Dinmica 2015-1

Sesin 1

Tema:

Cinemtica de la Partcula en

Movimiento Absoluto

Emprendedores sin fronteras

1

CLASIFICACION DE LA

DINAMICA

1.5 1.6

PARTES DE ESTUDIO DE LA CINEMATICA

Un automvil se mueve en lnea recta sobre una carretera, donde

X = 0,4t3 + 8t + 10 (m), a partir de su estado inicia en t = 0, determine:

a.- El tiempo que le toma al vehculo alcanzar la velocidad de 88i (m/s)

b.- Cual es el recorrido durante este tiempo.

c.- Cual es la aceleracin cuando el vehculo alcanza la rapidez de 88 m/s.

En el movimiento rectilneo de un vehculo se sabe que a = -2x + 1, siendo sus

condiciones de frontera V0 = 4 m/s, x0 = 5 m, t0 = 0 s; determine:

a.- La rapidez cuando x = 0,5 m.

b.- El tiempo cuando x = 0,5 m

c.- La posicin X cuando t = 1 s

En este capitulo explicaremos como se puede localizar un punto en el espacio a

partir de un sistema de referencia.

Determinaremos la Posicion, velocidad y aceleracion de una particula en el espacio,

em forma absoluta.

Una posicion esta determinada por un conjunto de coordenadas, sean

rectangulares, cilindricas o esfericas.

CINEMATICA DE LA

PARTICULA EN EL ESPACIO

Una Posicion en el espacio

Puntos crticos

MOVIMIENTO CURVILINEO DE UNA PARTICULA

Cuando una partcula no se desplaza en lnea recta, se dice que la

partcula describe un movimiento curvilneo. Tanto en el plano como en

el espacio, existen tres procedimientos de descripcin del movimiento

de una partcula:

Procedimiento vectorial

Procedimiento natural

Procedimiento de coordenadas

( )r r t

Procedimiento vectorial

Vector posicin:

(en el plano)

( )R R t (en el espacio)

Velocidad Media:

2 1

2 1

m

r r rv

t t t

(para t pequeos)

0t

r drv Lim r

t dt

Rapidez instantnea (v)dS

v Sdt

m

va

t

Magnitud de la aceleracin tangencial instantnea (at )

2

2

dv d ra v r

dt dt

2

2

dv d Sa v S

dt dt (Donde S es el arco recorrido)

2 t n t n

va a a ve e

Queremos demostrar que:

MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

Se utiliza en el plano y en el espacio, pero es de mas utilidad practica en problemas

de movimiento plano.

tv veVelocidad de la partcula:

Donde es el radio de curvatura

.tt

de dsa ve v

dt ds

2 tt

dea ve v

ds

dS d

Del grafico tenemos que:

d

d

dS

1t te e Tambin de:

0t tt t

de dee e

dS dS

Lo que indica que:

/ / n

t tt

de dee

dS dSe

te

t te de

t te de

te

tde

t tde e d d

.t t n nde de e d e Tambin:

1ddS d

dS

Como:

Por L.A.:

tn

tn

dee

dS

de de

dS dS

1 t

nt

n n

de de e

dS d

dee

dS S

Entonces:

2 tt

dea ve v

ds En:

2

t n

va ve e

ne

/ / ntde e

2 0 0t

ttt

de

dSe

dee

dS

rv re r e Vector Velocidad:

Vector Aceleracin:

2 ( ) ( 2 )ra r r e r r e

Donde:

2( )ra r r

( 2 )a r r

MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES

RADIAL Y TRANSVERSAL

Es til para aplicaciones en problemas de movimiento plano:

Vector posicin: rr re

Donde:

rv r v r

a

ra

a

De la figura tenemos algunas propiedades importantes:

t

v aa

v

n

v aa

v

3v

v a

2 2

t na a a

3/2

2

2

2

1 ( )dy

dx

d y

dx

R Xi Yj Zk

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

La ampliacin de dos dimensiones (x,y) a tres dimensiones (x,y,z) no ofrece

dificultad especial. Simplemente basta aadir la coordenada z y sus dos

derivadas temporales a las expresiones bidimensionales, de forma que el

vector de posicin R, la velocidad v y la aceleracin a se expresan de la

siguiente manera:

X Y Z

v Xi Yj Zk

v v i v j v k

X Y Z

X Y Z

a Xi Yj Zk

a v i v j v k

a a i a j a k

R

MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO

EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, , Z)

La posicin de la partcula P se define utilizando las

coordenadas cilndricas (a)

Descomponindose en trminos de sus vectores unitarios: , ,re e k

Siendo R el vector posicin: rR re zk

r

dRv re r e zk

dt

22

2 ( ) ( 2 )r

dv d Ra r r e r r e zk

dt dt

rv r v r zv z

2

ra r r 2a r r Za z

2 2 2

r zv v v v

2 2 2

r za a a a

Primero determinaremos las

variaciones de respecto del

tiempo:

4rad

8 /rad s

0

Con h = 4 m = cte. lo

reemplazamos en Z y

determinamos las variaciones

de z respecto del tiempo:

2 2 2z Cos Para = /4

4 2 ( )z Sen Para = /4 32 /z m s

28 2 ( ) 4 2 ( )z Cos Sen

2z m

0z Para = /4

r264r z

De la figura obtenemos:

8 .R m cte

Para z = 2m: 7,7459r m

1/2

264r z

1/2

2

2

1 ( )64 .( 2 . )

2 64

z zr z z z

z

8, 2623 /r m s

: 2 32 /Para z m z m s

2 22

2

{ ( )}64 [( ( ) (z) ] [ ( )]

64

64

z zz z z z z

zr

z

2 2 2

3/22 2

( ) (z) ( )

64 64

z z z zr

z z

0z Con:

Obtenemos:

2141,011 /r m s

La velocidad en coordenadas cilndricas es:

rv re r e zk

8,2623 /rv r m s

(7,7459)(8) 61,9672 /v r m s

32 /zv z m s

Ordenando la informacin:

2

7,7459

8,2623 /

141,011 /

r m

r m s

r m s

4

8 /

0

rad

rad s

2

32 /

0

z m

z m s

z

Luego determinamos cada componente de esta velocidad:

De igual manera calcularemos las componentes de la aceleracin en coordenadas

cilndricas:

2

7,7459

8, 2623 /

141,011 /

r m

r m s

r m s

4

8 /

0

rad

rad s

2

32 /

0

z m

z m s

z

2 ( ) (2 )ra r r e r r e zk 2 2( ) ( 141,011 7,7459(8)ra r r

2636,7486 /ra m s

2 2( 8,2623)(8) (7,7459)(0)a r r

2132,1968 /a m s

0za z

0za

MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO

EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , )

Las expresiones de la posicin y velocidad son fciles; pero de la aceleracin es mas

complicada a causa de la geometra adicional necesaria. Obsrvese que el sentido

del vector eR es el que tendra el movimiento del punto B, si R aumentara, pero

manteniendo constantes y . Asimismo, el sentido de e, es el que tendra B si aumentara, pero mantenindose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el

que tendra el movimiento de B si aumentara pero mantenindose constantes R y

.

RR Re

RR Re

R R R

dRv v e v e v e Re R Cos e R e

dt

Donde:

Rv R v R Cos v R

EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION

DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS

2

2

R R

dv d Ra a e a e a e

dt dt

22 2

Rv v v v

Donde: 2 2 2

Ra R R R Cos

2( )2

Cos d Ra R Sen

R dt

221 ( )d Ra R Sen Cos

R dt

2 2a R Cos R Cos R Sen

22a R R R Sen Cos

22 2

Ra a a a

Rv R

v R Cos

v R

Transformacion de CoordenadasNos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un Sistema en base a

otros conocidos.

Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando el

algebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion:

Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:

re

e

Haciendo una vista de Planta:

r

O

y

x

Xv

Yv

re

e

0r x y zv v Cos v Sen v

xv Cos

xv Sen

yv Cos

yv Sen

0x y zv v Sen v Cos v

0 1z x y zv ov v v

Donde:

cos 0

cos 0

0 0 1

r x

y

z z

v sen v

v Sen v

v v

]][[][ ),,(),,( zyxzr vTv

100

0cos

0cos

Sen

sen

T

]][[][ ),,(),,( zyxzr aTa

Siendo:

En forma similar:

En forma simplificada:

cos 0

cos 0

0 0 1

r x

y

z z

a sen a

a Sen a

a a

Transformacion de Coordenadas

]][[][ ),,(1

),,( zrzyx vTv

Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:

]][[][ ),,(1

),,( zrzyx aTa

100

0

01

CosSen

SenCos

T

Transformacion de Coordenadas

]][[][ ),,(),,( zrR vTv

CosSen

SenCos

T

0

010

0

Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:

]][[][ ),,(),,( zrR aTa

Transformacion de Coordenadas

]][[][ ),,(1

),,( Rzr vTv

CosSen

SenCos

T

0

010

01

Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:

]][[][ ),,(1

),,( Rzr aTa

Transformacion de Coordenadas

Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:

CosSenSenCosSen

CosSen

SenSenCos

TT 0

coscos

]][][[][ ),,(),,( zyxR vTTv

]][][[][ ),,(),,( zyxR aTTa

Transformacion de Coordenadas

Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:

CosSen

SenSenCosCosSen

SenCosSenCosCos

TT

0

11

]][][[][ ),,(11

),,( Rzyx aTTa

]][][[][ ),,(11

),,( Rzyx vTTv

PROBLEMA DE APLICACIN

1

BLOQUE A (4 puntos) El avin se mueve en una trayectoria

rectilnea donde su rapidez en A es

252 km/hr y su aceleracin constante

es de 2 m/s2. Para un tiempo de 60 s

determine:

a.- La componente rv de la velocidad

de P.(m/s)

b.- La componente v de la velocidad

de P.(m/s)

c.- La componente Rv de la velocidad de P.(m/s)

d.- La componente v de la velocidad de P.(m/s)

0 70 2(60) 190 /Pv v at m s

Pv

Pa

22 /Pa m s cte 2 2

0 0

1 10 70(60) (2)(60)

2 2S S v t at

7800S m

15 Y

Z

Yv

190 15 183,5259Yv Cos

Zv

190 15 49,1756 /Zv Sen m s

7534,22142,5114

300

68,288

0

3

tg

2 2(7534,2214) (30

810

0

9

0)

,5309

r

r m

0

0

0 0 1

r X

Y

z Z

v Cos Sen v

v Sen Cos v

v v

68,2883 68,2883 0 0

68,2883 68,2883 0 183,5259

0 0 1 49,1756

r

z

v Cos Sen

v Sen Cos

v

170,506 /rv m s 67,8929 /v m s

S

Pv

Pa15 Y

Z

Yv190 15 183,5259Yv Cos

Zv

190 15 49,1756 /Zv Sen m s

2018,78850,24894

8109,53

13,979

09tg

2 2(7534,2214) (30

810

0

9

0)

,5309

r

r m

cos cos

0

R X

Y

Z

v Cos Sen Sen v

v Sen Cos v

v Sen Cos Sen Sen Cos v

cos13,979. 68,2883 13,979.Sen 68,2883 13,979 0

68,2883 68,2883 0 183,5259

13,979. 68, 2883 13,979. 68,2883 13,979 49,1756

Rv Cos Cos Sen

v Sen Cos

v Sen Cos Sen Sen Cos

177,3355 /Rv m s 6,5307 /v m s

0Xv

2 2(2018,7885) (8109,5309)

8357,0328R m

R

RESULTADOS BLOQUE A

Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION

a Vr 170,506 m/s

b V 67,8929 m/s

c vR 177,3355 m/s

d v 6,5307 m/s

PROBLEMA DE APLICACIN

2

Un nio se desliza por un tobogn acutico AB. La descripcin del movimiento en

coordenadas cilndricas es R = 4m, = at2 y z = h(1 - t2); cuando el nio se encuentra

en B, calcule:

a.- La magnitud de la velocidad vR.(m/s)

b.- La magnitud de la aceleracin aR.(m/s2)

c.- La magnitud de la aceleracin a.(m/s2)

d.- La magnitud de la aceleracin a.(m/s2)

Luego z derivando y reemplazando:

1.- Observamos que la trayectoria de la

partcula se hace a travs de un cilindro:

23 3z t

4

0

0

r m cte

r

r

2.- De la expresin:

2

0

3(2) 6 /

6 /

z

z t m s

z m s

Para z = 0 determinamos el tiempo t

20 3 3 1t t s

3.- De la expresin:2at En B: = rad 2at

2(1)a a 2t

2 2 /t rad s

22 2 /rad s 22 /

2 /

rad

rad s

rad s

0rv r

6 /zv z m s

26 /Za z m s

4

0

0

r m

r

r

2

0

6 /

6 /

z

z m s

z m s

22 /

2 /

rad

rad s

rad s

4(2)(3,1416) 25,1328 /v r m s

2 2 24(2 ) 157,9144 /ra r r m s

22 4(2 ) 25,1328 /a r r m s

Determinando las expresiones de la velocidad y

aceleracin en coordenadas cilndricas:

Ahora en velocidades realizaremos la transformacin de

coordenadas cilndricas a esfricas donde en B: = 0

0

0 1 0

0

R r

z

v Cos Sen v

v v

v Sen Cos v

0 0 0 0

0 1 0 25,1328

0 0 0 6

Rv Cos Sen

v

v Sen Cos

1 0 0 0

0 1 0 25,1328

0 0 1 6

Rv

v

v

0Rv 6 /v m s 25,1328 /v m s

Ahora en aceleraciones realizaremos la transformacin de

coordenadas cilndricas a esfricas donde en B: = 0

0

0 1 0

0

R r

z

a Cos Sen a

a a

a Sen Cos a

0 0 0 157,9144

0 1 0 25,1328

0 0 0 6

Ra Cos Sen

a

a Sen Cos

1 0 0 157,9144

0 1 0 25,1328

0 0 1 6

Ra

a

a

2157,9144 /Ra m s 26 /a m s

225,1328 /a m s

Las barquillas del Tiovivo del Parque de Atracciones se mueven con una

frecuencia angular N = 11,2 RPM constante para = (/6)t, para t = 1 sCalcule en coordenadas esfricas:

1.- La velocidad radial.(m/s)

2.- La velocidad transversal en .(m/s)3.- La velocidad transversal en .(m/s)

4.- La aceleracin radial.(m/s2)

5.- La aceleracin transversal en .(m/s2)6.- La aceleracin transversal en .(m/s2)

El problema se puede resolver por dos mtodos:

1.- Coordenadas cilndricas

2.- Coordenadas esfricas

1 Forma de Solucin: Coordenadas esfricas:

4,6m

R

2 2 2(4,6) (9,2) 2(4,6)(9,2) (90 )oR Cos

De la figura utilizando la Ley de Cosenos:

1,1728 /N rad s

0

2 105,8 84,64R Sen Para t = 1 s 6rad

R = 12,17 m(1)

2 84,646 6

RR Cos t

1,5768 /R m s

Derivando (1) respecto de t:

2 84,646 6

RR Cos t

Nuevamente derivando (2):

(2):

2 22( . ) ( ) (84,64)6 6

R R R Sen t

Para t = 1 s:

20,6809 /R m s

Ahora determinaremos

el ngulo y

4,6m

R

9,2Sen(/6)t

9,2Cos(/6)tZ

r

9,26

4,6 9,26

Cos tZ

tgr

Sen t

40,8932

Para t = 1 s:

Derivando la tg:

2

2

(4,6 (9,2 ))(9,2( ) ) ( 9,2 )(9,2( ) )6 6 6 6 6 6

(4,6 (9,2 ))6

Sen t Sen t Cos t Cos t

Sec

Sen t

0,37588 /ra s

1,5768 /Rv R m s

12,17(1,1728) ( 40,8932 )v R Cos Cos

12,17(0,37588)v R

10,7893 /v m s

4,5744 /v m s

Reemplazando datos para el calculo de las aceleraciones tenemos:

2 2 2

Ra R R R Cos

2 2a R Cos R Cos R Sen

22a R R R Sen Cos

2 2 2( 0,6809) (12,17)(0,37588) (12,17)(1,1728) ( 40,8932)Ra Cos

211,9657 /Ra m s

2(1,5768)(1,1728) ( 40,8932 ) 12,17(0) ( 40,8932 ) 2(12,17)(1,1728)(0,37588) ( 40,8932 )a Cos Cos Sen

215,8917 /a m s

22a R R R Sen Cos COMPLICADO CALCULAR:

2 Forma de Solucin: Coordenadas Cilndricas:

4,6m

R

9,2Sen(/6)t

Z

9,2Cos(/6)t

rR re zk

4,6 9,26

r Sen t

( )9,26 6

r Cos t

2( ) 9,26 6

r Sen t

Para t = 1 s

9,2r m

4,17171 /r m s

21,2611 /r m s

9,26

z Cos t

( )9,26 6

z Sen t

2( ) 9,26 6

z Cos t

Para t = 1 s 7,9674z m

2,4085 /z m s22,1843 /z m s

Tambin:2rad

1,1728 /N rad s cte 0

2 21,2611 (9,2)(1,1728) 13,9153 /ra m s

2(9,2)(0) 2(4,1717)(1,1728) 9,7851 /a m s

2,4085 /Zv m s4,1717 /rv m s 10,7897 /v m s

22,1843 /Za m s

Z

rR

v

v

v

CosSen

SenCos

v

v

v

0

010

0

Anlisis de velocidades:

4085,2

7897,10

1717,4

7559,006546,0

010

6546,007559,0

v

v

vR

0,7559(4,17171) ( 0,6546)(2,4085) 1,5767 /Rv m s

10,7897 /v m s

0,6546(4,17171) (0,7559)(2,4085) 4,5513 /v m s

Z

rR

a

a

a

CosSen

SenCos

a

a

a

0

010

0

Anlisis de aceleraciones:

1843,2

7851,9

9153,13

7559,006546,0

010

6546,007559,0

a

a

aR

20,7559( 13,9153) ( 0,6546)(2,1843) 11,9484 /Ra m s 29,7851 /a m s

20,6546( 13,9153) (0,7559)(2,1843) 7,4578 /a m s

PROBLEMA DE APLICACIN

2

En el instante mostrado el rociador de agua

est girando con =2 rad/s = 3 rad/s2 .

Si la tobera se halla en el plano vertical y el

agua fluye por ella a razn constante de 3 m/s

y la tobera gira con respecto al eje Z con

= 5 rad/s y =8 rad/s2

Calcular:

1.- La magnitud de la velocidad del agua en la salida. (m/s)

2.- La magnitud de la aceleracin del agua en la salida ,en el eje X. (m/s2)

3.- La magnitud de la aceleracin del agua en la salida ,en el eje Y. (m/s2)

4.- La magnitud de la aceleracin del agua en la salida ,en el eje Z.(m/s2)

De la figura :

Recopilando los datos a utilizar

20

3

2.0

smR

smR

mR

2

4

2

3

rad

rad

s

rad

s

2

2

5

8

rad

rad

s

rad

s

CALCULO DE LA VELOCIDAD

0.2(2) 0.4 /v R m s

3 /Rv R m s

cos

0.2(5) (45 ) 0.7071

v R

mv Coss

RRv v e v e v e

En coordenadas esfricas, la velocidad est dada por:

Calculando el modulo :

smvvvV

r1080.3222

3.1080 /v m s

smV 1080.34.07071.03 222

CALCULO DE ACELERACIONES

RRa a e a e a e

CosRRRar22

SenRCosRCosRa 22

2 2 20 0.2(2 ) 0.2(5 ) 45Ra Cos

En coordenadas esfricas la aceleracin est dada por:

23.3 /Ra m s

2/5161.19 sma

2/1.15 sma

CosSenRRRa22

22(3)(2) 0.2(3) 0.2(5 ) 45 45a Sen Cos

2(3)(5) 45 0.2(8) 45 2(0.2)(5)(2) 45a Cos Cos Sen

Aplicamos transformacin de coordenadas

esfricas a coordenadas cartesianas segn

la ecuacin:

]][][[][ ),,(11

),,( rzyx aTTa

cos0

coscos

coscoscos11

sen

sensensen

sensen

TT

1.15

5161.19

3.3

7071.007071.0

7071.007071.0

010

z

y

x

a

a

a

resolviendo:

3438.8

0106.13

5161.19

z

y

x

a

a

a

Reemplazando datos:

Finalmente

N Variable Cantidad Unidades

01. VA 3.1080 m/s

02. aAx 19.5161 m/s

03. aAy 13.0106 m/s

04. aAz 8.3438 m/s

THE END!

Higher Education:

Lets make it all that it can be and needs to be!Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!

Profesor: M.Sc Tito Vilchez