Ing. Julin Giraldo 1 ARQUITECTURA Y MANTENIMIENTO DE

COMPUTADORES

SISTEMAS DE NUMERACION

SISTEMAS DE NUMERACION

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Un sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten representar datos numricos. La norma principal en un sistema de numeracin posicional es que un mismo smbolo tiene distinto valor segn la posicin que ocupe. Aunque es posible definir un sistema de numeracin posicional utilizando como base cualquier nmero, para el anlisis de los sistemas digitales son muy importantes los siguientes: 1. Sistema de numeracin decimal (Usa como base el nmero 10) 2. Sistema de numeracin binario (Usa como base el nmero 2) 3. Sistema de numeracin octal (Usa como base el nmero 8) 4. Sistema de numeracin hexadecimal (Usa como base el nmero 16)

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL (1)

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El sistema de numeracin que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez smbolos o dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posicin que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, miles, etc. El valor de cada dgito est asociado al de una potencia de base 10, nmero que coincide con la cantidad de smbolos o dgitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posicin que ocupa el dgito menos uno, contando desde la derecha. En este sistema el nmero 528, por ejemplo, significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades , o sea: 500 + 20 + 8 o, tambin:

5 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100 = 528

SISTEMA DE NUMERACION BINARIO (1)

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El sistema de numeracin binario utiliza slo dos dgitos, el cero (0) y el uno (1), que tienen distinto valor dependiendo de la posicin que ocupen. El valor de cada posicin es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posicin del dgito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurra con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dgitos utilizados (2) para representar los nmeros. De acuerdo con estas reglas, el nmero binario 1101 tiene un valor que se calcula as: 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 4 + 1 = 13 y se puede denotar de la siguiente manera:

(1101)2 = (13)10

SISTEMAS DE NUMERACION HEXADECIMAL (1)

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En este sistema, los nmeros se representan con diecisis smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dgitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos smbolos depende, como es lgico, de su posicin, que se calcula mediante potencias de base 16. Por ejemplo, el nmero hexadecimal 1A3F16 equivale a: 1 x 165 + A x 164 + 3 x 163 + F x 162 + 1 x 161 + 6 x 160 Se remplaza cada letra con su equivalente numrico: 1 x 165 + 10 x 164 + 3 x 163 + 15 x 162 + 1 x 161 + 6 x 160 1.048.576 + 655.360 + 12.288 + 3.840 + 16 +6 = 1.720.086 Y se representa: (1A3F16)16 = (1.720.086)10

CONVERSIONES ENTRE BASES NUMERICAS

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Existen una serie de mtodos que permiten trasladar un nmero, originalmente representado en una determinada base numrica, a las otras bases de inters. Se presentan entonces las siguientes posibilidades: De base decimal: a binario a hexadecimal De base binaria: a decimal a hexadecimal De base hexadecimal: a decimal a binario

CONVERSION DE DECIMAL A OTRAS BASES (1)

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Binario: Se toma el nmero y se divide entre 2 (se toma nota del residuo, que puede ser 0 1), el cociente de sta divisin, se vuelve a dividir entre 2 (tomando nota del residuo) y as sucesivamente hasta que el cociente final de las divisiones sea un 1. Iniciando con el cociente final y verificando los residuos del ltimo hallado hasta el primero, se forma el nmero binario equivalente. Ejemplo 1: (385)10 (?)2 R// 385 / 2 = 192 (R1 = 1) 192 / 2 = 96 (R2 = 0) 96 / 2 = 48 (R3 = 0) 48 / 2 = 24 (R4 = 0) 24 / 2 = 12 (R5 = 0) 12 / 2 = 6 (R6 = 0) 6 / 2 = 3 (R7 = 0) 3 / 2 = 1 (R8 = 1) Cociente final en 1 (CF) As el nmero binario es CF - R8 R7 R6 R5 R4 R3 R2 R1 = 110000001 Por tanto, (385)10 = (110000001)2

CONVERSION DE DECIMAL A OTRAS BASES (5)

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Hexadecimal: Se toma el nmero y se divide entre 16 (se toma nota del residuo, que debe ser menor a 16), el cociente de sta divisin, se vuelve a dividir entre 16 (tomando nota del residuo) y as sucesivamente hasta que el cociente final de las divisiones sea un nmero menor a 16. Iniciando con el cociente final y verificando los residuos del ltimo hallado hasta el primero, se forma el nmero octal equivalente. Nota: Los nmeros del 10 al 15 son vlidos como cocientes o residuos, pero deben ser transformados en sus letras equivalentes. Ejemplo 1: (385)10 (?)16 R// 385 / 16 = 24 (R1 = 1) 24 / 16 = 1 (R2 = 8) Cociente final menor a 16 (CF) As el nmero hexadecimal es CF - R2 R1 = 181 Por tanto, (385)10 = (181)16

CONVERSION DE BINARIO A OTRAS BASES (1)

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Decimal: Es el mismo proceso que ya se ha mostrado para representar un nmero binario en su equivalente decimal Ejemplo 1: (11100101) (?)10 R// 1 x 27 + 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 229 (11100101)2 = (229)10

CONVERSION DE BINARIO A OTRAS BASES (3)

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Hexadecimal: Se sigue un procedimiento parecido al caso octal. Empezando con el dgito binario menos significativo (extremo derecho) se forman grupos de 4 bits cada uno. No es necesario que el ltimo grupo (extremo izquierdo) est conformado por 4 bits. Se transforma cada grupo de bits en su equivalente hexadecimal (como solo hay 4 bits no es posible que surja un nmero mayor a 15 ). Nota: Los nmeros del 10 al 15 deben ser transformados en sus letras equivalentes. Ejemplo 1: (11100101)2 (?)16 R// 11100101 = (1110) (0101) = 14(E) 5 (11100101)2 = (E5)16

CONVERSION DE HEXADECIMAL A OTRAS BASES (1)

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Decimal: Es el mismo proceso que ya se ha mostrado para representar un nmero hexadecimal en su equivalente decimal Ejemplo 1: (D3A)16 (?)10 R// 13 x 162 + 3 x 161 + 10 x 160 = 3.328 + 48 + 10 = 3.386 (D3A)16 = (3.386)10

CONVERSION DE HEXADECIMAL A OTRAS BASES (2)

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Binario: Se debe realizar un proceso inverso al paso de binario a hexadecimal. Se separa cada dgito hexadecimal y se transforma en su equivalente binario (usando cuatro dgitos). Se agrupa el nmero formado en uno solo y ese es el equivalente binario Ejemplo 1: (1FC3)16 (?)2 R// 1FC3 = (1) (F) (C) (3) = 0001 1111 1100 0011 (1FC3)16 = (1111111000011)2