sistemas de numeracion

Materia Introducción a la Informática

Unidad 1

Sistema de Numeración

Ejercitación

Prof. Alejandro Bompensieri

Introducción a la Informática - CPU

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Ejercitación Sistemas de Numeración 1. Pasar a base 10 los siguientes números escritos en la base que se indican: a) A1B32(16 b) 652(8 c) 134(5 d) 2112(3 e) 1242(6 f) 10001110(2 2. Pasar a la base que se pide los siguientes números decimales a) 264 a 2 b) 289 a 7 c) 175 a 4 d) 645 a 5 e) 322 a 2 f) 468 a 3 g) 124 a 6 3. Pasar a bases 8 y 2 los siguientes números en hexadecimal a) BB34 b) 1BA23 c) 3124 d) 35649 e) 5F13 f) 1124 g) A1BC5 h) 259A 4. Pasar de base hexadecimal a 8 los siguientes números binarios a) A4352 b) 12B56 c)44681 d) 1B1C2 e) 6589 f) 22451 g) F4A3 5. Realizar las conversiones entre bases que se piden a) 32568(H a 8 b) 574(6 a 7 c) 5542(7 a 2 d) 2654(8 a H e) 111 (3 a 4 f) 2431(5 a H 6. Pasar a binario los siguientes números escritos en las bases que se indican:

a) 56,34(10 b) FA21,22C(16 c) 110,101(8 d) 25,32(10 e) A12,B32(16 f) 101,001(8 g) 12,23(10 h) 134,A22(16 i) 21,12(8

7. Escribir los siguientes números decimales en F=8,2, con bit de signo:

a) –53 b) –89 c)-16

8. Los siguientes números están escritos en F=6,2, con bit de signo. Indicar qué números decimales representan y cuáles son los números máximo y mínimo en este formato:

a) 010011 b) 11011 c) 100111 d) 010110 e) 011001} 9. Realizar la siguiente operación en F=8, 2, con bit de signo: -89-53 10. Realizar las siguientes sumas en hexadecimal A223 BC212 4568 + 124 + 22A5 + A3B2 11. Realizar las siguientes multiplicaciones en hexadecimal 1A23 2965 35B2 x A4 x 1B x 24

Materia: Introducción a la InformáticaUnidad 1: Sistema de NumeraciónProf. Alejandro Bompensieri

Int. a la Informática CPU 2

SISTEMA DE NUMERACIÓNEVOLUCIÓN

• Sistema egipcio• Sistema babilónico• Sistema romano inicial• Sistema maya• Sistema chino• Sistema indio• Sistema árabe• Sistema español inicial• Sistema italiano• Sistema actual


PROPÓSITO

• Intentar conservar los datos numéricos en forma de escritura– Grecia (inicialmente)– Roma (posteriormente)– Sistema indoarábigo


DEFINICIÓN

• Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades.

• Se caracteriza por su base• Sistema posicional


SISTEMA DECIMAL

• Proviene del sistema numérico indoarábigo.

• Sistema posicional– Conjunto de símbolos cuyo significado o valor

depende de su posición relativa al punto decimal.

• Base 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cifras o dígitos


Teorema Fundamental de la Numeración (TFN)

• base: 10• i : posición respecto a la coma• m : número de dígitos a la derecha de la coma• n : número de dígitos a la izquierda de la coma menos 1• dígito : Cada uno de los que componen el número

Nº = Σ (dígito)i * (base)i

n

I = -m


Ejemplos

• 2006(10= 2 * 103 + 0 * 102 + 0 * 101 + 6 * 100

• 4.25 (10= 4 * 100 + 2 * 10-1 + 5 * 10-2


Teorema Fundamental de la Numeración

Relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración con la misma cantidad expresada en el sistema

decimal.

… + X2 * B2 + X1 * B1 + X0 * B0 + X-1 *B-1 + X-2 * B-2 …

base Dígito de la cantidad

Posición del dígito con respecto a la coma decimal


EJEMPLO

• 201.1(3 = 2 * 32 + 0 * 31 + 1 * 30 + 1 * 3-1

18 + 0 + 1 + 0.333

19.333 (10RESULTADO =


EJERCICIOS

• 516 (7=• 0.111(2=


SISTEMA BINARIO

• Es el sistema utilizado internamente en los circuitos digitales que configuran al hardware

• Base 2• Posibles representaciones• 0 - 1


Binary digit

bit

110011100000111100011110001111000011111

Ejemplo


MÚLTIPLOS DEL BIT

• Nibble: conjunto de 4 bits (1010)• Byte: conjunto de 8 bits (10101110)• Kilobyte: conjunto de 1024 bytes (1024 * 8 bits)• Megabyte: conjunto de 1024 Kb (10242 * 8 bits)• Gigabyte: conjunto de 1024 Mb (10243 * 8 bits)• Terabyte: conjunto de 1024 Gb (10244 * 8 bits)

1024= es el múltiplo de 2 más próximo a 1000. 210=1024


TABLA DE EQUIVALENCIAS

• 1 nibble = 4 bits.• 1 byte = 2 nibbles = 8 bits.• 1 kilobyte = 1024 bytes = 1024 * 8 bits.• 1 megabyte = 10242 Kb = 10242 * 8 bits.• 1 gigabyte = 1024 Mb = 10243 * 8 bits.• 1 terabyte = 1024 Gb = 10244 * 8 bits.

Byte = es la unidad básica de medida de la información


Ejemplos

¿Qué nro. Decimal representa el binario 1001.1? (utilizar TFN)

1001.1(2 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1

8 + 0 + 0 + 2 + 0.5 = 9.5 (10

Suponiendo una capacidad de 8 MB. ¿Cómo puedo expresar su equivalente en bytes? ¿y en bits?

Capacidad = 8 * 10242 = 8.388.608 bytes = 67.108.864 bits

Capacidad = 8.388.608 bytes * 8 = 67.108.864 bits


EjerciciosTransformar los siguientes números binarios a números decimales:

10010001(2

11111111(2

010011(2

010110 (2

011001(2


SUMA BINARIA

• Semejante a sumar en el sistema decimal• Se manejan sólo 2 dígitos (0 y 1)• Si el resultado excede de los símbolos

utilizados, se agrega el exceso o acarreo

1 + 0 = 1

1 + 1 =10 (0 con acarreo 1)

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

Tabla del 1Tabla del 0

Tabla de sumar en el sistema binario


EjemplosSumar los números binarios 100100 (36) y 10010 (18)

1 0 0 1 0 0 ............................ 36

1 0 0 1 0 ............................ 18

1 1 0 1 1 0 ............................ 54

++

Sumar los números binarios 11001 (25) y 10011 (19)

1 1 0 0 1 ............................... 25

1 0 0 1 1 ............................... 19

1 0 1 1 0 0 ............................... 44

+ +

111Acarreos


Ejercicios

• 101110 (46) + 1110 (14)• 10101101 (173) + 100010111 (279)• 10.1 (2.5) + 11.01 (3.25)• 1101 (13) + 1110 (14) + 1100(12)

Sumar los siguientes números binarios


RESTA BINARIA• Similar a restar en el sistema decimal• Si el sustraendo excede al minuendo, se sustrae una

unidad del dígito más a la izquierda (si existe y vale 1)• Este último se convierte en 0 y la unidad extraída

equivale a 1 * 2 en el minuendo de resta parcial que se está realizando.

1 - 0 = 1

1 + 1 = 0

0 - 0 = 0

0 - 1 = no cabe


Tabla de restar en el sistema binario


EjemplosRestar los números binarios 111111 (63) y 101010 (42)

1 1 1 1 1 1 ............................ 63

1 0 1 0 1 0 ............................ 42

0 1 0 1 0 1 ............................ 21

--

Restar los números binarios 111100 (60) y 101010 (42)

1 1 1 1 0 0 ............................... 60

1 0 1 0 1 0 ............................... 42

0 1 0 0 1 0 ............................... 18

- -

20


Ejercicios

• 11101 (29) - 111 (7)• 110100101 (421) - 11101000 (232)• 11.01 (3.25) - 10.1 (2.5)

Restar los siguientes números binarios


MULTIPLICACIÓN BINARIA

• Similar a la multiplicación en el sistema decimal• Salvo la suma final que se realiza en binario

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0


Tabla de multiplicar en el sistema binario


EjemploMultiplicar los números binarios 110101 (53) y 1101 (13)

1 1 0 1 0 1............................ 53

0 0 1 1 0 1............................ 13

1 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 ............................. 689

**

+


Ejercicios

• 11010 (26) por 101010 (42)• 111111 (63) por 101010 (42)

Multiplicar los siguientes números binarios


DIVISIÓN BINARIA

• Similar a la división en el sistema decimal• Salvo que las multiplicaciones y las restas se

hacen en binario.


EjemploDividir los números binarios 100010 (34) y 110 (6)

1 1 0 1 0 1 1 1 0

1 1 0 1 0 1............cociente (5)

1 0 1 0

1 1 0

1 0 0 .....................................resto (4)


Ejercicios

• 10000000010 (1026) y 11 (3)• 10001000100 (1092) y 101010 (42)

Dividir los siguientes números binarios y comprobar el resultado


SISTEMA OCTAL

• Sistema posicional• Base 8• Aritmética similar a la de los sistemas

decimal y binario• Posibles representaciones• 0 1 2 3 4 5 6 7


Ejemplo¿Qué número decimal representa el número octal 4701?

Resolver utilizando TFN

4701(8 = 4 * 83 + 7 * 82 + 0 * 81 + 1 * 80

= 2048 + 448 + 0 + 1

= 2497 (10


SISTEMA HEXADECIMAL

• Sistema posicional• Base 16• Aritmética similar a la de los sistemas

decimal, binario y octal• Posibles representaciones• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F


SISTEMA HEXADECIMAL

• Se asignan los siguientes valores absolutos (decimales) a los símbolos A, B, C, D, E, F

101112131415

ABCDEF

Valor absolutoSímbolo


Ejemplo¿Qué número decimal representa el número hexadecimal 2CA?

Resolver utilizando TFN

2CA(16 = 2 * 162 + C * 161 + A * 160

= 512 + 12 * 161 + 10 * 160

= 512 + 192 + 10

= 714 (10


CONVERSIONES ENTRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Es la transformación de una determinada cantidad expresada en uno de los sistemas de numeración vistos, a su representación equivalente en otro de los sistemas de numeración vistos.


CONVERSIONES• Decimal a binario• Binario a decimal• Decimal a octal• Octal a decimal• Decimal a hexadecimal• Hexadecimal a decimal

• Hexadecimal a binario• Binario a hexadecimal• Octal a binario• Binario a octal• Octal a hexadecimal• Hexadecimal a octal


Conversión decimal a binario

Es el método que se utiliza para convertir números enteros decimales a su respectivo número entero en binario. Se trata de dividir sucesivamente el número decimal y los sucesivos cocientes entre 2, hasta que el cociente en una de las divisiones tome el valor 0. La unión de todos los restos obtenidos, escritos en orden inverso, nos proporciona el número inicial expresado en binario.

Ejemplo: Convertir el decimal 10 a binario.

210

0 5

1 2

2

2

1010(10 = 1010(2


Conversión binario a decimal

Es el método que aplica directamente el teorema fundamental de la numeración (TFN).

Ejemplo: Convertir el binario 101011 a decimal.

101011(2 = 1 * 20 + 1 * 21 + 0 * 22 + 1 * 23 + 0 * 24 + 1 *25

= 1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 32

= 43(10


Conversión hexadecimal a binario

Para convertir un número hexadecimal a binario se sustituye cada dígito hexadecimal por su representación binaria con cuatro dígitos. (ver tabla).

Ejemplo: Convertir el hexadecimal 2BC a binario.

2 B C

0010 1011 1100

Luego: 2BC(16 = 1010111100(2


Conversión binario a hexadecimal

Se debe realizar el proceso inverso al anterior. Se agrupan los dígitos binarios de 4 en 4 a partir del punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada cuarteto por su correspondiente dígito hexadecimal.

Ejemplo: Convertir el binario 100101100 a hexadecimal.

Luego: 100101100(2 = 12C(16

0001 0010 1100

1 2 C


Ejercicios

• 15(10 a binario• 1994(10 a binario• 1101(2 a decimal• 10101100(2 a decimal• 11111001010(2 a decimal• 7BA3(16 a binario• 1100101001000(2 a hexadecimal


Representación de números enteros

Las computadoras digitales utilizan 4 métodos para la representación interna de números enteros (positivos y negativos)

• Módulo y signo (MS)• Complemento a 1 (C-1)• Complemento a 2 (C-2)• Exceso a 2n-1


Módulo y signo (MS)

En este sistema, el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -.El resto de bits (n-1) representan el módulo del número.



Ejemplo: queremos representar los números 10 y –10. Disponemos de 8 bits, es decir, n = 8

Número 10 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 1 0

Signo +

Signo - Módulo

Módulo

luego



• La ventaja de este sistema es poseer un rango simétrico (igual número de positivos y negativos).

• La desventaja es que posee dos representaciones para el número cero.

Para n = 8 bits– 0 0 0 0 0 0 0 0 (+0)– 1 0 0 0 0 0 0 0 (-0)


Complemento a 1 (C-1)

En este sistema, también el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -.El resto de bits (n-1) representan el módulo del número.El negativo de un número positivo se obtiene complementando todos sus dígitos (cambiar ceros por unos y viceversa) incluido el bit de signo.




Número 10 0 0 0 0 1 0 1 0

1 1 1 1 0 1 0 1

Signo +

Signo - Módulo

Módulo

Complemento del positivo



• La ventaja de este sistema es poseer un rango simétrico (igual número de positivos y negativos).

• La desventaja es que posee dos representaciones para el número cero.

Para n = 8 bits– 0 0 0 0 0 0 0 0 (+0)– 1 1 1 1 1 1 1 1 (-0)


Complemento a 2 (C-2)En este sistema, también el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -.El resto de bits (n-1) representan el módulo del número, igual que MS y C-1.El negativo de un número se obtiene en dos pasos.

1) Complemento a 12) Al resultado obtenido se le suma 1 en

binario, despreciando el último acarreo si existe.




Número 10

0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1

Signo + Signo - MóduloMódulo

1º paso: Complemento del positivo C-1

2º paso: Sumar 1 en binario

1 1 1 0 1 0 1

+ 1

1

1 1 1 1 0 1 1 0



• La ventaja de este sistema es poseer una única representación para el número cero.

• El último acarreo se desprecia, por lo tanto, el 0 y el –0 tienen la misma representación en C-2.


Exceso a 2n-1

En este método la representación no utiliza ningún bit para el signo, con lo cual todos los bits representan un módulo o valor. Este valor se corresponde con el número representado más el exceso, que para n bits viene dado por 2n-1.

Materia Introducción a la Informática

Unidad 1

Tablas de Valores de Verdad

Prof. Alejandro Bompensieri


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Tablas de Valores de Verdad

NEGACION (NOT) P P´ V F F V CONJUNCION (AND) P Q P^Q V V V V F F F V F F F F DISYUNCIÓN (OR) P Q P∨Q V V V V F V F V V F F F CONDICIONAL P Q P Q V V V V F F F V V F F V BICONDICIONAL (XNOR) P Q P↔Q V V V V F F F V F F F V DISYUNCION EXCLUSIVA (XOR) P Q P⊕Q V V F V F V F V V F F F

NAND P Q P Q V V F V F V F V V F F V NOR P Q P Q V V F V F F F V F F F V


16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F MÁS0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 102 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 113 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 124 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 135 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 146 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 157 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 168 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 179 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1AC C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1BD D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1CE E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1DF F # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E

16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F POR0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4C 54 5B 62 698 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 789 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96B 0 B 16 21 2C 37 42 4C 58 63 6E 79 84 8F 9A A5C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1

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