Tema 3: Sistemas de Numeración Sistemas de Numeración...

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Tema 3:Tema 3:Sistemas de Numeración Sistemas de Numeración Sistemas de Numeración. Sistemas de Numeración.

Codificación BinariaCodificación Binaria

Escuela Politécnica SuperiorIngeniería Informática

Universidad Autónoma de Madrid

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OBJ

Conocer los diferentes sistemas de numeración y los códigos alfanuméricos.

TEMA 3: SISTEMAS DE NUMERACIÓN. CODIFICACIÓN BINARIA

Sistemas de Numeración. Sistemas de Numeración. Codificación BinariaCodificación Binaria

JETIVOS

Aplicar las operaciones aritméticas a los números binarios

Conversión entre los diferentes sistemas de numeración.

Expresar y sumar números en BCD.

3.1 Sistemas de numeración 3.2 Operaciones aritméticas en binario3.3 Código BCD. Aritmética BCD3.4 Representación de números con signo3.5 Representación de números en punto fijo y coma flotante3 6 Códi lf é i

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3.6 Códigos alfanuméricos

Bibliografía Tema 3:- Fundamentos de Sistemas Digitales. T. L. FLOYD. 7ª Ed.

(Prentice Hall, 2000). Cap. 2. - Introduction to Computer Hardware and Data Communications.

P.-A. GOUPILLE. (Prentice Hall, 1993). Capítulos 2, 3 y 4.

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SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMALSISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL• El sistema de numeración decimal con sus diez dígitos,

de 0 hasta 9, es un sistema en base diez.• La posición de cada dígito en un número decimal indica lap g

magnitud de la cantidad reservada, y se le puede asignarun peso. Los pesos para los números enteros sonpotencias positivas de diez, que aumentan de derecha aizquierda, comenzando por 100 = 1.

... 105 104 103 102 101 100

• Para fraccionarios, los pesos son potencias negativas de

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ara fracc onar os, los pesos son potenc as negat vas dediez que aumentan de izquierda a derecha, comenzandopor 10-1 .

102 101 100 , 10-1 10-2 10-3 ...

Escuela Politécnica Superior

Coma decimal

• El valor de un número decimal es la suma de los dígitosdespués de haber multiplicado cada dígito por su peso.

• Ejemplo:

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMALSISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

j pExpresar el número decimal 47 como suma de losvalores de cada dígito.Solución. Como indican sus respectivas posiciones, eldígito 4 tiene un peso de 10, que es 101. El dígito 7 tieneun peso de 1, que corresponde a 100.

47 = ( 4 x 101 ) + ( 7 x 100 )

4

47 = ( 4 x 10 ) + ( 7 x 10 )= ( 4 x 10 ) + ( 7 x 1 ) = 40 + 7


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• Ejemplo:Expresar el número decimal 568,23 como suma de losvalores de cada dígito.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMALSISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

gSolución. El dígito 5 de la parte entera del númerotiene un peso 100, es decir 102; el dígito 6 tiene un pesode 10, que corresponde a 101. El dígito 8 tiene un pesode 1, que es 100; el dígito 2 de la parte fraccionariatiene un peso 0,1, es decir 10-1; y el dígito 3 tiene unpeso de 0,01 que es 10-2.

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p q568,23 = (5 x 102) + (6 x 101) + (8 x 100) + (2 x 10-1) + (3 x 10-2)

= (5 x 100) + (6 x 10) + (8 x 1) + (2 x 0,1) + (3 x 0,01)= 500 + 60 + 8 + 0,2 + 0,03


• El sistema de numeración binario solo tiene dos dígitos.El sistema binario con sus dos dígitos es un sistema enbase dos. Los dígitos binarios (bits) son 0 y 1.

SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIOSISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO

g ( ) y• La posición de un 1 o de un 0 en un número binario indica

su peso, o valor dentro del número, así como la posiciónde un dígito decimal determina el valor de ese dígito.

• Los pesos de un número binario están basados en laspotencias de dos.

6Escuela Politécnica Superior

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• Contar en BinarioPor ejemplo, se requieren cuatro bits para contar desde0 hasta 15. En general, con n bits se puede contar hasta


g pun número igual a 2n-1.

Máximo número decimal = 2n-1

Así, con 5 bits (n = 5) se puede contar desde 0 hasta 31:

25 – 1 = 32 – 1 = 31


Con 6 bits (n = 6) se puede contar desde 0 hasta 63:

26 - 1 = 64 – 1 = 63

Número decimal Número binario

01

0 0 0 00 0 0 1


2345678910

0 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1 1 0 0 01 0 0 11 0 1 0


10 1112131415

1 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

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• Estructura de Pesos de los Números Binarios– Un número binario es un número con peso. El bit más a la

derecha es el bit menos significativo (LSB Least Significant


derecha es el bit menos significativo (LSB, Least SignificantBit) en un número entero binario y tiene un peso de 20 = 1.

– Los pesos de los respectivos bits crecen de derecha a izquierdasegún las potencias de dos. El bit más a la izquierda es el bitmás significativo (MSB, Most Significant Bit), y su pesodepende del tamaño del número binario.

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– Los números con parte fraccionaria también se puedenrepresentar en binario, colocando bits a la derecha de la comabinaria.


• Estructura de Pesos de los Números Binarios– En un número binario con parte fraccionaria, el bit más a la

izquierda es el MSB y tiene un peso de 2-1 = 0 5


izquierda es el MSB, y tiene un peso de 2 1 = 0,5.

– Los pesos fraccionarios de los respectivos bits decrecen deizquierda a derecha según las potencias negativas de dos.

– La estructura de pesos de un número binario es:

2n-1 .... 23 22 21 20 , 2-1 2-2 ... 2-n

C bi i

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donde n es el número de bits a partir de la coma binaria.


Coma binaria

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• Estructura de Pesos de los Números Binarios

Tabla de Pesos Binarios


Tabla de Pesos Binarios

1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64

0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625

Potencias negativas de dos (número fraccionario)

2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6

Potencias positivas de dos (número entero)

28 27 26 25 24 23 22 21 20

256 128 64 32 16 8 4 2 1


CONVERSIÓN BINARIO A DECIMAL

• El valor decimal de cualquier número binario se puededeterminar sumando los pesos de todos los bits que son1, y descartando los pesos de todos los bits que son 0., y p q

• Ejemplo:Convertir el número entero binario 1101101 a decimal.Solución. Se determina el peso de cada bit que está a 1,y luego se obtiene la suma de los pesos para obtener elnúmero decimal:


Peso: 26 25 24 23 22 21 20

Número binario: 1 1 0 1 1 0 11101101 = 26 + 25 + 23 + 22 + 20

= 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 109

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• Ejemplo:Convertir el número binario fraccionario 0,1011 endecimal

CONVERSIÓN BINARIO A DECIMAL

decimal.

Solución. En primer lugar se determina el peso de cadabit que está a 1, y luego se suman los pesos para obtenerla fracción decimal:

Peso: 2-1 2-2 2-3 2-4

Número binario: 0 , 1 0 1 1


,0,1011 = 2-1 + 2-3 + 2-4

= 0,5 + 0,125 + 0,0625 = 0,6875

CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIOCONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO• Método de la Suma de Pesos

- Una forma de calcular el número binario equivalente aun número decimal dado es determinar el conjunto depesos binarios, cuya suma es igual al número decimal.p y g

- Ejemplo:Convertir los siguientes números decimales a formato binario:

(a) 12 (b) 25 (c) 58 (d) 82 Solución.

(a) 12 = 8 + 4 = 23 + 22 1 1 0 0


(a) 12 = 8 + 4 = 23 + 22 1 1 0 0

(b) 25 = 16 + 8 + 1 = 24 + 23 + 20 1 1 0 0 1

(c) 58 = 32 + 16 + 8 + 2 = 25 + 24 + 23 + 21 1 1 1 0 1 0

(d) 82 = 64 + 16 + 2 = 26 + 24 + 21 1 0 1 0 0 1 0

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• Método de la División Sucesiva por 2- Un método sistemático para convertir a binario

enteros decimales es el proceso de la divisiónsucesiva por 2 .

CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIOCONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO

- Por ejemplo, para convertir a binario el númerodecimal 12, comenzamos dividiendo 12 entre 2. Luegocada cociente resultante se divide por 2 hasta quese obtiene un cociente cuya parte entera es 0.

- Los restos generados en cada división forman elnúmero binario El primer resto es el bit menos


número binario. El primer resto es el bit menossignificativo (LSB) y el último resto es el bit mássignificativo (MSB) del número binario.

• Método de la División Sucesiva por 2Resto

12 = 6 02

CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIOCONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO

- Ejemplo:

6 = 3 02

3 = 1 12


1 = 0 12 1 1 0 0

Parar cuando la parteentera del cociente sea 0

MSB LSB

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CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIOCONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIO• Método de la Suma de Pesos

- El método de la suma de pesos se puede aplicar anúmeros decimales fraccionarios. Por ejemplo:

0 625 = 0 5 + 0 125 = 2-1 + 2-3 = 0 1010,625 = 0,5 + 0,125 = 2 + 2 = 0,101

Lo que indica que en la posición 2-1 hay un 1, en laposición 2-2 un 0 y en la posición 2-3 un 1.

• Método de la Multiplicación Sucesiva por 2- Los números decimales enteros se pueden convertir a

números binarios mediante la división sucesiva por 2.


p

- Los números decimales fraccionarios puedenconvertirse en números binarios mediante lamultiplicación sucesiva por 2.

• Método de la Multiplicación Sucesiva por 2

- Por ejemplo, para convertir a binario el númerodecimal fraccionario 0,3125, empezamos multiplicando

2 d s és s lti li d t f i l

CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIOCONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIO

por 2, y después se multiplica cada parte fraccionalresultante del producto por 2, hasta que el productofraccionario sea cero o hasta que se alcance el númerodeseado de posiciones decimales.

- Los dígitos acarreados, o acarreos, generados por lasmultiplicaciones dan lugar al número binario.


- El primer acarreo que se obtiene es el MSB, y elúltimo es el LSB.

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• Método de la Multiplicación Sucesiva por 2- Ejemplo:

Acarreo , 0 1 0 10 3125 2 0 625 0

MSB LSB

CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIOCONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A BINARIO

0,3125 x 2 = 0,625 0

0,625 x 2 = 1,25 1

0,25 x 2 = 0,50 0 Continuar hasta obtenerel número de posiciones


0,50 x 2 = 1,00 1

pdecimales deseadas, oparar cuando la partefraccional sea toda cero

- El sistema de numeración hexadecimal es un sistema enbase dieciséis, es decir, está formado por 16 dígitos ycaracteres alfabéticos: 0-9 y A-F

SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMALSISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL

caracteres alfabéticos: 0 9 y A F.

- La mayoría de los sistemas digitales procesan grupos dedatos binarios que son múltiplos de cuatro bits, lo quehace al número hexadecimal muy adecuado, ya que cadadígito hexadecimal se representa mediante un númerobinario de 4 bits


binario de 4 bits.

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Decimal Binario Hexadecimal012

000000010010

012

SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMALSISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL

23456789

10

001000110100010101100111100010011010

23456789A


1112131415

10111100110111101111

BCDEF

CONVERSIÓN BINARIOCONVERSIÓN BINARIO--HEXADECIMALHEXADECIMAL- El procedimiento de conversión de un número binario a

hexadecimal consiste en los siguientes pasos: (a) separte el número binario en grupos de 4 bits,comenzando por el bit más a la derecha; y (b) sereemplaza cada grupo de 4 bits por su símbolohexadecimal equivalente.


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• Ejemplo: Convertir a hexadecimal los siguientes númerosbinarios:

(a) 1100101001010111 (b) 111111000101101001

CONVERSIÓN BINARIOCONVERSIÓN BINARIO--HEXADECIMALHEXADECIMAL

(a) 1100101001010111 (b) 111111000101101001

Solución.

1100 1010 0101 0111 0011 1111 0001 0110 1001 (b)(a)


C A 5 7 = CA5716 3 F 1 6 9 = 3F16916

CONVERSIÓN HEXADECIMALCONVERSIÓN HEXADECIMAL--BINARIOBINARIO

- Para convertir un número hexadecimal en un número

binario se realiza el proceso inverso reemplazandobinario se realiza el proceso inverso, reemplazando

cada símbolo hexadecimal, por el grupo de cuatro bits

adecuados.


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• Ejemplo: Determinar los números binarios quecorrespondan a los siguientes números hexadecimales:

CONVERSIÓN HEXADECIMALCONVERSIÓN HEXADECIMAL--BINARIOBINARIO

(a) 10A416 (b) CF8E16 (c) 974216

Solución.(a) 1 0 A 4 (b) C F 8 E (c) 9 7 4 2

1 000010100100 1100 1111 1000 1110 1001 0111 0100 0010


CONVERSIÓN HEXADECIMALCONVERSIÓN HEXADECIMAL--DECIMALDECIMAL

- Método 1: para encontrar el equivalente decimal de un

ú h d i l i ti l únúmero hexadecimal, primero, convertir el número

hexadecimal a binario, y después, el binario a decimal.


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• Ejemplo: Convertir a decimal los siguientes númeroshexadecimales:

(a) 1C16 (b) A8516


( ) 16 ( ) 16

Solución. Primero, hay que convertir a binario el número hexadecimal, y después a decimal:

(a) 1 C

0001 1100 = 24 + 23 + 22 = 16 + 8 + 4 = 2810


10

(b) A 8 5

1010 1000 0101 = 211 + 29 + 27 + 22 + 20 = 2048 + 512 + 128 + 4 + 1 = 269310

- Método 2: para convertir un número hexadecimal a suequivalente decimal, multiplicar el valor decimal decada dígito hexadecimal por su peso y luego realizar la


cada dígito hexadecimal por su peso, y luego realizar lasuma de estos productos.

- Los pesos de un número hexadecimal crecen según laspotencias de 16 (de derecha a izquierda).

Para un número hexadecimal de 4 dígitos los pesos


- Para un número hexadecimal de 4 dígitos, los pesosson:

163 162 161 160

4096 256 16 1

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• Ejemplo: Convertir a decimal los siguientes númeroshexadecimales:

(a) E516 (b) B2F816


(a) E516 (b) B2F816

Solución. Las letras de la A hasta la F representan losnúmeros decimales de 10 hasta 15, respectivamente.

(a) E516 = (E x 16) + (5 x 1) = (14 x 16) + (5 x 1) = 224 + 5 = 22910

(b) B2F816 = (B x 4096) + (2 x 256) + (F x 16) + (8 x 1)


= (11 x 163) + (2 x 162) + (15 x 161) + (8 x 160)

= (11 x 4096) + (2 x 256) + (15 x 16) + (8 x 1)

= 45056 + 512 + 240 + 8 = 4581610

- La división sucesiva por 16 de un número decimalgenerará el número hexadecimal equivalente formadopor restos de las divisiones

CONVERSIÓN DECIMALCONVERSIÓN DECIMAL--HEXADECIMALHEXADECIMAL

por restos de las divisiones.

- El primer resto que se genera es el dígito menossignificativo (LSD).

- Cada división sucesiva por 16 dará un resto que serádígito del número hexadecimal equivalente.

E t di i t i il l di i ió i


- Este procedimiento es similar a la división sucesivapor 2 para la conversión decimal-binario.

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• Ejemplo. Convertir a hexadecimal el número decimal 650 por el método de la división sucesiva por 16.

Resto hexadecimal

650 = 40,625 0,625 x 16 =10 = A

CONVERSIÓN DECIMALCONVERSIÓN DECIMAL--HEXADECIMALHEXADECIMAL

,

16

40 = 2,5 0,5 x 16 = 8 = 816

2 = 0,125 0,125 x 16 = 2 = 2

31Escuela Politécnica Superior2 8 A

Parar cuando la parteentera del cociente sea 0

Dígito más significativo

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Dígito menos significativo

Número hexadecimal

- El sistema de numeración octal está formado por ochodígitos, que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTALSISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL

- Puesto que el sistema de numeración octal es un sistemaen base ocho, cada posición sucesiva de dígito es unapotencia superior de ocho, empezando por el dígitosituado más a la derecha con 80.


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CONVERSIÓN OCTALCONVERSIÓN OCTAL--DECIMALDECIMAL- La evaluación de un número octal en términos de su

equivalente decimal se consigue multiplicando cadadígito por su peso y sumando los productos. Por

Peso : 83 82 81 80

Número Octal: 2 3 7 4

2374 (2 83) (3 82) (7 81) (4 80)

g p p y pejemplo, para 23748 se tiene:


23748 = (2 x 83) + (3 x 82) + (7 x 81) + (4 x 80)

= (2 x 512) + (3 x 64) + (7 x 8) + (4 x 1)

= 1024 + 192 + 56 + 4 = 127610

CONVERSIÓN DECIMALCONVERSIÓN DECIMAL--OCTALOCTAL

- Un método para convertir un número decimal en un

número octal es el método de la división sucesiva por 8.número octal es el método de la división sucesiva por 8.

- Cada división sucesiva por 8 da un resto que será undígito del número octal equivalente.

- El primer resto que se genera es el dígito menossignificativo.


- Por ejemplo, convertir a octal el número decimal 359.

18

359 = 44,875 0,875 x 8 = 7

8

CONVERSIÓN DECIMALCONVERSIÓN DECIMAL--OCTALOCTAL

44 = 5,5 0,5 x 8 = 48

5 = 0,625 0,625 x 8 = 5 8


5 4 7 Parar cuando la parteentera del cociente sea 0

Dígito más significativo

Dígito menos significativo

Número octal

CONVERSIÓN OCTALCONVERSIÓN OCTAL--BINARIOBINARIO- Puesto que cada dígito octal se puede representar

mediante un número binario de 3 dígitos, paraconvertir un número octal en un número binario,simplemente se reemplaza cada dígito por elcorrespondiente grupo de tres bits.

- Cada dígito octal se representa mediante tres bits,como se muestra en la siguiente tabla:


Dígito octal 0 1 2 3 4 5 6 7 Binario 000 001 010 011 100 101 110 111

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• Ejemplo: Convertir a binario los siguientes númerosoctales:

CONVERSIÓN OCTALCONVERSIÓN OCTAL--BINARIOBINARIO

octales(a) 138 (b) 258 (c) 1408 (d) 75268

Solución. (a) 1 3 (b) 2 5 (c) 1 4 0 (d) 7 5 2 6

001 011 010 101 001 100 000 111 101 010 110


CONVERSIÓN BINARIOCONVERSIÓN BINARIO--OCTALOCTAL

- La conversión de un número binario a un número octales el inverso de la conversión de octal a binario.

El procedimiento es el siguiente: se comienza por el- El procedimiento es el siguiente: se comienza por elgrupo de tres bits más a la derecha y, moviéndose dederecha a izquierda, se convierte cada grupo de 3 bitsen el dígito octal equivalente.

- Si para el grupo más a la izquierda no hay disponiblestres bits, se añaden uno o dos ceros para completar el

E f l l d l ú


grupo. Estos ceros no afectan al valor del númerobinario.

20

• Ejemplo: Convertir a octal los siguientes números binarios:(a) 110101 (b) 101111001 (c) 100110011010 (d) 11010000100

CONVERSIÓN BINARIOCONVERSIÓN BINARIO--OCTALOCTAL

Solución.(a) 110 101 (b) 101 111 001

6 5 = 658 5 7 1 = 5718


(c) 100 110 011 010 (d) 011 010 000 100

4 6 3 2 = 463283 2 0 4 = 32048

RESUMEN. REPRESENTACIONES DE RESUMEN. REPRESENTACIONES DE NATURALES NO BINARIASNATURALES NO BINARIAS

1. Propiedad de sistemas posicionales

Si se tienen dos bases b y b tales que b =(b )k losSi se tienen dos bases b1 y b2 tales que b1=(b2)k, losdígitos de la representación en la base b1 se puedenobtener agrupando los dígitos de la base b2 engrupos de longitud k y representando en base b1.

2. Objetivos de las bases:• Representaciones más legibles para el usuario


Representaciones más legibles para el usuario.• Representaciones de fácil conversión a binario.

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• Representación Octal


Sistema Posicional:

• Base 8

• Conjunto de dígitos { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } .


ó

• Conversiones


1. Conversión binario octal • Las bases involucradas cumplen la condición de lapropiedad:

8 = 23

• Las conversiones se pueden hacer agrupando losdígitos binarios de 3 en 3:


dígitos binarios de 3 en 3- Comenzando por el bit menos significativo.- Completando a la izquierda, si fuera necesario.

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1. Conversión binario octal • Conversiones


• Ejemplos:- 10110111002 = (se agrupan de 3 en 3)

001 011 011 1002 = (se pasa a octal)13348

- 1078 = (se pasa a binario, 3 bits, dígito a dígito)001 000 1112 = 10001112


001 000 1112 = 10001112

2. Conversión decimal octal• Mismos algoritmos que decimal binario

• Representación Hexadecimal Sistema Posicional:

B 16


• Base 16• Conjunto de dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}• Valores:

- A16 = 1010

- B16 = 1110

- C16 = 1210


- D16 = 1310

- E16 = 1410

- F16 = 1510 .

23

1. Conversión binario hexadecimal

• Conversiones


1. Conversión binario hexadecimal • Las bases involucradas cumplen la condición de la propiedad:

16 = 24

• Las conversiones se pueden hacer agrupando los dígitos binarios de 4 en 4:

Comenzando por el bit menos significativo


- Comenzando por el bit menos significativo.- Completando a la izquierda, si fuera necesario.

1. Conversión binario hexadecimal • Conversiones


• Ejemplos:- 10110111002 = (se agrupa de 4 en 4)

0010 1101 11002 = (se pasa a hexadecimal)2DC16

- 10C16 = (se pasa a binario, 4 bits, dígito a dígito)

0001 0000 1100 = 100001100


0001 0000 11002 = 1000011002

2. Conversión decimal hexadecimal• Mismos algoritmos que decimal binario

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3. Conversión hexadecimal octal

• Conversiones


• Se suele utilizar el paso intermedio a binario.

• Ejemplo:- 70A1F16 = (se pasa a binario)

0111 0000 1010 0001 11112 = (grupos de 3)


001 110 000 101 000 011 1112 = (paso a octal)16050378

- Las cuatro reglas básicas para sumar dígitos binarios son:

0 + 0 0 Suma 0 con acarreo 0

OPERACIONES EN BINARIO PUROOPERACIONES EN BINARIO PURO1. Suma Binaria

Tabla de la suma dígito a dígito0 + 0 = 0 Suma 0 con acarreo 0

0 + 1 = 1 Suma 1 con acarreo 0

1 + 0 = 1 Suma 1 con acarreo 0

1 + 1 = 10 Suma 0 con acarreo 1 (El resultado es 210 = 102)


(E 10 2)Acarreo Acarreo

1 10 1 1

+ 0 0 11 0 0

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- Cuando existe un acarreo igual a 1, se produce unasituación en la que se deben sumar tres bits (un bit decada uno de los números y un bit de acarreo)


cada uno de los números y un bit de acarreo).

Bits de acarreo

1 + 0 + 0 = 01 Suma 1 con acarreo 0






- Ejemplo:

1010 1010 10101

1011

1

1011

1

1011

01

10101011

10101011

10101011

1

+ + +

+ + +

1


101 0101 10101

- Ejemplos: • 12 + 12 + 12 + 12 = 1002

• 112 + 12 + 1012 + 102 + 1102 = 100012

26

OPERACIONES EN BINARIO PUROOPERACIONES EN BINARIO PURO1. Suma Binaria - Ejemplo: Sumar los siguientes números binarios:

(a) 11 + 11 (b) 100 + 10 (c) 111 + 11 (d) 110 + 100

Solución.

La suma decimal equivalente se muestra también comoreferencia.

(a) 11 3 (b) 100 4 (c) 111 7 (d) 110 6


+ 11 + 3 + 10 + 2 + 11 + 3 + 100 + 4110 6 110 6 1010 10 1010 10

- Las cuatro reglas básicas para restar números binarios son:

OPERACIONES EN BINARIO PUROOPERACIONES EN BINARIO PURO2. Resta Binaria

Tabla de la resta dígito a dígito0 - 0 = 0

0 - 1 = 1 (con acarreo negativo de 1, el resultado es 210 – 110 = 102 – 12)

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0


1 - 1 = 0

27

• Ejemplo: Realizar las siguientes sustracciones binarias:

( ) 11 01 (b) 11 10


(a) 11 - 01 (b) 11 - 10

Solución.

(a) 11 3 (b) 11 3- 01 - 1 - 10 - 210 2 01 1


En este ejemplo no se han generado acarreos negativos. Elnúmero binario 01 es el mismo que 1.

• Ejemplo: Restar 011 de 101.Solución.


101 5

- 011 -3010 2

En este ejemplo es necesario un acarreo negativo.Comenzando por la columna de la derecha, se tiene:


0110 1- 0 1 1

0 1 0

Columna izquierda: cuando se acarrea un 1, queda 0, luego 0-0

Columna central: Acarreo negativo de 1 de la columna siguiente que da lugar a 10 en esta columna, luego 10-1=1

Columna derecha: 1 - 1 = 0

28


1011101

1011101

1011101

- Ejemplo:

101

0

101

10

101

110

1011101

1

10111101

0110

- - -

- -


1110

0110

- Ejemplos:• 10000 – 1111 = 1

• 11 - 111

- Las cuatro reglas básicas de la multiplicación de bitsson las siguientes:

OPERACIONES EN BINARIO PUROOPERACIONES EN BINARIO PURO3. Multiplicación Binaria

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1


- Algoritmo: la multiplicación con números binarios serealiza de la misma forma que con númerosdecimales.

29

OPERACIONES EN BINARIO PUROOPERACIONES EN BINARIO PURO3. Multiplicación Binaria3.1. Multiplicación directa de naturales en binario

• Mismo algoritmo que en decimal• Mismo algoritmo que en decimal.• Ventaja: facilidad de cálculo.

x * 12 = x ∀ x

x * 02 = 0 ∀ x


OPERACIONES EN BINARIO PUROOPERACIONES EN BINARIO PURO3. Multiplicación Binaria3.1. Multiplicación directa de naturales en binario

- Ejemplo:Ejemplo:100010100000

100010100000

1000

100010100000

10000000

1000 1000

x x x


100010100000

10000000

1000

100010100000

1000

10000000

1010000

x x

30

Ej mpl : R liz l s si ui nt s multiplic ci n s bin i s:

OPERACIONES EN BINARIO PUROOPERACIONES EN BINARIO PURO3. Multiplicación Binaria3.1. Multiplicación directa de naturales en binario• Ejemplo: Realizar las siguientes multiplicaciones binarias:

(a) 11 x 11 (b) 101 x 111

Solución.

(a) 11 3 (b) 111 7x 11 x 3 x 101 x 5


x 11 x 3 x 101 x 511 9 111 35

+ 11 0001001 + 111

100011

ProductosParciales

ProductosParciales

OPERACIONES EN BINARIO PUROOPERACIONES EN BINARIO PURO3. Multiplicación Binaria

3.1. Multiplicación directa de naturales en binarioEj l

∑y

- Ejemplo:

3.2. Reducción de producto a sumas reiteradas

• 10112 * 1112 = 10011012


∑==

y

ixyx

1* yx,∀

31

OPERACIONES EN BINARIO PUROOPERACIONES EN BINARIO PURO

4.1. División directa de naturales en binario

4. División Binaria

Al it i l it d i l

1100100

1001

1100100

1001

0100110 0 100

- Algoritmo: mismo algoritmo que en decimal.- Ejemplo:


110 0100

100

010011

1100100

100

010011

100000

Ej l R li l i i t di i i bi i


4.1. División directa de naturales en binario4. División Binaria

• Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones binarias:

(a) 110 ÷ 11 (b) 110 ÷ 10Solución.(a) 10 2 (b) 11 3

11)110 3)6 10)110 2)6


11 6 10 6000 0 10 0

1000

32


4.1. División directa de naturales en binario4. División Binaria

Ej l

• 11011002 ÷ 1002 = 110112 con resto 0

4.2. Reducción de división a restas reiteradas

- Ejemplo:


11... 11111... 11011 101

CARACTERÍSTICAS DE ENTEROS EN CARACTERÍSTICAS DE ENTEROS EN BINARIO PUROBINARIO PURO

11... 101

•Anomalías en la resta: resultados erróneos

• 310 - 710

1 11 1 1


2n-2

2n-3 2n-1

00... 01100... 01000... 00100... 000

0 1 2 3

1 1 11 0 0

33

REDUCCIÓN DE OPERACIONES, REDUCCIÓN DE OPERACIONES, RESTAS A SUMAS RESTAS A SUMAS

• No es necesario realizar restas.

• Uso del opuesto:p

∀x ∃opuesto(x) = -x x - x = 0

y

x - y = x + opuesto(y) ∀ x, y

• El tamaño utilizado para representar números:


• El tamaño utilizado para representar números:- Observación sobre el tamaño de almacenamiento.- Acarreo y desbordamiento.

COMPLEMENTO A 1 Y COMPLEMENTO A 2COMPLEMENTO A 1 Y COMPLEMENTO A 2DE LOS NÚMEROS BINARIOS DE LOS NÚMEROS BINARIOS

• El complemento a 1 y el complemento a 2 de unnúmero binario son importantes porque permiten larepresentación de números negativos.

• La aritmética en complemento a 2 se usa comúnmenteen las computadoras para manipular los númerosnegativos.

• Obtención del Complemento a 1 de un Número Binario- El complemento a 1 de un número binario se obtiene

cambiando todos los 1s por 0s y todos los 0s por 1s:


cambiando todos los 1s por 0s y todos los 0s por 1s:

1 0 1 1 0 0 1 0 Número binario

0 1 0 0 1 1 0 1 Complemento a 1

34

• Obtención del Complemento a 2 de un Número Binario- El complemento a 2 de un número binario se obtiene

s d 1 l LSB d l l t 1


sumando 1 al LSB del complemento a 1.

Complemento a 2 = (Complemento a 1) + 1

- Ejemplo: Hallar el complemento a 2 de 10110010

Solución.10110010 Número Binario


10110010 Número Binario01001101 Complemento a 1

+ 1 Se suma 101001110 Complemento a 2

- Método alternativo para obtener el complemento a 2 deun número binario:

1 S i l d h l LSB ib l


1. Se empieza por la derecha con el LSB y se escriben losbits como están hasta encontrar el primer 1, incluidoéste.2. Se calcula el complemento a 1 de los bits restantes.Ejemplo: Calcular el complemento a 2 de 10111000, utilizando el método alternativo.

l ó


Solución.10111000 Número binario01001000 Complemento a 2 Complemento a 1

de los bits originalesEstos bits no varían

35

NÚMEROS CON SIGNO. REPRESENTACIÓN NÚMEROS CON SIGNO. REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA FIJADE ENTEROS EN COMA FIJA

- Los sistemas digitales, tales como la computadora,deben ser capaces de manejar números positivos ynegativos.

Un número binario con signo queda determinado por su- Un número binario con signo queda determinado por sumagnitud y su signo.

- El signo indica si un número es positivo o negativo, y lamagnitud es el valor del número.

- Existen tres formatos binarios para representar losnúmeros enteros con signo:


números enteros con signo:signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2.

- Los números no enteros y muy grandes o muy pequeñospueden expresarse en formato de coma flotante.

• El bit de signo

- Se reserva un dígito para representar el signo delnúmero En general el bit más a la izquierda en un

REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA FIJA SIGNOFIJA SIGNO--MAGNITUDMAGNITUD

número. En general, el bit más a la izquierda en unnúmero binario con signo es el bit de signo, que indica siel número es positivo o negativo. El significado suele ser:0, número positivo y 1, número negativo.

Se utiliza un 0 para el signo positivo y un 1 para el signo negativo.

• Sistema Signo-Magnitud


- Cuando un número binario con signo se representa enformato signo-magnitud, el bit más a la izquierda es elbit de signo y los bits restantes son los bits demagnitud.

36

• Sistema Signo-Magnitud

- Los bits de magnitud son el número binario real (no com-

plementado) tanto para los números positivos como para

REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA FIJA SIGNOFIJA SIGNO--MAGNITUDMAGNITUD

plementado) tanto para los números positivos como para

los negativos. Por ejemplo: el número decimal 25 es:00011001

Bit de signo Bits de magnitudEl número decimal -25 se expresa así:


10011001 En el sistema signo-magnitud, un número negativo tiene losmismos bits de magnitud que el correspondiente númeropositivo, pero el bit de signo es un 1 en lugar de un cero.

11100110

• Sistema del Complemento a 1- Los números positivos en el sistema del complemento a 1 serepresentan de la misma forma que en el formato signo-magnitud.- Los números negativos son el complemento a 1 del correspondientenúmero positivo.

REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA FIJAREPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN COMA FIJA

11100110En el sistema del complemento a 1, un número negativo es elcomplemento a 1 del correspondiente número positivo.

• Sistema del Complemento a 2- Los números positivos en el sistema del complemento a 2 serepresentan de la misma forma que en los sistemas de complementoa 1 y de signo-magnitud.


- Los números negativos son el complemento a 2 del correspondientenúmero positivo.

11100111En el sistema del complemento a 2, un número negativo es elcomplemento a 2 del correspondiente número positivo.

37

CONVERSIONES DECIMAL / CONVERSIONES DECIMAL / SIGNOSIGNO--MAGNITUD MAGNITUD

1. Conversiones decimal signo magnitud:

• Como binario pero el signo por separado.

• Ejemplos:• Si n = 7 y se desea representar 2710 ,

su representación es 0011011• Si n = 7 y se desea representar –2710 ,


y p 10 ,su representación es 1011011

2. Conversiones signo-magnitud decimal:

CONVERSIONES DECIMAL / CONVERSIONES DECIMAL / SIGNOSIGNO--MAGNITUD MAGNITUD

- Ejemplos:


j p

• Si n = 9 y el valor de 001101101, es 10910

• Si n = 9 y el valor de 100110101, es -5310

38

VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNOVALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNO• Signo-magnitud- Los valores decimales de los números positivos y

negativos se determinan sumando los pesos de todaslas posiciones de los bits de magnitud, cuando son 1s,e ignorando aquellas posiciones en las que haya ceroe ignorando aquellas posiciones en las que haya cero.El signo se determina por medio del examen del bitde signo.

- Ejemplo: Determinar el valor decimal del número binariocon signo expresado como signo magnitud: 10010101. Solución.Los siete bits de magnitud y sus pesos potencias de dos son:


g y p p26 25 24 23 22 21 200 0 1 0 1 0 1

Sumando los pesos de las posiciones donde hay 1s, se tiene:16 + 4 + 1 = 21

El bit de signo es 1, por tanto, el número es -21.

OPERACIONES DE ENTEROS EN OPERACIONES DE ENTEROS EN COMA FIJA SIGNOCOMA FIJA SIGNO--MAGNITUD MAGNITUD

1. Calculo del opuesto

- Inversión del bit más a la izquierda

2. Sumas y restas

- Necesidad de analizar los signos. Ejemplo, para la suma:

Signo X1 Signo X2 Operación Ejemplo

0 (+) 0 (+) X1 + X2 3+7=3+7=10

0 ( ) 1 ( ) X X 3 ( 7) 3 7 4


0 (+) 1 (-) X1 - X2 3+(-7)=3-7=-4

1 (-) 0 (+) X2 - X1 (-3)+7=7-3=4

1 (-) 1 (-) - ( X1 + X2 ) -3-7=-(3+7)=-10

39

• Ejemplos:

9 3 d 6

OPERACIONES DE ENTEROS EN OPERACIONES DE ENTEROS EN COMA FIJA SIGNOCOMA FIJA SIGNO--MAGNITUD MAGNITUD

• Sumar -910 y -310 = en signo magnitud con n=6

-910 se representa como 101001

-310 se representa como 100011

Para sumar se sumará 3 de 9 con resultado negativo

101001 L i S


101001100011

Los signos determinan la operación suma

010010001101100

Se añade el signo

101100

• Desbordamientos:Si n = 5 , x = 1110 , y = 610

CARACTERÍSTICAS DE SIGNOCARACTERÍSTICAS DE SIGNO--MAGNITUD MAGNITUD

Si n 5 , x 1110 , y 610

x es 01011, y es 00110

Su suma es 10001 (aparentemente -1)

• Dos representaciones para el 0:- Rango de representación: [-2n-1-1, 2n-1-1].


• 0...(n-2 ceros)...0

• 10...(n-3 ceros)...0

• Operaciones son complicadas.

40

REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO RESTRINGIDO REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO RESTRINGIDO A LA BASEA LA BASE--1 (1 (COMPLEMENTO A 1COMPLEMENTO A 1 CON BASE 2) CON BASE 2)

• El complemento a 1 de un valor es:• El complemento lógico dígito a dígito de su

representación en binario puro si es negativo

• Distinción entre positivos y negativos: • Comienzo 0 significa positivo.• Comienzo 1 significa negativo.

• Desbordamientos:

representación en binario puro, si es negativo.• Su representación en binario puro, si es positivo.


D m• Ejemplo: valores mayores de 2n-1-1 (una cadena de

n-1 dígitos igual a 1) son positivos pero seinterpretan como negativos.

1. Conversiones: Complemento a 1 decimal • Algoritmo:

Si l 1 bit 0 t li l

REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO RESTRINGIDO REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO RESTRINGIDO A LA BASEA LA BASE--1 (1 (COMPLEMENTO A 1COMPLEMENTO A 1 CON BASE 2) CON BASE 2)

• Si el 1er bit es 0, entonces se aplica la conversión de binario a decimal.

• Si el 1er bit es 1, entonces se aplica el complemento a 1 y se aplica la conversión de binario a decimal y el valor es su opuesto.

• Ejemplos:


• El número en complemento a 1 10011 representa el valor-12, ya que es el opuesto del número binario 011002 = 1210

• El número en complemento a 1 000100 representa el valor410

41

• Complemento a 1

- Los valores decimales de los números positivos en elsistema de complemento a 1, se determinan sumando

VALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNOVALOR DECIMAL DE LOS NÚMEROS CON SIGNO

todas las posiciones de bit donde haya 1s, y se ignoranaquellas posiciones donde haya ceros.

- Los valores decimales de los números negativos sedeterminan asignando el valor negativo al peso del bitde signo, y sumando todos los pesos donde haya 1s, yñ di d l 1 l l d


añadiendo luego 1 al resultado.

- Ejemplo: Determinar el valor decimal de los números binarios con signo expresados en complemento a 1:


• Complemento a 1

(a) 00010111 (b) 11101000Solución. Para (a) 00010111:

(a) Los bits y sus pesos según las potencias de dos parael número positivo son:

-27 26 25 24 23 22 21 20


0 0 0 1 0 1 1 1

sumando los pesos donde hay 1s:16 + 4 + 2 + 1 = +23

42

- Ejemplo: (Continuación)Solución Para (b) 11101000:


• Complemento a 1

Solución. Para (b) 11101000: (b) Los bits y sus pesos según las potencias de dos parael número negativo son los siguientes ( el bit de signonegativo tiene un peso de -27, es decir, -128 ):

-27 26 25 24 23 22 21 20

1 1 1 0 1 0 0 0 sumando los pesos donde hay 1s


sumando los pesos donde hay 1s-128 + 64 + 32 + 8 = -24

sumando 1 al resultado, el número final es:-24 + 1 = -23

OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 1OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 1

1. Cálculo del opuesto en complemento a 1• Algoritmo:

• El opuesto de un número en complemento a 1es su complemento a 1

• Ejemplos:• -210 con 5 dígitos es 11101, su opuesto es 210


• 1210 con 5 dígitos es 01100, su opuesto es -1210

43

2. Suma en complemento a 1• Algoritmo:

S bi i


Sumar en binario puro (excepto cuando ambos son positivos o negativos):• Si no hay acarreo final, el resultado es negativo.• Si hay acarreo final, el resultado es positivo pero

hay que sumar el acarreo al resultado.• Ejemplos:

• Si n=8 x=63 y= 28


• Si n=8, x=63, y=-28 • Si n=9, x=-75, y=40

3. Resta o sustracción en complemento a 1OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 1OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 1

- La sustracción es un caso especial de la suma.

- Por ejemplo, restar +6 (el sustraendo) de +9 (el minuendo)

es equivalente a sumar -6 a +9.

- Básicamente la operación de la sustracción cambia el signodel sustraendo y le suma al minuendo.

- El resultado de una sustracción se denomina diferencia.• El signo de un número binario positivo o negativo se


E s gno un núm ro nar o pos t o o n gat o scambia calculando su complemento a 1.

• Para restar dos números con signo se calcula elcomplemento a 1 del sustraendo y se suman. Cualquierbit de acarreo final se suma al LSB (de más a laderecha).

44


0011111 1 00111 111

- Ejemplo:Forma normal Forma en complemento a 1

6310

Si h bi bi d fi l l

0011111 100011100

1

00111 11111100011

100100010

- +

00100011

6310

- 2810

3510

Acarreo final


- Si no hubiera un bit de acarreo final, entonces elresultado es un número negativo representado en laforma de complemento a 1. La magnitud del resultadose puede determinar obteniendo su complemento a 1.


00011100 00011100

- Ejemplo: Restar 6310 de 2810.Forma normal Forma en complemento a 1

2810

- No se tiene un bit de acarreo final, por tanto elresultado es un número negativo en complemento a

00011100 0011111 1

No hay acarreo final

0001110011000000

1101 1 100

- +2810

- 6310

- 3510


g p1. Se debe determinar su complemento a 1 paraobtener su magnitud; en este caso es: 00100011 o3510. Como su signo es negativo, el resultado reales: -3510.

45

CARACTERÍSTICAS DEL COMPLEMENTO A 1CARACTERÍSTICAS DEL COMPLEMENTO A 1

• El complemento a 1 es el complemento lógico.

• Desbordamientos posibles en la suma:

Ej l 6 27 22• Ejemplo: n=6, x=27, y=22

• Dos representaciones del 0: 0...(n-2)...0 cero

“positivo” y 1...(n-2)...1 cero “negativo”.

• Misma magnitud de máximos enteros (positivo mayor es 2n-1-1 y negativo menor es


y y g-(2n-1-1); por ejemplo 31 y -31, si n=6).

• Rango de representación: [0, 2n-1-1] para los positivos y [-(2n-1-1), -0] para los negativos.

• El complemento a 2 de un valor es:

• El resultado de la suma binaria de 1 y el complemento a 1del número si es negativo

REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO A LA REPRESENTACIÓN COMPLEMENTO A LA BASE (BASE (COMPLEMENTO A 2COMPLEMENTO A 2 CON BASE 2) CON BASE 2)

del número, si es negativo.• Su representación en binario puro, si es positivo.

• Ejemplos:• -210 con 5 dígitos es 11110

210 = 000102 , -210 en complemento a 1 es 1110112 + 111012 da el complemento a 2: 11110

• 12 con 5 dígitos es 01100 12 = 01100


• 1210 con 5 dígitos es 01100, 1210 = 011002

• 910 con 4 dígitos 910 = 10012 , 1001 sería el complemento a 2 ¡¡¡ERROR!!!

46

• Observaciones:


• Positivos y negativos ( 1er bit 0(+), 1(-) )• Desbordamientos:

• Ejemplo: valores mayores de 2n-1-1 (una cadena de n-1 dígitos igual a 1) son positivos pero se interpretan como negativos.


1. Conversiones complemento a 2 decimal • Algoritmo:

• Si el 1er bit es 0 entonces se aplica la


Si el 1 bit es 0, entonces se aplica la conversión de binario a decimal.

• Si el 1er bit es 1, entonces se realiza el complemento a 2 y se aplica la conversión de binario a decimal y el valor es su opuesto.

• Ejemplos:• Con 5 bits el número en complemento a 2 10100 representa


• Con 5 bits el número en complemento a 2 10100 representael valor -1210 , ya que el complemento a 2 de 10100 es 01100y representa el valor binario puro de su opuesto 011002 = 1210

• Con 6 bits el número en complemento a 2 0001002 representael valor 410

47

• Complemento a 2- Los valores decimales de los números positivos y


negativos en el sistema de complemento a 2, sedeterminan sumando los pesos de todas las posicionesde bit donde haya 1s, e ignorando aquellas posicionesdonde haya ceros.

- El peso del bit de signo en un número negativo viene


El peso del bit de signo en un número negativo vienedeterminado por su valor negativo.

• Complemento a 2- Ejemplo: Determinar los valores decimales de los números

binarios con signo expresados en complemento a 2:


binarios con signo expresados en complemento a 2:

(a) 01010110 (b) 10101010Solución. Para (a) 01010110:(a) Los bits y sus pesos según las potencias de dos para el número positivo son:

27 26 25 24 23 22 21 20


-27 26 25 24 23 22 21 20

0 1 0 1 0 1 1 0 sumando los pesos donde hay 1s:

64 + 16 + 4 + 2 = +86

48

• Complemento a 2- Ejemplo: (Continuación)

Solución Para (b) 10101010:


Solución. Para (b) 10101010:(b) Los bits y sus pesos según las potencias de dos para el

número negativo son los siguientes (obsérvese que elbit de signo negativo tiene un peso de -27, es decir,-128):

-27 26 25 24 23 22 21 20


1 0 1 0 1 0 1 0 sumando los pesos donde hay 1s.

-128 + 32 + 8 + 2 = -86

OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 21. Cálculo del opuesto en complemento a 2

• Algoritmo:

El opuesto de un número en complemento a 2El opuesto de un número en complemento a 2es su complemento a 2

• Ejemplos:• -210 con 5 dígitos es 11110, su opuesto es 210

(00010)12 5 dí i 01100 12


• 1210 con 5 dígitos es 01100, su opuesto es -1210

(10100)

49

2. Suma en Complemento a 2• Algoritmo:

Sumar en binario puro (excepto cuando ambos son positivos o negativos):


• Si no hay acarreo final, el resultado es negativo.• Si hay acarreo final, el resultado es positivo (se

desprecia el acarreo).

• Ejemplos:• Si n=8, x=63, y=-28


y• 63 en complemento a 2 es 00111111• -28 en complemento a 2 es 11100100

2810 = 000111002 (8 bits)

• Ejemplos: (Continuación)


2. Suma en Complemento a 2

28 en complemento a 1 es 11100011 12 + 111000112 = 111001002

•Se suma0 0 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0 0 1 1


1 0 0 1 0 0 0 1 1

• El resultado es 00100011 (001000112 = 3510).

• Si n=9, x=-75, y=40 ; x+y = 111011101 que es -3510

50

• Suma

- Los dos números en una suma se denominan sumandos.


- El resultado es la suma.

- Cuando se suman dos números binarios con signo pueden producirse cuatro casos:1. Ambos números son positivos.2. El número positivo es mayor que el negativo en valor

absoluto


absoluto.3. El número negativo es mayor que el positivo en valor

absoluto.4. Ambos números son negativos.

• Suma

- Ambos números son positivos:


00000111 7+ 00000100 + 4

00001011 11

- La suma es positiva y, por tanto, es un número binario real (no complementado).


51

• Suma- El número positivo es mayor que el número

negativo en valor absoluto:


00001111 15 + 11111010 - 61 00001001 9

- El bit de acarreo final no se tiene en cuenta. La sumas siti t t s ú bi i l (

Acarreo que se descarta


es positiva y, por tanto es un número binario real (nocomplementado).

• Suma- El número negativo es mayor que el número


E m g m y q mpositivo en valor absoluto:

00010000 16 + 11101000 + - 24

11111000 -8

- La suma es negativa y, por tanto, está enl 2


g y pcomplemento a 2.

52

• Suma- Ambos números son negativos:


11111011 -5 + 11110111 + -9 1 11110010 -14

- El bit de acarreo final no se tiene en cuenta. La suma

Acarreo que se descarta


es negativa y, por tanto, está en complemento a 2.

• Condición de desbordamiento (overflow)- Cuando se suman dos números y el número de bits

requerido para representar la suma excede al número


q p pde bits de los dos números, se produce undesbordamiento que se indica mediante un bit de signoincorrecto.

- Un desbordamiento se puede producir sólo cuandoambos números son positivos o negativos.

• Por ejemplo:


Por ejemplo: 01111101 125

+ 00111010 + 58 10110111 183

Signo incorrectoMagnitud incorrecta

53

• Sustracción- La sustracción es un caso especial de la suma.

- Por ejemplo, restar +6 (el sustraendo) de +9 (el minuendo)


j p , ( ) ( )

es equivalente a sumar -6 a +9.

- Básicamente la operación de la sustracción cambia el signodel sustraendo y le suma al minuendo.

- El resultado de una sustracción se denomina diferencia


• El signo de un número binario positivo o negativo secambia calculando su complemento a 2.

• Para restar dos números con signo se calcula elcomplemento a 2 del sustraendo y se suman descartandocualquier bit de acarreo final.

CARACTERÍSTICAS DEL COMPLEMENTO A 2CARACTERÍSTICAS DEL COMPLEMENTO A 2

• Suma independiente del signo.

• Más complicado que el complemento a 1.

• Posibilidad de desbordamientos:

- Ejemplo: 7910 + 11610 con n=8 resultado (11000011)

aparentemente -61, 19510 = 110000112 > 127 = 27-1

• Cero único (0...(n-2 ceros)...0).


• Un negativo representable más ([-2n-1, 2n-1-1], si

n=6, [-32, 31]).

54

RANGO DE REPRESENTACIÓN DE LOS RANGO DE REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS CON SIGNONÚMEROS CON SIGNO

- Fórmula para calcular el número de combinacionesdiferentes de n bits:

Nº total de combinaciones = 2n

- Para los números con signo en complemento a 2, el rango de valores para números de n bits es:

-(2n-1) a +(2n-1 - 1)habiendo en cada caso un bit de signo y n-1 bits demagnitud.


Por ejemplo, con cuatro bits pueden representarsenúmeros en complemento a 2 en el rango de -(23) =-8 hasta23-1=+7. Del mismo modo, con ocho bits, se puede abarcar

desde -128 hasta 127; con dieciséis bits se puede ir de-32.768 hasta 32.767, etc.

REPRESENTACIÓN EN EXCESO A MREPRESENTACIÓN EN EXCESO A M1. Definición

La representación en exceso a M de un valor x es la de x+M en binario puro.Si n es el número de dígitos suele ser M=2n-1Si n es el número de dígitos, suele ser M=2n .

• Observación• No es un nuevo sistema de representación.

• Ejemplos:• Si n=8 y M=128

• -3 es 125 = 01111101


• -3 es 12510 = 01111101• 0 es 12810 = 10000000• -128 es 010 = 00000000• 127 es 25510 = 11111111

55

REPRESENTACIÓN EN EXCESO A MREPRESENTACIÓN EN EXCESO A M

• Es un sistema utilizado para la representación de números reales en coma flotante.

2. Características

• Similares a complemento a 2.


NÚMEROS EN COMA FLOTANTENÚMEROS EN COMA FLOTANTE- Un número en coma flotante (también conocido como

número real) tiene dos partes más un signo: mantisa yexponente.

- La mantisa es la parte del número en coma flotante quep f qrepresenta la magnitud del número.

- El exponente es la parte del número en coma flotanteque representa el número de lugares que se va adesplazar el punto decimal (o punto binario).

- Para los números en coma flotante binarios, existe el


formato definido por el estándar ANSI/IEEE 754-1985, que puede tomar tres formas: simple precisión(32 bits), doble precisión (64 bits) y precisión ampliada(80 bits).

56

ESTÁNDARES DE REPRESENTACIÓN DE ESTÁNDARES DE REPRESENTACIÓN DE COMA FLOTANTECOMA FLOTANTE

- Necesidad de estándares. Hay problemas relacionadoscon coma flotante:

• Diferentes precisiones.E d d d• Errores de redondeo.

• Implementación de las operaciones.• Excepcionales: División entre 0; Desbordamiento.• Diferentes fabricantes han proporcionadosoluciones completas a estas situaciones a las quese conoce como estándares de representación de


se conoce como estándares de representación decoma flotante.

- Ejemplos: (a) Estándar de IEE; (b) Estándares deIBM; y (c) Estándar de IEEE 754-1985.

ESTÁNDAR IEEE. NÚMEROS ESTÁNDAR IEEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE

SIMPLE PRECISIÓNSIMPLE PRECISIÓN- En el formato estándar ANSI/IEEE 754-1985 para unEn el formato estándar ANSI/IEEE 754 1985 para un

número binario de simple precisión, el bit de signo (S) esel que se encuentra más a la izquierda, el exponente (E)incluye los siguientes 8 bits y la mantisa o partefraccionaria (F) incluye los restantes 23 bits.

32 bits


S Exponente (E) Mantisa (parte fraccionaria, F )

1 bit 8 bits 23 bits

32 bits

57


SIMPLE PRECISIÓNSIMPLE PRECISIÓN- En la mantisa o parte fraccionaria, se entiende que el

punto binario estará a la izquierda de los 23 bits.- Realmente, la mantisa consta de 24 bits, ya que, en

cualquier número binario, el bit más a la izquierda (mássignificativo) es siempre 1. Por tanto, este 1 se entiendeque estará allí aunque no ocupe una posición de bit real.

- Los 8 bits de los que consta el exponente representanun exponente desplazado que se ha obtenido mediante ladi ión d 127 l xp n nt l


adición de 127 al exponente real.- El propósito de este desplazamiento es poder definir

números muy grandes o muy pequeños sin necesidad deemplear un bit de signo diferente para el exponente.


SIMPLE PRECISIÓNSIMPLE PRECISIÓN- El exponente desplazado permite emplear un rango de

valores para los exponentes comprendidos entre -126y +128.

- Ejemplo:

1011010010001 = 1,011010010001 x 212

S E F


0 10001011 01101001000100000000000

Número = (-1)s (1 + F) (2E-127)

58

ESTÁNDAR IEEE. NÚMEROS BINARIOS EN ESTÁNDAR IEEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓNCOMA FLOTANTE DE SIMPLE PRECISIÓN

- Ejemplo del método: dado el siguiente número binario encoma flotante, determinar el número decimalcorrespondiente:p

1 10010001 10001110001000000000000

El bit de signo es 1. El exponente desplazado es:

10010001 = 145 ; aplicando la formula, obtenemos

Nú ( 1)1 (1 10001110001) (2145 127)


Número = (-1)1 (1.10001110001) (2145-127)

= (-1) (1.10001110001) (218) = -1100011100010000000Este número binario en coma flotante es equivalente a:

-407.680 en decimal.

ESTÁNDAR IBM. NÚMEROS BINARIOS ESTÁNDAR IBM. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE

PRECISIÓNPRECISIÓN- En el formato estándar IBM para un número binario deEn el formato estándar IBM para un número binario de

simple precisión, el bit de signo (S) es el que seencuentra más a la izquierda, el exponente (E) incluye lossiguientes 7 bits y la mantisa (M) incluye los restantes24 bits.

Bit 31 30 29 28 27 26 25 24 23 … 0


S 26 … 20 2-1 … 2-24

S < Exponente (E) desplazado > < Mantisa (M) >

32 bits

59

ESTÁNDAR IEE. NÚMEROS BINARIOS ESTÁNDAR IEE. NÚMEROS BINARIOS EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE EN COMA FLOTANTE DE SIMPLE

PRECISIÓNPRECISIÓN- En el formato estándar IEE para un número binario deEn el formato estándar IEE para un número binario de

simple precisión, el bit de signo (S) es el que seencuentra en el bit 24, el exponente (E) incluye los 7bits de más a la izquierda y la mantisa (M) incluye losrestantes 24 bits.

Bit 31 30 29 28 27 26 25 24 23 … 0


26 … 20 S 2-1 … 2-24

< Exponente (E) desplazado > S < Mantisa (M) >

32 bits


PRECISIÓNPRECISIÓN- Presenta dos precisiones: Precisión Sencilla o Simple

Precisión (32 bits, es decir dos palabras de 16 bits) yD bl P i ió (64 bi d i l b d 16Doble Precisión (64 bits, es decir cuatro palabras de 16bits).

- Observación práctica: Aparición frecuente de larepresentación interna en hexadecimal. La base usadaen el estándar IEE es 16.

- Método para el estándar IEE. Ejemplo 1: ¿Cómo sep s nt p j mpl l núm 10 50 n m


representa por ejemplo el número 10.5010 en comaflotante de simple precisión?

60


PRECISIÓNPRECISIÓN- Pasos:

1 Convertir 10 50 a la base 16 ya que la base usada en1. Convertir 10.5010 a la base 16, ya que la base usada eneste estándar es la 16. Es decir A.816.2. Normalizar el número, es decir debemos mover elpunto decimal a la izquierda hasta que el número esténormalizado. Un número en coma flotante estánormalizado cuando el dígito inmediatamente a laderecha del punto (en la izquierda de la mantisa) no esun 0 mi nt s qu l núm l i qui d d l punt


un 0 mientras que el número a la izquierda del puntodecimal es un 0. Este 0 se omite cuando el número esalmacenado como una fracción. Es decir, tenemos:.A8 E16 + 1.


PRECISIÓNPRECISIÓN- Pasos:

3. En el estándar IEE el exponente está desplazado por64 es decir está en exceso 64 Así tenemos:64, es decir está en exceso 6410. Así, tenemos:Desplazamiento + Exponente = Exponente Desplazado

6410 + 110 = 6510Es decir 10000012 .4. El signo es positivo, el bit que presenta el signo será0.


5. El resultado final es:1000 001 0 1010 1000 0000 0000 0000 0000

Exponente (E) desplazado S Mantisa (M)

8 2 A 8 0 0 0 016

61


PRECISIÓNPRECISIÓN- Ejemplo 2. Determinar el valor decimal del siguiente

número en hexadecimal en la forma de coma flotantesegún el estándar IEE: 84 16 38 52.según el estándar IEE 84 16 38 52.

- Pasos:1. Convertir a binario el número hexadecimal:

8 4 1 6 3 8 5 21000 010 0 0001 0110 0011 1000 0101 0010<Exponente> Signo < Mantisa >


p g

Signo: el bit de signo es 0, ya que el número espositivo.


PRECISIÓNPRECISIÓN- Pasos:2. Exponente: 10000102 = 6610 con un desplazamiento de64 entonces el exponente real es E + 264, entonces el exponente real es E16 + 2.3. Mantisa: 16385216.4. Como el exponente que hemos determinado es +2,podemos desnormalizar el número moviendo dos lugaresa la derecha la coma decimal, así tenemos:

16.385216


5. Convertimos ahora a la base 10 el número y tenemos:(1 x 161) + (6 x 160) , (3 x 16-1) + (8 x 16-2) + (5 x 16-3) + (2 x 16-4)

y finalmente se tiene: 22.2210.

62

REPRESENTACIONES DE NÚMEROS REPRESENTACIONES DE NÚMEROS RACIONALES EN SISTEMAS POSICIONALESRACIONALES EN SISTEMAS POSICIONALES1. Representación de la parte entera

• Visto en sesiones anteriores2. Representación de la parte fraccionariap p

• Convenios:- Separación de la parte entera por la coma: ,- Colocación: a la derecha de la parte entera.

parte_entera,parte_fraccionaria

• Ejemplos:


• Ejemplos:13,9510

A42F,1C1636,7418

1011110,11012

1. Valor de un número fraccionario en base b

• El valor del número

REPRESENTACIONES DE NÚMEROS REPRESENTACIONES DE NÚMEROS RACIONALES EN SISTEMAS POSICIONALESRACIONALES EN SISTEMAS POSICIONALES

e,f

• Se calcula:

- Suma del valor de la parte entera (e), y delvalor de la parte fraccionaria (f).


• Valor de la parte entera - Visto en sesiones anteriores

63

• Valor de la parte fraccionaria

- Valores para las nuevas posiciones


Número … X4 X3 X2 X1 X0 ¸ X-1 X-2 X-3 X-4 X-5 …

Posición … 4 3 2 1 0 ¸ -1 -2 -3 -4 -5 …

Valor … b4 b3 b2 b1 b0¸ b-1 b-2 b-3 b-4 b-5

…


• Ejemplos• Binario: 1011110,11012 = 94,812510

1 0 1 1 1 1 0 , 1 1 0 1


26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4

• Octal: 36,7418 = 30,93945312510

3 6 , 7 4 1 81 80 8-1 8-2 8-3


• Hexadecimal: A42F,1C16 = 42031,10937510

A 4 2 F , 1 C

163 162 161 160 16-1 16-2

64

CONVERSIONES DE RACIONALES CONVERSIONES DE RACIONALES • Para convertir a otra base el número

e,f• Se procede:

- La conversión de la parte entera se ha visto en sesiones anteriores.

• Se convierte la parte entera (e).• Se convierte la parte fraccionaria (f).• Se escriben separadas por la coma.


sesiones anteriores.• Conversiones de la parte fraccionaria a la decimal

- Se puede aplicar el cálculo de valor (decimal) visto en sesiones anteriores.

CONVERSIONES DE PARTE CONVERSIONES DE PARTE FRACCIONARIAFRACCIONARIA

1. Conversión decimal hexadecimal - Para convertir la parte fraccionaria decimal a

hexadecimal se procede:hexadecimal se procede:

• Posición -1

• Repetir hasta suficiente número de decimales hexadecimales:

- dígito de la posición parte_entera(decimalx16)


- decimal parte_fraccionaria(decimalx16)

- posición posición - 1

65

• Ejemplos:

• 135,7810 = 87,C7...16


• Parte Entera:

• 13510 = 8716

• Parte Fraccionaria:

• 0,78 x 16 = 12,48 ⇒ dígito -1: 1210 = C16


• 0,48 x 16 = 7,48 ⇒ dígito -2: 710 = 716

• ...

2. Conversión decimal octal - Para convertir la parte fraccionaria decimal en


octal se procede:• Posición -1

• Repetir hasta suficiente número de decimales octales:


decimal parte fraccionaria(decimalx8)




66

• Ejemplos:

• 135,7810 = 207,61...8


• Parte Entera:

• 13510 = 2078

• Parte Fraccionaria:

• 0,78 x 8 = 6,24 ⇒ dígito -1: 610 = 68


• 0,24 x 8 = 1,92 ⇒ dígito -2: 110 = 18

• …

3. Conversión decimal binario - Para convertir la parte fraccionaria decimal a

binario se procede:


binario se procede:

• Posición -1

• Repetir hasta suficiente número de decimales binarios:


decimal parte fraccionaria(decimalx2)




67

• Ejemplos:• 135,7810 = 10000111,110001...2

• Parte Entera:


• 13510 = 100001112• Parte Fraccionaria:

• 0,78 x 2 = 1,56 ⇒ dígito -1: 1 • 0,56 x 2 = 1,12 ⇒ dígito -2: 1• 0,12 x 2 = 0,24 ⇒ dígito -3: 0


• 0,24 x 2 = 0,48 ⇒ dígito -4: 0• 0,48 x 2 = 0,96 ⇒ dígito -5: 0• 0,96 x 2 = 1,92 ⇒ dígito -6: 1• ...

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS NATURALES EN BCDNATURALES EN BCD

1. Observaciones previas• Número de distintos números binarios de n cifras: 2n.

• Bits necesarios para representar {0 1 9}: 4 y sobran• Bits necesarios para representar {0, 1..., 9}: 4 y sobran(24 = 16, 16-10 = 6).

2. DefiniciónEn los sistemas decimales codificados en binario se convierten uno a uno, los dígitos decimales a binario.2.1. Variantes


• Diferentes métodos BCD difieren:- Número de bits usados por dígito.- Tipo de representación de los dígitos.- Uso del espacio sobrante.

68

- El código decimal binario (BCD, Binary Coded Decimal)es una forma de expresar cada uno de los dígitosdecimales con un código binario.El ódi 8421


• El código 8421- El código 8421 es un tipo de código decimal (BCD).- Código decimal binario significa que cada dígito

decimal, de 0 hasta 9, se representa mediante uncódigo binario de cuatro bits.

- La designación 8421 indica los pesos binarios de los


- La designación 8421 indica los pesos binarios de loscuatro bits (23, 22 , 21 , 20 ).

- La facilidad de conversión entre los números en código8421 y los números decimales es la principal ventaja.

- Tabla de la conversión decimal/BCDDígito decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001


• Códigos no válidos. Con cuatro dígitos, se puedenrepresentar dieciséis números (desde 0000 hasta1111), pero en el código 8421, sólo se usan diez deellos. Las seis combinaciones que no se emplean (1010,


q p1011, 1100, 1101, 1110 y 1111) no son válidas en elcódigo BCD 8421.

69

BCD EXTENDIDO O DESEMPAQUETADOBCD EXTENDIDO O DESEMPAQUETADO1. Conversión decimal BCD extendido• Uso de un octeto (8 bits) por dígito decimal. • Representación de los dígitos: binario puro.• Cuartetos (4 bits) no usados de relleno (por defecto a 0).Cuartetos (4 bits) no usados de relleno (por defecto a 0).

- Ejemplos:• 31710 es:

0000 0011 0000 0001 0000 0111 • 12510 es:

0000 0001 0000 0010 0000 0101256 s:


• 25610 es:0000 0010 0000 0101 0000 0110

• 4578510 es:0000 0100 0000 0101 0000 0111 0000 1000 0000 0101

BCD EXTENDIDO O DESEMPAQUETADOBCD EXTENDIDO O DESEMPAQUETADO

2. Conversión BCD extendido decimal

• Proceso Inverso

- Ejemplo:

0000 1000 0000 0111 0000 0101 0000 0000 0000 0001

es 8750110


70

BCD CONDENSADO O EMPAQUETADOBCD CONDENSADO O EMPAQUETADO1. Conversión decimal BCD empaquetado

• Idem usando cuartetos (4 bits)- Ejemplos:

317 es: 0011 0001 0111 • 31710 es: 0011 0001 0111 • 12510 es: 0001 0010 0101• 25610 es: 0010 0101 0110• 4578510 es: 0100 0101 0111 1000 0101

2. Conversión BCD empaquetado decimal• Proceso Inverso


roc so n rso- Ejemplo:

• 0001 0000 0000 0000 0100 0111 es 10004710

•• Conversión Decimal BCD EmpaquetadoConversión Decimal BCD Empaquetado

BCD CONDENSADO O EMPAQUETADOBCD CONDENSADO O EMPAQUETADO

- Ejemplo: Convertir a BCD los siguientes números decimales.(a) 35 (b) 98 (c) 170 (d) 2469

Solución. (a) 3 5 (b) 9 8 (c) 1 7 0 (d) 2 4 6 9


0011 0101 1001 1000 0001 0111 0000 0010 0100 01101001

71

BCD CONDENSADO O EMPAQUETADOBCD CONDENSADO O EMPAQUETADO

• Conversión BCD Empaquetado Decimal

- Ejemplo: Convertir a decimal los siguientes códigos BCD:(a) 10000110 (b) 001101010001 (c) 1001010001110000

Solución.

(a) 1000 0110 (b) 0011 0101 0001 (c) 1001 0100 0111 0000


( ) ( ) ( )

8 6 3 5 1 9 4 7 0

SUMA EN BCDSUMA EN BCD- BCD es un código numérico y puede utilizarse en

operaciones aritméticas.- La suma es la más importante de estas operaciones ya

que las otras tres operaciones (sustracción,q p (multiplicación y división) se pueden llevar a caboutilizando la suma.

- Método para sumar dos números BCD:Paso 1. Sumar los dos números BCD utilizando las reglas de la suma

binaria vistas anteriormente.Paso 2. Si una suma de 4 bits es igual o menor que 9, es un número BCD

válido


válido.Paso 3. Si una suma de 4 bits es mayor que 9, o si genera un acarreo en

el grupo de 4 bits, el resultado no es válido. En este caso, se suma 6(0110) al grupo de 4 bits para saltar así los seis estados no válidos ypasar al código 8421. Si se genera un acarreo al sumar 6, éste se sumaal grupo de 4 bits siguiente.

72

- Ejemplo de la suma en BCD para los casos en que la sumaen cada columna de 4 bits es igual o menor que 9 y, portanto, las sumas de 4 bits son números BCD válidos.

SUMA EN BCDSUMA EN BCD

• Ejemplo: Sumar los siguientes números BCD:(a) 0011 + 0100 (b) 00100011 + 00010101

(c) 10000110 + 00010011 (d) 010001010000 + 010000010111Solución. Se muestra la suma en decimal con propósitos de comparación.


p(a) 0011 3 (b) 0010 0011 23

+0100 + 4 + 0001 0101 + 150111 7 0011 1000 38

• Ejemplo:

Solución. (Continuación)


(c) 1000 0110 86 (d) 0100 0101 0000 450

+ 0001 0011 + 13 + 0100 0001 0111 + 4171001 1001 99 1000 0110 0111 867

Observe que en ningún caso la suma de las cuatrocolumnas de 4 bits excede 9, por lo que los resultados

ú BCD álid


son números BCD válidos.

73

- Ejemplo del procedimiento en el caso de que seproduzcan sumas no válidas (mayores que 9 o quegeneren acarreo).

• Ejemplo:Sumar los siguientes números BCD:


Ej mp o Sumar os s gu nt s núm ros D(a) 1001 + 0100 (b) 1001 + 1001(c) 00010110 + 00010101 (d) 01100111 + 01010011Solución. La suma en números decimales se indica con propósitos de comparación.(a) 1001 9

+ 0100 + 4


1101 Número BCD no válido (> 9) 13 + 0110 Se suma 6

0001 0011 Número BCD válido

1 3

• Ejemplo: Sumar los siguientes números BCD:(a) 1001 + 0100 (b) 1001 + 1001( ) (d)


(c) 00010110 + 00010101 (d) 01100111 + 01010011

Solución.

(b) 1001 9 + 1001 + 9

1 0010 No válido debido al acarreo 18


+ 0110 Se suma 60001 1000 Número BCD válido

1 8

74

• Ejemplo: Sumar los siguientes números BCD:(a) 1001 + 0100 (b) 1001 + 1001(c) 00010110 + 00010101 (d) 01100111 + 01010011


(c) 00010110 + 00010101 (d) 01100111 + 01010011

Solución.

(c) 0001 0110 16 + 0001 0101 + 15

0010 1011 El grupo de la derecha no es 31válido (>9), el grupo de la izquierda sí.


( ) g p q+ 0110 Se suma 6 al código no válido.

Se suma el acarreo, 0001, al siguiente grupo. 0011 0001 Número BCD válido

3 1

• Ejemplo: Sumar los siguientes números BCD:(a) 1001 + 0100 (b) 1001 + 1001( ) 00010110 00010101 (d) 01100111 01010011


(c) 00010110 + 00010101 (d) 01100111 + 01010011

Solución.

(d) 0110 0111 67 + 0101 0011 + 53

1011 1010 Ambos grupos no son válidos (>9). 120+ 0110 + 0110 Se suma 6 a ambos grupos


+ 0110 + 0110 Se suma 6 a ambos grupos 0001 0010 0000 Número BCD válido

1 2 0

75

REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN BCD EXTENDIDOBCD EXTENDIDO

1. Representación del signo• En el cuarteto no utilizado del octeto del dígito

menos significativo.menos significativo.• Posibles valores:

• Por defecto

• Otros

+ 0000- 1111


Otros

+ B16 = 1011 - D16 = 1101

2. Ejemplos

+381 es en BCD extendid :

REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN BCD EXTENDIDOBCD EXTENDIDO

• +38110 es en BCD extendido:

0000 0011 0000 1000 0000 0001• -38110 es en BCD extendido:

0000 0011 0000 1000 1111 0001

3 Características de BCD


3. Características de BCD

• Útil en determinadas circunstancias (con datos de poco proceso).

76

REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN BCD EMPAQUETADOBCD EMPAQUETADO

1. Representación del signo• Idem desempaquetado excepto que es el primer

cuarteto.2. Ejemplos

• +38110 es en BCD empaquetado:

0011 1000 0001 0000• -38110 es en BCD empaquetado:

0011 1000 0001 1111


0011 1000 0001 11113. Características de BCD

• Útil en determinadas circunstancias (con datos de poco proceso).

CÓDIGO ALFANUMÉRICOCÓDIGO ALFANUMÉRICO- Para la comunicación, no sólo se necesitan números, sino

también letras y otros símbolos.- En sentido estricto, los códigos alfanuméricos son

códigos que representan números y caracteresg q p yalfabéticos (letras).

- Sin embargo, la mayoría de estos códigos tambiénrepresentan otros caracteres tales como símbolos ydistintas instrucciones para la transferencia deinformación.

- Como mínimo, un código alfanumérico debe podert l di dí it d i l l 26 l t


representar los diez dígitos decimales y las 26 letrasdel alfabeto, es decir, un total de 36 elementos.

- Esta cantidad requiere seis bits para cada combinaciónde código, puesto que cinco son insuficientes (25=32).

77

- Con seis bits se tiene un total de 64 combinaciones, porlo que 28 de ellas no se utilizan.

- En muchas aplicaciones, para completar la comunicación,son necesarios otros símbolos además de los números y

CÓDIGO ALFANUMÉRICOCÓDIGO ALFANUMÉRICO

son necesarios otros símbolos además de los números ylas letras. Se necesitan espacios, puntos, dos puntos,punto y coma, signo de interrogación, etc.

- También se necesitan instrucciones para comunicar alsistema receptor qué hacer con la información.

- De este modo, con códigos con una longitud de seis bits,se pueden manejar números decimales, el alfabeto y


se pueden manejar números decimales, el alfabeto yotros 28 símbolos. El ASCII es el código alfanuméricomás común. Otros ejemplos de códigos son: Videotext yEBCDIC.

CÓDIGO ASCIICÓDIGO ASCII- El American Standard Code for Information

Interchange (ASCII, Código Estándar Americano parael Intercambio de Información) es un códigoalfanumérico universalmente aceptado, que se usa en lamayoría de las computadoras y otros equiposmayoría de las computadoras y otros equiposelectrónicos.

- La mayor parte de los teclados de computadora seestandarizan de acuerdo con el código ASCII, y cuandose pulsa una letra, un número o un comando de control,es el código ASCII el que se introduce en lacomputadora.


- El código ASCII dispone de 128 caracteres que serepresentan mediante un código binario de 7 bits. Elcódigo ASCII puede considerarse como un código de 8bits en el que el MSB siempre es 0.

78

- En Hexadecimal, este código de 8 bits va de 00 hasta7F.

- Los primeros 32 caracteres ASCII son comandos noáfi i i

CÓDIGO ASCIICÓDIGO ASCII

gráficos, que nunca se imprimen o presentan enpantalla, y solo se utilizan para propósitos de control.Ejemplos de caracteres de control son el carácter nulo,avance de línea, inicio de texto y escape.

- Los demás caracteres son símbolos gráficos que puedenimprimirse o mostrarse en pantalla, e incluyen las letras


p p ydel alfabeto (mayúsculas y minúsculas), los diez dígitosdecimales, los signos de puntuación y otros símboloscomúnmente utilizados.

- Tabla del Código ASCII, con su representación decimal,hexadecimal y binaria para cada carácter y símbolo.

(En la primera columna de la tabla se enumeran los

CÓDIGO ASCIICÓDIGO ASCII

( pnombres de los 32 caracteres de control (en hexadecimal,de 00 hasta 1F), y en las restantes columnas se muestranlos símbolos gráficos (en hexadecimal, de 20 hasta 7F)).


79

Tabla: American Standard Code for Information Interchange (ASCII)CÓDIGO ASCIICÓDIGO ASCII


CÓDIGO ASCII EXTENDIDOCÓDIGO ASCII EXTENDIDO- Además de los 128 caracteres ASCII estándar, existen

128 caracteres adicionales que fueron adoptados porIBM para utilizar en sus computadoras personales (PC).

- Debido a la popularidad del PC, estos caracteresespeciales del código ASCII extendido se usan tambiénen otras aplicaciones distintas de las PC, por lo que seha convertido en un estándar oficial.

Los caracteres del código ASCII extendido se


- Los caracteres del código ASCII extendido serepresentan mediante una serie de códigos de 8 bitsque van, en hexadecimal, del 80 hasta FF.

80

- El código ASCII extendido está formado porcaracteres que pertenecen a las siguientes categoríasgenerales:1. Caracteres alfabéticos no ingleses2 í b l d d i l

CÓDIGO ASCII EXTENDIDOCÓDIGO ASCII EXTENDIDO

2. Símbolos de moneda no ingleses3. Letras griegas4. Símbolos matemáticos5. Caracteres para gráficos6. Caracteres para gráficos de barras


7. Caracteres sombreados.- Tabla del conjunto de caracteres del código ASCII

extendido, junto con sus representaciones decimal yhexadecimal.

Tabla: Caracteres de código ASCII extendidoCÓDIGO ASCII EXTENDIDOCÓDIGO ASCII EXTENDIDO


81

- EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal InterchangeCode)

- Es un código de 8 bits

EBCDICEBCDIC

Es un código de 8 bits.

- Está representado por la tabla que se adjunta.

- Puede observarse que los números se representan enBCD desempaquetado pero el primer cuarteto secompleta con bits 1.


- Ejemplos:

• Ejemplo 1:

EBCDICEBCDIC


82

- Ejemplos:

• Ejemplo 2:

EBCDICEBCDIC


UNICODEUNICODE- Código de E/S propuesto por un consorcio de empresas y

entidades que permite escribir aplicaciones que sean capacesde procesar texto de diversos sistemas de escritura. Estáreconocido como estándar ISO/IEC 10646reconocido como estándar ISO/IEC 10646.

- Propiedades de Unicode:

* Universalidad: persigue cubrir la mayoría de lenguajesescritos existentes en la actualidad.

* Unicidad: a cada carácter se le asigna exactamente un


único código.

* Uniformidad: todos los símbolos se representan con unnúmero fijo de 16 bits.

83

UNICODEUNICODE- Características de Unicode:

* Cada carácter Unicode está formado por una cadena de16 bits => se pueden codificar 216 = 65.356 símbolos.

* No contempla la codificación de caracteres de control.

* Incluye caracteres combinados (por ej., ñ, ä, ç).

* No determina la forma o imagen concreta de cadacarácter (el “font” o fuente), sino que cada combinaciónrepresenta un concepto abstracto Un mismo carácter puede


representa un concepto abstracto. Un mismo carácter puedeser escrito de distintas formas y todas las variantes secodifican con una única combinación.

UNICODEUNICODE- Características de Unicode:

* También con la misma idea de evitar duplicidades,caracteres muy parecidos en idiomas distintos, tienen igualposición en el código. Esto ocurre por ejemplo con losideogramas japoneses, chinos y coreanos; aunque su imagensea distinta, si su significado es el mismo tienen igual código.

* No ocurre lo mismo con las letras mayúsculas yminúsculas de los caracteres latinos que tienen códigosdi i


distintos.

* Su utilización está facilitando la compatibilidad deprogramas y datos a través de todo el mundo.

84

UNICODEUNICODE- Esquema de asignación de códigos en Unicode


UNICODEUNICODE- Ejemplo: Codificar la cadena de caracteres C/Rúa, 7 en

ASCII (ISO 8859-1, Latín 1) y en Unicode


Nótese que para obtener la codificación Unicode hemos añadido 8bits [0] delante de cada código ASCII de 8 bits.

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