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Sistemas de ecuaciones y desigualdades

6A Sistemas de ecuaciones lineales

Laboratorio Resolver ecuaciones lineales usando una hoja de cálculo

6-1 Cómo resolver sistemas mediante la representación gráfica

Laboratorio Hacer modelos de sistemas de ecuaciones lineales

6-2 Cómo resolver sistemas por sustitución

6-3 Cómo resolver sistemas por eliminación

6-4 Cómo resolver sistemas especiales

6B Desigualdades lineales 6-5 Cómo resolver desigualdades lineales

6-6 Cómo resolver sistemas de desigualdades lineales

Laboratorio Resolver sistemas de desigualdades lineales

¿Dónde está el dinero?Puedes resolver un sistema de ecuaciones para determinar cuántas entradas para un partido de básquetbol puedes comprar a diferentes niveles de precios.

CLAVE: MA7 ChProj

378 Capítulo 6

VocabularioElige el término de la izquierda que corresponde a cada definición de la derecha.

1. desigualdad

2. ecuación lineal

3. par ordenado

4. pendiente

5. solución de una ecuación

A. un par de números (x, y) que representan las coordenadas de un punto

B. un enunciado que afirma que dos cantidades no son iguales

C. el valor de y del punto en el que la gráfica de una ecuación cruza el eje y

D. el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera

E. la razón del cambio vertical con respecto al cambio horizontal para una línea no vertical

F. una ecuación cuya gráfica es una línea recta

Representar gráficamente funciones linealesRepresenta gráficamente cada función.

6. y = 3_4

x + 1 7. y = -3x + 5 8. y = x - 6

9. x + y = 4 10. y = - 2_3

x + 4 11. y = -5

Resolver ecuaciones de varios pasosResuelve cada ecuación.

12. -7x - 18 = 3 13. 12 = -3n + 6 14. 1_2

d + 30 = 32

15. -2p + 9 = -3 16. 33 = 5y + 8 17. -3 + 3x = 27

Hallar el valor de una variableResuelve cada ecuación para y.

18. 7x + y = 4 19. y + 2 = -4x 20. 8 = x - y

21. x + 2 = y - 5 22. 2y - 3 = 12x 23. y + 3_4

x = 4

Evaluar expresionesEvalúa cada expresión para el valor dado de la variable.

24. t - 5 para t = 7 25. 9 - 2a para a = 4 26. 1_2

x - 2 para x = 14

27. n + 15 para n = 37 28. 9c + 4 para c = 1_3

29. 16 + 3d para d = 5

Resolver y representar gráficamente desigualdadesResuelve cada desigualdad y represéntala gráficamente.

30. b - 9 ≥ 1 31. -2x < 10 32. 3y ≤ -3 33. 1_3

y ≤ 5

Sistemas de ecuaciones y desigualdades 379

380 Capítulo 6

Antes, • resolviste ecuaciones de un

paso y de varios pasos.

• resolviste desigualdades de un paso y de varios pasos.

• representaste gráficamente ecuaciones lineales en un plano cartesiano.

Estudiarás • cómo hallar una solución

que satisfaga dos ecuaciones lineales.

• cómo hallar soluciones que satisfagan dos desigualdades lineales.

• cómo representar gráficamente una o más desigualdades lineales en un plano cartesiano.

Puedes usar las destrezas aprendidas en este capítulo • para determinar qué compras

son más convenientes.

• en otras clases, como economía y química.

• para resolver ecuaciones lineales con tres o más variables en clases de matemáticas más avanzadas.

Vocabulario/Key Vocabularydesigualdad lineal linear inequality

sistema consistente consistent system

sistema de ecuaciones lineales

system of linear equations

sistema dependiente dependent system

sistema inconsistente inconsistent system

sistema independiente independent system

solución de una desigualdad lineal

solution of a linear inequality

Conexiones de vocabulario

Considera lo siguiente para familiarizarte con algunos de los términos de vocabulario del capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario o un diccionario si lo deseas.

1. La palabra sistema significa “grupo”. ¿En qué crees que se diferencia un sistema de ecuaciones lineales de una ecuación lineal?

2. Un sistema consistente tiene al menos una solución. ¿Cuántas soluciones crees que tiene un sistema inconsistente?

3. Un sistema dependiente tiene infinitamente muchas soluciones. ¿Qué término de vocabulario significa un sistema con exactamente una solución?

4. En los Capítulos 4 y 5, viste que una solución de una ecuación lineal era el par ordenado que hacía que la ecuación fuera verdadera. Modifica esto para definir solución de una desigualdad lineal.

Sistemas de ecuaciones y desigualdades 381

Estrategia de redacción: Escribe un argumento o una explicación convincenteEl icono de Escríbelo aparece en todo el libro. Estos iconos identifican las preguntas que requieren que escribas un argumento o una explicación completos. Escribir un argumento o una explicación convincente muestra que comprendiste bien el concepto.

Para ser eficaz, un argumento o una explicación debe incluir

• pruebas, trabajo o hechos.

• una respuesta completa que conteste o explique.

Inténtalo

Escribe un argumento o una explicación convincente.

1. ¿Cuál es el menor número cabal que es una solución de 12x + 15.4 > 118.92? Explica.

2. ¿Qué ecuación tiene un error? Explica el error.

A. 4 (6 · 5) = (4) 6 · (4) 5 B. 4 (6 · 5) = (4 · 6) 5

De la Lección 2-9

23. Escríbelo Lewis invirtió $1000 a una tasa de interés anual del 3% durante

4 años. Lisa invirtió $1000 a una tasa de interés anual del 4% durante

3 años. Explica por qué Lewis y Lisa ganaron lo mismo en intereses.

Paso 2

Identifica lo que necesitas para responder o explicar.Explica por qué Lewis y Lisa ganaron lo mismo en intereses.

Da pruebas, trabajos o hechos que se necesitan para responder a la pregunta.Usa la fórmula del interés simple para hallar la cantidad de interés ganada: I = Cit.Lewis: C = 1000, i = 0.03, t = 4 Lisa: C = 1000, i = 0.04, t = 3

I = Cit = 1000 (0.03)(4) = 120 I = Cit = 1000 (0.04)(3) = 120

I = 1000 (0.12) = $120 I = 1000 (0.12) = $120

Escribe una respuesta completa que conteste o explique.Lewis y Lisa invirtieron la misma cantidad de dinero: $1000. Ganaron lo mismo en intereses porque 0.04 x 3 y 0.03 x 4 equivalen a 0.12. Ambos ganaron 0.12 x $1000 ó $120

Paso 1

Paso 3

382 Capítulo 6 Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Resolver ecuaciones lineales usando una hoja de cálculoPuedes usar una hoja de cálculo para responder a las preguntas “¿Y si...?”. Al cambiar uno o más valores, puedes hacer un modelo de diferentes situaciones rápidamente.

Actividad

La empresa Z fabrica reproductores de DVD. Los costos de la empresa son $400 por semana más $20 por reproductor de DVD. Cada reproductor de DVD se vende a $45. ¿Cuántos reproductores de DVD debe vender la empresa Z en una semana para obtener ganancias?

Sea n la cantidad de reproductores de DVD que la empresa Z vende en una semana.

c = 400 + 20n El costo total es $400 más $20 multiplicados por la cantidad de reproductores de DVD fabricados.

Los ingresos totales por ventas son $45 multiplicados por la cantidad de reproductores de DVD vendidos.

Las ganancias totales son los ingresos por ventas menos el costo total.

i = 45n

g = i - c

1 Organiza tu hoja de cálculo con columnas para la

= 400 + 20*A2 = C2 – B2= 45*A2

cantidad de reproductores de DVD, el costo total, los ingresos totales y las ganancias.

2 En la columna Cantidad de reproductores de DVD, escribe 1 en la celda A2.

3 Usa las ecuaciones anteriores para escribir las fórmulas para el costo total, las ventas totales y las ganancias totales en la fila 2.

• En la celda B2, escribe la fórmula para el costo total.

• En la celda C2, escribe la fórmula para los ingresos totales por ventas.

• En la celda D2, escribe la fórmula para las ganancias totales.

4 Completa las columnas A, B, C y D seleccionando las celdas A1 a D1, haciendo clic en el pequeño recuadro en el ángulo inferior derecho de la celda D2 y arrastrando el recuadro hacia abajo a través de varias filas.

5 Halla el punto en el que la ganancia es $0. Esto se conoce como el punto de equilibrio, en el que el costo total y los ingresos totales son equivalentes.

La empresa Z debe vender 17 reproductores de DVD para obtener ganancias. La ganancia es $25.

Inténtalo

Usa la hoja de cálculo de la actividad para los Ejercicios 1 y 2.

1. Si la empresa Z vende 10 reproductores de DVD, ¿obtendrá ganancias? Explica. ¿Y si vende 16?

2. La empresa Z obtiene una ganancia de $225. ¿Cuántos reproductores de DVD vendió?

Haz una hoja de cálculo para el Ejercicio 3.

3. Los costos de la empresa Y son $400 por semana más $20 por reproductor de DVD. La empresa quiere que el punto de equilibrio ocurra con la venta de 8 reproductores de DVD. ¿Cuál debe ser el precio de venta?

Para usar con la Lección 6-1

6-1

CLAVE: MA7 Lab6

Comienza la ganancia

Punto de

equilibrio

6-1 Cómo resolver sistemas mediante la representación gráfica 383

¿Para qué sirve?Puedes comparar costos representando gráficamente un sistema de ecuaciones lineales.(Ver Ejemplo 3)

ObjetivosIdentificar soluciones de sistemas de ecuaciones lineales en dos variables

Resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables mediante la representación gráfica

Vocabulariosistema de

ecuaciones linealessolución de un sistema de

ecuaciones lineales

6-1 Cómo resolver sistemas mediante la representación gráfica

A veces existen distintos precios para el mismo servicio o producto en diferentes lugares. Por ejemplo, Bowlo-Rama cobra $2.50 por partido más $2 por el alquiler de los zapatos mientras que Bowling Pinz cobra $2 por partido más $4 por el alquiler de los zapatos. Se puede usar un sistemade ecuaciones lineales para comparar estos precios.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que contienen dos o más variables. Una solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos variables es un par ordenado que satisface cada ecuación del sistema. Por lo tanto, si un par ordenado es una solución, hará que ambas ecuaciones sean verdaderas.

1E J E M P L O Identificar soluciones de sistemas

Indica si el par ordenado es una solución del sistema que se da.

A (4, 1) ; ⎧ ⎨

⎩ x + 2y = 6

x - y = 3

x + 2y = 6

(4) + 2 (1) 6 4 + 2 6 6 6 ✓

x - y = 3

(4) - (1) 3 3 3 ✓

Sustituye x por 4 e y por 1 en cada ecuación del sistema.

El par ordenado (4, 1) hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.

(4, 1) es una solución del sistema.

B (-1, 2) ; ⎧

⎨

⎩ 2x + 5y = 8

3x - 2y = 5

2x + 5y = 8

2 (-1) + 5 (2) 8 -2 + 10 8 8 8 ✓

3x - 2y = 5

3 (-1) - 2(2) 5 -3 - 4 5 -7 5 ✗

Sustituye x por –1 e y por 2 en cada ecuación del sistema.

El par ordenado (-1, 2) hace que una ecuación sea verdadera, pero no la otra.

(-1, 2) no es una solución del sistema.


1a. (1, 3) ; ⎧ ⎨

⎩ 2x + y = 5

-2x + y = 11b. (2, -1) ;

⎧ ⎨

⎩ x - 2y = 4

3x + y = 6

Si un par ordenado no satisface la primera ecuación del sistema, no es necesario comprobar las otras ecuaciones.


Todas las soluciones de una ecuación lineal están en su gráfica. Para hallar una solución de un sistema de ecuaciones lineales, necesitas un punto que las líneas tengan en común. En otras palabras, necesitas el punto de intersección.

⎧ ⎨

⎩ y = 2x - 1

y = -x + 5El punto (2, 3) es donde las dos líneas se cruzan y es una solución de ambas ecuaciones; por lo tanto, (2, 3) es la solución del sistema.

2E J E M P L O Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la representación gráfica

Resuelve cada sistema mediante la representación gráfica. Comprueba tu respuesta.

A⎧ ⎨

⎩ y = x - 3

y = -x - 1

Representa gráficamente el sistema.

La solución parece estar en (1, -2) .

y = x - 3

(-2) (1) - 3 -2 -2 ✓

y = -x - 1

(-2) -(1) - 1 -2 -2 ✓

CompruebaSustituye (1, -2) en el sistema.

(1, -2) es una solución del sistema.

B⎧ �

⎨ � ⎩

x + y = 0

y = - 1_2

x + 1

x + y = 0 Vuelve a escribir la primera ecuación en forma de pendiente-intersección.

−−−−− - x

−−− - x

y = -x

Representa gráficamente usando una calculadora y luego usa el comando de intersección.

Comprueba Sustituye (-2, 2) en el sistema.

x + y = 0

(-2) + (2) 0 0 0 ✓

y = - 1_2

x + 1

(2) - 1_2

(-2) + 1

2 1 + 1 2 2 ✓

La solución es (-2, 2) .


2a.⎧

⎨

⎩ y = -2x - 1

y = x + 5 2b.

⎧ � ⎨

� ⎩ y = 1_

3 x - 3

2x + y = 4

A veces es difícil indicar dónde se cruzan exactamente las líneas cuando resuelves mediante la representación gráfica. Es bueno confirmar tu respuesta sustituyendo en ambas ecuaciones.


3E J E M P L O Aplicación a la resolución de problemas

RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS

Bowl-o-Rama cobra $2.50 por juego más $2 por el alquiler de los zapatos y Bowling Pinz cobra $2 por juego más $4 por el alquiler de los zapatos. ¿Para cuántos partidos el costo será el mismo en ambos lugares? ¿Cuál es ese costo?

1 Comprende el problema

La respuesta será la cantidad de juegos para los que el costo total es equivalente en ambos lugares. Haz una lista de la información importante:• Precio del partido: Bowl-o-Rama $2.50 Bowling Pinz: $2• Tarifa por alquiler de zapatos: Bowl-o-Rama $2 Bowling Pinz: $4

2 Haz un plan

Escribe un sistema de ecuaciones: una ecuación para representar el precio de cada empresa. Sea x la cantidad de juegos e y el costo total.

El costo total es el precio por partido más alquilerde zapatos.

Bowl-o-Rama y = 2.5 · x + 2

Bowling Pinz y = 2 · x + 4

3 Resuelve

Representa gráficamente y = 2.5x + 2 e y = 2x + 4.Las líneas parecen cruzarse en (4, 12). Por lo tanto, el costo en ambos lugares será el mismo para 4 partidos jugados y será $12.

4 Repasa

Comprueba (4, 12) usando ambas ecuaciones.Costo de 4 juegos en Bowl-o-Rama: $2.5(4) + $2 = 10 + 2 = 12 ✓

Costo de 4 juegos en Bowling Pinz: $2(4) + $4 = 8 + 4 = 12 ✓

3. El videoclub A cobra $10 para ser socio y $3 por el alquiler de una película. El videoclub B cobra $15 para ser socio y $2 por el alquiler de una película. ¿Para cuántos alquileres de películas el costo será el mismo en ambos videoclubes? ¿Cuál es ese costo?

RAZONAR Y COMENTAR1. Explica cómo usar una gráfica para resolver un sistema de

ecuaciones lineales.

2. Explica cómo comprobar una solución de un sistema de ecuaciones lineales.

3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe un paso para resolver un sistema lineal mediante la representación gráfica. Se pueden agregar más recuadros.


EjerciciosEjercicios

PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario Describe una solución de un sistema de ecuaciones lineales.

VER E JEMPLO 1pág. 383


2. (2, -2) ; ⎧ ⎨

⎩ 3x + y = 4

x - 3y = -43. (3, -1) ;

⎧ ⎨

⎩ x - 2y = 5

2x - y = 74. (-1, 5) ;

⎧ ⎨

⎩ -x + y = 6

2x + 3y = 13



5.⎧ ⎨

⎩ y = 1_

2 x

y = -x + 36.

⎧ ⎨

⎩ y = x - 2

2x + y = 17.

⎧

⎨

⎩ -2x - 1 = y

x + y = 3

VER E JEMPLO 3 pág. 385

8. Para entregar mantillo, Lawn and Garden cobra $30 por yarda cúbica de mantillo más una tarifa por entrega de $30. Yard Depot cobra $25 por yarda cúbica de mantillo más una tarifa por entrega de $55. ¿Para cuántas yardas cúbicas el costo será el mismo? ¿Cuál será ese costo?

PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para los Ver Ejercicios Ejemplo

9–11 1 12–15 2 16 3

Práctica independiente Indica si el par ordenado es una solución del sistema que se da.

9. (1, -4) ; ⎧ ⎨

⎩ x - 2y = 8

4x - y = 810. (-2, 1) ;

⎧ ⎨

⎩ 2x - 3y = -7

3x + y = -5 11. (5, 2) ;

⎧ ⎨

⎩ 2x + y = 12

-3y - x = -11


12. ⎧ � ⎨

� ⎩ y = 1_

2 x + 2

y = -x - 1 13.

⎧

⎨

⎩ y = x

y = -x + 614.

⎧

⎨

⎩ -2x - 1 = y

x = -y + 3 15.

⎧

⎨

⎩ x + y = 2

y = x - 4

16. Varios pasos Ángelo corre 7 millas por semana y aumenta la distancia en 1 milla cada semana. Marc corre 4 millas por semana y aumenta la distancia en 2 millas cada semana. ¿En cuántas semanas Ángelo y Marc correrán la misma distancia? ¿Cuál será esa distancia?

17. Escuela La banda de la escuela vende claveles el día de San Valentín a $2 cada uno. Compran los claveles a un florista a $0.50 cada uno, más un cargo por entrega de $16.

a. Escribe un sistema de ecuaciones para describir la situación.

b. Representa gráficamente el sistema. ¿Qué representa la solución?

c. Explica si la solución que se muestra en la gráfica tiene sentido en esta situación. Si no lo tiene, da una solución razonable.

6-1CLAVE: MA7 6-1

CLAVE: MA7 Parent

*(Disponible sólo en inglés)

Práctica de destrezas, pág. S14Práctica de aplicación, pág. S33

Práctica adicional

18. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 412.

a. El equipo de béisbol Warrior vende sombreros para recaudar fondos. Consultaron a dos empresas. Hats Off cobra una tarifa de $50 por el diseño y $5 por sombrero. Top Stuff cobra una tarifa de $25 por el diseño y $6 por sombrero. Escribe una ecuación para los precios de cada empresa.

b. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones de la parte a. ¿Para cuántos sombreros el costo será el mismo? ¿Cuál es ese costo?

c. Explica cuándo le resultará más barato al equipo de béisbol usar a Top Stuff y cuándo le resultará más barato usar a Hats Off.

Middleton Place Gardens, Carolina del Sur, son los jardines diseñados más antiguos de Estados Unidos. Los jardines se crearon en 1741 y se abrieron al público en la década de 1920.

Paisajismo


Calculadora de gráficas Usa una calculadora de gráficas para representar gráficamente y resolver los sistemas de ecuaciones de los Ejercicios del 19 al 22. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

19.⎧ ⎨

⎩ y = 4.7x + 2.1

y = 1.6x - 5.4 20.

⎧

⎨

⎩ 4.8x + 0.6y = 4

y = -3.2x + 2.7

21.

⎧

� ⎨

�

⎩ y = 5_

4 x - 2_

38_3

x + y = 5_9

22.⎧ ⎨

⎩ y = 6.9x + 12.4

y = -4.1x - 5.3

23. Paisajismo Los jardineros de Middleton Place Gardens quieren plantar un total de 45 hortensias blancas y rosadas en una jardinera. En otra jardinera quieren plantar 120 hortensias. En esta jardinera quieren el doble de hortensias blancas y el triple de hortensias rosadas que en la primera jardinera. Usa un sistema de ecuaciones para hallar cuántas hortensias blancas y cuántas hortensias rosadas deben comprar los jardineros en total.

24. Estado físico Rusty quema 5 calorías por minuto nadando y 11 calorías por minuto corriendo. En la mañana, Rusty quema 200 calorías caminando y nada durante x minutos. En la tarde, Rusty correrá durante x minutos. ¿Cuántos minutos debe correr para quemar al menos la misma cantidad de calorías y en la tarde que las que quemó en la mañana? Redondea tu respuesta al siguiente número cabal de minutos.

25. Un árbol que mide 2 pies de altura crece a una tasa de 1 pie por año. Un árbol que mide 6 pies de altura crece a un ritmo de 0.5 pies por año. ¿En cuántos años los árboles tendrán la misma altura?

26. Razonamiento crítico Escribe una situación del mundo real que pueda representarse

con el sistema⎧ ⎨

⎩ y = 3x + 10

y = 5x + 20 .

27. Escríbelo Cuando representas gráficamente un sistema de ecuaciones lineales, ¿por qué la intersección de las dos líneas representa la solución del sistema?

28. La empresa de taxis A cobra $4 más $0.50 por milla. La empresa de taxis B cobra $5 más $0.25 por milla. ¿Qué sistema representa mejor este problema?

⎧

⎨

⎩ y = 4x + 0.5

y = 5x + 0.25

⎧

⎨

⎩ y = -4x + 0.5

y = -5x + 0.25

⎧

⎨

⎩ y = 0.5x + 4

y = 0.25x + 5

⎧

⎨

⎩ y = -0.5x + 4

y = -0.25x + 5

29. ¿Qué sistema de ecuaciones representa la gráfica que se da?

⎧ � ⎨

� ⎩ y = 2x - 1

y = 1_3

x + 3

⎧ � ⎨

� ⎩

y = 2x + 1

y = 1_3

x - 3

⎧

⎨

⎩ y = -2x + 1

y = 2x - 3

⎧

⎨

⎩ y = -2x - 1

y = 3x - 3

30. Respuesta gráfica ¿Qué valor de b hará que el sistema y = 2x + 2 e y = 2.5x + b se cruce en el punto (2, 6) ?


DESAFÍO Y EXTENSIÓN 31. Entretenimiento Si el patrón

de la tabla continúa, ¿en qué mes la cantidad de ventas de videograbadoras y reproductores de DVD será la misma? ¿Cuál será esa cantidad?

32. Long Distance Inc. cobra un cargo de conexión de $1.45 por la conexión y $0.03 por minuto. Far Away Calls cobra $1.52 por la conexión y $0.02 por minuto.

a. ¿Para cuántos minutos una llamada costará lo mismo en ambas empresas? ¿Cuál es ese costo?

b. ¿Cuándo es mejor usar Long Distance Inc.? ¿Y Far Away Calls? Explica.

c. ¿Y si...? Long Distance Inc. aumentó su tarifa de conexión a $1.50 y Far Away disminuyó su tarifa de conexión en 2 centavos. ¿Cómo afectará esto a las gráficas? ¿Ahora qué empresa es mejor usar para llamadas de larga distancia? ¿Por qué?

PRÁCTICA GUIADAResuelve cada ecuación. (Lección 2-2)

33. 18 = 3_7

x 34. - x_5

= 12 35. -6y = -13.2 36. 2_5

= y_

12

Describe las soluciones de cada desigualdad con palabras. (Lección 3-1)

37. 3c < 15 38. 1_3

x ≥ 9 39. 5 + a > 11

Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones. (Lección 3-4)

40. 4(2x + 1) > 28 41. 33 + 9 ≤ -4c 42. 1_8

x + 3_5

≤ 3_8

Cantidad total vendida

Mes 1 2 3 4

Videograbadoras 500 490 480 470

Reproductores de DVD 250 265 280 295

Ethan ReynoldsEstudiante de ciencias aplicadas

P: ¿Qué clases de matemáticas tomaste en la escuela superior?

R: Matemática profesional, álgebra y geometría

P: ¿Qué estás estudiando y qué clases de matemáticas has tomado?

R: Me interesa mucho la aviación. Estoy cursando estadística y trigonometría. El próximo año cursaré cálculo.

P: ¿Para qué se usan matemáticas en la aviación?

R: Uso matemáticas para interpretar las cartas de navegación. También hago cálculos que incluyen los movimientos de los vientos, el peso y el equilibrio de los aviones y el consumo de combustible. Estas destrezas son necesarias para planear y realizar vuelos seguros.

P: ¿Cuáles son tus planes para el futuro?

R: Podría trabajar como piloto comercial o de una empresa o incluso como instructor de vuelo. También podría trabajar para conseguir una licenciatura en administración de aviación, control de tránsito aéreo, electrónica de aviación, mantenimiento de aviones o informática para aviación.

CLAVE: MA7 Career

Hacer modelos de sistemas de ecuaciones linealesPuedes usar fichas de álgebra para hacer modelos de algunos sistemas de ecuaciones lineales y resolverlos.

6-2


Usa fichas de álgebra para hacer un modelo de ⎧ ⎨ ⎩

y = 2x - 3/x + y = 9 y resolverla.

6- 2 Laboratorio de álgebra 389

CLAVE RECUERDA

CLAVE: MA7 Lab6

Cuando dos expresiones son iguales, puedes sustituir una por la otra en cualquier expresión o ecuación.

MODELO EN ÁLGEBRA

La primera ecuación se resuelve para hallar y. Haz un modelo de la segunda ecuación, x + y = 9, sustituyendo y por 2x - 3.

x + y = 9 x + (2x - 3) = 9

3x - 3 = 9

Agrega 3 fichas amarillas a cada lado del tablero. Esto representa sumar 3 a ambos lados de la ecuación.

Elimina los pares nulos.

3x - 3 = 9 −−−−− + 3 −−− + 3 3x = 12

Divide cada grupo entre 3 grupos iguales. Alinea una ficha x con cada grupo en el lado derecho. Una ficha x es equivalente a 4 fichas amarillas. x = 4

3x_3

= 12_3

x = 4

Para hallar y, sustituye x por 4 en una de las ecuaciones: y = 2x - 3= 2 (4) - 3= 5

La solución es (4, 5).

Inténtalo

Haz un modelo de cada sistema de ecuaciones y resuélvelo.

1.⎧ ⎨

⎩ y = x + 3

2x + y = 6

2.⎧ ⎨

⎩ 2x + 3 = y

x + y = 6 3.

⎧ ⎨

⎩ 2x + 3y = 1

x = -1 - y4.

⎧

⎨

⎩ y = x + 1

2x - y = -5

Actividad 1


6-2 Cómo resolver sistemas por sustitución

A veces es difícil identificar la solución exacta de un sistema mediante la representación gráfica. En este caso, puedes usar un método llamado sustitución.

El objetivo de usar la sustitución es reducir el sistema a una ecuación que tenga sólo una variable. Luego, puedes resolver esta ecuación con los métodos que aprendiste en el Capítulo 2.

Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución

Paso 1 Halla el valor de una variable en al menos una ecuación, si es necesario.

Paso 2 Sustituye la expresión resultante en la otra ecuación.

Paso 3 Resuelve esa ecuación para obtener el valor de la primera variable.

Paso 4 Sustituye ese valor en una de las ecuaciones originales y resuelve.

Paso 5 Escribe los valores de los Pasos 3 y 4 como un par ordenado, (x, y)y comprueba.

1E J E M P L O Resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución

Resuelve cada sistema por sustitución.

A⎧

⎨ ⎩

y = 2x

y = x + 5

Paso 1 y = 2x Se resuelven ambas ecuaciones para hallar y.

Sustituye y por 2x en la segunda ecuación.

Halla x. Resta x a ambos lados para combinar los términos semejantes.

Escribe una de las ecuaciones originales.

Sustituye x por 5.

Escribe la solución como un par ordenado.

y = x + 5

Paso 2 y = x + 5 2x = x + 5Paso 3

−−− - x

−−−−− - x

x = 5

Paso 4 y = 2x y = 2 (5)

y = 10

Paso 5 (5, 10)

Comprueba Sustituye (5, 10) en ambas ecuaciones del sistema.y = 2x y = x + 5

10 2(5) 10 5 + 5 10 10 ✓ 10 10 ✓

¿Para qué sirve?Puedes resolver sistemas de ecuaciones para elegir el mejor valor entre proveedores de Internet de alta velocidad. (Ver Ejemplo 3)

ObjetivoResolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables por sustitución

Puedes sustituir el valor de una variable en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor de la otra variable.

Off

the

Mar

k, p

or M

ark

Paris

i. Hi

stor

ieta

con

der

echo

s de

aut

or

regi

stra

dos

por M

ark

Paris

i, im

pres

o co

n pe

rmis

o.

6- 2 Cómo resolver sistemas por sustitución 391


B⎧

⎨

⎩ 2x + y = 5

y = x - 4

Paso 1 y = x - 4 La segunda ecuación se resuelve para hallar y.

Sustituye y por x - 4 en la primera ecuación.

Simplifica. Luego halla x.

Suma 4 a ambos lados.

Divide ambos lados entre 3.


Sustituye x por 3.


Paso 2 2x + y = 5 2x + (x - 4) = 5

Paso 3 3x - 4 = 5 −−−− + 4 −−− + 4

3x = 9

3x_3

= 9_3

x = 3

Paso 4 y = x - 4 y = 3 - 4 y = -1

Paso 5 (3, -1)

C⎧

⎨

⎩ x + 4y = 6

x + y = 3

Paso 1 x + 4y = 6 Resuelve la primera ecuación para hallar x restando 4y a ambos lados.

Sustituye x por 6 - 4y en la segunda ecuación.

Simplifica. Luego halla y.

Resta 6 a ambos lados.

Divide ambos lados entre -3.


Sustituye y por 1.



−−−− - 4y −−− - 4y

x = 6 - 4y

Paso 2 x + y = 3

(6 - 4y) + y = 3

Paso 3 6 - 3y = 3 −−−−−− - 6 −−− - 6

-3y = -3

-3y_-3

= -3_-3

y = 1

Paso 4 x + y = 3 x + 1 = 3 −−−− - 1 −−− - 1

x = 2

Paso 5 (2, 1)


1a.⎧

⎨

⎩ y = x + 3

y = 2x + 51b.

⎧

⎨

⎩ x = 2y - 4

x + 8y = 161c.

⎧

⎨

⎩ 2x + y = -4

x + y = -7

A veces se sustituye una variable que tiene un coeficiente por una expresión. Al resolver para hallar la segunda variable en esta situación, puedes usar la propiedad distributiva.

A veces ninguna ecuación se resuelve para hallar una variable. Puedes comenzar resolviendo cualquiera de las ecuaciones para hallar el valor de x o y.


2E J E M P L O Usar la propiedad distributiva

Resuelve ⎧

⎨ ⎩

4y - 5x = 9

x - 4y = 11 por sustitución.

Paso 1 x - 4y = 11 Resuelve la segunda ecuación para hallar x sumando 4y a cada lado.

Sustituye x por 4y + 11 en la primera ecuación.

Distribuye -5 en la expresión entre paréntesis. Simplifica. Halla y.




Sustituye y por -4.

Simplifica.



−−−− + 4y −−− + 4y

x = 4y + 11

Paso 2 4y - 5x = 9

4y - 5 (4y + 11) = 9

Paso 3 4y - 5 (4y) - 5 (11) = 9

4y - 20y - 55 = 9

-16y - 55 = 9 −−−−−−− + 55 −−− + 55

-16y = 64

-16y_-16

= 64_-16

y = -4

Paso 4 x - 4y = 11

x - 4(-4) = 11

x + 16 = 11 −−−− - 16 −−− - 16

x = -5

Paso 5 (-5, -4)

2. Resuelve ⎧ ⎨

⎩ -2x + y = 8

3x + 2y = 9 por sustitución.

Cuando resuelves una ecuación para hallar una variable, debes sustituir el valor o la expresión en la otraecuación original, no en la que acabas de resolver.

Resolver sistemas por sustitución

Siempre busco una variable con un coeficiente de 1 ó -1 al decidir qué ecuación resolver para hallar x o y.

Para el sistema

⎧

⎨ ⎩

2x + y = 14

-3x + 4y = -10

resuelvo la primera ecuación para hallar y porque tiene un coeficiente de 1.

2x + y = 14

y = -2x + 14

Luego uso la sustitución para hallar x e y.

-3x + 4y = -10

-3x + 4 (-2x + 14) = -10

-3x +(-8x) + 56 = -10

-11x + 56 = -10

-11x = -66

x = 6

y = -2x + 14

y = -2(6) + 14 = 2

La solución es (6, 2).

Erika ChuEscuela Superior Terrell


3E J E M P L O Aplicación a la economía para el consumidor

Un proveedor de Internet de alta velocidad tiene una tarifa de instalación de $50 y cobra $30 por mes. Otro proveedor no tiene tarifa de instalación y cobra $40 por mes.

a. ¿En cuántos meses ambos proveedores costarán lo mismo? ¿Cuál será ese costo?

Escribe una ecuación para cada opción. Sea t la cantidad total pagada y m la cantidad de meses.

El total pagado esla tarifa de instalación más el costo por mes.

Opción 1 t = 50 + 30 · m

Opción 2 t = 0 + 40 · m

Paso 1 t = 50 + 30m Se resuelven ambas ecuaciones para hallar t.

Sustituye t por 50 + 30m en la segunda ecuación.

Halla m. Resta 30m a ambos lados para combinar los términos semejantes.



Sustituye m por 5.


t = 40m

Paso 2 50 + 30m = 40m

Paso 3 −−−−−− - 30m −−−− - 30m 50 = 10m

50_10

= 10m_10

5 = m

Paso 4 t = 40m= 40 (5)

= 200

Paso 5 (5, 200)En 5 meses, el costo total de cada opción será el mismo: $200.

b. Si planeas cancelar el servicio en 1 año, ¿cuál es el proveedor más barato? Explica.Opción 1: t = 50 + 30 (12) = 410 Opción 2: t =40(12) =480La opción 1 es más barata.

3. Un proveedor de televisión por cable tiene una tarifa de instalación de $60 y cobra $80 por mes y un segundo proveedor tiene una tarifa por equipos de $160 y cobra $70 por mes.

a. ¿En cuántos meses el costo será el mismo? ¿Cuál será ese costo?

b. Si piensas mudarte en 6 meses, ¿cuál es la opción más barata? Explica.

RAZONAR Y COMENTAR 1. Si representaras gráficamente las ecuaciones del Ejemplo 1A, ¿dónde se

cruzarían las líneas?

2. ORGANÍZATE Copia y

Resuelve x + y = 8para hallar x.

Resuelve x + y = 8para hallar y.

Resuelve x - y = 2para hallar x.

Resuelve x - y = 2para hallar y.

x + y = 8x - y = 2{

completa el organizador gráfico. En cada recuadro, resuelve el sistema por sustitución usando el primer paso que se da. Muestra que cada método da la misma solución.



PRÁCTICA GUIADA Resuelve cada sistema por sustitución.


1.⎧

⎨

⎩ y = 5x - 10

y = 3x + 8 2.

⎧ ⎨

⎩ 3x + y = 2

4x + y = 203.

⎧ ⎨

⎩ y = x + 5

4x + y = 20


4. ⎧ � ⎨

� ⎩ x - 2y = 10

1_2

x - 2y = 45.

⎧

⎨

⎩ y - 4x = 3

2x - 3y = 21 6.

⎧

⎨

⎩ x = y - 8

-x - y = 0


7. Economía para el consumidor La familia Strauss tiene que decidir entre dos servicios de mantenimiento de jardines. Green Lawn cobra una tarifa de contratación de $49 más $29 por mes. Grass Team cobra una tarifa de contratación de $25 más $37 por mes.

a. ¿En cuántos meses ambos servicios de mantenimiento de jardines costarán lo mismo? ¿Cuál será ese costo?

b. Si la familia usará el servicio sólo por 6 meses, ¿cuál es la mejor opción? Explica.



8–10 1 11–16 2 17 3

Práctica independiente Resuelve cada sistema por sustitución.

8. ⎧

⎨

⎩ y = x + 3

y = 2x + 49.

⎧

⎨

⎩ y = 2x + 10

y = -2x - 6 10.

⎧

⎨

⎩ x + 2y = 8

x + 3y = 12

11. ⎧

⎨

⎩ 2x + 2y = 2

-4x + 4y = 12 12.

⎧

⎨

⎩ y = 0.5x + 2

-y = -2x + 4 13.

⎧

⎨

⎩ -x + y = 4

3x - 2y = -7

14. ⎧

⎨

⎩ 3x + y = -8

-2x - y = 615.

⎧

⎨

⎩ x + 2y = -1

4x - 4y = 2016.

⎧

⎨

⎩ 4x = y - 1

6x - 2y = -3

17. Tiempo libre Casey quiere asociarse a un gimnasio. Un gimnasio tiene una tarifa de inscripción de $150 y cuesta $35 por mes. Otro gimnasio no tiene tarifa de inscripción y cuesta $60 por mes.

a. ¿En cuántos meses ambos gimnasios costarán lo mismo? ¿Cuál será ese costo?

b. Si Casey piensa cancelar en 5 meses, ¿cuál es la mejor opción para él? Explica.

Resuelve cada sistema por sustitución. Comprueba tu respuesta.

18. ⎧ ⎨

⎩ x = 5x + y = 8

19.⎧

⎨

⎩ y = -3x + 4

x = 2y + 6 20.

⎧

⎨

⎩ 3x - y = 11

5y - 7x = 1

21. ⎧ � ⎨

� ⎩ 1_2

x + 1_3

y = 6

x - y = 2 22.

⎧

⎨

⎩ x = 7 - 2y

2x + y = 5 23.

⎧

⎨

⎩ y = 1.2x - 4

2.2x + 5 = y

24. La suma de dos números es igual a 50. El primer número es 43 menos que el doble del segundo número. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar los dos números.

25. Dinero Un tarro contiene c monedas de cinco centavos y d monedas de diez centavos. Hay 20 monedas y su valor total es $1.40. ¿Cuántas monedas de cinco centavos y cuántas monedas de diez centavos hay en el tarro?

6-2CLAVE: MA7 6-2

CLAVE: MA7 Parent*(Disponible sólo en inglés)


Práctica adicional


26. Varios pasos Usa los siguientes recibos para escribir y resolver un sistema de ecuaciones para hallar el costo de una porción grande de palomitas de maíz y el costo de un refresco pequeño.

27. Finanzas Helene invirtió en total $1000 en dos cuentas bancarias con interés simple. Una de las cuentas pagó un interés anual de 5%. La otra pagó un interés anual de 6%. La cantidad total de interés que Helene ganó después de un año fue $58. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar la cantidad que Helene invirtió en cada cuenta. (Pista: Primero cambia las tasas de interés a decimales).

Geometría Dos ángulos cuyas medidas suman 90° se llaman ángulos complementarios. En los Ejercicios del 28 al 30, x e y representan ángulos complementarios. Halla la medida de cada ángulo.

28. ⎧ ⎨

⎩ x + y = 90

y = 4x - 1029.

⎧ ⎨

⎩ x = 2y

x + y = 9030.

⎧

⎨

⎩ y = 2 (x - 15)

x + y = 90

31. Aviación Con viento en contra, un avión pequeño puede volar 240 millas en 3 horas. Con viento de cola, el avión puede volar la misma distancia en 2 horas. Sigue los pasos para hallar las velocidades del avión y del viento.

a. Copia y completa la tabla. Sea a la velocidad del avión y v la velocidad del viento.

Velocidad · Tiempo = Distancia

Con viento en contra a - v · = 240

Con viento de cola · 2 =

b. Usa la información de cada fila para escribir un sistema de ecuaciones.

c. Resuelve el sistema de ecuaciones para hallar las velocidades del avión y del viento.

32. Escríbelo Explica cómo resolver un sistema de ecuaciones por sustitución.

33. Razonamiento crítico Explica la conexión entre la solución de un sistema resuelto mediante la representación gráfica y la solución al mismo sistema resuelto por sustitución.


En la tienda de la escuela, Juanita compró 2 libros y una mochila a un total de $26 sin impuestos. Cada libro costó $8 menos que la mochila.

a. Escribe un sistema de ecuaciones que se pueda usar para hallar el precio de cada libro y el precio de la mochila.

b. Resuelve este sistema de ecuaciones por sustitución.

c. Resuelve este sistema mediante la representación gráfica. Comenta las ventajas y las desventajas de resolver por sustitución y de resolver mediante la representación gráfica.


35. Estimación Usa la gráfica para estimar la solución de

⎧ ⎨

⎩ 2x - y = 6

x + y = -0.6 . Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

Luego, resuelve el sistema por sustitución.

36. Elizabeth se encontró con 24 de sus primos en una reunión familiar. La cantidad de primos varones v era 6 menos que el doble de la cantidad de primas mujeres m.¿Qué sistema puedes usar para hallar la cantidad de primos y primas?

⎧

⎨

⎩ v + m = 24

m = 2v - 6

⎧

⎨

⎩ v + m = 24

m = 2v

⎧

⎨

⎩ v = 24 + m

v = m - 6

⎧

⎨

⎩ m = 24 - v

v = 2m - 6

37. ¿Qué problema representa mejor el siguiente sistema?⎧ ⎨

⎩ d = c + 5

d + c = 12

Roger tiene 12 monedas en monedas de diez centavos y de cinco centavos. Hay 5 monedas de diez centavos más que de cinco.

Roger tiene 5 monedas en monedas de diez centavos y de cinco centavos. Hay 12 monedas de diez centavos más que de cinco.

Roger tiene 12 monedas en monedas de diez centavos y de cinco centavos. Hay 5 monedas de cinco centavos más que de diez.

Roger tiene 5 monedas en monedas de diez centavos y de cinco centavos. Hay 12 monedas de cinco centavos más que de diez.

DESAFÍO Y EXTENSIÓN 38. Una empresa distribuidora de automóviles tiene 378 automóviles en su lote. La razón

de automóviles nuevos a automóviles usados es 5:4. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar la cantidad de automóviles nuevos y usados en el lote.


39.

⎧

�

⎨

� ⎩

2r - 3s - t = 12s + 3t = 10

t = 4

40.

⎧ � ⎨

� ⎩

x + y + z = 7

y + z = 5

2y - 4z = -14

41. ⎧

�

⎨

� ⎩

a + 2b + c = 19

-b + c = -5

3b + 2c = 15

REPASO EN ESPIRALEscribe una situación posible para la gráfica que se da. (Lección 4-1)

42.

Alt

ura

del

se

to

Tiempo

43.

Pers

on

as e

n

la p

laya

Días

44.

Vel

oci

dad

de

la m

oto

cicl

eta

Tiempo

Halla las intersecciones con los ejes x e y. (Lección 5-2)

45. 6x - 2y = 12 46. -3y + x = 15 47. 4y - 40 = -5x

Indica si cada par ordenado es una solución del sistema que se da. (Lección 6-1)

48. (3, 0) ; ⎧ ⎨

⎩ 2x - y = -6

x + y = 3 49. (-1, 4) ;

⎧ ⎨

⎩ y - 2x = 6

x + 4y = 1550. (5, 6) ;

⎧ � ⎨

� ⎩ 1_3

y + x = 7

2x = 12

6- 3 Cómo resolver sistemas por eliminación 397

ObjetivosResolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables por eliminación

Comparar y elegir un método apropiado para resolver sistemas de ecuaciones lineales

¿Para qué sirve?Puedes resolver un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuántas flores de cada tipo puedes comprar para hacer un ramo. (Ver Ejemplo 4)

6-3 Cómo resolver sistemas por eliminación

Otro método para resolver sistemas de ecuaciones es la eliminación.Como la sustitución, el objetivo de la eliminación es obtener una ecuación que tenga sólo una variable. Para hacer esto por eliminación, sumas las dos ecuaciones del sistema.

Recuerda que una ecuación continúa en equilibrio si sumas cantidades iguales a ambos lados. Por lo tanto, si 5x + 2y = 1, puedes sumar 5x + 2ya un lado de una ecuación y 1 al otro lado y se mantiene el equilibrio.

Como -2y y 2y tienen coeficientes opuestos, el término y se elimina. El resultado es una ecuación que tiene sólo una variable: 6x = -18.

Cuando usas el método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales, alinea todos los términos semejantes de las ecuaciones. Luego determina si se pueden eliminar términos semejantes porque tienen coeficientes opuestos.

Resolver sistemas de ecuaciones por eliminación

Paso 1 Escribe el sistema para que los términos semejantes estén alineados.

Paso 2 Elimina una de las variables y resuelve para hallar la otra variable.

Paso 3 Sustituye el valor de la variable en una de las ecuaciones originales y resuelve para hallar la otra variable.

Paso 4 Escribe las respuestas de los Pasos 2 y 3 como un par ordenado, (x, y),y comprueba.

Más adelante en esta lección aprenderás a multiplicar una o más ecuaciones por un número para producir opuestos que pueden eliminarse.


1E J E M P L O Eliminación usando la suma

Resuelve ⎧

⎨

⎩ x - 2y = -19

5x + 2y = 1 por eliminación.

Paso 1 x - 2y = -19 Escribe el sistema para que los términos semejantes estén alineados.

Suma las ecuaciones para eliminar los términos y.

Simplifica y resuelve para hallar x.



Sustituye x por –3.



−−−−−−−−−−− + 5x + 2y = 1

Paso 2 6x+ 0 = -18

6x = -18

6x_6

= -18_6

x = -3

Paso 3 x - 2y = -19

-3 - 2y =-19

−−−−−− + 3 −−− + 3

-2y =-16

-2y_-2

= -16_-2

y = 8

Escribe la solución como un par ordenado.Paso 4 (-3, 8)

1. Resuelve ⎧

⎨

⎩ y + 3x = -2

2y - 3x = 14 por eliminación.

Cuando dos ecuaciones contienen el mismo término, puedes restar una ecuación de la otra para resolver el sistema. Para restar una ecuación, suma el opuesto de cada término.

2E J E M P L O Eliminación usando la resta

Resuelve ⎧ ⎨

⎩ 3x + 4y = 18

-2x + 4y = 8 por eliminación.

Paso 1 3x + 4y = 18

−−−−−−−−−−−−

- (-2x + 4y = 8)

3x + 4y =18

+ 2x - 4y = -8

Suma el opuesto de cada término en la segunda ecuación.

Elimina el término y.


Paso 2 5x + 0 = 10

5x = 10

x = 2

Paso 3 - 2x + 4y = 8 Escribe una de las ecuaciones originales.

Sustituye x por 2.


Simplifica y resuelve para hallar y.


-2(2) + 4y = 8

-4 + 4y = 8

−−−−−− + 4 −−− + 4

4y = 2

y = 3

Paso 4 (2, 3)

Recuerda comprobar sustituyendo tu respuesta en ambas ecuaciones originales.

Comprueba tu respuesta.

x - 2y = -19

-3 - 2 (8) -19 -3 - 16 -19 -19 -19 ✓

5x + 2y = 1

5 (-3) + 2 (8) 1 -15 + 16 1 1 1 ✓


2. Resuelve ⎧

⎨

⎩ 3x + 3y = 15

-2x + 3y = -5 por eliminación.

En algunos casos, primero necesitarás multiplicar una o ambas ecuaciones por un número para que una variable tenga coeficientes opuestos. Éste será el nuevo Paso 1.

3E J E M P L O Eliminación usando primero la multiplicación

Resuelve cada sistema por eliminación.

A⎧ ⎨

⎩ 2x + y = 3

-x + 3y = -12

Paso 1 2x + y = 3

−−−−−−−−−−−−− + 2(-x + 3y = -12) Multiplica cada término de la segunda

ecuación por 2 para obtener coeficientes x opuestos.

Suma la nueva ecuación a la primera ecuación.


2x + y = 3

−−−−−−−−−−−−− + (-2x + 6y = -24)

Paso 2 7y = -21

y = -3

Paso 3 2x + y = 3 Escribe una de las ecuaciones originales.

Sustituye y por -3.




2x - 3 = 3 −−−− + 3 −−− + 3 2x = 6 x = 3Paso 4 (3, -3)

B⎧ ⎨

⎩ 7x - 12y = -22

5x - 8y = -14

Paso 1 2(7x - 12y = -22)

−−−−−−−−−−−−−−− + (-3)(5x - 8y = -14) Multiplica la primera ecuación por 2

y la segunda ecuación por -3 para obtener coeficientes y opuestos.

Suma las nuevas ecuaciones a la primera ecuación.


14x - 24y = -44

−−−−−−−−−−−−−− + (-15x + 24y = 42)

Paso 2 -x + 0 = -2

x = 2

Paso 3 7x - 12y = -22 Escribe una de las ecuaciones originales.

Sustituye x por 2.




7 (2) - 12y = -22 14 - 12y = -22 −−−−−−− - 14 −−−- 14 -12y = -36 y = 3Paso 4 (2, 3)


3a.⎧ ⎨

⎩ 3x + 2y = 6

-x + y = -23b.

⎧

⎨

⎩ 2x + 5y = 26

-3x - 4y = -25

Usa las técnicas para hallar un común denominador cuando intentas hallar valores para multiplicar por cada ecuación.

En el Ejemplo 3A, también podrías haber multiplicado la primera ecuación por -3 para eliminar el término y.



Sam gastó $24.75 para comprar 12 flores para su madre. El ramo tenía rosas y margaritas. ¿Cuántas flores de cada tipo compró Sam?

Escribe un sistema. Usa r para la cantidad de rosas y m para la cantidad de margaritas.

2.50r + 1.75m = 24.75 El costo total de rosas y margaritas es $24.75.

La cantidad total de rosas y margaritas es 12. r + m = 12

Paso 1 2.50r + 1.75m = 24.75

−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−

+ (-2.50)−−−−−−−−−

(r + m = 12) Multiplica la segunda ecuación por -2.50 para obtener coeficientes r opuestos.

Suma esta ecuación a la primera ecuación para eliminar el término r.

Simplifica y resuelve para hallar m.

2.50r + 1.75m = 24.75

+ −−−−−−−−−−−−−−−−−

(-2.50r - 2.50m = -30.00)

Paso 2 -0.75m = -5.25

m = 7

Paso 3 r + m = 12 Escribe una de las ecuaciones originales.

Sustituye m por 7.



r + 7 = 12

−−−− - 7 −−− - 7 r = 5

Paso 4 (5, 7)

Sam puede comprar 5 rosas y 7 margaritas.

4. ¿Y si...? Sally gastó $14.85 para comprar 13 flores. Compró azucenas, que cuestan $1.25 cada una y tulipanes, que cuestan $0.90 cada uno. ¿Cuántas flores de cada tipo compró Sally?

Todos los sistemas se pueden resolver de más de una forma. Para algunos sistemas, algunos métodos pueden ser mejores que otros.

MÉTODO USAR CUANDO… EJEMPLO

Representación gráfica

• En ambas ecuaciones hay que hallar y.

• Quieres estimar una solución. ⎧

⎨ ⎩

y = 3x + 2

y = -2x + 6

Sustitución • Una variable en cualquiera de las dos ecuaciones tiene un coeficiente de 1 ó -1.

• En ambas ecuaciones hay que hallar la misma variable.

• En cualquiera de las ecuaciones hay que hallar una variable.

⎧

⎨ ⎩

x + 2y = 7

x = 10 - 5y

ó

⎧

⎨ ⎩

x = 2y + 10

x = 3y + 5

Eliminación • Ambas ecuaciones tienen la misma variable con los mismos coeficientes o con coeficientes opuestos.

• Un término de la variable en una ecuación es un múltiplo del término de la variable correspondiente de la otra ecuación.

⎧

⎨ ⎩

3x + 2y = 8

5x + 2y = 12ó

⎧

⎨ ⎩

6x + 5y = 10

3x + 2y = 15

Sistemas de ecuaciones lineales


RAZONAR Y COMENTAR1. Explica por qué multiplicar la segunda ecuación de un sistema por -1 y

eliminar mediante la suma es lo mismo que la eliminación mediante la resta. Da un ejemplo de un sistema en el que se aplique este principio.

2. Explica por qué no importa qué variable resuelves primero al resolver un sistema por eliminación.

3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe un ejemplo de un sistema de ecuaciones que podrías resolver usando el método que se da.

Sustitución Eliminaciónusando la

multiplicación

Eliminaciónusando la

suma o la resta

Resolver sistemas deecuaciones lineales

EjerciciosEjercicios6-3CLAVE: MA7 6-3

CLAVE: MA7 Parent

PRÁCTICA GUIADAResuelve cada sistema por eliminación.


1.⎧

⎨

⎩ -x + y = 5

x - 5y = -92.

⎧ ⎨

⎩ x + y = 12

x - y = 2 3.

⎧ ⎨

⎩ 2x + 5y = -24

3x - 5y = 14

VER E JEMPLO 2

pág. 398

4. ⎧

⎨

⎩ x - 10y = 60

x + 14y = 125.

⎧

⎨

⎩ 5x + y = 0

5x + 2y = 306.

⎧

⎨

⎩ -5x + 7y = 11

-5x + 3y = 19


7. ⎧

⎨

⎩ 2x + 3y = 12

5x - y = 13 8.

⎧

⎨

⎩ -3x + 4y = 12

2x + y = -8 9.

⎧

⎨

⎩ 2x + 4y = -4

3x + 5y = -3


10. Economía para el consumidor Cada familia de un vecindario contribuye con comida que cuesta $20 para el picnic del barrio. La familia Harlin trae 12 paquetes de panecillos. Los panecillos para hamburguesas cuestan $2.00 por paquete. Los panecillos para perros calientes cuestan $1.50 por paquete. ¿Cuántos paquetes de cada tipo de panecillos compraron?



11–13 1 14–16 2 17–19 3 20 4

Práctica independiente Resuelve cada sistema por eliminación.

11. ⎧

⎨

⎩ -x + y = -1

2x - y = 0 12.

⎧

⎨

⎩ -2x + y = -20

2x + y = 48 13.

⎧

⎨

⎩ 3x - y = -2

-2x + y = 3

14. ⎧

⎨

⎩ x - y = 4

x - 2y = 1015.

⎧

⎨

⎩ x + 2y = 5

3x + 2y = 1716.

⎧

⎨

⎩ 3x - 2y = -1

3x - 4y = 9

17. ⎧

⎨

⎩ x - y = -3

5x + 3y = 118.

⎧

⎨

⎩ 9x - 3y = 3

3x + 8y = -1719.

⎧

⎨

⎩ 5x + 2y = -1

3x + 7y = 11

20. Varios pasos La señora González compró centros de mesa para poner sobre cada mesa en una fiesta de graduación. Gastó $31.50. Hay 8 mesas en las que se debe ubicar una vela o un florero. Las velas costaban $3 y los floreros costaban $4.25. ¿Cuántos centros de mesa de cada tipo compró?



Práctica adicional


21. Geometría La diferencia entre la longitud y el ancho de un rectángulo es 2 unidades. El perímetro es 40 unidades. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para determinar la longitud y el ancho del rectángulo. (Pista: El perímetro de un rectángulo es 2� + 2a).

22. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// ¿Qué opción es incorrecta? Explica el error.

23. Química Una química tiene un frasco con una solución ácida al 1% y un frasco con una solución ácida al 5%. Quiere mezclar las dos soluciones para obtener 100 mL de una solución con 4% de acidez. Sigue los siguientes pasos para hallar qué cantidad de cada solución debe usar.

Soluciónal 1%

+Solución

al 5%=

Soluciónal 4%

Cantidad de solución (mL) x + y =

Cantidad de ácido (mL) 0.01x + = 0.04 (100)

a. Copia y completa la tabla.

b. Usa la información de la tabla para escribir un sistema de ecuaciones.

c. Resuelve el sistema de ecuaciones para hallar qué cantidad usará de cada botella para obtener 100 mL de una solución con 4% de acidez.

Razonamiento crítico ¿Qué método usarías para resolver cada sistema? Explica.

24.

⎧ � ⎨

� ⎩ 1_2

x - 5y = 30

1_2

x + 7y = 6 25.

⎧

⎨

⎩ -x + 2y = 3

4x - 5y = -326.

⎧

⎨

⎩ 3x - y = 10

2x - y = 7

27. ⎧

⎨

⎩ 3y + x = 10

x = 4y + 2 28.

⎧

⎨

⎩ y = -4x

y = 2x + 329.

⎧

⎨

⎩ 2x + 6y = 12

4x + 5y = 15

30. Negocios Un club local de chicos vendió 176 bolsas de mantillo y recaudó $520. No vendieron nada del mantillo de cacao, que es caro. Usa la tabla para determinar cuántas bolsas de cada tipo de mantillo vendieron.

Precios del mantillo ($)

Cacao 4.75

Madera dura 3.50

Corteza de pino 2.75

En el año 1247, Ch’in Chiu-Shao escribió el Tratado de matemáticas en nueve secciones.Su contenido incluía la resolución de sistemas de ecuaciones y el teorema chino del residuo.

Historia de las matemáticas


a. La tienda de la escuela tiene una promoción de artículos escolares. Los distintos artículos están colocados en dos estantes. Puedes comprar 3 artículos del estante A y 2 del estante B a $16. O puedes comprar 2 artículos del estante A y 3 del estante B a $14. Escribe un sistema de ecuaciones que se pueda usar para hallar los precios individuales de los artículos del estante A y del estante B.

b. Resuelve el sistema de ecuaciones por eliminación.

c. Si normalmente los artículos del estante A cuestan $6 cada uno y los artículos del estante B cuestan $3 cada uno, ¿cuánto dinero ahorras por cada paquete de la parte a?


32. Escríbelo Resuelve el sistema ⎧ ⎨

⎩ 3x + y = 1

2x + 4y = -6 . Explica cómo puedes comprobar

tu solución en forma algebraica y en forma gráfica.

33. Un examen de matemáticas tiene 25 problemas. Algunos valen 2 puntos y otros valen 3 puntos. El examen vale 60 puntos en total. ¿Qué sistema se puede usar para determinar la cantidad de problemas de 2 puntos y la cantidad de problemas de 3 puntos del examen?

⎧

⎨

⎩ x + y = 25

2x + 3y = 60

⎧

⎨

⎩ x + y = 60

2x + 3y = 25

⎧

⎨

⎩ x - y = 25

2x + 3y = 60

⎧

⎨

⎩ x - y = 60

2x - 3y = 25

34. Un electricista cobra $15 más $11 por hora. Otro electricista cobra $10 más $15 por hora. ¿Para qué cantidad de tiempo el costo de ambos electricistas será el mismo? ¿Cuál es ese costo?

1 hora; $25 1 1__2 horas; $30

1 1__4 horas; $28.75 1 3__

4 horas; $32.50

35. Respuesta breve Se vendieron trescientos cincuenta y ocho entradas para el partido de básquetbol escolar del viernes. Las entradas para estudiantes costaban $1.50 y las entradas para no estudiantes costaban $3.25. La escuela recaudó $752.25.

a. Escribe un sistema de ecuaciones lineales que se pueda usar para determinar cuántas entradas para estudiantes y cuántas entradas para no estudiantes se vendieron. Define las variables que usas.

b. Resuelve el sistema que escribiste en la parte a. ¿Cuántas entradas para estudiantes y cuántas entradas para no estudiantes se vendieron?

DESAFÍO Y EXTENSIÓNResuelve cada sistema por cualquier método.

36.

⎧

�

⎨

�

⎩ x + 16 1_

2 = - 3_

4 y

y = 1_2

x37.

⎧

�

⎨

�

⎩

2x + y + z = 17

1_2

z = 5

x - y = 5

38.

⎧

�

⎨

�

⎩

x - 2y - z = -1

-x + 2y + 4z = -11

2x + y + z = 1

39. La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 5. Si el número se multiplica por 3, el resultado es 42. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar el número. (Pista: Una de las ecuaciones involucra los dígitos del número; la otra ecuación involucra los valores de los dígitos).

REPASO EN ESPIRALDetermina una relación entre los valores de x e y. Escribe una ecuación. (Lección 4-3)

40. x 1 2 3 4

y 6 7 8 9

41. x 1 2 3 4

y 3 6 9 12

42. x 1 2 3 4

y -9 -8 -7 -6

Indica si cada ecuación es una variación directa. Si es así, identifica la constante de variación. (Lección 5-5)

43. x = 2y 44. y = -6x 45. y - 1 = x

Resuelve cada sistema por sustitución. (Lección 6-2)

46. ⎧

⎨

⎩ y = x - 1

x + y = 1047.

⎧

⎨

⎩ x = y - 5

2x + 1 = y 48.

⎧ ⎨

⎩ y = 2x - 1

x - y = 3

Resolver problemas clásicos

Puedes usar sistemas de ecuaciones lineales para resolver algunos problemas matemáticos “clásicos” que son comunes en los libros de texto y en las revistas de adivinanzas.

Ejemplo 1

Yuri tiene el doble de la edad de Zack. Dentro de cuatro años, la suma de sus edades será igual a 23. ¿Qué edad tiene Yuri?

Paso 1 Escribe un sistema. Sea y la edad de Yuri. Sea z la edad de Zack.

Yuri tiene el doble de la edad de Zack. Dentro de 4 años, la suma de sus edades será igual a 23.

y = 2z (y + 4) + (z + 4) = 23

y + z + 8 = 23

y + z = 15Paso 2 Resuelve las ecuaciones para hallar y.

⎧ ⎨

⎩ y = 2z

y + z = 15

⎧ ⎨

⎩ y = 2z

y = -z + 15

Paso 3 Representa gráficamente y = 2z e y = -z + 15.

Las líneas parecen cruzarse en (5, 10).

La solución (5, 10) significa que Yuri tiene 10 años.

Ejemplo 2

Mandy tiene 11 monedas en monedas de diez centavos y de veinticinco centavos. El valor de las monedas es $2.15. ¿Cuántas monedas de diez centavos tiene?

Paso 1 Escribe un sistema. Sea d la cantidad de monedas de diez centavos. Sea v la cantidad de monedas de veinticinco centavos.

La cantidad total de monedas es 11. El valor de las monedas es $2.15.

v + d = 11 0.25v + 0.10d = 2.15

100 (0.25v + 0.10d = 2.15) 25v + 10d = 215

5v + 2d = 43Paso 2 Resuelve la primera ecuación para hallar d.

d = 11 - v

Paso 3 Sustituye d por 11 - v en la segunda ecuación.

5v + 2 (11 - q) = 43

3v + 22 = 43 Distribuye 2 y luego combina los términos semejantes.

3v = 21

v = 7 Halla v.


Ver Banco de destrezas, página S52

teoría de los números

Paso 4 Sustituye v por 7 en una de las ecuaciones originales.

q + d = 11

7 + d = 11

d = 4

La solución (4, 7) significa que hay 4 monedas de 10 centavos y 7 monedas de veinticinco centavos. Mandy tiene 4 monedas de diez centavos.

Inténtalo

Resuelve. 1. La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es igual a 17. Cuando los dígitos se invierten,

el número nuevo es 9 más que el número original. ¿Cuál es el número original?

2. Vic tiene 14 monedas en monedas de cinco centavos y de veinticinco centavos. El valor de las monedas es $1.70. ¿Cuántas monedas de veinticinco centavos tiene?

3. Grace es 8 años mayor que su hermano Sam. La suma de sus edades es igual a 24. ¿Qué edad tiene Grace?

Ejemplo 3

Cuando los dígitos de un número de dos dígitos se invierten, el número nuevo es 45 menos que el número original. La suma de los dígitos es igual a 7. ¿Cuál es el número original?

Paso 1 Escribe expresiones para el número original y para el número nuevo. Sea a el dígito de las decenas. Sea b el dígito de las unidades.

El número original: El número nuevo:

10a + b 10b + a

Paso 2 Escribe un sistema.

El número nuevo es 45 menos que el número original. La suma de los dígitos es igual a 7.

10b + a = (10a + b) - 45 a + b = 7

9b - 9a = -45

b - a = -5 a - b = 5

Paso 3 Suma las ecuaciones para eliminar el término b. Halla a.

a - b = 5

+ (a + b = 7) 2a = 12

a = 6

Paso 4 Sustituye a por 6 en una de las ecuaciones originales.

a + b = 7

6 + b = 7

b = 1

La solución es (6, 1). Esto significa que 6 es el dígito de las decenas y 1 es el dígito de las unidades.El número original es 61.

Comprueba Comprueba tu solución usando el problema original. La suma de los dígitos es igual a 7: 6 + 1 = 7 ✓ Cuando los dígitos se invierten, el número nuevo es 45 menos que el número original: 16 = 61 - 45 ✓

Conexión entre el álgebra y la teoría de los números 405


6-4 Cómo resolver sistemas especiales

En la Lección 6-1, aprendiste que cuando dos líneas se cruzan en un punto hay exactamente una solución para el sistema. Los sistemas que tienen al menos una solución se llaman consistentes.

Cuando las dos líneas de un sistema no se cruzan, son líneas paralelas. No hay pares ordenados que satisfagan ambas ecuaciones; por lo tanto, no hay solución. Un sistema que no tiene solución es un sistema inconsistente.

1E J E M P L O Sistemas sin solución

Resuelve ⎧ ⎨

⎩ y = x - 1

-x + y = 2 .

Método 1 Compara pendientes e intersecciones con el eje y.

y = x - 1 → y = 1x - 1 Escribe ambas ecuaciones en forma de pendiente-intersección.

Las líneas son paralelas porque tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones con el eje y.

-x + y = 2 → y = 1x + 2

Este sistema no tiene solución; por lo tanto, es un sistema inconsistente.

Método 2 Resuelve el sistema en forma algebraica. Usa el método de sustitución porque en la primera ecuación tienes que hallar y.

-x + (x - 1) = 2 Sustituye y por x - 1 en la segunda ecuación y resuelve.

Falso. La ecuación es una contradicción. -1 = 2 ✗

Este sistema no tiene solución; por lo tanto, es un sistema inconsistente.

Comprueba Representa gráficamente el sistema para confirmar que las líneas son paralelas.

Las líneas parecen ser paralelas.

1. Resuelve ⎧

⎨

⎩ y = -2x + 5

2x + y = 1 .

ObjetivosResolver sistemas especiales de ecuaciones lineales en dos variables

Clasificar sistemas de ecuaciones lineales y determinar la cantidad de soluciones

Vocabulariosistema inconsistentesistema consistentesistema independientesistema dependiente

¿Para qué sirve?Los sistemas lineales se pueden usar para analizar el crecimiento de un negocio, como las ventas de una revista de historietas. (Ver Ejemplo 4)

Si necesitas ayuda para recordar las identidades y las contradicciones,consulta la Lección 2-4.

6- 4 Cómo resolver sistemas especiales 407

Si dos ecuaciones lineales de un sistema tienen la misma gráfica, las gráficas son líneas coincidentes o la misma línea. Hay infinitamente muchas soluciones del sistema porque cada punto de la línea representa una solución de ambas ecuaciones.

2E J E M P L O Sistemas con infinitamente muchas soluciones

Resuelve ⎧

⎨

⎩ y = 2x + 1/2x - y + 1 = 0 .

Método 1 Compara las pendientes y las intersecciones con el eje y.

y = 2x + 1 → y = 2x + 1 Escribe ambas ecuaciones en forma de pendiente-intersección. Las líneas tienen la misma pendiente y la misma intersección con el eje y.

2x - y + 1 = 0 → y = 2x + 1

Si este sistema se representara gráficamente, las gráficas serían la misma línea. Hay infinitamente muchas soluciones.

Método 2 Resuelve el sistema en forma algebraica. Usa el método de eliminación.

y = 2x + 1 → -2x + y = 1 Escribe ecuaciones para alinear los términos semejantes.

Suma las ecuaciones.

Verdadero. La ecuación es una identidad2x - y + 1 = 0 → 2x - y = -1

0 = 0 ✓

Hay infinitamente muchas soluciones.

2. Resuelve ⎧

⎨

⎩ y = x - 3

x - y - 3 = 0 .

Los sistemas consistentes pueden ser independientes o dependientes.

• Un sistema independiente tiene exactamente una solución. La gráfica de un sistema independiente consiste en dos líneas secantes.

• Un sistema dependiente tiene infinitamente muchas soluciones. La gráfica de un sistema dependiente consiste en dos líneas coincidentes.

CLASIFICACIÓN CONSISTENTES E INDEPENDIENTES

CONSISTENTES Y DEPENDIENTES

INCONSISTENTES

Cantidadde soluciones

Exactamente una Infinitamente muchas Ninguna

Descripción Pendientesdiferentes

La misma pendiente, la misma intersección con el eje y

La misma pendiente, diferentes intersecciones con el eje y

Gráfica Líneas secantes Líneas coincidentes Líneas paralelas

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales

0 = 0 es un enunciado verdadero. No significa que el sistema tiene cero soluciones o ninguna solución.


3E J E M P L O Clasificar sistemas de ecuaciones lineales

Clasifica cada sistema. Da la cantidad de soluciones.

A ⎧

⎨

⎩ 2y = x + 2

- 1_2

x + y = 1

2y = x + 2 → y = 1_2

x + 1 Escribe ambas ecuaciones en forma de pendiente-intersección.

Las líneas tienen la misma pendiente y la misma intersección con el eje y. Son iguales.

- 1_2

x + y = 1 → y = 1_2

x + 1

El sistema es consistente y dependiente. Tiene infinitamente muchas soluciones.

B ⎧

⎨

⎩ y = 2 (x - 1)

y = x + 1

y = 2 (x - 1) → y = 2x - 2 Escribe ambas ecuaciones en forma de pendiente-intersección.

Las líneas tienen diferentes pendientes. Se cruzan. y = x + 1 → y = 1x + 1

El sistema es consistente e independiente. Tiene una solución.


3a.⎧

⎨

⎩ x + 2y = -4

-2(y + 2) = x3b.

⎧

⎨

⎩ y = -2(x - 1)

y = -x + 3 3c.

⎧ �

⎨ � ⎩

2x - 3y = 6

y = 2_3

x

4E J E M P L O Aplicación a los negocios

El gerente de ventas de Comics Now compara sus ventas con las ventas de la competencia, Dynamo Comics. Si los patrones de las ventas continúan, ¿las ventas de Comics Now igualarán alguna vez a las ventas de Dynamo Comics? Explica.

Usa la tabla para escribir un sistema de ecuaciones lineales. Sea y el total de ventas y x el aumento en las ventas.

El total de ventas

es igual al

aumento en las ventas por año más

las ventas iniciales.

Comics Now y = 40 · x + 130

Dynamo Comics y = 40 · x + 180

⎧

⎨ ⎩

y = 40x + 130

y = 40x + 180

y = 40x + 130 Ambas ecuaciones tienen la forma pendiente-intersección.

Las líneas tienen la misma pendiente, pero diferentes intersecciones con el eje y.

y = 40x + 180

Las gráficas de las dos ecuaciones son líneas paralelas; por lo tanto, no hay solución. Si los patrones continúan, las ventas de las dos empresas nunca serán iguales.

4. Matt tiene $100 en una cuenta corriente y deposita $20 por mes. Ben tiene $80 en una cuenta corriente y deposita $30 por mes. ¿Las cuentas tendrán alguna vez el mismo saldo? Explica.

Comics Now

2005

130

180

250

300

2008

210

260

2007

170

220

2006

Revistas de historietasvendidas por año (millares)

Dynamo Comics

El aumento en las ventas es la diferencia entre las ventas de cada año.


PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario Un sistema ? puede ser independiente o dependiente.

(consistente o inconsistente)

Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales.


2. ⎧

⎨

⎩ y = x + 1

-x + y = 3 3.

⎧

⎨

⎩ 3x + y = 6

y = -3x + 2 4.

⎧

⎨

⎩ -y = 4x + 1

4x + y = 2


5. ⎧

⎨

⎩ y = -x + 3

x + y - 3 = 0 6.

⎧

⎨

⎩ y = 2x - 4

2x - y - 4 = 0 7.

⎧

⎨

⎩ -7x + y = -2

7x - y = 2



8.⎧ ⎨

⎩ y = 2 (x + 3)

-2y = 2x + 6 9.

⎧ ⎨

⎩ y = -3x - 1

3x + y = 1 10.

⎧ �

⎨ � ⎩

9y = 3x + 18

1_3

x - y = -2


11. Atletismo Micah camina en una cinta de andar a 4 millas por hora. Ha caminado 2 millas cuando Luke comienza a correr a 6 millas por hora en la cinta que está a su lado. Si sus velocidades se mantienen, ¿la distancia de Luke igualará alguna vez la distancia de Micah? Explica.

PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMASResuelve cada sistema de ecuaciones lineales.

12. ⎧

⎨

⎩ y = 2x - 2

-2x + y = 1 13.

⎧

⎨

⎩ x + y = 3

y = -x - 1 14.

⎧ �

⎨ � ⎩

x + 2y = -4

y = - 1_2

x - 4 15.

⎧

⎨

⎩ -6 + y = 2x

y = 2x - 36

16.⎧ ⎨

⎩ y = -2x + 3

2x + y - 3 = 0 17.

⎧

⎨

⎩ y = x - 2

x - y - 2 = 0 18.

⎧

⎨

⎩ x + y = -4

y = -x - 4 19.

⎧

⎨

⎩ -9x - 3y = -18

3x + y = 6

RAZONAR Y COMENTAR 1. Describe la gráfica de un sistema de ecuaciones que tiene infinitamente

muchas soluciones. Compara las pendientes y las intersecciones con el eje y.

2. ¿Qué métodos se pueden usar para determinar la cantidad de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales?

3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe la palabra que describe un sistema con esa cantidad de soluciones y dibuja una gráfica.

6-4

CLAVE: MA7 Parent

CLAVE: MA7 6-4EjerciciosEjercicios



Las geodas son formaciones de roca redondeadas y huecas. El interior de la mayoría de las geodas está parcial o completamente lleno de capas de cristales de cuarzo de color. La geoda más grande del mundo se descubrió en España en 2000. Mide 26 pies de largo y 5.6 pies de alto.

Geología


12–15 1 16–19 2 20–22 3 23 4

Práctica independiente Clasifica cada sistema. Da la cantidad de soluciones.

20.⎧ ⎨ ⎩ y = -x + 5

x + y = 5 21.

⎧ ⎨

⎩ y = -3x + 2

y = 3x 22.

⎧ ⎨

⎩ y - 1 = 2x

y = 2x - 1

23. Deportes Mandy patina a 5 millas por hora. Nikki patina a 6 millas por hora y comenzó 1 milla detrás de Mandy. Si sus velocidades se mantienen, ¿Mandy alcanzará a Nikki? Explica.

24. Varios pasos La fotocopiadora A puede hacer 35 copias por minuto. La fotocopiadora B puede hacer 35 copias por minuto. La copiadora B se enciende y hace 10 copias. En ese momento se enciende la copiadora A. Si las máquinas siguen haciendo copias, ¿la cantidad de copias de la máquina A igualará alguna vez la cantidad de copias de la máquina B? Explica.

25. Entretenimiento Una semana Trey alquiló 4 DVD y 2 videojuegos a $18. La semana siguiente alquiló 2 DVD y 1 videojuego a $9. Halla los costos de alquiler de cada videojuego y de cada DVD. Explica tu respuesta.

26. Rosa compró 1 libra de castañas de cajú y 2 libras de cacahuates a $10. En la misma tienda, Sabrina compró 2 libras de castañas de cajú y 1 libra de cacahuates a $11. Halla el costo por libra de las castañas de cajú y los cacahuates.

27. Geología Pam y Tommy coleccionan geodas. Los padres de Pam le dieron 2 geodas para comenzar su colección y ella compra 4 cada año. Tommy tiene 2 geodas que le regalaron para su cumpleaños y compra 4 cada año. Si Pam y Tommy siguen comprando la misma cantidad de geodas por año, ¿cuándo tendrá Tommy la misma cantidad de geodas que Pam? Explica tu respuesta.

28. Usa los datos que se dan en las tablas.

x 3 4 5 6

y 6 8 10 12

x 12 13 14 15

y 24 26 28 30

a. Escribe una ecuación para describir los datos de cada tabla.

b. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones de la parte a. Describe la gráfica.

c. ¿Cómo podrías haber predicho la gráfica observando las ecuaciones?

d. ¿Y si...? Cada valor de y de la segunda tabla aumenta en 1. ¿Cómo afecta esto a las gráficas de las dos ecuaciones? ¿Cómo puedes saber cómo afectará esto a las gráficas sin representarlas gráficamente?

29. Razonamiento crítico Describe las gráficas de dos ecuaciones si el resultado de resolver el sistema por sustitución o eliminación es el enunciado 1 = 3.


Práctica adicional


El club de animadores Crusader vende distintivos del equipo para apoyar a los equipos deportivos. Se contactaron con Buttons, Etc., que cobra $50 más $1.10 por distintivo, y con Logos, que cobra $40 más $1.10 por distintivo.

a. Escribe una ecuación para el costo de cada empresa.

b. Usa el sistema de la parte a para hallar cuándo el precio de ambas empresas será el mismo. Explica.

c. ¿Para qué parte de la ecuación el club de animadores debería negociar un cambio para que el costo de Buttons, Etc. sea el mismo que el de Logos? ¿Qué parte de la ecuación debería cambiar para conseguir un mejor precio?

Escala2 cm:5 km

Averly

LewersHon

4.4 cm 2.5 cm

5 cm


31. /////ANÁLISIS DE ERRORES//// El estudiante A dice que no hay solución para el sistema de ecuaciones que se representa gráficamente. El estudiante B dice que hay una solución. ¿Qué estudiante se equivoca? Explica el error.

32. Escríbelo Compara la gráfica de un sistema que es consistente e independiente con la gráfica de un sistema que es consistente y dependiente.

33. ¿Cuál de las siguientes clasificaciones corresponde al siguiente sistema?

⎧

⎨

⎩ 2x - y = 3

6x - 3y = 9

Inconsistente e independiente Inconsistente y dependiente

Consistente e independiente Consistente y dependiente

34. ¿Cuál de las siguientes opciones sería información suficiente para clasificar un sistema de dos ecuaciones lineales?

Las gráficas tienen la misma pendiente.

Las intersecciones con el eje y son iguales.

Las gráficas tienen pendientes diferentes.

Las intersecciones con el eje y son diferentes.

DESAFÍO Y EXTENSIÓN 35. ¿Qué condiciones son necesarias para que el sistema

⎧

⎨ ⎩

y = 2x + p

y = 2x + q tenga infinitamente

muchas soluciones? ¿Y para que no tenga solución?

36. Resuelve los sistemas de las partes a y b. Usa esta información para hacer una conjetura sobre todas las soluciones que existen para el sistema de la parte c.

a.⎧

⎨

⎩ 3x + 4y = 0

4x + 3y = 0 b.

⎧

⎨

⎩ 2x + 5y = 0

5x + 2y = 0 c.

⎧

⎨

⎩ ax + by = 0

bx + ay = 0 , para a > 0, b > 0, a ≠ b

REPASO EN ESPIRALUsa el mapa para hallar las distancias reales entre cada par de ciudades. (Lección 2-6)

37. de Hon a Averly

38. de Averly a Lewers

Determina si cada sucesión parece ser una sucesión aritmética. Si es así, halla la diferencia común y los siguientes tres términos . (Lección 4-6)

39. 1, 3, 5, 9, … 40. 1, 5, 9, 13, … 41. 0, -1 1_2

, -3, -4 1_2

, …

Resuelve cada sistema mediante la representación gráfica. (Lección 6-1)

42. ⎧

⎨

⎩ y = x - 2

y = -x + 4 43.

⎧

⎨

⎩ y = 2x

x + y = -6 44.

⎧ �

⎨ � ⎩

y = - 1_

2 x

y - x = 9

Sistemas de ecuaciones¡Arriba el ánimo! Algunas porristas van a vender pulseras para demostrar apoyo y dedos de espuma para recaudar dinero para viajar a los partidos en otros lugares.

1. Dos empresas, Spirit for You y Go Team, están interesadas en proveer los dedos de espuma. Las porristas quieren vender 100 dedos de espuma. Según esta información, ¿qué empresa deben elegir? Explica tu razonamiento.

2. Las porristas vendieron dedos de espuma a $5 y pulseras para demostrar apoyo a $4. Vendieron 40 dedos de espuma más que pulseras y ganaron $965. Escribe un sistema de ecuaciones para describir esta situación.

3. Resuelve este sistema usando al menos dos métodos distintos. Explica cada método.

4. Con la empresa que elegiste en el Problema 1, ¿qué ganancia obtuvieron las porristas a partir de los dedos de espuma solamente? (Pista:ganancia = cantidad ganada - gastos)

5. ¿Cuál es el precio máximo que las porristas pueden pagar por cada pulsera para obtener una ganancia total de $500?

Empresa Tarifa por diseño

Costo por artículo

Spirit for You $35 $2.50

Go Team $20 $3.00

SECCIÓN 6A

¿Listo para seguir? 413

Prueba de las Lecciones 6-1 a 6-4

6-1 Cómo resolver sistemas mediante la representación gráficaIndica si el par ordenado es una solución del sistema que se da.

1. (-2, 1) ; ⎧

⎨

⎩ y = -2x - 3

y = x + 3 2. (9, 2) ;

⎧

⎨

⎩ x - 4y = 1

2x - 3y = 33. (3, -1) ;

⎧ �

⎨ � ⎩

y = - 1_

3 x

y + 2x = 5

Resuelve cada sistema mediante la representación gráfica.

4.⎧ �

⎨ � ⎩

y = x + 5

y = 1_2

x + 45.

⎧ ⎨

⎩ y = -x - 2

2x - y = 2 6.

⎧ �

⎨ � ⎩

2_3

x + y = -3

4x + y = 7

7. Banca Christiana y Marlena abrieron su primera cuenta de ahorros el mismo día. Christiana abrió su cuenta con $50 y planea depositar $10 cada mes. Marlena abrió su cuenta con $30 y planea depositar $15 cada mes. ¿Después de cuántos meses las dos cuentas tendrán la misma cantidad de dinero? ¿Cuál será esa cantidad?

6-2 Cómo resolver sistemas por sustituciónResuelve cada sistema por sustitución.

8.⎧ ⎨

⎩ y = -x + 5

2x + y = 119.

⎧ ⎨

⎩ 4x - 3y = -1

3x - y = -2 10.

⎧

⎨

⎩ y = -x

y = -2x - 5

6-3 Cómo resolver sistemas por eliminaciónResuelve cada sistema por eliminación.

11.⎧ ⎨

⎩ x + 3y = 15

2x - 3y = -612.

⎧ ⎨

⎩ x + y = 2

2x + y = -113.

⎧

⎨

⎩ -2x + 5y = -1

3x + 2y = 11

14. Akira tarda 10 minutos en hacer un dibujo en blanco y negro y 25 minutos en hacer un dibujo en color. El sábado hizo un total de 9 dibujos en 2 horas. Escribe y resuelve un sistema de ecuaciones para determinar cuántos dibujos de cada tipo hizo Akira.

6-4 Cómo resolver sistemas especialesResuelve cada sistema de ecuaciones lineales.

15.⎧ ⎨

⎩ y = -2x - 6

2x + y = 5 16.

⎧ ⎨

⎩ x + y = 2

2x + 2y = -617.

⎧

⎨

⎩ y = -2x + 4

2x + y = 4


18.⎧ ⎨

⎩ 3x = -6y + 3

2y = -x + 1 19.

⎧ ⎨

⎩ y = -4x + 2

4x + y = -220.

⎧

⎨

⎩ 4x - 3y = 8

y = 4 (x + 2)

SECCIÓN 6A


ObjetivoRepresentar gráficamente y resolver desigualdades lineales en dos variables

Vocabulariodesigualdad linealsolución de una

desigualdad lineal

¿Quién lo usa?Los consumidores pueden usar las desigualdades lineales para determinar qué cantidad de comida pueden comprar para un evento. (Ver Ejemplo 3)

6-5 Cómo resolver desigualdades lineales

Una desigualdad lineal es semejante a una ecuación lineal, pero el signo de igualdad se reemplaza por el símbolo de desigualdad. Una solución de una desigualdad lineal es cualquier par ordenado que hace que la desigualdad sea verdadera.

1E J E M P L O Identificar soluciones de desigualdades

Indica si el par ordenado es una solución de la desigualdad.

A (7, 3) ; y < x - 1

y < x - 13 7 - 1 Sustituye (x, y)

por (7, 3).3 < 6 ✓

(7, 3) es una solución.

B (4, 5) ; y > 3x + 2

y > 3x + 25 3 (4) + 2 Sustituye (x, y)

por (4, 5)5 12 + 25 > 14 ✗

(4, 5) no es una solución.


1a. (4, 5) ; y < x + 1 1b. (1, 1) ; y > x - 7

Una desigualdad lineal describe una región de un plano cartesiano llamada semiplano. Todos los puntos de la región son soluciones de la desigualdad lineal. La línea de límite de la región es la gráfica de la ecuación relacionada.

Cuando la desigualdad se escribe como y ≤ o y ≥, los puntos sobre la línea de límite son soluciones dela desigualdad y la línea es continua.

Cuando la desigualdad se escribe como y > o y ≥,los puntos por encimade la línea de límite son soluciones de la desigualdad.

Cuando la desigualdad se escribe como y < o y >, los puntos sobre la línea de límite no son soluciones de la desigualdad y la línea es discontinua.

Cuando la desigualdad se escribe como y < o y ≤,los puntos debajo de la línea de límite son soluciones de la desigualdad.

Representar gráficamente desigualdades lineales

Paso 1 Resuelve la desigualdad para hallar el valor de y (en forma de pendiente-intersección).

Paso 2 Representa gráficamente la línea de límite. Usa una línea continua para ≤ o ≥. Usa una línea discontinua para < o >.

Paso 3 Sombrea el semiplano por encima de la línea para y > o y ≥. Sombrea el semiplano debajo de la línea para y < o y ≤. Comprueba tu respuesta.

2E J E M P L O Representar gráficamente desigualdades lineales en dos variables

Representa gráficamente las soluciones de cada desigualdad lineal.

A y < 3x + 4

Paso 1 La desigualdad ya se resolvió para hallar y.

Paso 2 Representa gráficamente la línea de límite y = 3x + 4. Usa una línea discontinua para <.

Paso 3 La desigualdad es <; por lo tanto, sombrea debajo de la línea.

Comprueba y < 3x + 4

0 3 (0) + 4 Sustituye (x, y) por (0, 0) porque no está sobre la línea de límite.

El punto (0, 0) satisface la desigualdad; por lo tanto, la gráfica está sombreada correctamente.

0 0 + 4

0 < 4 ✓

B 3x + 2y ≥ 6

Paso 1 Resuelve la desigualdad para hallar y.3x + 2y ≥ 6

−−−−−− - 3x −−−- 3x 2y ≥ -3x + 6

y ≥ - 3_2

x + 3

Paso 2 Representa gráficamente la línea de límite y =- 3__

2 x + 3.

Usa una línea continua para ≥.

Paso 3 La desigualdad es ≥; por lo tanto, sombrea por encima de la línea.

Comprueba y ≥ 3 _ 2

x + 3

0 3_2

(0) + 3 Un enunciado falso significa que el semiplano que contiene a (0, 0) NO debe sombrearse.

(0, 0) no es una de las soluciones; por lo tanto, la gráfica está sombreada correctamente.

0 0 + 3

0 ≥ 3 ✗


2a. 4x - 3y > 12 2b. 2x - y - 4 > 0 2c. y ≥ - 2_3

x + 1

El punto (0, 0) es un buen punto de prueba para usar si no está sobre la línea de límite.

6-5 Cómo resolver desigualdades lineales 415


3. ¿Y si...? Dirk llevará dos tipos de aceitunas a la iniciación en la sociedad honorífica y puede gastar no más de $6. Las aceitunas verdes cuestan $2 por libra y las aceitunas negras cuestan $2.50 por libra.

a. Escribe una desigualdad lineal para describir la situación.

b. Representa gráficamente las soluciones.

c. Da dos combinaciones de aceitunas que Dirk podría comprar.


Sarah puede gastar como máximo $7.50 en verduras. El brócoli cuesta $1.25 por atado y las zanahorias cuestan $0.75 por paquete.

a. Escribe una desigualdad lineal para describir la situación.

Sea x la cantidad de atados de brócoli y sea y la cantidad de paquetes de zanahorias.

Escribe una desigualdad. Usa ≤ para “como máximo”.

El costo del brócoli más el costo de las zanahorias es como máximo $7.50.

1.25x + 0.75y ≤ 7.50

Resuelve la desigualdad para hallar y.

1.25x + 0.75y ≤ 7.50

100(1.25x + 0.75y) ≤ 100(7.50) Puedes multiplicar ambos lados de la desigualdad por 100 para eliminar los decimales.

Resta 125x a ambos lados.


125x + 75y ≤ 750 −−−−−−−− -125x −−−−− -125x

75y ≤ 750 - 125x

−−− 75y ≤ −−−−−−− 750 - 125x 75 75

y ≤ 10 - 5_3

x


Paso 1 Como Sarah no puede comprar una cantidad negativa de verduras, el sistema se representa sólo en el cuadrante I. Representa gráficamente la línea de límite y = -5__

3x + 10.

Usa una línea continua para ≤.

Paso 2 Sombrea debajo de la línea. Sarah debe comprar números cabales de atados o paquetes. Todos los puntos sobre o debajo de la línea con coordenadas de números cabales son las diferentes combinaciones de brócoli y zanahorias que Sarah puede comprar.

c. Da dos combinaciones de verduras que Sarah puede comprar.

Dos combinaciones distintas que Sarah puede comprar a $7.50 o menos son 2 atados de brócoli y 4 paquetes de zanahorias o 3 atados de brócoli y 5 paquetes de zanahorias.


4E J E M P L O Escribir una desigualdad a partir de una gráfica

Escribe una desigualdad para representar cada gráfica.

A intersección con el eje y: 2; pendiente: - 1_3

Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección.

y = mx + b y = - 1_3

x + 2

La gráfica se sombreó debajo de una línea de límite discontinua.

Reemplaza = por < para escribir la desigualdad y < - 1_3

x + 2.

B intersección con el eje y: -2; pendiente: 5 Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección. y = mx + b y = 5x + (-2) La gráfica se sombrea por encima de una línea de límite continua.

Reemplaza = por ≥ para escribir la desigualdad y ≥ 5x - 2.

C intersección con el eje y: ninguna; pendiente: indefinida La gráfica es una línea vertical en x = -2. La gráfica se sombrea en el lado derecho

de una línea de límite continua.

Reemplaza = por ≥ para escribir la desigualdad x ≥ - 2.


4a. 4b.

RAZONAR Y COMENTAR 1. Indica por qué representar gráficamente una desigualdad lineal es lo

mismo que representar gráficamente una ecuación lineal. Indica cuál es la diferencia.

2. Explica cómo escribirías una desigualdad lineal a partir de una gráfica.

3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico.



PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario Una solución de una desigualdad lineal, ¿puede estar sobre una línea

de límite discontinua? Explica.


Indica si el par ordenado es una solución de la desigualdad que se da.

2. (0, 3) ; y ≤ -x + 3 3. (2, 0) ; y > -2x - 2 4. (-2, 1) ; y < 2x + 4



5. y ≤ -x 6. y > 3x + 1 7. -y < -x + 4 8. -y ≥ x + 1


9. Varios pasos Jack hace ponche de frutas con jugo de naranja y jugo de piña. Puede hacer como máximo 16 vasos de ponche.

a. Escribe una desigualdad para describir la situación.


c. Da dos combinaciones posibles de vasos de jugo de naranja y de jugo de piña que Jack puede usar en su ponche.



10. 11.



12–14 1 15–18 2 19 3 20–21 4

Práctica independiente Indica si el par ordenado es una solución de la desigualdad que se da.

12. (2, 3) ; y ≥ 2x + 3 13. (1, -1) ; y < 3x - 3 14. (0, 7) ; y > 4x + 7


15. y > -2x + 6 16. -y ≥ 2x 17. x + y ≤ 2 18. x - y ≥ 0

19. Varios pasos Beverly servirá hamburguesas y perros calientes en una comida al aire libre. La carne para hamburguesas cuesta $3 por libra y los perros calientes cuestan $2 por libra. Beverly no quiere gastar más de $30.

a. Escribe una desigualdad para describir la situación.


c. Da dos combinaciones posibles de libras de hamburguesas y de hot dogs que Beverly puede comprar.


20. 21.

6-5CLAVE: MA7 6-5

CLAVE: MA7 Parent



Práctica adicional


40. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 428. Gloria hace ositos y ositas de peluche. Tiene suficiente relleno para hacer 50 ositos. Sea x la cantidad de ositas e y la cantidad de ositos.

a. Escribe una desigualdad que muestre la cantidad posible de ositos y de ositas que Gloria puede hacer.

b. Representa gráficamente la desigualdad.

c. Da tres soluciones posibles para la cantidad de ositos y de ositas que se pueden hacer.

22. Negocios Una tienda de artículos electrónicos obtiene una ganancia de $125 por cada reproductor de DVD y $100 por cada reproductor de CD que vende. El dueño de la tienda quiere obtener una ganancia de al menos $500 por día vendiendo reproductores de DVD y reproductores de CD.

a. Escribe una desigualdad lineal para determinar la cantidad de reproductores de DVD x y la cantidad de reproductores de CD y que el dueño necesita vender para alcanzar su objetivo.

b. Representa gráficamente la desigualdad lineal.

c. Describe los valores posibles de x. Describe los valores posibles de y.

d. Haz una lista de tres combinaciones posibles de reproductores de DVD y reproductores de CD que el dueño podría vender para alcanzar su objetivo.


23. y ≤ 2 - 3x 24. -y < 7 + x 25. 2x - y ≤ 4 26. 3x - 2y > 6

27. Geometría Marvin tiene 18 yardas de cerca que puede colocar alrededor de un jardín rectangular.

a. Escribe una desigualdad lineal que describa las longitudes y los anchos posibles del jardín.

b. Representa gráficamente la desigualdad y haz una lista de tres soluciones posibles para el problema.

c. ¿Cuáles son las dimensiones del jardín cuadrado más grande que puede cercarse con las dimensiones en números cabales?

28. Pasatiempos Stephen quiere comprar peces cirujanos amarillos y peces payaso para su acuario de agua salada. Quiere gastar no más de $77 en los peces. En la tienda, los peces cirujanos amarillos cuestan $15 cada uno y los peces payaso cuestan $11 cada uno. Escribe y representa gráficamente una desigualdad lineal para hallar la cantidad de peces cirujanos amarillos x y la cantidad de peces payaso y que Stephen podría comprar. Menciona una solución para tu desigualdad que no sea razonable para la situación. Explica.

Representa gráficamente cada desigualdad en un plano cartesiano.

29. y > 1 30. -2 < x 31. x ≥ - 3 32. y ≤ 0

33. 0 ≥ x 34. -12 + y > 0 35. x + 7 < 7 36. -4 ≥ x - y

37. Escuela En un partido de fútbol americano de una escuela superior, las entradas en la puerta cuestan $7 para los adultos y $4 para los estudiantes. Escribe una desigualdad lineal para determinar la cantidad de entradas para adultos y para estudiantes que deben venderse para que la cantidad de dinero obtenida en la puerta sea al menos $280. Representa gráficamente la desigualdad y menciona tres soluciones posibles.

38. Razonamiento crítico ¿Por qué una región de un plano cartesiano debe sombrearse para mostrar todas las soluciones de una desigualdad lineal?

39. Escríbelo Da una situación del mundo real que se pueda describir con una desigualdad lineal. Luego, representa gráficamente la desigualdad y da dos soluciones.


41. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// El estudiante A escribió y < 2x - 1 como la desigualdad que representa la gráfica. El estudiante B escribió y ≤ 2x - 1 como la desigualdad que representa la gráfica. ¿Qué estudiante se equivoca? Explica el error.

42. Escríbelo ¿Cómo decides si sombrear por encima o por debajo de una desigualdad? ¿Qué representa este sombreado?

43. ¿Qué punto es una solución de la desigualdad y > -x + 3?

(0, 3) (1, 4) (-1, 4) (0, -3)

44. ¿Qué desigualdad representa la gráfica de la derecha?

2x + y ≥ 3 2x + y ≤ 3

2x + y > 3 2x + y < 3

45. ¿Cuál de las siguientes opciones describe la gráfica de 3 ≤ x?

La línea de límite es discontinua y el sombreado es hacia la derecha.

La línea de límite es discontinua y el sombreado es hacia la izquierda.

La línea de límite es continua y el sombreado es hacia la derecha.

La línea de límite es continua y el sombreado es hacia la izquierda.

DESAFÍO Y EXTENSIÓNRepresenta gráficamente cada desigualdad.

46. 0 ≥ -6 - 2x - 5y 47. y > ⎪x⎥ 48. y ≥ ⎪x - 3⎥

49. Una desigualdad lineal tiene los puntos (0, 3) y (–3, 1.5) como soluciones sobre la línea de límite. Además, el punto (1, 1) no es una solución. Escribe la desigualdad lineal.

50. Dos desigualdades lineales se representan gráficamente en el mismo plano cartesiano. El punto (0, 0) es una solución de ambas desigualdades. Se sombrea el plano cartesiano entero excepto el cuadrante I. ¿Cuáles son las dos desigualdades?

REPASO EN ESPIRALIndica si cada función es lineal. Si es así, representa gráficamente la función. (Lección 5-1)

51. y = 2x - 4 52. y = x2 + 2 53. y = 3

Escribe una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea que pasa por los dos puntos. (Lección 5-7)

54. (0, 9) y (5, 2) 55. (-5, -2) y (7, 7) 56. (0, 0) y (-8, -10)

57. (-1, -2) y (1, 4) 58. (2, 2) y (6, 5) 59. (-3, 2) y (3, -1)

Resuelve cada sistema por eliminación. (Lección 6-3)

60. ⎧

⎨

⎩ x + 6y = 14

x - 6y = -10 61.

⎧

⎨

⎩ x + y = 13

3x + y = 9 62.

⎧

⎨

⎩ 2x - 4y = 18

5x - y = 36

63. ⎧

⎨

⎩ 2y + x = 12

y - 2x = 1 64.

⎧

⎨

⎩ 2y - 6x = -8

y = -5x + 1265.

⎧

⎨

⎩ 2x + 3y = 33

y = 1__4

x

6- 6 Cómo resolver sistemas de desigualdades lineales 421

6-6 Cómo resolver sistemas de desigualdades lineales

ObjetivoRepresentar gráficamente y resolver sistemas de desigualdades lineales en dos variables

Vocabulariosistema de desigualdades

linealessolución de un sistema de

desigualdades lineales

¿Quién lo usa?El dueño de una tienda de surf puede usar sistemas de desigualdades lineales para determinar cuántas tablas de surf y de wakeboard debe vender para obtener cierta ganancia. (Ver Ejemplo 4)

Un par ordenado debe ser una solución de todas las desigualdades para ser una solución del sistema.

Un sistema de desigualdades lineales es un conjunto de dos o más desigualdades lineales que contienen dos o más variables. Las soluciones de un sistema de desigualdades lineales son todos los pares ordenados que satisfacen todas las desigualdades lineales del sistema.

1E J E M P L O Identificar soluciones de sistemas de desigualdades lineales


A (2, 1) ; ⎧

⎨ ⎩

y < -x + 4

y ≤ x + 1 B (2, 0);

⎧

⎨ ⎩

y ≥ 2x

y < x + 1

(2, 1) y < -x + 4

1 -2 + 41 < 2 ✓

(2, 1) y ≤ x + 1

1 2 + 11 ≤ 3 ✓

(2, 0)y ≥ 2x

0 2 (2)

0 ≥ 4 ✗

(2, 0)y < x + 1

0 2 + 10 < 3 ✓

(2, 1) es una solución del sistema porque satisface ambas desigualdades.

(2, 0) no es una solución del sistema porque no satisface ambas desigualdades.


1a. (0, 1); ⎧

⎨ ⎩ y < -3x + 2

y ≥ x - 1 1b. (0, 0) ;

⎧

⎨ ⎩ y > -x + 1

y > x - 1

Para mostrar todas las soluciones de un sistema de desigualdades lineales, representa gráficamente las soluciones de cada desigualdad. Las soluciones del sistema se representan mediante las regiones superpuestas sombreadas. A continuación se muestran las gráficas de los Ejemplos 1A y 1B.

Ejemplo 1A Ejemplo 1B

-2

x

2

y

2-2 0

(2, 1) está en las regiones sombreadassuperpuestas; por lo tanto, es una solución.

x

2

y

2

-2

0

(2, 0) no está en las regiones superpuestassombreadas; por lo tanto, no es una solución.

4

-4

-4

2

y

-2

-2

0

(-1, 1) satisface ambas desigualdades.

(2, -1) satisface sólo y ≤ -2x + 3.

(-3, 4) satisface ambas desigualdades.

(2,-4) satisface sólo y ≤ -2x + 3.


2E J E M P L O Resolver un sistema de desigualdades lineales mediante la representación gráfica

Representa gráficamente el sistema de desigualdades lineales. Da dos pares ordenados que sean soluciones y dos que no sean soluciones.

⎧ �

⎨ � ⎩

8x + 4y ≤ 12

y > 1_2

x - 2

8x + 4y ≤ 12 Escribe la primera desigualdad en forma de pendiente-intersección. 4y ≤ -8x + 12

y ≤ -2x + 3

Representa gráficamente el sistema.

⎧ � ⎨

� ⎩ y ≤ -2x + 3

y > 1_2

x - 2

(-1, 1) y (-3, 4) son soluciones.

(2, -1) y (2, -4) no son soluciones.

Representa gráficamente cada sistema de desigualdades lineales. Da dos pares ordenados que sean soluciones y dos que no sean soluciones.

2a.⎧ ⎨

⎩ y ≤ x + 1

y > 2 2b.

⎧ ⎨

⎩ y > x - 7

3x + 6y ≤ 12

En la Lección 6-4, aprendiste que en los sistemas de ecuaciones lineales, si las líneas son paralelas, no hay soluciones. En los sistemas de desigualdades lineales, eso no siempre es verdad.

3E J E M P L O Representar gráficamente sistemas con líneas de límite paralelas

Representa gráficamente cada sistema de desigualdades lineales.

A ⎧ ⎨

⎩

y < 2x - 3

y > 2x + 2B

⎧ ⎨

⎩

y > x - 3

y ≤ x + 1C

⎧ ⎨

⎩

y ≤ -3x - 2

y ≤ -3x + 4

Este sistema no tiene solución.

x

2

y

-2

-2

20

Soluciones

Las soluciones son todos los puntos entre las líneas paralelas y sobre la línea continua.

x

2

y

-2

-2

20

Soluciones

Las soluciones son las mismas que las soluciones de y ≤ -3x - 2.

Objetivos de venta

05 10 15 20 25

5

10

15

20

25

Tablas de surfTa

bla

s d

e w

akeb

oar

d

(25, 20)

(15, 25)y

x

Soluciones



3a.⎧ ⎨

⎩ y > x + 1

y ≤ x - 33b.

⎧ ⎨

⎩ y ≥ 4x - 2

y ≤ 4x + 23c.

⎧ ⎨

⎩ y > -2x + 3

y > -2x

4E J E M P L O Aplicación a los negocios

Una tienda de surf obtiene las ganancias que se muestran en la tabla. El dueño de la tienda vende al menos 10 tablas de surf y al menos 20 tablas de wakeboard por mes. Quiere ganar al menos $2000 por mes. Muestra y describe todas las combinaciones posibles de tablas de surf y de wakeboard que el dueño de la tienda necesita vender para alcanzar sus objetivos. Anota dos combinaciones posibles.

Paso 1 Escribe un sistema de desigualdades. Sea x la cantidad de tablas de surf e y la cantidad de tablas de wakeboard.

x ≥ 10 Vende al menos 10 tablas de surf.

Vende al menos 20 tablas de wakeboard.

Quiere ganar un total de al menos $2000.

y ≥ 20

150x + 100y ≥ 2000

Paso 2 Representa gráficamente el sistema.La gráfica debería estar sólo en el primer cuadrante porque las ventas no son negativas.

Paso 3 Describe todas las combinaciones posibles. Para alcanzar los objetivos de venta, la tienda podría vender cualquier combinación representada por un par ordenado de números cabales en la región solución. Las respuestas deben ser números cabales porque la tienda no puede vender parte de una tabla de surf o de wakeboard.

Paso 4 Anota dos combinaciones posibles.Dos combinaciones posibles son:15 tablas de surf y 25 tablas de wakeboard25 tablas de surf y 20 tablas de wakeboard

4. En su fiesta, Alice servirá queso Pepper Jack y queso Cheddar. Quiere tener al menos 2 libras de cada uno. Alice quiere gastar como máximo $20 en queso. Muestra y describe todas las combinaciones posibles de los dos quesos que Alice podría comprar. Anota dos combinaciones posibles.

RAZONAR Y COMENTAR 1. ¿Cómo escribirías un sistema de desigualdades lineales a partir de una gráfica?

2. ORGANÍZATE Copia y y < 2x + 1

y ≥ x - 212

{y ≥ 2x + 1

y > x - 212

{SoluciónGráfica SoluciónGráfica

completa cada parte del organizador gráfico. En cada recuadro, dibuja una gráfica y anota una solución.

Ganancias por tabla vendida ($)

Tabla de surf 150

Tabla de wakeboard

100

Precio por libra ($)

Pepper Jack 4

Cheddar 2

Una solución de par ordenado para el sistema no necesita tener números cabales, pero las respuestas a muchos problemas de aplicación pueden estar limitadas a números cabales.



PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario Una solución de un sistema de desigualdades es una solución de ?

las desigualdades del sistema. (al menos una de o todas )



2. (0, 0) ; ⎧

⎨

⎩ y < -x + 3

y < x + 2 3. (0, 0) ;

⎧

⎨

⎩ y < 3

y > x - 24. (1, 0) ;

⎧

⎨

⎩ y > 3x

y ≤ x + 1



5.⎧ ⎨

⎩ y < 2x - 1

y > 2 6.

⎧

⎨

⎩ x < 3

y > x - 2 7.

⎧

⎨

⎩ y ≥ 3x

3x + y ≥ 3 8.

⎧

⎨

⎩ 2x - 4y ≤ 8

y > x - 2



9. ⎧

⎨

⎩ y > 2x + 3

y < 2x 10.

⎧

⎨

⎩ y ≤ -3x - 1

y ≥ -3x + 1 11.

⎧

⎨

⎩ y > 4x - 1

y ≤ 4x + 1

12. ⎧

⎨

⎩ y < -x + 3

y > -x + 2 13.

⎧

⎨

⎩ y > 2x - 1

y > 2x - 4 14.

⎧

⎨

⎩ y ≤ -3x + 4

y ≤ -3x - 3


15. Negocios Sandy obtiene una ganancia de $2 por cada vaso de limonada que vende y $1 por cada pastelito que vende. Sandy quiere vender al menos 5 vasos de limonada y al menos 5 pastelitos por día. Quiere ganar al menos $25 por día. Muestra y describe todas las combinaciones posibles de limonada y pastelitos que Sandy necesita vender para alcanzar sus objetivos. Anota dos combinaciones posibles.



16–18 1 19–22 2 23–28 3 29 4

Práctica independiente Indica si el par ordenado es una solución del sistema que se da.

16. (0, 0) ; ⎧

⎨

⎩ y > -x - 1

y < 2x + 4 17. (0, 0) ;

⎧

⎨

⎩ x + y < 3

y > 3x - 4 18. (1, 0) ;

⎧

⎨

⎩ y > 3x

y > 3x + 1


19. ⎧

⎨

⎩ y < -3x - 3

y ≥ 0 20.

⎧

⎨

⎩ y < -1

y > 2x - 1 21.

⎧

⎨

⎩ y > 2x + 4

6x + 2y ≥ -2 22.

⎧

⎨

⎩ 9x + 3y ≤ 6

y > x


23. ⎧

⎨

⎩ y < 3

y > 5 24.

⎧

⎨

⎩ y < x - 1

y > x - 2 25.

⎧

⎨

⎩ x ≥ 2

x ≤ 2

26. ⎧

⎨

⎩ y > -4x - 3

y < -4x + 2 27.

⎧

⎨

⎩ y > -1

y > 2 28.

⎧

⎨

⎩ y ≤ 2x + 1

y ≤ 2x - 4

6-6CLAVE: MA7 6-6

CLAVE: MA7 Parent



Práctica adicional


En 1959 se graduó la primera promoción de la Academia de la Fuerza Aérea. La primera promoción que incluyó mujeres se graduó en 1980.

Fuerzas armadas

29. Varios pasos Linda trabaja en una farmacia a $15 por hora. También cuida chicos a $10 por hora. Linda necesita ganar al menos $90 por semana, pero no quiere trabajar más de 20 horas por semana. Muestra y describe la cantidad de horas que Linda podría trabajar en cada lugar para alcanzar sus objetivos. Anota dos soluciones posibles.

30. Agricultura Tony quiere sembrar al menos 40 acres de maíz y al menos 50 acres de soja. No quiere tener más de 200 acres de maíz y soja. Muestra y describe todas las combinaciones posibles de la cantidad de acres de maíz y de soja que Tony podría sembrar. Anota dos combinaciones posibles.


31.⎧ ⎨

⎩ y ≥ -3

y ≥ 2 32.

⎧

⎨

⎩ y > -2x - 1

y > -2x - 3 33.

⎧

⎨

⎩ x ≤ -3

x ≥ 1 34.

⎧

⎨

⎩ y < 4

y > 0

Escribe un sistema de desigualdades lineales que represente cada gráfica.

35. 36. 37.

38. Fuerzas armadas Los hombres que desean ingresar en la Academia de la Fuerza Aérea de Estados Unidos, en Colorado Springs, Colorado, deben tener al menos 17 años de edad pero menos de 23. Su estatura no debe ser menor que 60 pulgadas ni mayor que 80 pulgadas. Representa gráficamente todas las estaturas y edades posibles para los candidatos aptos. Da tres combinaciones posibles.

39. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Dos estudiantes escribieron un sistema de desigualdades lineales para describir la gráfica. ¿Qué estudiante se equivocó? Explica el error.

40. Tiempo libre Vance quiere cercar un área rectangular para su perro. Quiere que la longitud del rectángulo sea al menos 30 pies y que el perímetro no sea mayor que 150 pies. Representa gráficamente todas las dimensiones posibles del rectángulo.

41. Razonamiento crítico Las soluciones de un sistema de desigualdades lineales, ¿pueden ser los puntos sobre una línea? Explica.


Gloria comenzará su propia empresa para hacer ositos de peluche. Tiene suficientes cuerpos de ositos para fabricar 40 ositos. Hará ositos y ositas.

a. Escribe una desigualdad para mostrar esta situación.

b. Gloria cobrará $15 por las ositas y $12 por los ositos. Quiere ganar al menos $540 por semana. Escribe una desigualdad para describir esta situación.

c. Representa gráficamente esta situación y ubica la región solución.


43. Escríbelo ¿Qué debe ser cierto sobre las líneas de límite de un sistema de dos desigualdades lineales si no hay solución para el sistema? Explica.

44. ¿Qué punto es una solución de⎧

⎨

⎩ 2x + y ≥ 3

y ≥ -2x + 1 ?

(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1)

45. ¿Qué sistema de desigualdades describe mejor la gráfica?

⎧ ⎨

⎩ y < 2x - 3

y > 2x + 1

⎧

⎨

⎩ y < 2x - 3

y < 2x + 1

⎧

⎨

⎩ y > 2x - 3

y < 2x + 1

⎧

⎨

⎩ y > 2x - 3

y > 2x + 1

46. Respuesta breve Representa gráficamente y describe⎧

⎨ ⎩

y + x > 2

y ≤ -3x + 4 .

Da dos soluciones posibles del sistema.

DESAFÍO Y EXTENSIÓN 47. Estimación Representa gráficamente el sistema de desigualdades que se da. Estima el

área de las regiones solución superpuestas.

⎧ � ⎨

�

⎩

y ≥ 0

y ≤ x + 3.5

y ≤ -x + 3.5

48. Escribe un sistema de desigualdades lineales para el que (-1, 1) y (1, 4) sean soluciones y (0, 0) y (2, -1) no sean soluciones.

49. Representa gráficamente ⎪y⎥ < 1.

50. Escribe un sistema de desigualdades lineales para el que las soluciones sean todos los puntos del tercer cuadrante.

REPASO EN ESPIRALUsa el diagrama para hallar cada una de las siguientes medidas. (Lección 1-6)

51. el área del cuadrado

52. el área del triángulo amarillo

53. el área combinada de los triángulos azules

Indica si los pares ordenados que se dan satisfacen una función lineal. (Lección 5-1)

54.⎧ ⎨

⎩ (3, 8) , (4, 6) , (5, 4) , (6, 2) , (7, 0)

⎫

⎬

⎭ 55.

⎧

⎨

⎩ (6, 1) , (7, 2) , (8, 4) , (9, 7) , (10, 11)

⎫

⎬

⎭

56. ⎧

⎨

⎩ (2, 10) , (7, 9) , (12, 8) , (17, 7) , (22, 6)

⎫

⎬

⎭ 57.

⎧

⎨

⎩ (1, -9) , (3, -7) , (5, -5) , (7, -3) , (9, -1)

⎫

⎬

⎭

Representa gráficamente las soluciones de cada desigualdad lineal. (Lección 6-5)

58. y ≤ 2x - 1 59. - 1_4

x + y > 6 60. 5 - x ≥ 0

Resolver sistemas de desigualdades linealesUna calculadora de gráficas da una solución visual a un sistema de desigualdades lineales.

6-6


6- 6 Laboratorio de tecnología 427

y > 2x - 4

0 2 (0) - 4

0 > -4 ✓

2.75y - x < 6

2.75 (0) - 0 6

0 < 6 ✓

y > 2x - 4

0 2(-1) - 4

0 > -6 ✓

2.75y - x < 6

2.75 (0) - (-1) 6

1 < 6 ✓

Actividad

Representa gráficamente el sistema⎧

⎨

⎩ y > 2x - 4

2.75y - x < 6 . Da dos pares ordenados

que sean soluciones.

1 Escribe la primera línea de límite en forma de pendiente-intersección.

y > 2x – 4 y = 2x – 4

2 Oprime y escribe 2x – 4 para Y1.

La desigualdad contiene el símbolo >. La región solución está

por encima de la línea de límite. Oprime para mover el cursor

hacia la izquierda de Y1. Oprime hasta que aparezca el

icono que presenta una región por encima de una línea. Oprime .

3 Resuelve la segunda desigualdad para hallar y.

2.75y - x < 6

2.75y < x + 6

y < x + 6_2.75

y = x + 6_2.75

4 Oprime y escribe (x + 6) /2.75 para Y2.

La desigualdad contiene el símbolo <. La región solución está

debajo de la línea de límite. Oprime para mover el cursor hacia

la izquierda de Y2. Oprime hasta que aparezca el icono que

presenta una región debajo de una línea. Oprime .

5 Las soluciones del sistema se representan mediante las regiones superpuestas sombreadas. Los puntos (0, 0) y (-1, 0) están en la región sombreada.

Comprueba Prueba (0, 0) en ambas desigualdades. Prueba (–1, 0) en ambas desigualdades.

Inténtalo

Representa gráficamente cada sistema. Da dos pares ordenados que sean soluciones.

1.⎧ ⎨

⎩ x + 5y > -10

x - y < 4 2.

⎧

⎨

⎩ y > x - 2

y ≤ x + 23.

⎧

⎨

⎩ y > x - 2

y ≤ 3 4.

⎧

⎨

⎩ y < x - 3

y - 3 > x

Ecuaciones y fórmulasVentas de osos Gloria fabrica ositos de peluche. Viste algunos como ositas con vestidos y moños y algunos como ositos con corbatas de moño. Le queda poco material. Tiene sólo 100 ojos, 30 vestidos y 60 lazos que se pueden usar como moños para las ositas y como corbatas de moño para los ositos.

1. Escribe las desigualdades que describen esta situación. Seax la cantidad de ositos e y la cantidad de ositas.

2. Representa gráficamente las desigualdades y ubica la región que muestra la cantidad de ositos y ositas que Gloria puede hacer.

3. Anota al menos tres combinacionesde ositos y ositas que Gloria puede hacer.

Usa la tabla para los Problemas 4 y 5.

4. Usando la línea de límite de tu gráfica para el Problema 2, copia y completa la tabla con la cantidad correspondiente de ositas.

5. Gloria vende los ositos para obtener ganancias. Obtiene una ganancia de $8 por las ositas y de $5 por los ositos. Usa la tabla del Problema 4 para hallar la ganancia que obtiene para cada combinación que se da.

6. ¿Qué combinación le da más ganancia? Explica. ¿Dónde se ubica en la gráfica?

Combinacionesde ositos

Osito Osita

0

10

20

30

40

50

SECCIÓN 6B


¿Listo para seguir? 429

Prueba de las Lecciones 6-5 a 6-6

6-5 Cómo resolver desigualdades linealesIndica si el par ordenado es una solución de la desigualdad.

1. (3, -2) ; y < -2x + 1 2. (2, 1) ; y ≥ 3x - 5 3. (1, -6) ; y ≤ 4x - 10


4. y ≥ 4x - 3 5. 3x - y < 5 6. 2x + 3y < 9 7. y ≤ - 1_2

x

8. La madre de Theo le ha dado como máximo $150 para comprarse ropa para la escuela. Los pantalones cuestan $30 cada uno y las camisas cuestan $15 cada una. ¿Cuántas prendas de cada tipo puede comprar? Escribe una desigualdad lineal para describir la situación. Representa gráficamente la desigualdad lineal y da tres combinaciones posibles de pantalones y camisas que Theo podría comprar.


9. 10. 11.

6-6 Cómo resolver sistemas de desigualdades linealesIndica si el par ordenado es una solución del sistema que se da.

12. (-3, -1) ; ⎧

⎨ ⎩ y > -2

y < x + 413. (-3, 0) ;

⎧

⎨ ⎩ y ≤ x + 4

y ≥ -2x - 614. (0, 0) ;

⎧

⎨ ⎩ y ≥ 3x

2x + y < -1


15. ⎧

⎨ ⎩ y > -2

y < x + 316.

⎧

⎨ ⎩ x + y ≤ 2

2x + y ≥ -117.

⎧

⎨ ⎩ 2x - 5y ≤ -5

3x + 2y < 10

Representa gráficamente cada sistema de desigualdades lineales y describe las soluciones.

18.⎧ ⎨

⎩ y ≥ x + 1

y ≥ x - 419.

⎧ ⎨

⎩ y ≥ 2x - 1

y < 2x - 320.

⎧

⎨ ⎩ y < -3x + 5

y > -3x - 2

21. El dueño de una tienda de comestibles vende mangos a $4/lb y manzanas a $3/lb. El dueño comienza cada día con 45 lb de mangos y 50 lb de manzanas. Su objetivo es ganar al menos $300 cada día con la venta de mangos y manzanas. Muestra y describe todas las combinaciones posibles de mangos y manzanas que se podrían vender para alcanzar el objetivo. Anota dos combinaciones posibles.

SECCIÓN 6B


desigualdad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

sistema consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

sistema de desigualdades lineales . . . . . . . . . . 421

sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 383

sistema dependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

sistema inconsistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

sistema independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

solución de una desigualdad lineal . . . . . . . . . 414

solución de un sistema de desigualdades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

solución de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.

1. Un(a) −−−−−− ? es un sistema que tiene exactamente una solución.

2. Un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que contienen la(s) misma(s) variable(s) es un(a) −−−−− ? .

3. El/la −−−−−− ? consiste en todos los pares ordenados que satisfacen todas las desigualdades del sistema.

4. Un sistema que consiste en ecuaciones de líneas paralelas con distintas intersecciones con el eje y es un(a) −−−−− ? .

5. Un(a) −−−−−− ? consiste en de dos líneas secantes.


6. (0, -5) ; ⎧

⎨

⎩ y = -6x + 5

x - y = 5 7. (4, 3) ;

⎧ �

⎨ � ⎩

x - 2y = -2

y = 1_2

x + 1

8. (13_4

, 7 1_4) ;

⎧

⎨ ⎩

x + y = 9

2y = 6x + 49. (-1, -1) ;

⎧

⎨ ⎩

y = -2x + 5

3y = 6x +3


10. ⎧

⎨ ⎩ y = 3x + 2

y = -2x - 311.

⎧ �

⎨ � ⎩

y = - 1_

3 x + 5

2x - 2y = -2

12. Raheel compara el costo de dos estacionamientos. El estacionamiento A cobra una tarifa fija de $6 por automóvil más $0.50 por hora. El estacionamiento B cobra una tarifa fija de $2 por automóvil más $1 por hora. ¿Después de cuántas horas el costo del estacionamiento A será igual al costo del estacionamiento B? ¿Cuál será ese costo?

■ Resuelve ⎧

⎨ ⎩

y = 2x - 2

x + 2y = 16mediante la

representación gráfica.

Comprueba tu respuesta.

⎧ �

⎨ � ⎩

y = 2x - 2

y = - 1_2

x + 8

Escribe la segunda ecuación en forma de pendiente-intersección.

La solución parece estar en (4, 6).

y = 2x - 2 x + 2y = 166 2 (4) - 2 4 + 2 (6) 16

6 6 ✓ 16 16 ✓

El par ordenado (4, 6) hace que ambas ecuaciones sean verdaderas; por lo tanto es una solución del sistema.

6-1 Cómo resolver sistemas mediante la representación gráfica (págs. 383–388)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Vocabulario

Guía de estudio: Repaso 431


13.⎧ ⎨

⎩ y = x + 3

y = 2x + 1214.

⎧ ⎨

⎩ y = -4x

y = 2x - 3

15.⎧ ⎨

⎩ 2x + y = 4

3x + y = 316.

⎧ ⎨

⎩ x + y = -1

y = -2x + 3

17.⎧ ⎨

⎩ x = y - 7

-y - 2x = 818.

⎧ � ⎨

� ⎩ 1_2

x + y = 9

3x - 4y = -6

19. El automóvil de la familia Nash necesita reparaciones. A continuación se muestran las estimaciones para los repuestos y la mano de obra de dos talleres mecánicos.

Taller Repuestos ($)Mano de obra ($ por hora)

Motor Works 650 70

Jim’s Car Care 800 55

¿Para cuántas horas de trabajo el costo total de reparación del automóvil será el mismo en ambos talleres? ¿Cuál será ese costo? ¿Qué taller será más barato si las reparaciones requieren 8 horas de mano de obra? Explica.

■ Resuelve ⎧

⎨ ⎩

2x - 3y = -2

y - 3x = 10por sustitución.

Paso 1 y - 3x = 10 y = 3x + 10

Resuelve la segunda ecuación para hallar y.

Paso 2 2x - 3y = -2

2x - 3 (3x + 10) = -2

Sustituye y por 3x + 10 en la primera ecuación.

Paso 3 2x - 9x - 30 = -2 -7x - 30 = -2

Halla x.

-7x = 28 x = -4

Paso 4 y - 3x = 10 Sustituye x por –4.

Halla y. y - 3 (-4) = 10 y + 12 = 10 y = -2

Paso 5 (-4, -2) Escribe la solución como un par ordenado.

Para comprobar la solución, sustituye (–4, –2)en ambas ecuaciones del sistema.

6-2 Cómo resolver sistemas por sustitución (págs. 390–396)



20.⎧ ⎨

⎩ 4x + y = -1

2x - y = -521.

⎧ ⎨

⎩ x + 2y = -1

x + y = 2

22.⎧ ⎨

⎩ x + y = 12

2x + 5y = 2723.

⎧ � ⎨

� ⎩ 3x - 2y = -6

1_3

x + 3y = 9

Resuelve cada sistema por cualquier método. Explica por qué elegiste cada método. Comprueba tu respuesta.

24.⎧ ⎨

⎩ 3x + y = 2

y = -4x25.

⎧ �

⎨ � ⎩

y = 1_

3 x - 6

y = -2x + 1

26.

⎧

⎨ ⎩ 2y = -3x

y = -2x + 227.

⎧

⎨ ⎩ x - y = 0

3x + y = 8

■ Resuelve ⎧

⎨ ⎩

2x - 3y = -8

x + 4y = 7 por eliminación.

Paso 1 2x - 3y = -8Multiplica la segunda

ecuación por –2.

−−−−−−−−−−−−−− + (-2)(x + 4y = 7)

2x - 3y = -8

−−−−−−−−−−−−− + (-2x - 8y = -14)

Elimina el término x.

Paso 2 0x - 11y = -22 Halla y.y = 2

Paso 3 2x - 3y = -8 2x - 3 (2) = -8

Sustituye y por 2.Simplifica y halla x.

2x - 6 = -8 2x = -2 x = -1

Paso 4 (-1, 2) Escribe la solución como un par ordenado.

Para comprobar la solución, sustituye (–1, 2)en ambas ecuaciones del sistema.

6-3 Cómo resolver sistemas por eliminación (págs. 397–403)




■

⎧ ⎨

⎩ y = 3x + 4

6x - 2y = -8

Usa el método de sustitución porque en la primera ecuación se halla y.

6x - 2 (3x + 4) = -8 6x - 6x - 8 = -8 -8 = -8 ✓

Sustituye y por 3x + 4 en la segunda ecuación.

Verdadero.

La ecuación es una identidad. Hay infinitamente muchas soluciones.

Este sistema es consistente y dependiente.Las dos líneas son coincidentes (la misma línea) porque tienen pendientes e intersecciones con el eje y idénticas.

■

⎧ ⎨

⎩ y = 2x - 1

2x - y = -2

Compara las pendientes y las intersecciones con el eje y. Escribe ambas ecuaciones en forma de pendiente-intersección.

⎧ ⎨

⎩ y = 2x - 1

2x - y = -2

⇒ y = 2x - 1

⇒ y = 2x + 2

Las líneas tienen la misma pendiente y distintas intersecciones con el eje y. Las líneas son paralelas

Las líneas nunca se cruzan; por lo tanto, este sistema es inconsistente. No tiene solución.

■

⎧ ⎨

⎩ 2x - y = 6

y = x - 1

Escribe ambas ecuaciones en forma de pendiente-intersección.

⎧ ⎨

⎩ 2x - y = 6

y = x - 1

⇒ y = 2x - 6⇒ y = 1x - 1

Las líneas se cruzan porque tienen distintas pendientes.

El sistema es consistente e independiente.Hay una solución: (5, 4) .

6-4 Cómo resolver sistemas especiales (págs. 406–411)


Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales.

28.

⎧ �

⎨

� ⎩

y = 1_4

x - 3

y = 1_4

x + 529.

⎧ ⎨

⎩ y = -x + 4

x + y = 4

30.⎧ ⎨

⎩ y = 3x + 2

y = 2x31.

⎧ �

⎨ � ⎩

-4x - y = 6

1_2

y = -2x - 3

32.⎧ �

⎨ � ⎩

x + 2y = 8

y = - 1_2

x + 4 33.

⎧ ⎨

⎩ y - 2x = -1

y + 2x = -5

34. Tristan y su amigo Marco recién comienzan colecciones de DVD. Siguen comprando DVD al ritmo que se muestra en la siguiente tabla. ¿Tristan tendrá alguna vez la misma cantidad de DVD que Marco? Explica.

Colecciones de DVD

Mes 1 Mes 2 Mes 3

Tristan 2 7 12

Marco 8 12 16


35.

⎧ �

⎨

� ⎩

y = 1_2

x + 2

y = 1_4

x - 836.

⎧ ⎨

⎩ y = 3x - 7

y = 3x + 2

37.⎧ ⎨

⎩ 2x + y = 2

y - 2 = -2x38.

⎧ ⎨

⎩ -3x - y = -5

y = -3x - 5

39.⎧ ⎨

⎩ 2x + 3y = 1

3x + 2y = 140.

⎧ �

⎨ � ⎩

x + 1_

2 y = 3

2x = 6 - y

41. Las dos líneas paralelas que se representan gráficamente a continuación representan un sistema de ecuaciones. Clasifica el sistema y da la cantidad de soluciones.

Guía de estudio: Repaso 433


42. (0, -3) ; y < 2x - 3

43. (2, -1) ; y ≥ x - 3

44. (6, 0) ; y > -3x + 4

45. (10, 10) ; y ≤ x - 3


46. y < -2x + 5 47. x - y ≥ 2

48. -x + 2y ≥ 6 49. y > -4x

50. x + y + 4 > 0 51. 5 - y ≥ 2x

52. El club de matemáticas vende pizza y limonada para recaudar dinero para un viaje. Estiman que el viaje costará al menos $450. Si ganan $2 por cada porción de pizza y $1 por cada botella de limonada, ¿cuánto deben vender de cada una para tener suficiente dinero para su viaje? Escribe una desigualdad que describa la situación. Representa gráficamente y luego da dos combinaciones de la cantidad de porciones de pizza y la cantidad de botellas de limonada que necesitan vender.

■ Representa gráficamente las soluciones de x - 2y < 6.

Paso 1 Resuelve la desigualdad para hallar y. x - 2y < 6 -2y < -x + 6

y > 1_2

x - 3

Paso 2 Representa gráficamente y = 1_

2 x - 3.

Usa una línea discontinua para >.

Paso 3 La desigualdad es >; por lo tanto, sombrea por encima de la línea de límite.

Comprueba Sustituye (x, y) por (0, 0) porque no está en la línea de límite.

x - 2y < 6 (0, 0) satisface la desigualdad; por lo tanto, la gráfica está sombreada correctamente.

0 - 2 (0) 6 0 < 6 ✓

6-5 Cómo resolver desigualdades lineales (págs. 414–420)



53. (3, 3) ; ⎧

⎨

⎩ y > -2x + 9

y ≥ x54. (-1, 0) ;

⎧

⎨

⎩ 2x - y > -5

y ≤ -3x - 3


55. ⎧

⎨

⎩ y ≥ x + 4

y > 6x - 356.

⎧

⎨

⎩ y ≤ -2x + 8

y > 3x - 5

57. ⎧

⎨

⎩ -x + 2y > 6

x + y < 4 58.

⎧

⎨

⎩ x - y > 7

x + 3y ≤ 15


59. ⎧

⎨

⎩ y > -x - 6

y < -x + 560.

⎧

⎨

⎩ 4x + 2y ≥ 10

6x + 3y < -9

■ Representa gráficamente ⎧

⎨

⎩ y < -x + 5

y ≥ 2x - 3 . Da dos

pares ordenados que sean soluciones y dos que no sean soluciones.

Representa gráficamente ambas desigualdades.

Las soluciones del sistema se representan con las regiones sombreadas superpuestas.

Los puntos (0, 0) y (-2, 2) son soluciones del sistema.

Los puntos (3, -2) y(4, 4) no son soluciones.

6-6 Cómo resolver sistemas de desigualdades lineales (págs. 421–426)




1. (1, -4) ; ⎧

⎨

⎩ y = -4x

y = 2x - 22. (0, -1) ;

⎧

⎨

⎩ 3x - y = 1

x + 5y = -53. (3, 2) ;

⎧

⎨

⎩ x - 2y = -1

-3x + 2y = 5

Resuelve cada sistema mediante la representación gráfica.

4. ⎧

⎨

⎩ y = x - 3

y = -2x - 35.

⎧ �

⎨ � ⎩

2x + y = -8

y = 1_3

x - 16.

⎧ ⎨

⎩ y = -x + 4

x = y + 2


7.⎧ ⎨

⎩ y = -6

y = -2x - 28.

⎧ ⎨

⎩ -x + y = -4

y = 2x - 11 9.

⎧ ⎨

⎩ x - 3y = 3

2x = 3y

10. Los costos de los servicios en dos residencias caninas se muestran en la tabla. Joslyn planea hospedar a su perro y que lo bañen una vez durante su estadía. ¿Para qué cantidad de días el costo de hospedar y bañar a su perro será el mismo en cada residencia? ¿Cuál será ese costo? Si Joslyn planea tomarse una semana de vacaciones, ¿cuál es el servicio más barato? Explica.

Costos de residencias caninas

Hospedaje($ por día) Baño ($)

Pet Care 30 15

Fido’s 28 27


11. ⎧

⎨

⎩ 3x - y = 7

2x + y = 312.

⎧

⎨

⎩ 4x + y = 0

x + y = -313.

⎧

⎨

⎩ 2x + y = 3

x - 2y = -1


14. ⎧

⎨

⎩ y = 6x - 1

6x - y = 115.

⎧

⎨

⎩ y = -3x - 3

3x + y = 3 16.

⎧

⎨

⎩ 2x - y = 1

-4x + y = 1


17. y < 2x - 5 18. -y ≥ 8 19. y > 1_3

x


20.⎧ �

⎨ � ⎩

y > 1_

2 x - 5

y ≤ 4x - 121.

⎧

⎨

⎩ y > -x + 4

3x - y > 3 22.

⎧

⎨

⎩ y ≥ 2x

y - 2x < 6

23. Ezra y Tava vendieron al menos 150 libros de cupones. Ezra vendió como máximo 30 libros más que el doble de la cantidad que vendió Tava. Muestra y describe todas las combinaciones posibles de las cantidades de libros de cupones que Ezra y Tava vendieron. Anota dos combinaciones posibles.

Práctica para el examen de ingreso a la universidad 435

ENFOQUE EN ACTPara el examen de matemáticas ACT se tienen en cuenta cuatro puntajes: un puntaje basado en los 60 problemas y uno por cada área de contenido. Las tres áreas de contenido son: pre-álgebra/álgebra elemental, álgebra intermedia/geometría de coordenadas y geometría del plano/trigonometría.

Te recomendamos que tomes el tiempo que te lleva hacer este examen de práctica. Deberías tardar aproximadamente 5 minutos en terminar.

Tomar clases que cubran las áreas de contenido del ACT es una buena idea. De esta forma, adquirirás destrezas en cada área del examen. La preparación durante un periodo largo es mejor que memorizar en el último momento.

1. ¿Qué sistema de desigualdades representa la gráfica?

(A)

⎧ ⎨

⎩ -x + 2y < 6

2x + y > -4

(B)

⎧ ⎨

⎩ x - 2y ≤ 6

2x - y ≥ 4

(C)

⎧ ⎨

⎩ -x + 2y ≤ 6

2x + y ≥ 4

(D)

⎧ ⎨

⎩ -x + 2y ≤ 6

2x + y > -4

(E)

⎧ ⎨

⎩ x - 2y ≤ 6

2x - y > 4

2. ¿Cuál es la solución para y en el sistema que se da?

⎧ ⎨

⎩ 4x + 3y = 1

-4x + 3y = -7

(F) -1

(G) 0

(H) 1

(J) 2

(K) 6

3. La empresa de telefonía celular A cobra $20 por mes más $0.12 por minuto. La empresa de telefonía celular B cobra $50 por mes más $0.06 por minuto. ¿Para cuántos minutos de llamadas las cuentas mensuales serán iguales?

(A) 80 minutos

(B) 100 minutos

(C) 160 minutos

(D) 250 minutos

(E) 500 minutos

4. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones NO tiene solución?

(F)

⎧ ⎨

⎩ x + 5y = 30

-4x + 5y = 10

(G)

⎧ ⎨

⎩ x + 5y = -30

-4x + 5y = 10

(H)

⎧ ⎨

⎩ x + 5y = -30

-4x + 5y = -10

(J)

⎧ ⎨

⎩ -4x + 5y = -10

-8x + 10y = -20

(K)

⎧ ⎨

⎩ -4x + 5y = -10

-4x + 5y = -30


Todo tipo de preguntas: lee el problema para comprenderLas preguntas de los exámenes estandarizados pueden tener un formato variable: opción múltiple, respuesta gráfica y respuesta breve o desarrollada. Sin importar el formato que se use en el examen, lee cada pregunta cuidadosamente y haz un análisis crítico. No te precipites. Asegúrate de que comprendes completamente lo que se te pide y lo que debe incluir tu respuesta.

Respuesta desarrolladaUn decorador de interiores cobra una tarifa de $50 por consulta más $12 por hora. Otro decorador de interiores cobra una tarifa de $5 por consulta más $22 por hora. Escribe un sistema de ecuaciones para hallar la cantidad de tiempo para la que el costo de ambos decoradores será el mismo. Representa gráficamente el sistema. ¿Después de cuántas horas el costo de ambos decoradores será el mismo? ¿Cuál será el costo?

Vuelve a leer el problema.

¿Qué información se te da?

las tarifas por consulta y las tarifas por hora de dos decoradores

¿Qué se te pide que hagas?

1. escribir un sistema de ecuaciones.

2. representar gráficamente el sistema.

3. interpretar la solución del sistema.

¿Qué debe incluir tu respuesta?

1. un sistema de ecuaciones con variables definidas

2. una gráfica del sistema

3. el momento en el que el costo de ambos decoradores es el mismo

4. el costo en ese momento

Ayuda para examen 437

Después de responder cada punto, vuelve a leerlo para asegurarte de que tu respuesta incluye todo lo que se pide.

Lee cada recuadro y contesta las preguntas que le siguen.

ARespuesta breve ¿Qué valor de b hará que las líneas se crucen en el punto (-2, 14) ?

⎧ ⎨

⎩ y = -6x + 2

y = 4x + b

1. ¿Qué información se te da?

2. ¿Qué se te pide que hagas?

3. La respuesta de Ming para este problema del examen fue y = 4x + 22. ¿Contestó correctamente? Explica.

BRespuesta desarrollada Resuelve el sistema por eliminación. Explica cómo puedes comprobar tu solución en forma algebraica y en forma gráfica.

⎧ ⎨

⎩ 4x + 10y = -48

6x - 10y = 28

4. ¿Qué método se te pide que uses para resolver el sistema de ecuaciones?

5. ¿Qué métodos se te pide que uses para comprobar tu solución?

6. ¿Cuántas partes tiene este problema? Haz una lista de lo que debe incluir tu respuesta.

CRespuesta gráfica ¿Cuál es la coordenada x de

la solución de este sistema?⎧

⎨

⎩ y = 6x + 9

y = 12x - 15

7. ¿Qué se pregunta?

8. Un estudiante halló correctamente que la solución del sistema es (4, 33). ¿Qué debe marcar el estudiante en la cuadrícula para que la respuesta sea correcta?

DRespuesta breve Escribe una desigualdad para representar la siguiente gráfica. Menciona una situación del mundo real que podría describir esta desigualdad.

9. Como parte de su respuesta, un estudiante escribió lo siguiente:

¿Es adecuada la respuesta? Explica.

10. ¿Qué debe incluir la respuesta para que conteste todas las partes del problema?

EOpción múltiple Taylor recorre 50 millas en bicicleta por semana y aumenta la distancia en 2 millas cada semana. Josie recorre 30 millas por semana en bicicleta y aumenta la distancia en 10 millas cada semana. ¿En cuántas semanas Taylor y Josie recorrerán la misma distancia en bicicleta?

2.5 semanas 55 semanas

7.5 semanas 110 semanas

11. ¿Qué se pregunta?

12. Carson seleccionó incorrectamente la opción Ccomo respuesta. ¿Qué pregunta es probable que haya respondido?


Opción múltiple 1. Si a > 0 y b < 0, ¿cuál de las siguientes opciones

tiene que ser verdadera?

ab > 0 a + b > 0

ab < 0 a + b < 0

2. ¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver hallando la solución de este sistema?

⎧ � ⎨� ⎩

2x + 2y = 56

y = 1_3

x

El área de un rectángulo es 56. El ancho es un tercio de la longitud. Halla la longitud del rectángulo.

El área de un rectángulo es 56. La longitud es un tercio del perímetro. Halla la longitud del rectángulo.

El perímetro de un rectángulo es 56. La longitud es un tercio más que el ancho. Halla la longitud del rectángulo.

El perímetro de un rectángulo es 56. El ancho es un tercio de la longitud. Halla la longitud del rectángulo.

3. ¿Cuál es la pendiente de una línea perpendicular a una línea que pasa por (3, 8) y (1, -4) ?

- 1_6

2

- 1_2

6

4. ¿Qué desigualdad se representa gráficamente a continuación?

-x > -3 2x < -6

-y > -3 3y < 9

EVALUACIÓN ACUMULATIVA, CAPÍTULOS 1–6

5. Un químico tiene un frasco con una solución ácida al 10% y un frasco con una solución ácida al 30%. Mezcla las soluciones para obtener 500 mL de una solución ácida al 25%. ¿Qué cantidad de la solución ácida al 30% usó?

125 mL 375 mL

150 mL 450 mL

6. ¿Qué par ordenado NO es una solución del sistema que se representa gráficamente a continuación?

(0, 0) (1, 1)

(0, 3) (2, 1)

7. ¿Cuál de las siguientes opciones clasifica mejor un sistema de ecuaciones lineales cuya gráfica consiste en dos líneas secantes?

inconsistente y dependiente

inconsistente e independiente

consistente y dependiente

consistente e independiente

8. ¿Qué par ordenado es una solución de este sistema?

⎧ � ⎨� ⎩

2x - y = -2

1_3

y = x

(0, 2) (2, 6)

(1, 3) (3, 8)

9. ¿Dónde cruza el eje y la gráfica de 5x - 10y = 30?

(0, -3) (6, 0)

(0, 1_2 ) (0, -6)

CLAVE: MA7 TestPrep

En la mayoría de los exámenes estandarizados se te permite escribir en tu folleto del examen. Tacha cada opción de respuesta que elimines. Esto podría evitar que marques accidentalmente una respuesta distinta de la que piensas que es correcta. Sin embargo, ¡no dibujes en tu libro de matemáticas!

10. Hillary necesita marcadores y cartulina para un proyecto. Los marcadores cuestan $0.79 cada uno y la cartulina cuesta $1.89 por hoja. Necesita al menos 4 hojas de cartulina. Hillary tiene $15 para gastar en los materiales del proyecto. ¿Qué sistema representa esta información?

⎧ ⎨

⎩ p ≥ 4

0.79m + 1.89p ≤ 15

⎧ ⎨

⎩ 0.79m ≥ 1.89p

4p ≤ 15

⎧ ⎨

⎩ 4p ≥ 1.89

m + 4p ≤ 15

⎧ ⎨

⎩ p + m ≤ 15

0.79m + 1.89p ≥ 4

11. Halla la pendiente de la línea que describe 4x - 2y = -8.

-2 2

- 1_2

4

Respuesta gráfica12. El piso en la entrada de la casa de Kendra es cuadrado

y cada lado mide 6.5 pies. Se colocaron baldosas de color en el centro del piso en un cuadrado que mide 4 pies en cada lado. El resto del piso es de baldosas blancas.

6.5 pies

4 pies

¿Cuántos pies cuadrados del piso de la entrada son baldosas blancas?

13. ¿Qué valor de y hará que la línea que pasa por(4, -4) y (-8, y) tenga una pendiente de - 1__

2?

14. ¿Qué valor de k hace que el sistema y - 5x = -1 e y = kx + 3 sea inconsistente?

Respuesta breve 15. Los datos de la tabla representan

una relación lineal entre x e y.Halla el valor de y que falta. Explica tu respuesta.

x y

-3 -15

-1 -7

0 -3

2

5 17 16. Representa gráficamente y > -x___

3 - 1

en un plano cartesiano. Menciona un punto que sea una solución de la desigualdad.

17. Marc y su hermano Ty comienzan a ahorrar dinero al mismo tiempo. Marc tiene $145 y agregará $10 a sus ahorros cada semana. Ty tiene $20 y agregará $15 a sus ahorros cada semana. ¿Después de cuántas semanas Marc y Ty tendrán la misma cantidad ahorrada? ¿Cuál es esa cantidad? Muestra tu trabajo.

18. Un productor de cine busca extras para actuar como empleados de oficina en su próxima película. El productor necesita extras que tengan al menos 40 años pero menos de 70 años de edad. Deben medir al menos 60 pulgadas pero menos de 75 pulgadas. Representa gráficamente todas las combinaciones posibles de edades y estaturas para los extras que satisfacen las necesidades del productor. Sea x la edad e y la estatura. Muestra tu trabajo.

19. Representa gráficamente el sistema

⎧ ⎨

⎩ y < -2x + 3

y ≥ 6x + 6.

a. ¿Es (0, 0) una solución del sistema que representaste gráficamente? Explica por qué sí o por qué no.

b. ¿Es (-4, 5) una solución del sistema que representaste gráficamente? Explica por qué sí o por qué no.

Respuesta desarrollada 20. Cada año, Erin teje bufandas y las vende en la feria de

artesanías. Este año usó hilo por un valor de $6 para cada bufanda. También pagó $50 para alquilar una mesa en la feria. Vendió cada bufanda a $10.

a. Escribe un sistema de ecuaciones lineales que represente la cantidad que Erin gastó y la cantidad que recaudó. Indica lo que representan tus variables. Indica qué representa cada ecuación del sistema.

b. Usa cualquier método para resolver el sistema que escribiste en la parte a. Muestra tu trabajo. ¿Cuántas bufandas necesitó vender Erin para obtener una ganancia? Explica.

c. Describe dos formas en que podrías comprobar tu solución para la parte b. Comprueba tu solución usando una de esas formas. Muestra tu trabajo.

Evaluación acumulativa, Capítulos 1–6 439

Pine Barrens


N U E V A J E R S E Y

Paseos en kayak y en canoa en Pine BarrensEl área de Pine Barrens, o Pinelands, de Nueva Jersey, cubre más de 1 millón de acres en la región sur y la región central de Nueva Jersey. Los paseos en kayak por los ríos Wading y Oswego son una actividad popular en el verano. Hay varios campamentos y puestos de alquiler de canoas y kayaks a lo largo de los ríos.

Elige una o más estrategias para resolver cada problema.

1. Un grupo de personas viajan en kayak desde Evans Bridge hasta Beaver Branch. Otros dos grupos comienzan su viaje en kayak en Oswego Lake. Uno de estos grupos se dirige a Harrisville y el otro se dirige a Bodine Field. Un cuarto grupo comienza en Speedwell y viaja en kayak hasta Chips Folly. Dibuja un diagrama que represente los puntos donde los viajes comienzan y terminan. Indica si la relación es una función. Explica.

Usa la tabla para los Ejercicios 2 y 3.

2. Si la velocidad promedio de las canoas en el Tiempos aproximados de viaje en canoa en los ríos Wading y Oswego

Viaje Tiempo (h)

Evans Bridge a Beaver Branch 2

Hawkins Bridge a Evans Bridge 3

Oswego Lake a Harrisville 4

Oswego Lake a Beaver Branch 4 1_2

Hawkins Bridge a Beaver Branch 5

Speedwell a Evans Bridge 6

Speedwell a Beaver Branch 8

río es 1 1__2 millas por hora, ¿aproximadamente

qué distancia hay desde Oswego Lake hasta Beaver Branch?

3. Todos los paseos por el río deben terminar a las 4:30 pm. ¿Cuál es la última hora a la que puede comenzar un viaje en canoa para ir desde Speedwell hasta Evans Bridge?

Resolución de problemas en lugares 441

Estrategiasde resolución de problemas

Dibujar un diagrama Hacer un modeloCalcular y poner a pruebaTrabajar en sentido inversoHallar un patrónHacer una tablaResolver un problema más sencilloUsar el razonamiento lógicoUsar un diagrama de VennHacer una lista organizada

Oso negro americanoLos osos negros americanos son los osos más comunes de Estados Unidos. Se los puede encontrar en 11 de los 21 condados de Nueva Jersey. La mayoría de los osos negros machos salvajes pesan entre 125 y 600 libras, mientras que las hembras por lo general pesan entre 90 y 300 libras. El peso depende de la edad, de la estación del año y de la disponibilidad del alimento

Elige una o más estrategias para resolver cada problema.

1. Los osos negros hibernan durante aproximadamente 5 meses en invierno. Deben acumular entre 50 y 60 libras de grasa para sobrevivir durante la hibernación. En el mes anterior a la hibernación, un oso negro puede consumir hasta 20,000 calorías por día. Si un oso consume un promedio de 18,500 calorías por día en el mes de agosto, ¿aproximadamente cuántas calorías totales consumirá ese mes?

Usa la gráfica para el Ejercicio 2.

2. Un oso macho pesaba 2__3 de libra al nacer.

Cuando murió a los 20 años de edad, pesaba 400 libras. Usa la gráfica para estimar cuánto pesaba el oso cuando tenía 7 años de edad.

3. Un ciervo de cola blanca escapa de un oso negro a 20 millas por hora. Está 1__

3 de milla

delante del oso. El oso corre a 30 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará el oso en atrapar al ciervo? Debes suponer que ambos siguen corriendo al mismo ritmo.

4. Durante los meses de hibernación, el ritmo cardíaco del oso disminuye a aproximadamente 10 latidos por minuto. Si el oso hiberna durante 155 días, ¿cuántas veces latirá su corazón?

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