A41E0 Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales que teníamos que restar. Tenemos que quitar el número de la izquierda (en este caso, el 1) y sumarlo. A41E0 + 1 ————————— A41E1 La respuesta es A41E1. Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica. [editar]Complemento C16 También podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 16, siguiendo un proceso similar que en el caso del complemento a 15. Para resolver la resta, tendremos que sumar al minuendo el complemento a dieciséis del sustraendo. Para entender la resta en complemento a 16 lo analizaremos con el ejemplo anterior. Ésta es la resta que tenemos que resolver: A4FC9 - DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿? Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de números, al igual que ocurre en el proceso del complemento a 15. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes. A4FC9 - 00DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿? Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo. FFFFF - 00DE8 ————————— FF217 La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. Ahora tenemos que sumarle 1 a la diferencia obtenida. Este paso es muy importante, ya que es la diferencia entre hacer la resta en complemento a 15 ó 16, y se suele olvidar fácilmente. Además, recuerda que estás sumando en sistema hexadecimal, siguiendo el mismo proceso explicado anteriormente.

FF217 + 1 ————————— FF218

A la diferencia obtenida y sumarle uno le denominaremos el complemento a 16. Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 16 A4FC9 + FF218 ————————— 1A41E1 Con la suma obtenemos el resultado 1A41E1. Te habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales que teníamos que restas, cosa imposible en una resta (que la diferencia sea mayor que el minuendo y el sustraendo). Por eso, y estando en complemento a 16, tendremos que despreciar (eliminar) el número de la izquierda. En este caso es el 1. La respuesta, por lo tanto, es A41E1. En ambos casos la respuesta obtenida deberá ser la misma, ya que hemos resuelto la misma resta en sistema hexadecimal. Por lo tanto, podremos comprobar que hemos operado bien comparando las respuestas obtenidas en complemento a 15 y en complemento a 16 para una misma resta. Además, ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica. CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A BINARIO

Para esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo: Transformemos el numero 42 a numero binario

1. Dividimos el numero 42 entre 2 2. Dividimos el cociente obtenido por 2 y repetimos el mismo procedimiento hasta que el cociente sea 1. 3. El numero binario lo formamos tomando el primer dígito el ultimo cociente, seguidos por los residuos obtenidos en cada división, seleccionándolos de derecha a izquierda, como se muestra en el siguiente esquema.

Figura 7: Conversión de decimal a binario

CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL FRACCIONARIO A UN NUMERO BINARIO

Para transformar un número decimal fraccionario a un numero binario debemos seguir los pasos que mostramos en el siguiente ejemplo: transformemos el numero 42,375.

1. la parte entera se transforma de igual forma que el ejemplo anterior. 2. La parte fraccionaria de la siguiente manera:

Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que ira formando el numero binario correspondiente

Tomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte fraccionaria la multiplicamos sucesivamente por 2 hasta llegar a 0

Tomamos nuevamente la parte entera , y como la parte fraccionaria es 0, indica que se ha terminado el proceso. El numero binario correspondiente a la parte decimal será la unión de todas las partes enteras, tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso del proceso , en donde el primer dígito binario corresponde a la primera parte entera , el segundo dígito a la segunda parte entera , y así sucesivamente hasta llegar al ultimo .Luego tomamos el numero binario , correspondiente a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la parte fraccionaria y lo unimos en un solo numero binario correspondiente a el numero decimal.

Figura 8: Conversión de decimal fraccionario a binario

CONVERSIÓN DE UN NUMERO BINARIO A UN NUMERO DECIMAL

Para convertir un número binario a decimal, realizamos los siguientes pasos:

1. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamente unos 2. Sumamos los valores de posición para identificar el numero decimal equivalente

Figura 9: Conversión de binario a decimal

CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A OCTAL

Para convertir un numero en el sistema decimal al sistema de numeración Octal, debemos seguir los pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo Convertir el numero decimal 323.625 a el sistema de numeración Octal

1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta que el dividendo sea

menor que el divisor, para colocar entonces el numero 0 y pasar el dividendo a formar el primer dígito del numero equivalente en decimal 2. Se toma la parte fraccionaria del numero decimal y la multiplicamos por 8 sucesivamente hasta que el producto no tenga números fraccionarios 3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dígito correspondiente 4. Al igual que los demás sistemas , el numero equivalente en el sistema decimal , esta formado por la unión del numero entero equivalente y el numero fraccionario equivalente.

Figura 10: Conversión de decimal a octal

CONVERSIÓN DE UN NUMERO OCTAL A BINARIO

La ventaja principal del sistema de numeración Octal es la facilidad conque pueden realizarse la conversión entre un numero binario y octal. A continuación mostraremos un ejercicio que ilustrará la teoría. Por medio de este tipo de conversiones, cualquier numero Octal se convierte a binario de manera individual. En este ejemplo, mostramos claramente el equivalente 100 111 010 en binario de cada numero octal de forma individual.

Figura 11: Conversión de octal a binario

CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A UN NUMERO HEXADECIMAL

Convertir el numero 250.25 a Hexadecimal

1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el numero decimal 16 (base) hasta que el cociente sea 0 2. Los números enteros resultantes de los cocientes, pasarán a conformar el numero hexadecimal correspondiente, teniendo en cuenta que el sistema de numeración hexadecimal posee solo 16 símbolos, donde los números del 10 hasta el 15 tienen símbolos alfabéticos que ya hemos explicado 3. La parte fraccionaria del numero a convertir se multiplica por 16 (Base) sucesivamente hasta que el producto resultante no tenga parte fraccionaria 4. Al igual que en los sistemas anteriores, el numero equivalente se forma, de la unión de los dos números equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que establece la diferencia entre ellos.

Figura 12: Conversión de decimal a hexadecimal

CONVERSIÓN DE UN NUMERO HEXADECIMAL A UN NUMERO DECIMAL

Como en los ejemplos anteriores este también nos ayudará a entender mejor este procedimiento: Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su equivalente decimal.

1. Multiplicamos el valor de posición de cada columna por el dígito hexadecimal correspondiente. 2. El resultado del número decimal equivalente se obtiene, sumando todos los productos obtenidos en el paso anterior.

Figura 13: Conversión de hexadecimal a decimal

http://www.buenastareas.com/ensayos/Los-Sistemas-De-Numeracion/26308496.html

http://www.buenastareas.com/ensayos/Los-Sistemas-De-Numeracion/26308496.html

SISTEMAS DE NUMERACION

JOHANA MARCELA ALEJO PERILLA

FUNDACIÓN PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR SAN MATEO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS INFORMATICA BOGOTA 2013

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SISTEMAS DE NUMERACION

JOHANA MARCELA ALEJO PERILLA

PROFESOR, JONATHAN STEVE BARRERO RODRÍGUEZ

FUNDACIÓN PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR SAN MATEO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS INFORMATICA BOGOTA 2013

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CONTENIDO PAG INTRODUCCION OBJETIVOS OBJETIVOS GENERALES OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. SISTEMAS DE NUMERACION 1.2 CONCEPTO 1.3 IMPORTANCIA 2. TIPOS DE SISTEMAS DE NUMERACION MÁS USUALES 2.1 SISTEMA DECIMAL 2.2 SISTEMA BINARIO 2.3 SISTEMA OCTAL 2.4 SISTEMA HEXADECIMAL 3. CODIGOS ALFANUMERICOS 3.1 CÓDIGO BCD DE INTERCAMBIO NORMALIZADO 3.2 EBCDIC 3.3 CÓDIGO ASCII 3.3.1 Código ASCII extendido 3.3.2 Código ASCII blindado 3.4 UNICODE 3.5 ANSI 4. CONCLUSIONES BIBLIOGRAFIA 4 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 11

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INTRODUCCION

Los Sistemas de Numeración surgieron a partir de la imposibilidad de encontrar un sistema de notación para los números naturales, pues no era tarea fácil para los seres humanos ya que el conjunto de los números naturales es infinito y las palabras de la lengua no serian suficientes. Por ello, las civilizaciones se vieron en la necesidad de hacer combinaciones tanto con los símbolos fijos que inventaron para escribir los números como con los nombres que utilizaron para nombrarlos. El sistema utilizado para notar los números naturales, llamado sistema decimal o en base de diez, se funda en el mismo principio de los lenguajes. En este sistema se asignan nombres y notaciones a los dígitos o sea, a los números que van de cero a nueve. Con los dígitos notamos los demás números. El sistema decimal fue adoptado universalmente a partir de la edad media, aunque había sido descubierto por la cultura hindú siglos atrás. Las civilizaciones fueron floreciendo y lograron desarrollos matemáticos notables, la cultura babilónica usó el sistema sexagesimal utilizando símbolos que iban adicionándose de diez en diez, hasta llegar al número 59. A partir del numero 60 estos símbolos se combinaban con un principio de posición de base sesenta. La civilización hebrea utilizo las letras para expresar los diferentes valores numéricos. Este sistema igualmente, se basaba en hacer agrupaciones de diez en diez combinando los símbolos entre sí para representar los números. La civilización griega utilizo el sistema ático, en el cual empleaban como símbolos para representar los números, las primeras letras de algunas palabras griegas. La civilización romana utilizo las letras I, V, X, L, C, D, M para simbolizar los números. Este sistema es una mezcla de los sistemas decimal y pentacimal con reglas muy especificas para la representación de un numero, en donde la posición de un símbolo con respecto a otro altera el valor numérico del mismo aumentándolo y disminuyéndolo.

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Otros grupos humanos, particularmente indígenas, han empleado diferentes sistemas. La cultura maya, por ejemplo utilizo un método muy cercano al pentacimal o en base cinco que consiste en tomar como dígitos los números de cero a cuatro y en agrupar de cinco en cinco. En la actualidad, con el desarrollo de los computadores ha sido imprescindible introducir otros sistemas. El más utilizado es el binario o en base de a dos, el cual emplea como dígitos el cero y el uno y se agrupa de dos en dos, en lugar de agruparse de diez en diez como en el sistema decimal. Cuando agrupamos de doce en doce, empleamos el sistema en base doce el cual es muy utilizado en el comercio de ropa y papel. En este trabajo se va a profundizar más en los sistemas de numeración más usuales en la actualidad así como los códigos alfanuméricos los cuales nos sirven para representar caracteres alfanuméricos: letras, cifras decimales, caracteres especiales de control.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Dar a conocer la importancia de los sistemas de numeración ya que son la base de los cálculos de los computadores actuales

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •conocer la historia de los sistemas de numeración • Definir los diferentes sistemas de numeración para poderlos diferenciar • Comprender para que le sirve los códigos alfanuméricos al sistema de numeración

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1. SISTEMA DE NUMERACION

1.2 CONCEPTO Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que se representan a un código. Cada sistema de numeración se caracteriza por su base que es el número de cada símbolo distinto que utiliza, y además determina el valor de cada símbolo, dependiendo de la posición que ocupe. 1.3 IMPORTANCIA Los sistemas de numeración son formas inventadas por las diferentes culturas para nombrar y representar números; aunque cada una de ellas tiene una simbología particular, todas establecen procedimientos y reglas para realizar cálculos con los números. Estudiar los sistemas de numeración nos permite comprender la estructura que hay detrás de todas las operaciones aritméticas y entender que estas son las bases de los cálculos de los computadores actuales.

2. TIPOS DE SISTEMAS DE NUMERACION MÁS USUALES

2.1 SISTEMA DECIMAL O en base diez utiliza como símbolos fijos los numerales 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9 los cuales reciben el nombre de cifras básicas o dígitos. Para obtener, cantidades más grandes mediante este sistema, se hacen agrupaciones de diez en diez, en donde diez unidades representan una docena, diez docenas representan una centena y diez centenas representan una unidad de mil. 2.2 SISTEMA BINARIO O en base dos, inventada en 1679 por gottfried wilhem von Leibniz. Es utilizado internamente por el computador cada digito se denomina BIT y como funciona en base 2 las únicas cifras que puedan utilizarse son el 0 y el 1. Un múltiplo muy conocido es el BYTE, que equivale a 8 bits, por ser lo que ocupa habitualmente la representación de un carácter.

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2.3 SISTEMA OCTAL O en base (8) ocho, utiliza los dígitos del 1 al 7 los cuales tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. Este sistema es muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2, además de que esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. Su uso también esta soportado en algunos lenguajes de programación. 2.4 SISTEMA HEXADECIMAL O en base 16, en el que los dígitos se representan por números de 0,9 Así como las seis primeras letras del alfabeto “A” hasta la F con esto pueda formarse números según el principio de valor, posicional como los demás sistemas aritméticos. Los caracteres validos en hexadecimal son el 1 al 15, con la particularidad de que a las letras se les asigna el siguiente valor: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 Y F=15. Se usa mucho en programación.

3. CODIGOS ALFANUMERICOS Son aquellos que sirve para representar caracteres alfanuméricos: cifras decimales, letras, caracteres, especiales y caracteres de control.

3.1 CÓDIGO BCD DE INTERCAMBIO NORMALIZADO Usualmente este código utiliza 6 bit, con lo que se pueden representar, m = 26 = 64 caracteres. A veces se añade a su izquierda un bit adicional para verificar posibles errores en la transmisión del código, de forma que el carácter queda representado por n = 7 bit. Los bit 4, 5 son conocidos como bit de zona. Los bit de zona indican el tipo de carácter representad 3.2 EBCDIC Acrónico de las palabras inglesas extended binary coded decimal interchange code (código extendido de decimal codificado en binario) es un código alfanumérico de 8 bits introducido por IBN en 1964. Para saber si un código alfanumérico EBCDIC es numérico, basta con ver sus 4 primeros bits son unos y su valor es el que resulta de transformar estos unos en ceros. Además, los códigos de letras mayúsculas comienza por 4 o 5 con hexadecimal; el primer digito hexadecimal es 6 o 7.

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3.3 CÓDIGO ASCII (american standard code for information interchange), estándar mundial compuesto por los 128 caracteres más usados en los países occidentales incluyendo letras mayúsculas, minúsculas, cifras numéricas, símbolos, números usados en editores de texto, una serie de signos de puntuación, símbolos gráficos y programas de comunicación los cuales utiliza 7 bits. Pese a la evolución la informática desde la creación de este estándar, los editores de texto modernos todavía aceptan el formato ASCII para importar y exportar documentos. . Decir que ASCII nació en 1963 por un motivo muy sencillo, dada la gran cantidad de ordenadores diferentes que existían por estas fechas y lo difícil que era intercambiar datos entre ellos, surgió la necesidad de hacer este estándar 3.4.1 Código ASCII extendido De 8 bits que codifica todo el alfabeto internacional y permite la compatibilidad con los registros de 8 bits dentro de los ordenadores además, de servir para detectar posibles errores de transmisión. 3.4.2 Código ASCII blindado Formato de texto ASCII convencional en el que queda codificada la información con el sistema de encriptación PGP lo que hace posible mandarlo a través del correo electrónico sin modificación alguna. 3.5 UNICODE (Estándar ISO/TEC 10646) es almacenado en 2 bytes (16 bits) lo que da la posibilidad de tener hasta 65,536 símbolos por los que se han representado todos los caracteres de los idiomas que existen por el mundo y muchos caracteres especiales. En Unicode no se contempla la codificación de caracteres de control. En el mapa de caracteres único hay una zona aun sin asignar para atender peticiones de incluso de nuevos símbolos, como puede ser el braille, usado por los ciegos. 3.6 ANSI (American National Standards Institute - Instituto Nacional Americano de Estándares) especifica una serie de secuencias de escape, que hacen que el monitor se comporte de distintas formas. Por ejemplo, una secuencia de escape limpia la pantalla, mientras que otra hace que los siguientes caracteres se in

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4 .CONCLUSIÓN A continuación se resumirá la siguiente información: El Sistema de Numeración se define como el conjunto de símbolos utilizados para la representación de cantidades, así como las reglas que rigen dicha representación. Estos son: El Sistema Decimal es uno de los denominados sistemas posicionales, utilizando un conjunto de símbolos cuyo significado depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolo coma (,) posicional, que en caso de ausencia se supone colocada implícitamente a la derecha. El sistema numérico binario es el lenguaje natural de la computadora ya que con el lleva a cabo operaciones aritméticas, procesa todo tipo de información, controla los periféricos y se comunican con otras computadoras; el sistema binario es el lenguaje maquina. Sin embargo, el sistema binario es poco claro para las personas que no están en el medio de la computación, por las grandes cadenas de unos y ceros que se deben usar para representar información. Por esta razón se crearon medios que permiten una traducción del lenguaje maquina a formas que entienden las personas comunes; así surgió el código ASCII, que no es otra cosa que una tabla de equivalencias entre el sistema binario y los caracteres que se usan para representar palabras. En el código ASCII cada letra, digito o símbolos se representan por una cadena de ocho bits, de tal manera que es relativamente fácil para la computadora traducir a sistema binario una frase que se escriba en español, ingles o cualquier otro idioma. Sin embargo, las tablas de equivalencias como el código ASCII no tiene el potencial de un sistema numérico y por lo tanto surgen sistemas numéricos equivalentes al sistema binario como los sistemas octal y hexadecimal, que permiten compactar grandes cadenas de ceros y unos con la finalidad de ser más claros y ocupar menos espacios en la representación de información. Además la conversión entre los sistemas octal, binario y hexadecimal es muy sencilla no solamente para la computadora, sino también para las personas, ya que la equivalencia entre los caracteres es directa y no es necesario llevar a cabo operación matemática alguna para convertir cantidades octal-binario-hexadecimal sin perder las propiedades de un sistema numérico posicional, en donde el valor de un carácter depende de la posición que ocupa, sin olvidar que con los sistemas numéricos es posible llevar a cabo operaciones aritméticas básicas, que al combinarse le otorga un poder mayor a los sistemas numéricos.

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BIBLIOGRAFÍA ALARCON ALVAREZ, Enrique. Diccionario de Informática e Internet. Madrid, España: Ediciones Anaya Multimedia. 2002

JIMENEZ MURILLO, José. Matemática para la Computación. México: Alfaomega Grupo Editor S.A de C.V. 2008

MARTIN MARTINEZ, Francisco Javier. Informática Básica. México: Alfaomega Grupo Editor S.A de C.V. 2004

http://www.buenastareas.com/ensayos/Trabajo-Escrito-De-Sistemas-De-Numeracion/7638015.html

http://www.buenastareas.com/ensayos/Trabajo-Escrito-De-Sistemas-De-Numeracion/7638015.html

Sistemas de enumeración Ingeniero: Cristian morales [email protected]

RESUMEN: Los hombres supieron asociar tempranamente a una colección de objetos un grupo de signos o de cosas: trazos marcados en la madera, en un hueso o en la arena, montones de piedras, gestos con la mano o con la cabeza, etc. Así, los pastores sumerios llevaban la cuenta de los nacimientos, pérdidas, compras y ventas de sus ovejas representando cada animal del rebaño mediante un cono de arcilla (calculi) colocado en un a envoltura de arcilla. La economía, más compleja, de las primeras aglomeraciones urbanas de la Baja Mesopotamia eligió un sistema más elaborado: se imprimieron sobre la envoltura de arcilla signos que representaban los mismos signos que los calculi. Estos últimos, que ya no tenían razón de ser, fueron poco a poco suprimidos, y las envolturas reemplazadas por las primeras tablillas, numerales. Por tanto, las primeras numeraciones escritas aparecieron al mismo tiempo que las primeras formas de escritura, en Mesopotamia hacia 3300 a. J. C. y en Egipto hacia 3200 a. J. C. PALABRAS CLAVE: Un sistema de numeración está formado por una serie de símbolos y reglas que permiten representar cantidades. 1 INTRODUCCION: El estudio de este primer capítulo le permitirá a usted como estudiante armarse de las herramientas suficientes para comprender la llamada lógica binaria a la que se tendrá que enfrentar. Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos de una cuerda y algunos otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. 2 SISTEMAS DE ENUMERACION ADICTIVOS Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas como sean necesarios hasta completar el número. 2.1 SISTEMAS DE ENUMERACION HIBRIDOS En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacion del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 ...

3 SISTEMA DE ENUMERACION EGIPCIO Desde el tercer milenio AC. Los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra. 4 SISTEMAS DE NUMERACION GRIEGO El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 AC. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. 5 SISTEMA DE ENUMERACION AZTECA En México, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarrolló la civilización azteca. Los aztecas crearon un sistema de cifras que conocemos a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. En ellos los escribas expresaban por escrito los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio reproduciendo cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeración se basa en el principio aditivo según el cual el valor de una representación se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeración de base vigesimal (20).

6 SISTEMA DE NUMERACION CHINO La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 AC. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000.

El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a

derecha como en el ejemplo de la figura. 7 SISEMAS DE NUMERACION BABILONICO Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el s AC. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo. De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60. A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan 8 SISTEMA DE NUMERACION MAYA Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. 9 SISTEMAS DE NUMERACION MODERNOS Un sistema de numeración está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base es igual al número de símbolos, llamados cifras, que se utilizarán para representar los números) y por ciertas reglas de posición. La base a elegida debe ser un número natural superior a 1; una vez fijada la base, es necesario elegir a signos diferentes y a nombres diferentes para representar y nombrar los primeros números inferiores a a. En el caso en que a=10 se trata del sistema de numeración decimal, sistema utilizado de manera general, y cuyo origen es casi con seguridad el número de dedos de las manos. Los símbolos utilizados son, en este caso, las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En el caso en que a=2 se trata del sistema de numeración binaria, sistema utilizado por razones tecnológicas en las máquinas de cálculo, en particular en los ordenadores. Los símbolos utilizados son entonces las cifras 0 y 1. Las calculadoras utilizan también el sistema de base 8, o sistema octal.En el caso de que a=12 se trata del sistema de numeración duodecimal, y los doce símbolos utilizados son las cifras 0, 1, 2, …, 9, a las cuales se agregan los signos y En el caso en que a=60 se trata del sistema de numeración sexagesimal, utilizado especialmente para las medidas de tiempo y de ángulos. La elección de una base demasiado pequeña provoca rápidamente la utilización de un gran número de cifras para la escritura de los números (el número 9, en base 2, se escribe 1001). La elección de una base grande hace necesaria la utilización de un número

elevado de símbolos. La representación escrita de los números naturales se fundamenta en el hecho de que todo número natural se puede expresar de forma única como combinación lineal de potencias de la base elegida, siendo los coeficientes de la combinación números naturales estrictamente inferiores a la base (estos números pueden ser nulos). 10 SISTEMA DECIMAL El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo: 500 + 20 + 8 = 528 11 SISTEMAS BINARIO El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números. De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:

1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir: 8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:

10112 = 1110 12 SISTEMA OCTAL El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal. En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así: 2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610

2738 = 149610 SISTEMA HEXADECIMAL En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16. Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:

1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16 = 671910 BIBLIOGRAFIA * www.google.es * http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html * www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/NumRom.htm * www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc * Gran Enciclopedia LAROUSSE(24 volúmenes) Editorial Planeta * Nueva Enciclopedia Temática Editorial Planeta (14 volúmenes)

http://www.buenastareas.com/ensayos/Sistemas-Numericos/1693167.html

http://www.buenastareas.com/ensayos/Sistemas-Numericos/1693167.html

Sistemas de numeración

ÍNDICE

1. Introducción

2. Historia

3. Sistemas de numeración Aditivos

3.1. Egipcio

3.2. Griego

3.3. Azteca

4. Sistemas de numeración Híbridos

4.1. Chino

5. Sistemas de numeración Posicionales

5.1. Babilónico

5.2. Maya

6. Sistema de numeración Romano

7. Sistemas de numeración modernos

8. Bibliografía

1. Introducción. El Concepto de Base

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.

Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes; Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

¿QUÉ ES UN SISTEMA DE NUMERACIÓN?

Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeración es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones.

2. Historia

Los hombres supieron asociar tempranamente a una colección de objetos un grupo de signos o de cosas: trazos marcados en la madera, en un hueso o en la arena, montones de piedras, gestos con la mano o con la cabeza, etc. Así, los pastores sumerios llevaban la cuenta de los nacimientos, pérdidas, compras y ventas de sus ovejas representando cada animal del rebaño mediante un cono de arcilla (calculi) colocado en un a envoltura de arcilla. La economía, más compleja, de las primeras aglomeraciones urbanas de la Baja Mesopotamia eligió un sistema más elaborado: se imprimieron sobre la envoltura de arcilla signos que representaban los mismos signos que los calculi. Estos últimos, que ya no tenían razón de ser, fueron poco a poco suprimidos, y las envolturas reemplazadas por las primeras tablillas, numerales. Por tanto, las primeras numeraciones escritas aparecieron al mismo tiempo que las primeras formas de escritura, en Mesopotamia hacia 3300 a. J. C. y en Egipto hacia 3200 a. J. C.

3. Sistemas de Numeración Aditivos

Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los

símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.

El Sistema de Numeración Egipcio

Desde el tercer milenio AC. Los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.

Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.

El Sistema de Numeración Griego

El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 AC. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.

Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente.


Sistema de numeración Azteca

En México, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarrolló la civilización azteca. Los aztecas crearon un sistema de cifras que conocemos a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. En ellos los escribas expresaban por escrito los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio reproduciendo cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeración se basa en el principio aditivo según el cual el valor de una representación se obtiene sumando los valores de las cifras. Era una numeración de base vigesimal (20).

4. Sistemas de Numeración Híbridos

En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc. se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070... Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente Hindú cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.

4.1. El Sistema de Numeración Chino

La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 AC. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números

hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000.

El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura.

No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10. Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

5. Sistemas de Numeración Posicionales

Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, o centenas o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la Hindú lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La

ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los Hindúes antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el s. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

El Sistema de Numeración Babilónico

Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el s AC. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.

El Sistema de Numeración Maya

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.

Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.

6. Sistema de numeración Romano

El sistema de números romanos carece del 0 por lo que se convierte en un sistema muy complicado al querer realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema de numeración, ha caído en desuso y sólo se lo usa con fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (para numerar: los siglos, los papas, los reyes y reinas, etc.).

Los signos que utiliza son:

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Las reglas para escribir los números son:

1- Un símbolo no se puede repetir más de tres veces seguidas

2- Si un símbolo de valor inferior, antecede a otro de valor superior, el primer símbolo resta su valor, al valor del símbolo de la derecha.

3- Una raya encima de un símbolo, multiplica por mil el valor del símbolo. Dos rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo.

7. Sistemas de numeración modernos

Un sistema de numeración está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base es igual al número de símbolos, llamados cifras, que se utilizarán para representar los números) y por ciertas reglas de posición. La base a elegida debe ser un número natural superior a 1; una vez fijada la base, es necesario elegir a signos diferentes y a nombres diferentes para representar y nombrar los primeros números inferiores a a.

En el caso en que a=10 se trata del sistema de numeración decimal, sistema utilizado de manera general, y cuyo origen es casi con seguridad el número de dedos de las manos. Los símbolos utilizados son, en este caso, las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

En el caso en que a=2 se trata del sistema de numeración binaria, sistema utilizado por razones tecnológicas en las máquinas de cálculo, en particular en los ordenadores. Los símbolos utilizados son entonces las cifras 0 y 1. Las calculadoras utilizan también el sistema de base 8, o sistema octal.

En el caso de que a=12 se trata del sistema de numeración duodecimal, y los doce símbolos utilizados son las cifras 0, 1, 2, …, 9, a las cuales se agregan los signos y .

En el caso en que a=60 se trata del sistema de numeración sexagesimal, utilizado especialmente para las medidas de tiempo y de ángulos.

La elección de una base demasiado pequeña provoca rápidamente la utilización de un gran número de cifras para la escritura de los números (el número 9, en base 2, se escribe 1001). La elección de una base grande hace necesaria la utilización de un número elevado de símbolos.

La representación escrita de los números naturales se fundamenta en el hecho de que todo número natural se puede expresar de forma única como combinación lineal de potencias de la base elegida, siendo los coeficientes de la combinación números naturales estrictamente inferiores a la base (estos números pueden ser nulos).

8. BIBLIOGRAFÍA

www.google.es

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/NumRom.htm www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc Gran Enciclopedia LAROUSSE(24 volúmenes) Editorial Planeta

Nueva Enciclopedia Temática Editorial Planeta (14 volúmenes)

http://html.rincondelvago.com/sistemas-de-numeracion_5.html

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http://www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc

http://www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/NumRom.htm

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html

Sistemas de Numeración

A lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes

maneras de representar cantidades. Si nos remontamos hacia más de dos mil

años, los pueblos de aquella época no utilizaban números para contar objetos, sino

que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para contar, ya sea

utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos, marcando bastones (ramas) o

haciendo nudos en una cuerda, entre otros.

Ahora bien, el primer uso que se le dio a los números, se relaciona con la

necesidad de ordenar elementos, no con la de contar o medir objetos.

A continuación veremos los 5 sistemas de numeración más característicos de la

historia, reconociendo sus elementos principales y los símbolos que ellos utilizaron

para representar las cantidades indicadas.

Sistema de numeración Egipcio (3000 a.C.)

Si hay algo que hasta el día de hoy sigue vigente es la cultura egipcia. Esto no se

debe meramente al azar, sino que responde al gran legado cultural que nos

dejaron, ya sea por sus monumentales construcciones como por sus conocimientos

y descubrimientos en agricultura, arte y matemáticas.

En relación con éste último, podemos ver que se los egipcios se vieron enfrentados

a la necesidad de realizar cálculos y considerar dimensiones para, por ejemplo,

llevar a cabo sus construcciones, situación que los desafió a encontrar algún modo

de representar las cantidades utilizadas. Además, vemos que representaron las

cifras utilizadas en papiros, dándoles a éstas un uso práctico, relacionados

principalmente con la geometría y la aritmética.

Los egipcios tenían un sistema de numeración decimal (contaban de 10 en 10, lo

cual se asocia con que tengamos 10 dedos), no utilizaban símbolos para

representar el cero y realizaban jeroglíficos que les permitían identificar el orden

en que se agrupaban las unidades en las cuales estaban trabajando.

Por otro lado, ellos utilizaban un procedimiento aditivo para representar los

números, en donde acumulaban todos los signos pertenecientes al número que

querían representar y formaban con ello el número.

Es importante mencionar que el orden en que se escribían los símbolos utilizados

les era indiferente, debido a que cada figura representaba exclusivamente un

único valor. De esta manera, independiente del orden en que éstos se

presentaban, el valor no cambiaba. Es decir, su representación podía realizarse de

izquierda a derecha, de abajo hacia arriba y viceversa, sin alterar el valor de la

cifra mencionada.

Sistema de numeración Griego (600 a.C.)

Utilizaron letras del alfabeto griego para representar las cantidades.

El sistema de numeración griego más antiguo fue el ático o acrofónico, que era

derivado del sistema de numeración romano, cuyos símbolos eran:

? = 1, ? = 5, ? = 10, ? = 100, ? = 1000 y ? = 10000

Vale mencionar que los números 50, 500 y 5.000, se obtenían agregando el signo

de 10, 100 ó 1.000 al de 5.

Así por ejemplo, para obtener el número 50 el símbolo utilizado era el del 5 y el de

10, dando como resultado el símbolo que representaba 50, y que puedes apreciar

en la figura anterior.

Considerando el caso descrito, podemos ver que junto con un principio aditivo, en

el sistema de numeración griego se combina el principio multiplicativo.

Sin embargo, a partir del siglo IV a.C. este sistema fue sustituido por el jónico, el

cual utilizaba las 24 letras del alfabeto griego, junto con algunos otros símbolos, tal

como muestra la siguiente figura.

http://www.escolares.net/wp-content/uploads/sistema_numeracion_griego.gif

En este sistema a cada cifra de la unidad se le asignaba una letra, a cada decena

otra letra y a cada centena otra. Es decir, se basó en un principio de adición, en

donde los valores numéricos que adoptaban las letras se sumaban para formar el

total. Por ejemplo el 242 se representaba como ??b (200 + 40 + 2).

Con esto, los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y

éstas a su vez, tienen un valor numérico.

Sistema de numeración Romano

Si existe un sistema de numeración que ha perdurado en el tiempo, ese es el

romano. Actualmente lo utilizamos para numerar capítulos o escenas de una obra

de teatro, para designar el nombre de algunas autoridades (como emperadores,

reyes y papas), para ordenar los contenidos de un índice y los tomos de una

enciclopedia, entre otros.

En relación con los símbolos que los romanos utilizaron para representar

cantidades, fueron letras mayúsculas, que en nuestro sistema de numeración

equivalen a un número específico. Así tenemos,

Ahora bien, para representar cantidades con números romanos, es importante que

tener en consideración ciertas reglas guían su escritura.

http://www.escolares.net/wp-content/uploads/sistema_numeracion_jonico.gif

http://www.escolares.net/wp-content/uploads/sistema_numeracion_romano.gif

Sistema de numeración Chino (1500 a.C.)

La cultura china es indudablemente una de las más completas y antiguas de la

humanidad. Su legado perdura hasta la actualidad, ya que han sido gestores de

grandes descubrimientos, realizando aportes importantes para la humanidad.

En relación con el sistema de numeración que ellos utilizaron, éste era decimal, en

donde utilizaron las unidades y las distintas potencias de 10 para representar

cantidades. Tenían 9 símbolos distintos para los primeros 9 números pero ningún

símbolo para representar el cero.

Los símbolos eran:

Su representación de los números se basó en un principio multiplicativo y era de

carácter posicional, por lo que dependiendo de la posición que tenía el símbolo

(cifra) en el número, el valor que éste iba a tener.

Como podemos ver, el sistema de numeración chino tiene semejanzas con el que

utilizamos nosotros actualmente, sin embargo, tanto los símbolos con que

representan cantidades, como la orientación que los números pueden adquirir en

una cifra, es distinta. Además, vemos que su disposición es híbrida, es decir, a la

hora de componer los números emplean tanto la multiplicación como la adición,

por lo que cada cifra es acompañada por otra que la multiplica, y en donde la suma

total de dichas multiplicaciones da la cifra total.

Veamos en un ejemplo:

El número 4.361 se representa así:

http://www.escolares.net/wp-content/uploads/sistema_numeracion_chino.gif

http://www.escolares.net/wp-content/uploads/sistema_numeracion_chino_ejemplo.gif

Actualmente, utilizan el mismo sistema de numeración, cuyos símbolos son los que

vimos anteriormente, y donde prima el carácter multiplicativo y posicional de los

símbolos que se disponen.

Sistema de numeración Maya

Uno de los aspectos que más destacan en el sistema de numeración Maya es que

ellos simbolizaron el cero. Vemos también que éste era de carácter posicional y en

base 20, utilizando principalmente rayas y puntos para simbolizar los números. En

donde el caracol representaba al cero, los puntos al 1 y la raya al 5.

En cuanto a la disposición de las cifras, vemos que éstas se escriben verticalmente

y con las unidades en la parte inferior. Además agruparon símbolos hasta el 19,

asignando a los números mayores un valor según la posición en que se

encuentran. Los símbolos con que representaron los números hasta el 19 son:

Analizando los símbolos que se presentan, podemos ver que el número 14 está

formado por 2 rayas y 4 puntos. Como las rayas representan al 5 y los puntos al 1,

multiplicaremos 2×5 y 4×1, obteniendo un total de 10 + 4, es decir, 14.

Ahora bien, para escribir números iguales o superiores al 20, las cifras adquirían un

valor que dependía de la posición en donde se encontraban, disponiéndose en

columnas y asignándose un valor de abajo hacia arriba, en el que hay que

multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20… según el lugar que

ocupe. Por ejemplo:

http://www.escolares.net/wp-content/uploads/sistema_numeracion_maya.gif

Sistema de numeración Inca

Poseían un sistema de numeración decimal y de carácter posicional. Como no

hicieron uso de la escritura no dejaron un registro gráfico de símbolos que

permitan interpretar cantidades, sin embargo, los Incas se vieron en la necesidad

de registrar los cálculos que iban realizando, por lo que utilizaron el quipu.

El quipu era un instrumento que poseía cuerdas y que, mediante la realización de

nudos de variados colores y tamaños, les permitió registrar la información

numérica que iban obteniendo.

http://www.escolares.net/wp-content/uploads/sistema_numeracion_maya_ejemplo.gif

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esquema cronologico sobre la historia de los sistema de numeracion

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Sistemas de Numeracion

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