Sistemas de Numeración Posicional -...

Circuitos Digitales EC1723

Universidad Simoacuten BoliacutevarDepartamento de Electroacutenica y Circuitos

Prof Juan Claudio RegidorUniversidad Simoacuten BoliacutevarProf Juan Claudio Regidor 2

Sistemas de Numeracioacuten Posicional

En un nuacutemero cada siacutembolo ai tiene un valor que depende de su posicioacuten seguacuten la expresioacuten

N = an bn + an1 b

n1 + an2 bn2 +a2 b

2 + a1 b1 + a0 b

0

N = ai middotbi

i=0

n

anan1an2a2a1a0

N es el valor numeacuterico representado por la cadena de siacutembolos ai

b es llamada la base del sistema

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Algunos ejemplos

3


1512 (base 8)N = 1 83 + 5 82 +1 81 + 2 80 = 842

1512 (base 6)N = 1 63 + 5 62 +1 61 + 2 60 = 404

1512 (base10)N = 1 103 + 5 102 +1 101 + 2 100

Los babilonios desarrollaron un sistema posicional de base 60 aunque los ldquodiacutegitosrdquo se formaban con soacutelo dos siacutembolos no habiacutea un siacutembolo para el cero

Conservamos un resto de este sistema en la divisioacuten de la circunferencia en grados minutos y segundos de arco y en la divisioacuten del diacutea en horas minutos y segundos

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Numeracioacuten Babiloacutenica


Numeracioacuten Maya

Los mayas empleaban un sistema de numeracioacuten posicional de base 20

N = a4 204 + a3 20

3 + a2 202 + a1 20

1 + a0 200

Para las fechas (ldquocuenta largardquo) el diacutegito a1 solo llega hasta 17 de modo que las dos uacuteltimas cifras recorren los valores 0-359 aproximando la duracioacuten del antildeo


Numeracioacuten indo-araacutebiga

El sistema decimal que usamos en la actualidad se deriva del desarrollado en India hacia el s VI y adoptado por los aacuterabes en el s VIII Leonardo de Pisa (Fibonacci) difundioacute el sistema en Europa en 1202 con su Liber Abaci (Libro del Aacutebaco)Los siacutembolos originales usados auacuten en los paiacuteses musulmanes son diferentes de los empleados en Europa y luego en el resto del mundo

$ amp ( )0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



La base se denota como un subiacutendice del nuacutemero excepto cuando no hay ambiguumledad

Nuestro sistema de base diez o decimal por convencioacuten no requiere el subiacutendice

1001101012 = 4658 = 309

Para sistemas cuya base sea mayor que diez se suelen emplear letras como diacutegitos seguacuten la equivalencia A=10 B=11 hellip F=15 hellip K=20 etc


Se evaluacutea la expresioacuten de definicioacuten de sistema posicional

Conversioacuten de una base cualquiera a base 10

4658 = 4 82 + 6 8 + 5 = 309

2AF816 = 2 163 +10 162 +15 16 + 8 = 11000

1010102 = 1 25 +1 23 +1 2 = 42

210123 = 2 34 +1 33 + 0 32 +1 3+ 2 = 194


Conversioacuten de base 10 a una base cualquiera

Cada divisioacuten da como residuo a cada uno de los ai en orden del menos al maacutes signficativo

an bn + an1 b

n1 ++ a2 b2 + a1 b

1 + a0 b0( ) divide b

Cociente an bn1 + an1 b

n2 ++ a2 b1 + a1 b

0

Residuo a0

an bn1 + an1 b

n2 ++ a2 b1 + a1 b

0( ) divide b Cociente an b

n2 + an1 bn3 ++ a2 b

0

Residuo a1



Convertir 57 a base 4

3 2 14

57 41 14 4

2 3 43 03 42 + 2 4 +1 = 57


515 = 10038

1 83 + 3 = 515

515 83 64 8

0 8 80 1 8

1 0


Conversioacuten de una base a otra cualquiera

Usamos el sistema decimal como paso intermedio

Ejemplo Convertir 5378 a base 5

5378 a base 10

351 a base 5

5 82 + 3 8 + 7 = 351

351 51 70 5

0 14 54 2

5378 = 24015Universidad Simoacuten BoliacutevarProf Juan Claudio Regidor 12

Caso particular bases potencia de 2

Nombres especiales

Base 2 binario 101101002

Base 8 octal 2648

Base 16 hexadecimal B416 oacute B4H

Un diacutegito en el sistema octal es equivalente a 3 diacutegitos (bits) en el sistema binario

Un diacutegito en el sistema hexadecimal es equivalente a 4 bits


Conversioacuten entre bases potencia de 2

Octal a binario se sustituye cada diacutegito por los tres bits equivalentes seguacuten la tabla

0 1 2 3 4 5 6 70000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

8 9 A B C D E F1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

0 1 2 3 4 5 6 7000 001 010 011 100 101 110 111

Hexadecimal a binario se sustituye cada diacutegito por los cuatro bits equivalentes seguacuten la tabla



3215H = 0011 0010 0001 01012

8A4FH = 1000 1010 0100 11112

321778 = 011 010 001 111 1112

1731028 = 001 111 011 001 000 0102

1321034 = 01 11 10 01 00 112

Ejemplos



Binario a octal separamos los bits en grupos de 3 comenzando por el menos significativo completando con ceros a la izquierda si es necesario Cada grupo se sustituye entonces por su diacutegito octal equivalente

Binario a hexadecimal separamos los bits en grupos de 4 comenzando por el menos significativo completando con ceros a la izquierda si es necesario Cada grupo se sustituye entonces por su diacutegito hexadecimal equivalente

1lsquo1111lsquo0000lsquo0101lsquo00102 = 1F052H

11lsquo010lsquo110lsquo111lsquo1002 = 326748

1rsquo111lsquo111lsquo101lsquo110lsquo0002 = 1775608

1rsquo10rsquo11rsquo00rsquo00rsquo11rsquo10lsquo012 = 123003214

100rsquo1011rsquo0100rsquo1110lsquo11112 = 4B4EFH



Ejemplos



1A2BH = 0001 1010 0010 10112

1A2BH = 0lsquo001lsquo101lsquo000lsquo101lsquo0112 = 150538

1735608 = 1 111 011 101 110 0002

1735608 = 1111lsquo0111lsquo0111lsquo00002 = F770H

Para convertir de decimal a binario podemos hacer la conversioacuten a octal o hexadecimal y luego a binario a fin de reducir la cantidad de divisiones

Podemos usar el sistema binario como paso intermedio para conversiones octal-hexadecimal



Convertir 12537 al sistema binario

Usemos el sistema octal como paso intermedio

12537 81 1567 8

7 195 83 24 8

0 312537 = 303718 = 11 000 011 111 0012


En el sistema decimal representamos la fraccioacuten 1572100 como 1572 es decir

Representacioacuten de nuacutemeros fraccionarios

1 101 + 5 100 + 7 101 + 2 102

an bn + an1 b

n1 + + a0 b0 + a1 b

1 + + am bm +

N = ai middotbi

i=m

n

Para una base b la representacioacuten posicional de un nuacutemero fraccionario seraacute

La expresioacuten anterior permite convertir un nuacutemero en base b al sistema decimal


Conversioacuten de nuacutemeros fraccionarios

3122214 a base 10

3 43 +1 42 + 2 41 + 2 40 + 2 41 +1 42 =

3 64 +16 + 2 4 + 2 + 2 025 + 00625 = 2183125

4 50 + 4 51 + 4 52 + 0 53 + 4 54 =

4 + 4 02 + 4 004 + 4 00016 = 49664

444045 a base 10



Para convertir un nuacutemero decimal a una base b cualquiera la parte entera se trata igual que antes Para la parte fraccionaria ƒ observamos

Esto es al multiplicar la base por la parte fraccionaria obtenemos un nuacutemero cuya parte entera es el valor del digito que sigue a la coma fraccionaria Repitiendo el proceso con la nueva parte fraccionaria obtenemos los diacutegitos sucesivos

b ƒ = b a1 b1 + a2 b

2 + a3 b3 + ( ) = a1 + a2 b1 + a3 b

2 +

b a2 b1 + a2 b

2 + ( ) = a2 + a3 b1 +



022912 a base 5

bull 022912 5 = 11456bull 01456 5 = 0728bull 0728 5 = 364bull 064 5 = 32bull 02 5 = 10 0103315

El proceso termina cuando la parte fraccionaria del producto es cero



Un nuacutemero fraccionario que tenga representacioacuten exacta en una base no necesariamente la tiene en otra base

Por ejemplo la fraccioacuten 13 = 3ndash1 se representa como 013 pero en el sistema decimal es la fraccioacuten perioacutedica 033333hellip

El proceso de conversioacuten puede no terminar produciendo asiacute una fraccioacuten perioacutedica



Convertir 02 a base 2bull 02 2 = 04bull 04 2 = 08bull 08 2 = 16bull 06 2 = 12bull 02 2 = 04hellip

A partir de aquiacute se repiten indefinidamente los mismos valores y tenemos la fraccioacuten perioacutedica binaria 000110011hellip


Aritmeacutetica binaria

Suma + 0 10 0 11 1 10

1 1 1 1 1 ldquoacarreordquo o carry 1 0 1 1 0 1 0 + 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1



Resta

1 1 1 1 1 ldquopidordquo o borrow 1 1 0 0 0 1 0 1 ndash 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 + 1 1 0 0 0 1 0 1 ndash 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0


Representacioacuten de nuacutemeros negativos

Magnitud y signo

Es la forma que empleamos comuacutenmente +157 ndash1249 ndash175732 255998

En el sistema binario podemos usar un bit adicional para el signo La convencioacuten normal es 0 para positivo y 1 para negativo

bull+69 = 0 1000101 ndash69 = 1 1000101

bullndash129 = 1 10000001



Complemento a 1

La operacioacuten de complemento consiste en restar un nuacutemero N de otro formado por tantos unos como bits tenga N El resultado es el complemento a 1 de N Comp a 1 de 010010 111111 ndash 010010 = 101101

La forma praacutectica de hallar el complemento a 1 es cambiar el valor de cada bit de 0 a 1 y viceversa Asiacute el complemento a 1 de 100101110 es 011010001



La representacioacuten en complemento a 1 de n bits usa el valor binario sin alterar para nuacutemeros positivos y el complemento a 1 para los nuacutemeros negativos todos expresados en n bits

+62 en Crsquo1 de 8 bits 00111110

ndash62 en Crsquo1 de 8 bits 11000001

Se pueden expresar cantidades entre ndash(2nndash1ndash1) y 2nndash1ndash1 El cero tiene dos formas 0 00 y 1 11



Operaciones en complemento a uno

Cambio de signo se halla el complemento a uno del nuacutemero

ndash (0 1001) = 1 0110 ndash (1 0101) = 0 1010

Resta A ndash B = A + (complemento a uno de B) + 1

14 ndash 0 1110 ndash 0 1110 + 6 0 0110 1 1001 8 10 0111 + 1 = 0 1000



Complemento a 2

La operacioacuten de complemento a dos en n bits consiste en restar un nuacutemero N de 2n El resultado es el complemento a 2 de N en n bits 100000 ndash 010010 = 101110

La forma praacutectica de hallar el complemento a 2 es copiar cada bit empezando por el menos significativo hasta llegar a un 1 que tambieacuten se copia Luego cambiar el valor de cada bit siguiente Asiacute el complemento a 2 de 100101100 es 011010100






Se pueden representar cantidades entre ndash2nndash1 y (2nndash1)ndash1 El cero tiene una sola forma 0 00



La expresioacuten matemaacutetica para la representacioacuten en complemento a 2 de n bits es

N = an1 2n1 + an1 2

n2 + an2 2n3 ++ a1 2

1 + a0 20

N = an1 2n1 + ai middot2

i

i=0

n2

Notar que el bit de signo tiene peso negativo Si es cero no altera el valor del nuacutemero binario si es uno entonces hace la operacioacuten de complemento a dos



Operaciones en complemento a dosCambio de signo se halla el complemento a dos del nuacutemero

ndash (0 1001) = 1 0111 ndash (1 0110) = 0 1010

Resta A ndash B = A + (complemento a dos de B) 14 ndash 0 1110 ndash 0 1110 + 6 0 0110 1 1010

8 10 1000



El lsquo1rsquo sobrante que puede aparecer proviene de la operacioacuten de complementacioacutenA ndash B A + (2n ndash B) = 2n + (A ndash B)

Las operaciones de suma y resta pueden resultar en la condicioacuten llamada desborde u overflow cuando el resultado no puede representarse en n bits

El desborde puede ocurrir soacutelo cuando se suman nuacutemeros del mismo signo y se detecta porque el resultado tiene un signo distinto a los sumandos

102 + 48 = 150

01100110 + 00110000 10010110

ndash46+(ndash85) =ndash131

11010010+ 101010111 01111101

96 ndash (ndash60) = 96 + 60 = 156

01100000 ndash (11000100)

01100000 + 00111100 10011100



Todas las operaciones siguientes resultan en desborde



0

1

2345

6

7

ndash1

ndash2ndash3ndash4ndash5

ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111

Suma de nuacutemeros positivos

Suma de nuacutemeros negativos


Otros Coacutedigos

BCD (Binary Coded Decimal o Decimal codificado en binario)- Cada diacutegito de un nuacutemero es representado por su equivalente binario de 4 bits Se usa en aplicaciones de contabilidad para evitar la imprecisioacuten en las fracciones decimales representadas en binario

82 en binario es 100000110011hellip

82 en BCD es 10000010 sin peacuterdida de precisioacuten


Otros Coacutedigos

Hallar una suma en BCD requiere hacer una correccioacuten en el resultado debida al hecho de que hay 6 coacutedigos que no representan ninguacuten diacutegito 1 399+ 0011 1001 1001+ 182 0001 1000 0010 581 0101 0001 1011 51B 110 110 0101 1000 0001 581


Otros Coacutedigos

Coacutedigo exceso-n Cada nuacutemero es representado por su equivalente binario aumentado en n unidades

Ejemplo en el coacutedigo exceso-3 0 se representa 0011 1 es 0100 4 es 0111 etc

En el coacutedigo exceso-127 de 8 bits los nuacutemeros del rango ndash127 a +128 se representan 00000000 a 11111111 Este coacutedigo se usa para los exponentes en la representacioacuten de nuacutemeros en ldquopunto flotanterdquo


Otros Coacutedigos

Coacutedigo Gray a cada nuacutemero se le asigna un valor binario tal que dos nuacutemeros consecutivos difieren solamente en un bitEl coacutedigo de n bits se construye ldquoreflejandordquo el de nndash1 bits seguacuten el procedimiento siguiente 0 00 000 Gray 000 Binario 1 01 001 001 11 011 010 10 010 011 110 100 111 101 101 110 100 111


Otros Coacutedigos

Coacutedigos alfanumeacutericos

EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) Desarrollado por IBM como una extensioacuten de BCD para representar letras y signos de puntuacioacuten

ASCII (American Standard Code for Information Interchange) Es un coacutedigo de 7 bits capaz de representar letras nuacutemeros y signos de puntuacioacuten y sentildeales de control para un terminal


Otros Coacutedigos

Coacutedigo Unicode- El coacutedigo ASCII no permite repre-sentar los signos diacriacuteticos usados en los idiomas europeos ni otras formas de escritura Para ello se creoacute Unicode un coacutedigo de 21 bits que acomoda gran variedad de alfabetos europeos o asiaacuteticos (griego ciriacutelico aacuterabe hebreo etc) ideogramas chinos etc

Griego $amp Ciriacutelico ()+

Aacuterabe $amp( )+(Hebreo ישראל

Katakana ニポヌ Chino 中华人民共和国Universidad Simoacuten BoliacutevarProf Juan Claudio Regidor 44

Otros Coacutedigos Coacutedigo Unicode

Plano multilinguumle baacutesico 0000H-FFFFH

A = 0041H ntilde = 00F1H - = 03B1H ポ= 30DDH

Plano multilinguumle suplementario 10000H-1FFFFH

Plano ideograacutefico suplementario 20000H-2FFFFH

= 21CD2H 194964 = 2F994H

Plano suplementario de propoacutesitos especiales E0000H-EFFFFH

Planos de uso privado F0000H-FFFFFH y 100000H-10FFFFH



Plano multilinguumle baacutesico 0000H-FFFFHA = 0041H ntilde = 00F1H = 03B1H ポ= 30DDH


119070 = 1D11EH 120513 = 1D6C1HPlano ideograacutefico suplementario 20000H-2FFFFH

= 21CD2H 194964 = 2F994HPlano suplementario de propoacutesitos especiales E0000H-EFFFFHPlanos de uso privado F0000H-FFFFFH y 100000H-10FFFFH


Representacioacuten de Nuacutemeros en Punto Flotante

Similar a la notacioacuten cientiacutefica usual

2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2

Estaacutendar IEEE 754-1985 IEC 559

Define formatos de precisioacuten simple simple extendida doble y doble extendida

Incluye valores especiales infin ndashinfin NaN (Not a Number)


Estaacutendar IEEE 754-1985

Formato de precisioacuten simple

s exponente mantisa31 30 23 22 0

s bit de signo (rep de magnitud y signo)Exponente binario en exceso 127Mantisa normalizada sin el bit maacutes significativoNuacutemeros entre 235x10 ndash38 y 34x10 38 (7 cifr sig)0 10000110 10101001000000000000000 110101001x10111



Formato de precisioacuten doble


s bit de signo (rep de magnitud y signo)Exponente binario en exceso 1023Mantisa normalizada sin el bit maacutes significativoNuacutemeros entre 445x10 ndash308 y 18x10 308 (16 cifr sig)

bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales

0 exponente 0 mantisa 0

plusmninfin exponente 255 oacute 2047 mantisa = 0

NaN exponente 255 oacute 2047 mantisa ne 0

Nuacutemeros desnormalizados

exponente 0 mantisa = f ne 0 representa 0f x 2emin con emin ndash126 oacute ndash1022


Numeracioacuten Maya

Los mayas empleaban un sistema de numeracioacuten posicional de base 20

N = a4 204 + a3 20

3 + a2 202 + a1 20

1 + a0 200

Para las fechas (ldquocuenta largardquo) el diacutegito a1 solo llega hasta 17 de modo que las dos uacuteltimas cifras recorren los valores 0-359 aproximando la duracioacuten del antildeo


Numeracioacuten indo-araacutebiga

El sistema decimal que usamos en la actualidad se deriva del desarrollado en India hacia el s VI y adoptado por los aacuterabes en el s VIII Leonardo de Pisa (Fibonacci) difundioacute el sistema en Europa en 1202 con su Liber Abaci (Libro del Aacutebaco)Los siacutembolos originales usados auacuten en los paiacuteses musulmanes son diferentes de los empleados en Europa y luego en el resto del mundo

$ amp ( )0 1 2 3 4 5 6 7 8 9



La base se denota como un subiacutendice del nuacutemero excepto cuando no hay ambiguumledad

Nuestro sistema de base diez o decimal por convencioacuten no requiere el subiacutendice

1001101012 = 4658 = 309

Para sistemas cuya base sea mayor que diez se suelen emplear letras como diacutegitos seguacuten la equivalencia A=10 B=11 hellip F=15 hellip K=20 etc


Se evaluacutea la expresioacuten de definicioacuten de sistema posicional

Conversioacuten de una base cualquiera a base 10

4658 = 4 82 + 6 8 + 5 = 309

2AF816 = 2 163 +10 162 +15 16 + 8 = 11000

1010102 = 1 25 +1 23 +1 2 = 42

210123 = 2 34 +1 33 + 0 32 +1 3+ 2 = 194




an bn + an1 b

n1 ++ a2 b2 + a1 b



n2 ++ a2 b1 + a1 b

0

Residuo a0

an bn1 + an1 b

n2 ++ a2 b1 + a1 b


n2 + an1 bn3 ++ a2 b

0

Residuo a1




3 2 14

57 41 14 4

2 3 43 03 42 + 2 4 +1 = 57


515 = 10038

1 83 + 3 = 515

515 83 64 8

0 8 80 1 8

1 0





5378 a base 10

351 a base 5

5 82 + 3 8 + 7 = 351

351 51 70 5

0 14 54 2



Nombres especiales


Base 8 octal 2648







0 1 2 3 4 5 6 70000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

8 9 A B C D E F1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

0 1 2 3 4 5 6 7000 001 010 011 100 101 110 111




3215H = 0011 0010 0001 01012

8A4FH = 1000 1010 0100 11112

321778 = 011 010 001 111 1112

1731028 = 001 111 011 001 000 0102

1321034 = 01 11 10 01 00 112

Ejemplos












Ejemplos



1A2BH = 0001 1010 0010 10112


1735608 = 1 111 011 101 110 0002








12537 81 1567 8

7 195 83 24 8

0 312537 = 303718 = 11 000 011 111 0012




1 101 + 5 100 + 7 101 + 2 102

an bn + an1 b

n1 + + a0 b0 + a1 b

1 + + am bm +

N = ai middotbi

i=m

n





3122214 a base 10

3 43 +1 42 + 2 41 + 2 40 + 2 41 +1 42 =

3 64 +16 + 2 4 + 2 + 2 025 + 00625 = 2183125

4 50 + 4 51 + 4 52 + 0 53 + 4 54 =

4 + 4 02 + 4 004 + 4 00016 = 49664

444045 a base 10





b ƒ = b a1 b1 + a2 b

2 + a3 b3 + ( ) = a1 + a2 b1 + a3 b

2 +

b a2 b1 + a2 b

2 + ( ) = a2 + a3 b1 +



022912 a base 5














Suma + 0 10 0 11 1 10




Resta


1 0 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 + 1 1 0 0 0 1 0 1 ndash 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0



Magnitud y signo



bull+69 = 0 1000101 ndash69 = 1 1000101

bullndash129 = 1 10000001



Complemento a 1













ndash (0 1001) = 1 0110 ndash (1 0101) = 0 1010


14 ndash 0 1110 ndash 0 1110 + 6 0 0110 1 1001 8 10 0111 + 1 = 0 1000



Complemento a 2












N = an1 2n1 + an1 2

n2 + an2 2n3 ++ a1 2

1 + a0 20


i

i=0

n2





ndash (0 1001) = 1 0111 ndash (1 0110) = 0 1010


8 10 1000






102 + 48 = 150

01100110 + 00110000 10010110


11010010+ 101010111 01111101

96 ndash (ndash60) = 96 + 60 = 156

01100000 ndash (11000100)

01100000 + 00111100 10011100






0

1

2345

6

7

ndash1


ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111




Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales









an bn + an1 b

n1 ++ a2 b2 + a1 b



n2 ++ a2 b1 + a1 b

0

Residuo a0

an bn1 + an1 b

n2 ++ a2 b1 + a1 b


n2 + an1 bn3 ++ a2 b

0

Residuo a1




3 2 14

57 41 14 4

2 3 43 03 42 + 2 4 +1 = 57


515 = 10038

1 83 + 3 = 515

515 83 64 8

0 8 80 1 8

1 0





5378 a base 10

351 a base 5

5 82 + 3 8 + 7 = 351

351 51 70 5

0 14 54 2



Nombres especiales


Base 8 octal 2648







0 1 2 3 4 5 6 70000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

8 9 A B C D E F1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

0 1 2 3 4 5 6 7000 001 010 011 100 101 110 111




3215H = 0011 0010 0001 01012

8A4FH = 1000 1010 0100 11112

321778 = 011 010 001 111 1112

1731028 = 001 111 011 001 000 0102

1321034 = 01 11 10 01 00 112

Ejemplos












Ejemplos



1A2BH = 0001 1010 0010 10112


1735608 = 1 111 011 101 110 0002








12537 81 1567 8

7 195 83 24 8

0 312537 = 303718 = 11 000 011 111 0012




1 101 + 5 100 + 7 101 + 2 102

an bn + an1 b

n1 + + a0 b0 + a1 b

1 + + am bm +

N = ai middotbi

i=m

n





3122214 a base 10

3 43 +1 42 + 2 41 + 2 40 + 2 41 +1 42 =

3 64 +16 + 2 4 + 2 + 2 025 + 00625 = 2183125

4 50 + 4 51 + 4 52 + 0 53 + 4 54 =

4 + 4 02 + 4 004 + 4 00016 = 49664

444045 a base 10





b ƒ = b a1 b1 + a2 b

2 + a3 b3 + ( ) = a1 + a2 b1 + a3 b

2 +

b a2 b1 + a2 b

2 + ( ) = a2 + a3 b1 +



022912 a base 5














Suma + 0 10 0 11 1 10




Resta


1 0 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 + 1 1 0 0 0 1 0 1 ndash 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0



Magnitud y signo



bull+69 = 0 1000101 ndash69 = 1 1000101

bullndash129 = 1 10000001



Complemento a 1













ndash (0 1001) = 1 0110 ndash (1 0101) = 0 1010


14 ndash 0 1110 ndash 0 1110 + 6 0 0110 1 1001 8 10 0111 + 1 = 0 1000



Complemento a 2












N = an1 2n1 + an1 2

n2 + an2 2n3 ++ a1 2

1 + a0 20


i

i=0

n2





ndash (0 1001) = 1 0111 ndash (1 0110) = 0 1010


8 10 1000






102 + 48 = 150

01100110 + 00110000 10010110


11010010+ 101010111 01111101

96 ndash (ndash60) = 96 + 60 = 156

01100000 ndash (11000100)

01100000 + 00111100 10011100






0

1

2345

6

7

ndash1


ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111




Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales









0 1 2 3 4 5 6 70000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

8 9 A B C D E F1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

0 1 2 3 4 5 6 7000 001 010 011 100 101 110 111




3215H = 0011 0010 0001 01012

8A4FH = 1000 1010 0100 11112

321778 = 011 010 001 111 1112

1731028 = 001 111 011 001 000 0102

1321034 = 01 11 10 01 00 112

Ejemplos












Ejemplos



1A2BH = 0001 1010 0010 10112


1735608 = 1 111 011 101 110 0002








12537 81 1567 8

7 195 83 24 8

0 312537 = 303718 = 11 000 011 111 0012




1 101 + 5 100 + 7 101 + 2 102

an bn + an1 b

n1 + + a0 b0 + a1 b

1 + + am bm +

N = ai middotbi

i=m

n





3122214 a base 10

3 43 +1 42 + 2 41 + 2 40 + 2 41 +1 42 =

3 64 +16 + 2 4 + 2 + 2 025 + 00625 = 2183125

4 50 + 4 51 + 4 52 + 0 53 + 4 54 =

4 + 4 02 + 4 004 + 4 00016 = 49664

444045 a base 10





b ƒ = b a1 b1 + a2 b

2 + a3 b3 + ( ) = a1 + a2 b1 + a3 b

2 +

b a2 b1 + a2 b

2 + ( ) = a2 + a3 b1 +



022912 a base 5














Suma + 0 10 0 11 1 10




Resta


1 0 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 + 1 1 0 0 0 1 0 1 ndash 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0



Magnitud y signo



bull+69 = 0 1000101 ndash69 = 1 1000101

bullndash129 = 1 10000001



Complemento a 1













ndash (0 1001) = 1 0110 ndash (1 0101) = 0 1010


14 ndash 0 1110 ndash 0 1110 + 6 0 0110 1 1001 8 10 0111 + 1 = 0 1000



Complemento a 2












N = an1 2n1 + an1 2

n2 + an2 2n3 ++ a1 2

1 + a0 20


i

i=0

n2





ndash (0 1001) = 1 0111 ndash (1 0110) = 0 1010


8 10 1000






102 + 48 = 150

01100110 + 00110000 10010110


11010010+ 101010111 01111101

96 ndash (ndash60) = 96 + 60 = 156

01100000 ndash (11000100)

01100000 + 00111100 10011100






0

1

2345

6

7

ndash1


ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111




Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales








1A2BH = 0001 1010 0010 10112


1735608 = 1 111 011 101 110 0002








12537 81 1567 8

7 195 83 24 8

0 312537 = 303718 = 11 000 011 111 0012




1 101 + 5 100 + 7 101 + 2 102

an bn + an1 b

n1 + + a0 b0 + a1 b

1 + + am bm +

N = ai middotbi

i=m

n





3122214 a base 10

3 43 +1 42 + 2 41 + 2 40 + 2 41 +1 42 =

3 64 +16 + 2 4 + 2 + 2 025 + 00625 = 2183125

4 50 + 4 51 + 4 52 + 0 53 + 4 54 =

4 + 4 02 + 4 004 + 4 00016 = 49664

444045 a base 10





b ƒ = b a1 b1 + a2 b

2 + a3 b3 + ( ) = a1 + a2 b1 + a3 b

2 +

b a2 b1 + a2 b

2 + ( ) = a2 + a3 b1 +



022912 a base 5














Suma + 0 10 0 11 1 10




Resta


1 0 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 + 1 1 0 0 0 1 0 1 ndash 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0



Magnitud y signo



bull+69 = 0 1000101 ndash69 = 1 1000101

bullndash129 = 1 10000001



Complemento a 1













ndash (0 1001) = 1 0110 ndash (1 0101) = 0 1010


14 ndash 0 1110 ndash 0 1110 + 6 0 0110 1 1001 8 10 0111 + 1 = 0 1000



Complemento a 2












N = an1 2n1 + an1 2

n2 + an2 2n3 ++ a1 2

1 + a0 20


i

i=0

n2





ndash (0 1001) = 1 0111 ndash (1 0110) = 0 1010


8 10 1000






102 + 48 = 150

01100110 + 00110000 10010110


11010010+ 101010111 01111101

96 ndash (ndash60) = 96 + 60 = 156

01100000 ndash (11000100)

01100000 + 00111100 10011100






0

1

2345

6

7

ndash1


ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111




Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales










b ƒ = b a1 b1 + a2 b

2 + a3 b3 + ( ) = a1 + a2 b1 + a3 b

2 +

b a2 b1 + a2 b

2 + ( ) = a2 + a3 b1 +



022912 a base 5














Suma + 0 10 0 11 1 10




Resta


1 0 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 + 1 1 0 0 0 1 0 1 ndash 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0



Magnitud y signo



bull+69 = 0 1000101 ndash69 = 1 1000101

bullndash129 = 1 10000001



Complemento a 1













ndash (0 1001) = 1 0110 ndash (1 0101) = 0 1010


14 ndash 0 1110 ndash 0 1110 + 6 0 0110 1 1001 8 10 0111 + 1 = 0 1000



Complemento a 2












N = an1 2n1 + an1 2

n2 + an2 2n3 ++ a1 2

1 + a0 20


i

i=0

n2





ndash (0 1001) = 1 0111 ndash (1 0110) = 0 1010


8 10 1000






102 + 48 = 150

01100110 + 00110000 10010110


11010010+ 101010111 01111101

96 ndash (ndash60) = 96 + 60 = 156

01100000 ndash (11000100)

01100000 + 00111100 10011100






0

1

2345

6

7

ndash1


ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111




Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales








Suma + 0 10 0 11 1 10




Resta


1 0 1 0 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 + 1 1 0 0 0 1 0 1 ndash 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0



Magnitud y signo



bull+69 = 0 1000101 ndash69 = 1 1000101

bullndash129 = 1 10000001



Complemento a 1













ndash (0 1001) = 1 0110 ndash (1 0101) = 0 1010


14 ndash 0 1110 ndash 0 1110 + 6 0 0110 1 1001 8 10 0111 + 1 = 0 1000



Complemento a 2












N = an1 2n1 + an1 2

n2 + an2 2n3 ++ a1 2

1 + a0 20


i

i=0

n2





ndash (0 1001) = 1 0111 ndash (1 0110) = 0 1010


8 10 1000






102 + 48 = 150

01100110 + 00110000 10010110


11010010+ 101010111 01111101

96 ndash (ndash60) = 96 + 60 = 156

01100000 ndash (11000100)

01100000 + 00111100 10011100






0

1

2345

6

7

ndash1


ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111




Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales
















ndash (0 1001) = 1 0110 ndash (1 0101) = 0 1010


14 ndash 0 1110 ndash 0 1110 + 6 0 0110 1 1001 8 10 0111 + 1 = 0 1000



Complemento a 2












N = an1 2n1 + an1 2

n2 + an2 2n3 ++ a1 2

1 + a0 20


i

i=0

n2





ndash (0 1001) = 1 0111 ndash (1 0110) = 0 1010


8 10 1000






102 + 48 = 150

01100110 + 00110000 10010110


11010010+ 101010111 01111101

96 ndash (ndash60) = 96 + 60 = 156

01100000 ndash (11000100)

01100000 + 00111100 10011100






0

1

2345

6

7

ndash1


ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111




Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales









N = an1 2n1 + an1 2

n2 + an2 2n3 ++ a1 2

1 + a0 20


i

i=0

n2





ndash (0 1001) = 1 0111 ndash (1 0110) = 0 1010


8 10 1000






102 + 48 = 150

01100110 + 00110000 10010110


11010010+ 101010111 01111101

96 ndash (ndash60) = 96 + 60 = 156

01100000 ndash (11000100)

01100000 + 00111100 10011100






0

1

2345

6

7

ndash1


ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111




Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales








0

1

2345

6

7

ndash1


ndash6

ndash7

ndash8 0000

0001

0010

001101000101

0110

0111

1000

1001

1010

1011 1100 1101

1110

1111




Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales







Otros Coacutedigos



Otros Coacutedigos





Otros Coacutedigos










= 21CD2H 194964 = 2F994H












2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales









2125 x 102 = 2125 = 1101010012 = (110101001 x 10111)2














bull 0 10000000110 101010010000000000 110101001x10111



Valores especiales






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