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Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración

Operaciones Aritméticas ConOperaciones Aritméticas ConOperaciones Aritméticas Con Operaciones Aritméticas Con SIGNOSIGNO

Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1120072007--0808

•• SUMA:SUMA:•• SUMA:SUMA:–– Cuatro posibles casos: Cuatro posibles casos:

•• A y B son positivos > A+B > 0A y B son positivos > A+B > 0

Suma

•• A y B son positivos => A+B >= 0A y B son positivos => A+B >= 0•• A y B son negativos => A+B < 0A y B son negativos => A+B < 0•• A positivo y B negativo, con A > abs(B) => A+B>=0A positivo y B negativo, con A > abs(B) => A+B>=0

RestaMultiplica.

DivisiónAl B l

A positivo y B negativo, con A abs(B) A B 0A positivo y B negativo, con A abs(B) A B 0•• A positivo y B negativo, con abs(B) > A => A+B<0A positivo y B negativo, con abs(B) > A => A+B<0

–– En todos los casos el procedimiento es igual, En todos los casos el procedimiento es igual, Alg. Boole

Tbla VerdadCircuitos

Karnaugh

p gp gse suman los números y se descarta el bit de se suman los números y se descarta el bit de acarreo final (si lo hay)acarreo final (si lo hay)

Karnaugh–– OJO, los numeros negativos se representan en OJO, los numeros negativos se representan en

C2C2

20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 22

•• RESTA:RESTA:•• RESTA:RESTA:–– El mecanismo para restar dos numeros con El mecanismo para restar dos numeros con

signo es similar a la suma: asigno es similar a la suma: a--b = a+(b = a+(--b)b)

Suma

signo es similar a la suma: asigno es similar a la suma: a b = a+(b = a+( b)b)•• Procedimiento:Procedimiento:

–– Nos aseguramos de que ambos numeros tienen elNos aseguramos de que ambos numeros tienen elResta

Multiplica.División

Al B l

Nos aseguramos de que ambos numeros tienen el Nos aseguramos de que ambos numeros tienen el mismo número de digitos (si no, rellenamos con 0 por la mismo número de digitos (si no, rellenamos con 0 por la izda.)izda.)Cambiamos el signo al sustraendo (con el C1 o el C2)Cambiamos el signo al sustraendo (con el C1 o el C2)Alg. Boole


Karnaugh

–– Cambiamos el signo al sustraendo (con el C1 o el C2)Cambiamos el signo al sustraendo (con el C1 o el C2)–– Sumar el substraendo al minuendo de la forma habitual. Sumar el substraendo al minuendo de la forma habitual.

El ultimo bit nos indicará el signo. Si el signo es El ultimo bit nos indicará el signo. Si el signo es Karnaugh g gg gnegativo, el número estará representado en negativo, el número estará representado en Complemento.Complemento.


••Multiplicación:Multiplicación:••Multiplicación:Multiplicación:–– Dos casos posibles: Dos casos posibles:

l dl d

Suma

•• A y B mismo signo => resultado positivoA y B mismo signo => resultado positivo•• A y B distinto signo => resultado negativoA y B distinto signo => resultado negativo

–– Procedimiento:Procedimiento:Resta


Al B l

Procedimiento:Procedimiento:•• DeterminarDeterminar el el signosigno de ambos de ambos numerosnumeros

•• MultiplicadorMultiplicador yy multiplicandomultiplicando expresadosexpresados enen binariobinarioAlg. BooleTbla Verdad

Circuitos Karnaugh

•• MultiplicadorMultiplicador y y multiplicandomultiplicando expresadosexpresados en en binariobinarionatural (natural (OjoOjo sisi algunoalguno eses negativonegativo, , estaráestará expresadoexpresadoen C2 en C2 seguramenteseguramente, y , y habráhabrá queque volvervolver a a ComplementarloComplementarlo))Karnaugh ComplementarloComplementarlo))

•• RealizarRealizar la la multiplicacionmultiplicacion. Si . Si signosigno del del pasopaso 1 1 esespositivopositivo, el , el resultadoresultado se se quedaqueda comocomo estáestá. Si era . Si era negativonegativo complementamoscomplementamos a 2 ya 2 y añadimosañadimos bit debit denegativonegativo, , complementamoscomplementamos a 2 y a 2 y añadimosañadimos bit de bit de signosigno..


División:División:División:División:•• Dos posibilidades:Dos posibilidades:

Suma

–– A y B mismo signo => Resultado positivoA y B mismo signo => Resultado positivo–– A y B distinto signo => Resultado negativoA y B distinto signo => Resultado negativo

RestaMultiplica.

DivisiónAl B l

•• Procedimiento:Procedimiento:–– Determinar el bit de signo en Determinar el bit de signo en funcionfuncion de los de los operandosoperandos–– Dividendo y divisor en binario real, si alguno negativo Dividendo y divisor en binario real, si alguno negativo

d h l C2d h l C2Alg. BooleTbla Verdad

Circuitos Karnaugh

deshacer el C2deshacer el C2–– Inicializar el cociente a 0Inicializar el cociente a 0–– Restar divisor a dividendo. (restaremos sumando el C2 del Restar divisor a dividendo. (restaremos sumando el C2 del

divisor) El acarreo se pierde Si resto negativo o cero FIN sidivisor) El acarreo se pierde Si resto negativo o cero FIN siKarnaugh divisor). El acarreo se pierde. Si resto negativo o cero FIN, si divisor). El acarreo se pierde. Si resto negativo o cero FIN, si resto positivo, incrementamos el cociente y seguimosresto positivo, incrementamos el cociente y seguimos

–– Si bit de signo positivo, el resultado se queda tal cual, sino, Si bit de signo positivo, el resultado se queda tal cual, sino, g p , q , ,g p , q , ,complementamoscomplementamos a 2 y a 2 y añadimosañadimos bit de bit de signosigno..


Funciones LógicasFunciones Lógicasgg

Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 6620072007--0808

•• Algebra de Boole:Algebra de Boole:•• Algebra de Boole:Algebra de Boole:–– Desarrollada en 1947 por George Boole y se Desarrollada en 1947 por George Boole y se

usa para resolver problemas lógicousa para resolver problemas lógico resolutivosresolutivos

Suma

usa para resolver problemas lógicousa para resolver problemas lógico--resolutivos. resolutivos. Son las matemáticas de los sistemas digitales.Son las matemáticas de los sistemas digitales.

–– Definiciones:Definiciones:Resta


Al B l

Definiciones:Definiciones:•• Variable lógica: Variable lógica: Aquella variable que toma sólo Aquella variable que toma sólo

valores del conjunto B={0,1}valores del conjunto B={0,1}Alg. Boole


Karnaugh

•• Complemento:Complemento: El inverso de una variableEl inverso de una variable•• Función lógica:Función lógica: Dadas n variables lógicas, se dice Dadas n variables lógicas, se dice

que F es una función logica si el resultado deque F es una función logica si el resultado deKarnaugh que F es una función logica si el resultado de que F es una función logica si el resultado de evaluar la función está en el conjunto B={0,1}evaluar la función está en el conjunto B={0,1}


•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:

SumaResta


Al B lAlg. BooleTbla Verdad

Circuitos KarnaughKarnaugh


•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:

SumaResta





•• Teorema de DeMorgan:Teorema de DeMorgan:•• Teorema de DeMorgan:Teorema de DeMorgan:

SumaResta





•• Funciones LógicasFunciones Lógicas•• Funciones LógicasFunciones Lógicas

SumaResta




–– Una función lógica puede expresarse de dos Una función lógica puede expresarse de dos formas:formas:•• E p esión Algeb aicaE p esión Algeb aica•• Expresión AlgebraicaExpresión Algebraica•• Tabla de VerdadTabla de Verdad


•• Expresión AlgebraicaExpresión Algebraica•• Expresión AlgebraicaExpresión Algebraica–– Tres operaciones lógicas básicas:Tres operaciones lógicas básicas:

Suma

•• Suma lógica (+), llamada ORSuma lógica (+), llamada OR•• Producto lógico (.), llamada ANDProducto lógico (.), llamada AND

RestaMultiplica.

DivisiónAl B l

•• Negación, llamada NOTNegación, llamada NOT

Alg. BooleTbla Verdad



•• Forma canónica de una funciónForma canónica de una función•• Forma canónica de una función.Forma canónica de una función.

Suma– Los términos canónicos se pueden expresar de una

forma más cómoda mediante un número binario Resta


Al B l

obtenido de sustituir los literales del término por 1 o 0, dependiendo del tipo de término canónico.

– El criterio es el siguiente:Alg. BooleTbla Verdad

Circuitos Karnaugh

El criterio es el siguiente:• Término producto canónico: si la variable está afirmada la

sustituimos por un 1 (a = 1) y si está negada por un 0 (a = 0)Karnaugh )

• Término suma canónica: es a la inversa, es decir, si la variable está afirmada la sustituimos por un 0 (a = 0) y si está negada por un 1 (a = 1).

– El numero binario obtenido expresado en decimal, nos da los mi (miniterminos .) y los Mi (maxiterminos +)


•• Forma canónica de una funciónForma canónica de una función•• Forma canónica de una función.Forma canónica de una función.

SumaResta





•• ConversionesConversiones•• ConversionesConversiones– Aplicando las leyes distributivas, podemos convertir cualquier

función que no esté en forma canónica a suma de productos o

Suma

q pproductos de sumas (forma canónica).

– Aplicando los teoremas de DeMorgan, podemos convertir una función expresada en sumas de productos (minitérminos) a

RestaMultiplica.

DivisiónAl B l

función expresada en sumas de productos (minitérminos) a producto de sumas (maxitérminos) y viceversa.




•• ConversionesConversiones•• ConversionesConversiones–– Forma NO canónica a CANONICAForma NO canónica a CANONICA

Suma

•• Primero convertimos a suma de productosPrimero convertimos a suma de productos

RestaMultiplica.

DivisiónAl B l

•• Convertimos cada termino a su forma Convertimos cada termino a su forma canónica. Dos posibilidades:canónica. Dos posibilidades:


Circuitos Karnaugh

–– Conversión suma de productos a forma canónicaConversión suma de productos a forma canónica

Karnaugh

–– Conversión producto de sumas a forma canónicaConversión producto de sumas a forma canónicapp


•• Suma de productos canónicaSuma de productos canónica•• Suma de productos canónicaSuma de productos canónica– Tenemos que multiplicar cada término producto que no esté en forma

canónica por un término formado por la suma de la variable que le

Suma

falta y su complemento, cuyo valor lógico es 1. Al multiplicar por 1 no se altera el valor de un término producto. El número de términos producto se duplica por cada variable que falta.

RestaMultiplica.

DivisiónAl B lAlg. Boole


KarnaughKarnaugh


•• Producto de sumas canónicaProducto de sumas canónica•• Producto de sumas canónicaProducto de sumas canónica– Tenemos que sumar a cada término suma que no esté en forma

canónica un término formado por el producto de la variable que le

Suma

falta y su complemento, cuyo valor lógico es 0. Al sumar 0 no se altera el valor de un término suma. El número de términos suma se duplica por cada variable que falta.

RestaMultiplica.

DivisiónAl B lAlg. Boole


KarnaughKarnaugh


Idénticos, eliminamos uno

•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:–– Obtención de la tabla de verdad desde la expresión Obtención de la tabla de verdad desde la expresión

algebraica en forma canónica:algebraica en forma canónica:T t l l t i d i bl ló iT t l l t i d i bl ló i

Suma

•• Tantas columnas en la parte izda como variables lógicasTantas columnas en la parte izda como variables lógicas•• Escribimos en la parte izda todas las combinaciones Escribimos en la parte izda todas las combinaciones

posibles de las variables y en la columna dcha los valores posibles de las variables y en la columna dcha los valores de la función para esos valores de variablesde la función para esos valores de variables

RestaMultiplica.

DivisiónAl B l

de la función para esos valores de variables.de la función para esos valores de variables.–– Dos posibilidades:Dos posibilidades:

•• Suma de productosSuma de productosP d t i d t l l l l bi iP d t i d t l l l l bi iAlg. Boole


Karnaugh

–– Para cada termino producto, calculamos los valores binarios Para cada termino producto, calculamos los valores binarios que hacen cierto al termino, sustituimos variables por 1 y que hacen cierto al termino, sustituimos variables por 1 y variables negadas por 0variables negadas por 0

–– Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad Karnaughpara las combinaciones anteriores y un 0 para el restopara las combinaciones anteriores y un 0 para el resto

•• Producto de sumasProducto de sumas–– Para cada termino suma, calculo valores binarios, pero esta Para cada termino suma, calculo valores binarios, pero esta

0 l i bl 1 l d0 l i bl 1 l dvez pongo 0 para las variables y 1 para las negadasvez pongo 0 para las variables y 1 para las negadas–– Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad

para las combinaciones anteriores y un 0 para el resto.para las combinaciones anteriores y un 0 para el resto.


•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:–– Obtención de la expresión algebraica a partir Obtención de la expresión algebraica a partir

de la tabla de verdad:de la tabla de verdad:

Suma

de la tabla de verdad:de la tabla de verdad:•• Implementación por “1” => Suma de productosImplementación por “1” => Suma de productos

– Escribimos el término producto asociado a cada Resta


Al B l

pcombinación cierta (1), con variables afirmadas si su valor en la combinación de entrada es 1 (1=a) y variables negadas si su valor es 0 (0=a)


Circuitos Karnaugh

•• Implementación por “0” => Producto de sumasImplementación por “0” => Producto de sumas– Escribimos el término suma resultado de negar el

término producto asociado a cada combinación falsaKarnaugh término producto asociado a cada combinación falsa (0). Variables negadas si su valor de combinación de entrada es 1 (1=a), y variables afirmadas si su valor es 0 (0=a)es 0 (0 a)


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