Cinetica de La Particula

Universidad Nacional Agraria La Molina Facultad de Ingeniería Agrícola

Departamento de Mecanización Agrícola

Guía de Estudio

Solucionario de algunos problemas propuestos en el libro Ingeniería Mecánica – Dinámica de R. C. Hibbeler

Cinética de la Partícula

Elaborado por : Ing° Hugo D. Pachas Luna

La Molina, Enero del 2002

Contenido

Pág Cinética de la Partícula .................................................................. 1 I. Fuerza y Aceleración ............................................................. 1

I.1. Componentes Rectangulares ........................................ 2 Ejemplo 1.1.1. .................................................................. 2 Ejemplo 1.1.2. .................................................................. 3 Ejemplo 1.1.3. .................................................................. 3 Ejemplo 1.1.4. .................................................................. 4 Ejemplo 1.1.5. .................................................................. 4 Ejemplo 1.1.6. .................................................................. 5 Ejemplo 1.1.7. .................................................................. 6 Ejemplo 1.1.8. .................................................................. 6 Ejemplo 1.1.9. .................................................................. 7 I.2. Componentes Normales y Tangenciales ...................... 8 Ejemplo 1.2.1. .................................................................. 8 Ejemplo 1.2.2. .................................................................. 9 Ejemplo 1.2.3. .................................................................. 9 Ejemplo 1.2.4. .................................................................. 10 Ejemplo 1.2.5. .................................................................. 10 Ejemplo 1.2.6. .................................................................. 11 Ejemplo 1.2.7. .................................................................. 11 Ejemplo 1.2.8. .................................................................. 12 Ejemplo 1.2.9. .................................................................. 13 I.3. Componentes Cilíndricas ................................................ 14 Ejemplo 1.3.1. .................................................................. 14 Ejemplo 1.3.2. .................................................................. 15 Ejemplo 1.3.3. .................................................................. 16 Ejemplo 1.3.4. .................................................................. 16 Ejemplo 1.3.5. .................................................................. 17 Ejemplo 1.3.6. .................................................................. 17 Ejemplo 1.3.7. .................................................................. 18 Ejemplo 1.3.8. .................................................................. 18

Ejemplo 1.3.9. .................................................................. 19 Ejemplo 1.3.10. ................................................................ 20

II. Trabajo y Energía ................................................................... 21

II.1. Principio del Trabajo y la Energía .................................. 22 Ejemplo 2.1.1. .................................................................. 23 Ejemplo 2.1.2. .................................................................. 24 Ejemplo 2.1.3. .................................................................. 24 Ejemplo 2.1.4. .................................................................. 24 Ejemplo 2.1.5. .................................................................. 25 Ejemplo 2.1.6. .................................................................. 25 Ejemplo 2.1.7. .................................................................. 26 Ejemplo 2.1.8. .................................................................. 26 Ejemplo 2.1.9. .................................................................. 27 Ejemplo 2.1.10. ................................................................ 27 II.2. Potencia y Eficiencia ...................................................... 28 Ejemplo 2.2.1. .................................................................. 29 Ejemplo 2.2.2. .................................................................. 29 Ejemplo 2.2.3. .................................................................. 30 Ejemplo 2.2.4. .................................................................. 30 Ejemplo 2.2.5. .................................................................. 31 Ejemplo 2.2.6. .................................................................. 31 Ejemplo 2.2.7. .................................................................. 31 Ejemplo 2.2.8. .................................................................. 32 Ejemplo 2.2.9. .................................................................. 32 II.3. Energía Potencial ............................................................ 33 Conservación de la Energía .......................................... 34 Ejemplo 2.3.1. .................................................................. 34 Ejemplo 2.3.2. .................................................................. 35 Ejemplo 2.3.3. .................................................................. 35 Ejemplo 2.3.4. .................................................................. 35 Ejemplo 2.3.5. .................................................................. 37 Ejemplo 2.3.6. .................................................................. 37 Ejemplo 2.3.7. .................................................................. 38 Ejemplo 2.3.8. .................................................................. 38 Ejemplo 2.3.9. .................................................................. 39

Ejemplo 2.3.10. ................................................................ 39 Ejemplo 2.3.11. ................................................................ 40 Ejemplo 2.3.12. ................................................................ 40

III. Impulso y Momento Lineales ................................................ 41

III.1. Principio del Impulso y Momento Lineales ................. 41 Ejemplo 3.1.1. .................................................................. 42 Ejemplo 3.1.2. .................................................................. 42 Ejemplo 3.1.3. .................................................................. 43 Ejemplo 3.1.4. .................................................................. 43 Ejemplo 3.1.5. .................................................................. 44

III.2. Conservación del Momento Lineal ............................... 44 Ejemplo 3.2.1. .................................................................. 45 Ejemplo 3.2.2. .................................................................. 45 Ejemplo 3.2.3. .................................................................. 46 Ejemplo 3.2.4. .................................................................. 46

III.3. Impacto ............................................................................ 47 Ejemplo 3.3.1. .................................................................. 48 Ejemplo 3.3.2. .................................................................. 49 Ejemplo 3.3.3. .................................................................. 49 Ejemplo 3.3.4. .................................................................. 50 Ejemplo 3.3.5. .................................................................. 50 Ejemplo 3.3.6. .................................................................. 51 Ejemplo 3.3.7. .................................................................. 52 Ejemplo 3.3.8. .................................................................. 52 Ejemplo 3.3.9. .................................................................. 52 Ejemplo 3.3.10. ................................................................ 53 Ejemplo 3.3.11. ................................................................ 54 Ejemplo 3.3.12. ................................................................ 54 Ejemplo 3.3.13. ................................................................ 55 Ejemplo 3.3.14. ................................................................ 55 Ejemplo 3.3.15. ................................................................ 56 Ejemplo 3.3.16. ................................................................ 56

IV. Impulso y Momento Angulares

IV.1. Principio del Impuso y Momento Angulares ................ 57 Ejemplo 4.1.1. .................................................................. 58 Ejemplo 4.1.2. .................................................................. 58 Ejemplo 4.1.3. .................................................................. 59 Ejemplo 4.1.4. .................................................................. 59 Ejemplo 4.1.5. .................................................................. 60

Bibliografía ...................................................................................... 61

Mecánica II Página 1 Ing° Hugo D. Pachas Luna Cinética de la Partícula

Cinética de la Partícula I. Fuerza y Aceleración

La cinética estudia los efectos provocados por fuerzas no equilibradas que actúan sobre una partícula. De acuerdo con la segunda ley de Newton una partícula sobre la que actúa una fuerza no equilibrada F experimenta una aceleración a con la misma dirección que la fuerza y con una magnitud directamente proporcional a la fuerza. Esta constante de proporcionalidad m es un valor escalar positivo, conocido como masa de la partícula, la cual nos da una medición cuantitativa de la resistencia de la partícula a un cambio de velocidad.

)C(...amF =∑ Algunas fuerzas típicas: El peso (W) de una partícula essobre ésta el planeta Tierra. Luego Wde la gravedad, medida en un punto dmar y a una latitud de 45°. El peso siede la Tierra. Según el sistema de unida

g = 9.81 m/s² (Sisteg = 32.2 p/s² (Siste

La fuerza normal (N) es la fueruna superficie sólida sobre la cual eEsta fuerza siempre está dirigida en fode contacto, hacia el centro de la partíc La fuerza de fricción (Ff) es ejerce una superficie áspera sobre ladel movimiento. Esta fuerza siempre sla partícula en relación con la supecontacto, siendo paralela a ésta. La fricción depende de la fuerza normafricción cinético µk entre la partícula yEs decir: Ff = µk N.

Si la partícula en estudio se enccalcular la fuerza de fricción utilizandoFf = µs N, siempre oponiéndose a la paralela al plano de contacto con la su

Unidades S.I. Británico Fuerza Masa

Aceleración

Newton (N) Kilogramo (Kg) metros/s² (m/s²)

libra (lb) slug

pies/s² (p/s²)

1 N = 21.62 lb 1 p = 0.3048 m

la fuerza de atracción que ejerce = m g, donde g es la aceleración e la superficie terrestre, a nivel del mpre está dirigido hacia el centro des empleado:

W

ma Internacional de Unidades) N ma Británico de Unidades)

za de reacción que ejerce stá apoyada la partícula. rma perpendicular al plano ula.

la fuerza de reacción que partícula como resultado e opone al movimiento de rficie con la que está en magnitud de la fuerza de l N y del coeficiente de la superficie de contacto.

vv

fFv

uentra en reposo, se debe el µ estático (µs), es decir tendencia al movimiento y perficie.


La fuerza de resorte (Fs) es la fuerza de reacción que ejerce un resorte elástico como resultado de una variación de su longitud de equilibrio. La magnitud de la fuerza de resorte depende de la rigidez del resorte k y su distancia estirada o comprimida s. Es decir : Fs = k s.

x

y

z

xy

z

P∑ yF

∑ xF

∑ zF

Para la resolución de los ejercicios planteados debe plantearse siempre el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la partícula en estudio, ubicando todas las fuerzas que actúan sobre dicha partícula.

Comprimida

Estirada

No deformada

Fs

Fs

s s

I.1. Componentes Rectangulares En este caso se expresan en la ecuación (C) las fuerzas y aceleraciones usando un sistema coordenado fijo x, y, z.

zz

yy

xx

amFamFamF

=

=

=

∑∑∑

Cabe mencionar que si la partícula se desplaza en un solo plano sólo se necesitan las ecuaciones referentes a ese único plano. Ejemplos : 1.1.1. Al utilizar un plano inclinado para retardar el movimiento de un objeto que

cae y, por lo tanto, poder realizar observaciones más precisas, Galileo pudo determinar de manera experimental que la distancia que recorre un objeto en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo necesario para realizar tal recorrido. Demuestre que si éste es el caso, es decir s = f (t²), al determinar los tiempos tB, tC y tD necesarios para que un bloque de masa m, partiendo del reposo en A, se deslice hasta los puntos B, C y D, respectivamente. Ignore los efectos de la fricción.

m2sB =m4sC =m9sD =A

at²

t:m9s parat:m s parat:m 2s para

t² 1.6776st² 20 sen gt vs

DD

CC

BB

21

21

0

===

=

°=+=

.

4

Rpta
B
s 2.3162s 1.5441s 1.0919

===

.
Rpta C
D °20


1.1.2. Cada uno de los bloques A y B tiene una masa m. Determine la máxima fuerza horizontal P que es posible aplicar a B de manera que A no se mueva en relación con B. Todas las superficies son lisas.

PBθ

A

θ=

θ

θ=

θ=→

=θ

=

θ=→=θ

=

∑

∑

tangm

sencos

gmmsenNa

amsenNamF

cosmgNgmcosN

0F

B

B

xx

BB

y

AADCL

BNθ

gm

θ==

=∑

tangm2Pam2P

amF xx

PABABDCL

1.1.3. Un paracaidista, con una masa m, abre el paracaídas d

una gran altitud. Si la resistencia atmosférica al avance esk es constante, determine la velocidad que alcanza ddurante un tiempo t. ¿Cuál es la velocidad en el momenEsta velocidad terminal se obtiene cuando t → ∞.

∫∫

∑

=−α

→=α

=

−

→−=

=

t

0

v

0 22

2

2

yy

dtv

dvkm

kgmsi

dtv

kgmk

dvmvkgmdtdvm

amF

θ

α22 v−α

v

θcosvsdvcosv

22222 =α−α=−α

α−=→θα= v

022

v

0 22 vvLn

sencos1Lndcosec

vdv

−α

+α=

θθ+

=θθ−=−α ∫∫

(

vve

vve0

vvLn

kmt

:doReemplazan

2mkt2

22mkt

22 −α+α

=→−α

+α=→

−

−α

+α=

Rpta.

esde el reposo a FD = kv2, donde espués de caer to del aterrizaje?

FD

v

θsenden

22α

θθ

) ( )( )( )( ) v

vvvvv

2

2

−α+α

=−α+α+α+α

=


( )

D

Finalmente

( ) ( )

( )( )

+−

=+−α

=

+=−α→+α=−α

1e1e

kmg

1e1ev:

e1v1evev

m2kt

m2kt

m2kt

m2kt

m2ktm2ktm2kt

.

kmg

11

kmgvLim:terminalVelocidad

1

1

0t =

+−

=∞

∞→

1.1.4. Determine el tiempo necesario para jalar de la c

4 pies, iniciando del reposo, cuando se aplicafuerza de 10 lb a dicha cuerda. El bloque A pesa 2Ignore la masa de las poleas y las cuerdas.

T4

W

Rpta.

( )

s2494.08.12842

as2t

²tatvs²sp8.128a4a

²sp2.32a

a2.32

2020104

amWT4amF

B

21

0

AB

A

A

AAA

yy

≅×

==

+===

=

=−

=−

=∑

1.1.5. La caja B tiene una masa m y es liberada

del reposo cuando se encuentra en la parte más elevada del carro A, que tiene una masa 3m. Determine la tensión necesaria en la cuerda CD para impedir que el carro se mueva cuando B se desliza hacia abajo. Ignore la fricción.

=

==∑FF:0FX

m3

F

NADCL

BBN

θgm

BDCL

θ==∑ cosgmN:0F Bn

Rpta.

Rpta

B

C A θ

C

B 10 lb

A

uerda en B hacia abajo una 0 lb.

a

θθ

θ

cossengmsenNB

BNθg

A

A
Rpta.


F A

20 lb B 30 lb

1.1.6. El bloque B descansa sobre una superficie lisa. Si los coeficientes de fricción estática y cinética son µs = 0.4 y µk = 0.3, respectivamente, determine la aceleración de cada bloque si alguien empuja el bloque A en forma horizontal con una fuerza de (a) F = 6 lb, y (b) F = 50 lb.

Para F = 6 lb, No hay desplazamiento de A con respecto a B

A

AW

BN

F

frF( ) lb8204.0

lb20WN0WN

amF

s

AB

AB

yy

==µ===−

=∑

Para F = 50 lb, A se

( )

²sp8640.3a

a2.3230206

amF

x

x

xx

≅

+=

=∑F

A

AWB

(

a

6

F:Bbloque

a

650

F:Abloque203.0NF

xB

x

xB

x

Bkfr

−

=µ=

∑

∑

.

Rpta

desplaza con respecto a B

BW

)

²sp44.6

a2.32

30am

²sp84.70

a2.32

20am

lb6

xB

xBB

xA

xAA

=

=

=

=

=

=

=

A

BN

F

frF

Rpta.

B

BNfrF

AW

Rpta.
BW


1.1.7. El cilindro B tiene una masa m y es levantado utilizando un sistema de cuerdas y poleas que se ilustra. Determine la magnitud de la fuerza F como función de la posición vertical y del bloque de tal forma que cuando se aplica F, el bloque se eleva con una aceleración constante aB. Ignore la masa de la cuerda y las poleas.

d

F y

1.1.8. La masa del elevador E

150 kg. Si el motor propcable en B, determinar la rIgnorar la masa de las pole

L L

DCL DCL Reemplazan m (150)

→ v

( )

( )y4

dy4gamF

amgm

4dy

yF2

amF

22B

B22

yy

++=

=−+

+↓=∑

.

do , amgm-TT:a-mamgm-T:

-aaa SSSS

EEEBAE

EAAAAAA

EBABE2

EA1

=+==

==→+=+=

7.23(2.41)(3)0tav

m/s 2.41a (50-5000(150)a - (9.81)amgm-5000am-g

: (1) en (2) do

0f

E

E

EEEEAA

=+=+=

=+

=+

Rpta

aB B

es de 500 kg y la del contrapeso en A es de orciona una fuerza constante de 5 kN sobre el apidez del elevador en t = 3 s a partir del reposo. as y el cable.

E

B

A

(2)...N 5000T nde(1)...am-gmT

B

EAAA

==→

sm

a(500)(9.81)0) E=

E

AT BT

A

AT

Rpta.
gmE
gmA


1.1.9. El bloque A tiene una masa mA y se encuentra sobre la placa B, que tiene una masa mB. Ambos se encuentran en reposo sobre un resorte con una rigidez k y que a su vez está adherido al suelo en el fondo de la placa. Determine la distancia d que es preciso empujar hacia abajo la placa desde la posición de equilibrio y luego soltarla desde el reposo de modo que el bloque se separe de la superficie de la placa en el instante en que el resorte regresa a su posición no deformada.

(mFW--W:mF:(hacia =+=

( )k

mmgd

gm-gm-d kd k-gmgm: (2)(1) Igualando

(2) . . .a )ma arriba) (1) . . .a )m(mF-WW:amF: abajo) (hacia

BA

BABA

BAsBAyy

BAsBAyy

+=→

=+=

+

+=+=

A

B

y d k
Rpta.


I.2. Componentes Normales y Tangenciales En este caso se expresan en la ecuación (C) las fuerzas y aceleraciones usando un sistema coordenado móvil n – t : Debe recordarse que y va t &= ρ= 2

n va .

∑ bF

∑ tF∑ nF

P0FamFamF

b

nn

tt

=

=

=

∑∑∑

Si la aceleración tangencial es constante, se pueden usar las ecuaciones de cinemática simplificadas. Si la trayectoria se expresa en coordenadas x – y, deel radio de curvatura ρ puede calcularse a partir de la expres

( )[ ]22

232

dxyddxdy1+

=ρ

Ejemplos : 1.2.1. La lenteja del péndulo tiene una masa m y se le s

cuando θ = 0°. Determine la tensión en la cuerda ángulo de descenso θ. Ignore el tamaño de la lenteja.

. θ=

θ+θ=

θ=+=

=θ−

=∑

sengm3TL

senLgm2sengmT

senLg2hg2VVL

VmsengmT

amF

2o

2

2

nn

tavv tO +=21

t2OO tatvss ++=

( )Ot2O

2 ssa2vv −+=

tal modo que y = ƒ(X), ión

uelta desde el reposo como una función del

L

θ

Rpta


4 m

b 6 m

θ t

n

1.2.2. Determine la rapidez constante de los pasajeros en el juego en el parque de diversiones si se observa que los cables de soporte se dirigen hacia θ = 30° con respecto de la vertical. Cada silla, incluyendo el pasajero, tiene una masa de 80 kg. También, ¿cuáles son las componentes de la fuerza en las direcciones n, t y b que la silla ejerce sobre un pasajero de 50 kg durante el movimiento?

( )( )

( )( ) 389.22802

32.5237m

30senT7v

7vm30senT:amF

32.52330cos

81.980T

0gm30cosT:amF

T

2

2

Tnn

Ttt

===

=°=

=°

=

=−°=

∑

∑ °30

TW

T

W

bN

nN

( )

( ) N1903.28335.1637

389.22507²v50N:amF

0N:0FN5.49081.950WN:0F

nnn

tt

bb

≅====

==

====

∑

∑∑

. .

1.2.3. Al cruzar una esquina, un motociclista encuentra un leve peralte, o

abultamiento, provocado por el camino que intersecta. Si la cresta del peralte tiene un radio de curvatura ρ = 50 p, determine la rapidez máxima constante a la que puede desplazarse si abandona la superficie del camino. En el cálculo, ignore el tamaño de la motocicleta y del tripulante. Éstos tienen una masa total de 450 kg.

sp1248.402.3250v

vmgm

amF2

nn

=×=

ρ=

=∑

ρ = 50 p .
Rpta
Rpta
Rpta
Rpta.


1.2.4. El hombre tiene una masa de 80 kg y se sienta a 3 m de distancia del centro de la plataforma giratoria. Debido a ala rotación, su rapidez se incrementa desde el reposo por = 0.4 m/s². Si el coeficiente de fricción estática entre la ropa del hombre y la plataforma es de µ

v&

s = 0.3, determine el tiempo necesario para que comience a deslizarse hacia el borde.

m10

m3

( )

s4284.7vvt

dtdvv

8290.8²v3²v81.93.0

²vmgm

amF nn

≅=→=

=→=

ρ=µ

=∑

&&

N

mg

NµmgN =

.

( )

( )( )

( 35.014skFm350227.0s

s1127s8.450s5.22.3214

s5.215

2.322sk

amFs5.2

15va

sp15v

2

2

nn

22

G

G

===

+

+

+=

=

+=

ρ=

=

∑

1.2.5. El perno cilíndrico con peso de 2 lb tielibertad para moverse dentro de los límites un tubo liso. El resorte tiene una rigidk = 14 lb/p, y cuando no existe movimiento,distancia d = 0.5 p. Determine la fuerza resorte sobre el perno cuando éste encuentra en reposo con respecto del tubo.perno se desplaza con una rapidez constande 15 p/s, a causa de la rotación del tubo torno del eje vertical.

Rpta

( )

) lb9032.40227

04502252s

=

=−

=

3 p

d

G

k = 14 lb/p

Rpta.

ne de ez la del se El te en


1.2.6. El bloque tiene un peso de 2 lb y presenta libertad para moverse sobre la ranura lisa del disco giratorio. El resorte tiene una rigidez de 2.5 lb/p y una longitud no estirada de 1.25 p. Determine la fuerza del resorte sobre el bloque y la componente tangencial de la fuerza que ejerce la ranura sobre los lados del bloque, cuando éste se encuentra en reposo con respecto del disco y éste se desplaza con una rapidez constante de 12 p/s.

∑ k 80 ρ F v

( )

( )0amF"constante"

lb4176.325.1kp61705.2

0288625.1005.

122.32

225.1

vmF:amF

tt

s

2

2

2

snn

==→==−ρ=

==−ρ−ρ

ρ=−ρ

ρ==

k = 2.5 lb/pie

1.2.7. El bloque de 2 lb se suelta desd

A y se desliza sobre una supelisa. Si el resorte anexo tienk = 2 lb/p, determine la longitude tal manera que no permita qudespegue de la superficie hasta

=

( ) 2gωω0.51g:Integral

dωω2

θsengdωωdθα

2θsengαrαa

θsengaamθsengmamF:tEje

2

ω

0

3π

0

t

tt

tt

=→=−

=→=

=→

=→=

=

∫∫

∑

Longitud no estirada = 2 - s = 1.5 p

Rpta.
Rpta.
e el reposo en rficie cilíndrica e una rigidez d no estirada e el bloque se

θ = 60°.

A

θ

2 pies

k = 2 lb/p

( )

pies0.5k2gms

sk2gm

2gmgmF

22ωm60cosgmF

amF:nEje

r

2

r

nn

==

==−=

=°+

=∑n

t mg

Fr 60°

.
Rpta


1.2.8. Si la bicicleta y el ciclista tienen un peso total de 180 lb, determine la fuerza normal resultante que actúa sobre la bicicleta cuando se encuentra en el punto A mientras se desliza en movimiento libre a vA = 6 p/s. Asimismo, calcule el incremento en la rapidez del ciclista en este punto. Ignore la resistencia debida al viento y el tamaño de la bicicleta y el ciclista.

y

vA = 6 p/s

5p 20 p x

20xcos20y =

x

²sp1597.322.32180

sen180a

amsenW:amF

lb0052.9²62.32

180cos180N

²vmNcosW:amF

p8924.30934

²dxy²d

dxdy1

1344.87dxdytanarc

2587.0²dxy²d,9780.19

dxdy

:p5xpara20xcos

20x

20xsen2

²dxy²d

20xsenx

20xcos20

20xcos20

20xsen

20x20

dxdy

x20xcos20y

t

ttt

nn

23

2

=θ

=

=θ=

=ρ

−θ=

ρ=−θ=

−=

+

=ρ

°=

=θ

−==

=

−

−=

−

=

+

−=

=

∑

∑

θ

θ

WN

.

.

Rpta

Rpta


θ

0.5 m

B

A

1.2.9. El bloque B, de 2 kg, tiene una velocidad vA = 2 m/s cuando llega al punto A. Determine la rapidez v del bloque y la fuerza normal NB del plano sobre el bloque, como una función de θ. Trace estos resultados como v contra θ y NB contra θ, y especifique el ángulo en el cual la fuerza normal es máxima. Ignore la fricción y el tamaño del bloque en el cálculo.

( )sm81.5cos81.9v

2²v1cos905.4

²vcosrg

dvvsenrgdvvsenrg

dvvdradvvdsa

amsengmamF

21

v42

10

v

40

v

40

t

t

t

tt

−θ=

−=−θ

=θ

=θ−=θ−

=θ−=−

−=θ−

=

θ

θθ

∫∫∫∫

∑

( )

24.23cos86.58

81.5cos81.95.0

2cos60.19r²v2cos62.19N

amcosgmNamF

B

nB

nn

−θ=

−θ+θ=+θ=

=θ−

=∑

v

2

°6830.53θ0

°=θ=

0paralb62.36Nmáx

Rpta.

BN

62.35

°6830.53θ

62.11

0

Rpta. Rpta.

Rpta.

Rpta.

BN

gm

θ+


I.3. Componentes Cilíndricas

∑ zF

∑ θF

∑ rF

P

Oz

rθ

En este caso se expresan en la ecuación (C) las fuerzas y aceleraciones usando un sistema coordenado móvil r, θ, z :

zz

rr

amFamFamF

=

=

=

∑∑∑

θθ

En el DCL de la partícula, cuando se va a realizar la sumatoria de fuerzas es conveniente conocer el ángulo que hace la tangente de la trayectoria en el punto P (partícula) y el eje r, de tal manera que podamos hallar la dirección de la fuerza normal (perpendicular a la tangente, dirigida al centro de curvatura) y la fuerza de rozamiento (paralela a la tangente, en sentido opuesto al movimiento). El ángulo que hace la tangente a la trayectoria y el eje r, se conoce como ψ (psi).

θuvvψ

rv

trayectoria r = f (θ ) tangente

Cuando se trabaja en tres dimensiones, el ángulo ψ es el que hace la proyección de la

El valor de ψ se calcula mediante la siguiente expresión :

PN

rF

Oθ

trayectoria sobre el plano r – θ, y el eje r.

θ=ψ

ddrrtan

Ejemplos : 1.3.1. Una partícula, que tiene una masa de 1.5 kg, se desplaza sobre una

trayectoria tridimensional que se define por las ecuaciones r = (4 + 3t) m, θ = (t² - 2) rad y z = (6 – t³) m, donde t se expresa en segundos. Determine las componentes r, θ y z de la fuerza que ejerce la trayectoria sobre la partícula cuando t = 2 s.

N18amFN66amF

N240amF

sm12zasm44θr2θrasm160θrra

126tz123tz2t6z

2θ42tθ

22tθ

0r3r

103t4r

zZ

θθ

rr

2z

2θ

22r

2

32

−====−==

−==

=+=

−=−=

−=−=−=−=

−=−=

===

=−=

==

=+=

&&

&&&&

&&&

&&

&

&&

&

&&

&

.
Rpta


z = 0.1 sen θ C

z

0.2 p A B & = 6 rad/s

k = 12 lb/p

θ

1.3.2. El rastreador incorporado a un resorte AB tiene un peso de 0.75 lb y se desplaza hacia adelante y hacia atrás a medida que su extremo se mueve sobre la superficie irregular de la leva, donde r = 0.2 p y z = (0.1 sen θ) p. Si la leva gira con una rapidez constante de 6 rad/s, determine las fuerzas máxima y mínima que ejerce el rastreador sobre la leva si el resorte está comprimido 0.2 p cuando θ = 90°.

( )

06

sencos1.0zcos1.0zsen1.0z

2

=θ=θ

θθ−θθ=

θθ=θ=

&&

&

&&&&&

&& FsN NF −=

z1.0s1.0s,0z:0para2.0s,1.0z:90para

+=

==°=θ==°=θ

( )( )( ) ( )

2.12.32sen34.41

sen2.12.12.32

sen7.2sen1.01.0k36sen1.02.32

75.0F

zmFsFamF zz

+θ

=

θ++θ

=θ++θ−−=

=+

=∑&&

. lb4839.2F:90Para

0F:8222.290Paramáx

mín

≅°=θ=°=θ

Rpta

.
Rpta


A

srad2=θ& r

0.5 m

θ

O

1.3.3. Una partícula tiene una masa de 0.5 kg y se encuentra confinada a moverse en la ranura horizontal lisa debida a la rotación del brazo OA. Determine la fuerza de la barra sobre la partícula y la fuerza normal de la ranura sobre la partícula cuando θ = 0°. La barra gira con una velocidad angular constante s

( )

N9050.481.95.0gmN0F

0F0a0r2ra

045.02rra0,2,0para2tansec5.0tansecsec5.0r

0tansec5.0r5.0sec5.0r

r

2r

223

=×==→=

=→=

=θ−θ==×−=θ−=→=θ=θ=θ

=θθθ+θθθ+θ=

=θθθ==θ=

∑θ

&&&&

&&&&&&

&&&&&

&&

rad2=&θ . Suponga que la partícula tiene contacto con sólo un lado de la ranura en cualquier instante.

1.3.4. La partícula partícula lisa tiene una masa de 80 g. Está

unida a una cuerda elástica que se extiende de O a Py, debido al brazo ranurado de guía, se mueve sobre latrayectoria circular horizontal r = (0.8 sen θ) m. Si lacuerda tiene una rigidez k = 30 N/m y una longitud noestirada de 0.25 m, determine la fuerza de la guíasobre la partícula cuando θ = 60°. La guía tiene unavelocidad angular constante = 5 rad/s. θ&

r r

²sm20r2r²sm320310310rr

²sm310sen8.0rsm2cos8.0m34.0sen8.0

2r

2

=θ+θ=−=−−=θ−=

−=θθ−=

=θθ==θ=

θ&&&&

&&&

&&&

&&

a

a F W ∑ ∑

( )( )

( )( ) 1F6.13924.035.27924.10F

2008.0cosWcosNF:amFN36.133924.05.73122N3

32008.0senWFsenN:amF srr

=→=−−−

=θ−θ−=

→−=−−−

−=θ−−θ=

θθ

θθθ

θ−°90

sF

θF

( )( ) N7848.081.908.0

N5.731225.0r30sks

==−=−==

Rpta.

r

0.4 m = 5θ&

θ

O

4547.835.27848.2

N355848.21

≈−

−=

θ−°90

W

θ

N

Rpta.

P

rad/s

N.
Rpta


P A

r

rC

θ

O

1.3.5. El brazo OA guía la bola de 0.5 lb por una trayectoria circular vertical. Si el brazo tiene una velocidad angular

= 0.4 rad/s y una aceleración angular

= 0.8 rad/s² en el instante θ = 30°, determine la fuerza del brazo sobre la bola. Ignore la fricción y el tamaño de la bola. Establezca r

θ&

θ&&

c = 0.4 p. m

0

( ) ( )( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

lb2997.02.32

334.54.0F

3128.048.02.32

5.060Wsen30NsenF

amF

1.1616.03646.2

31.16316.0938.7N

2.32316.0112.0

25.

23N

332.0224.02.32

5.060cosW30cosN

aF

3128.048.04.0316.028.06.0r2ra332.0224.04.06.0332.0128.0rra

332.0128.02sen8.022cos8.0r316.022sen4.0r

6.05.014.02cos1rr

8.04.0

30

rr

22r

2

C

≅+

=

−=°−°+

=

−=

−=

−−=−

−−=°−°

=

−=−+=θ+θ=

−−=−−−=θ−=

−−=θθ−θθ−=

−=θθ−=

=+=θ+=

=θ=θ

°=θ

θθ

θ

∑∑

&&&&

&&&

&&&&&

&&

&&

&

F

°30

°30

°60

°30

r

W

N

Rpta.

1.3.6. Un muchacho que se encuentra de pie en tierra

firme hace girar a la niña sentada en el trineo o “plato” redondo con una trayectoria circular de radio ro = 3 m, de tal forma que la rapidez angular de rotación de la niña es θ = 0.1 rad/s. Si el cable que los une, OC, se recoge hacia adentro con una velocidad constante

= –0.5 m/s, determine la tensión que ejerce sobre el trineo en el instante r = 2 m. La masa total del trineo y la niña es de 50 kg. Ignore el tamaño de éstos y los efectos de la fricción entre el trineo y el hielo.

o&

r&

O

r = 2 m 1 m

θ

ro = 3 m C


( )

( )( ) ( )( ) N5.66

520.225250

αcosθrmT

θrrmαcosTamF

srad0.2254

0.9rCθ:modomismodel

0.90.19C0.1θ3,rparadonde,Cθr:Integrando

0dtθrd

r1a:quedemostrarpuedeSe

22

2

rr

2

002

2

θ

===

−=

=

===

=×=→===

==

∑

&

&&&

&

&&

&

θ= 1.0e2.0r

r

F = 6 N θ

°=ψ−°=

°=ψ→==θ

=ψ

===

==

θ

θ

∑

7106.590ángulo

2894.8410e02.0

e2.0ddr

rtan

sm125.0

6mFa

amF:amF

1.0

1.0

2t

ttt

.

( )

°=ψ−°=

=°×−

=

=ψ−=

→==θ

=ψθ

θ

7106.590ángulo

.115.0

2894.84cos81.95.06amcosWF:amF

10e02.0

e2.0ddr

r

t

ttt

1.0

1.0

∑

a

tan

1.3.7. Utilizando la presión del aire, se fuerza a la bola de 0.5 kg a

atravesar el tubo que se encuentra en el plano horizontal, que tiene la forma de una espiral logarítmica r . Si la fuerza tangencial, debida al aire que se ejerce sobre la bola es de 6 N, determine el ritmo del incremento de la rapidez de la bola en el instante θ = π/2. ¿En qué dirección actúa, medida a partir de la horizontal?

θ1.0e2.= 0

2

5

α

ψ

F

horizontal

.

1

1.3.8. Utilizando la presión del aire, se f

atravesar el tubo que se encuenttiene la forma de una espiral logfuerza tangencial, debida al aire es de 6 N, determine el ritmo dede la bola en el instante θ = π/2medida a partir de la horizontal?

.

Rpta

Rpta.

θ= 1.0e2.0r

r

F = 6 N θ

°=ψ

sm0239

2894.84

2

θ

ψ

uerza a la bola de 0.5 kg a ra en el plano vertical, que arítmica r . Si la

que se ejerce sobre la bola l incremento de la rapidez . ¿En qué dirección actúa,

= 1.0e2.0

ψ

ψ

F

horizontal

W

.

Rpta

Rpta

Rpta


1.3.9. La barra en forma de horquilla se emplea para mover la partícula lisa de 2 lb sobre la trayectoria horizontal en la forma de caracol, r = (2 + cos θ) pies. Si en todo momento = 0.5 rad/s, determine la fuerza que ejerce la barra sobre la partícula en el instante θ = 60°. La horquilla y la trayectoria hacen contacto con la partícula en sólo un lado.

θ&

θ θ&

a a tan ψ ∑ N N

∑ N N

( )

( )

lb01076.0cot4.64

343

2.322cosNam

amcosNamF

lbsen4.643csc

43

2.322

amsenamF

8934.703

35senr

ddrr

²sp435.0

432r2r

²sp43²5.05.2

81²rr

81sen²cosr43senr

5.2cos2r

05.0

60

GB

GB

G

rG

rr

r

−=ψ+

−=ψ−=

=ψ+

=

ψ−

=ψ

−=

=ψ

=

°=

=θ−

=θ

=ψ

−=

−=θ+θ=

−=−−=θ−=

−=θθ−θθ−=−=θθ−=

=θ+=

==

°=

θ

θ

θθ

θ&&&&

&&&

&&&&&

&&

&

& 2 p r

θ& θ

3 p

θ

ψ−°90

Rpta.

ψ

r

BN

GNtangente


1.3.10. La barra en forma de horquilla se emplea para mover la partícula lisa de 2 lb sobre la trayectoria horizontal en la forma de caracol, r = (2 + cos θ) p. Si θ = (0.5 t²) rad, donde t se expresa en segundos, determine la fuerza que ejerce la barra sobre la partícula en el instante t = 1 s. La horquilla y la trayectoria hacen contacto con la partícula en un solo lado.

r + =

( )

( )

lb1630.0senN2.32

5.0sen45.0cos24F

5.0sen25.0cos22.32

2senNF

amFcos2.32

5.0sen25.0cos44N

5.0sen5.0cos222.32

2cosN

amF rr

≅φ−−+

=

−+=φ+

=

φ−−−

=

−−−=φ

θθ∑

∑

F

Nru

θuφ

ψ

tangente

5.0sen25.0cos2r2ra5.0sen5.0cos225.0cos25.0sen5.0cosra

5.0sen5.0cossencosr5.0sensenr

5.0cos2cos2r

²srad11srad1t

rad5.0²t5.0

2r

2

−+=θθ=

−−−=−−−−=θ−=

−−=θθ−θθ−=

−=θθ−=+=θ+=

==θ==θ

==θ

θ&&&&

&&&

&&&&&

&&

&&

&

2 p r

θ& θ

3 p

−≅ψ−+

=θ

=ψ

rad4057.15.0sen5.0cos2

ddrrtan

)radianesenángulos(

Rpta.
ψ+
π=φ

2


II. Trabajo y Energía Trabajo (U) El trabajo de una fuerza es el producto escalar de la componente de dicha fuerza en dirección del desplazamiento, por el desplazamiento mismo.

D

imomínU

Se debe remarcar que no todas las fuerzas producen trabajo, y una misma fuerza puede producir trabajos distintos, dependiendo del ángulo que hace con el desplazamiento de la partícula.

Luego : ... (T) ∫ •=−

1

2

r

r21 rdFU vv

... (T) ∫ θ=−1

2

s

s21 dscosFU

y si F es constante :

( )1221 sscosFU −θ=−

Trabajo de algunas fuerzas típicas :

El trabajo del peso (UW) es el productopartícula por su desplazamiento vertical. Si la partícula se eleva, el trabajo del peso será negativo. Si la partícula se desplaza hacia abajo, el trabajo del peso será positivo.

Fv

rdv

θ s

dsrdFdU vv

•=

θ= cosdsFdU

La fuerza normal no genera trabaasumir que toda partícula y las superficiesólidas son indeformables, el movimiento dequeda limitado por las superficies de contactpuede haber movimiento a través de ellos.

Unidades S.I. Británico Trabajo Joule (J) Libra.pie (lb.p)
Fuerza
esplazamiento Newton (N) Metro (m)

Libra (lb) Pies (p)

entodesplazami

)(−

0U =

0U =( )+U

( )+U( )−U

( )−U

P

F

F

FF

FF

F F)(U imomáx +

h∆

N

de la magnitud del peso de la

hWUW ∆=

jo porque, al s de contacto toda partícula o sólidas, y no


El trabajo de la fuerza de fricción (Uf) es el producto de la magnitud de la fuerza de fricción por el desplazamiento. En este caso, como existe desplazamiento, la fuerza de fricción se expresa utilizando el coeficiente de fricción cinético, es decir Ff = µk N. Cabe mencionar que, como la fuerza de fricción siempre va en sentido opuesto al movimiento, el trabajo de la fuerza de fricción es siempre negativo. sNU kf ∆µ−=

vv

fFv

s∆

N

El trabajo de la fuerza de resorte (Us) es el producto de la fuerza de resorte por el desplazamiento de la partícula sujeta al resorte por uno de los extremos de éste. En este caso, como la fuerza del resorte se incrementa con su estiramiento, la fuerza de resorte se debe obtener por integración. Cabe mencionar que, como el resorte siempre se opone al movimiento, el trabajo que realiza es siempre positivo.

s s

F

F

deformadaNo

EstiradaComprimida

entodesplazami

( )212

1222

121

s

s

s

s s21

skskU

dsskdsFU 2

1

2

1

−−=

==

−

− ∫∫ II.1. Principio del Trabajo y la Energía La expresión del trabajo de una fuerza puede hallarse a partir de la expresión (C), de la segunda ley de Newton, la que quedaría:

rdamrdF

amFvvvv

vv

⋅=⋅

=

∑∑

Como las fuerzas normales no generan trabajo, ya que el movimiento de una partícula es siempre tangencial a la trayectoria, sólo se considera a las fuerzas tangenciales:

∑ tFv

∑ nFvs

trabajogenera

trabajogeneranorv

xy

z

rdv


1K2K21

212

1222

121

2

1

2

1

ttt

EEUvmvmU

dvvmrdF

dsamrdamrdF

−=

−=

=⋅

=⋅=⋅

∑∑

∫∑ ∫∑

−

−

vv

vvvv

Esta última ecuación representa el principio del trabajo y la energía de una partícula, en donde es el trabajo realizado por la sumatoria de fuerzas que actúan sobre la partícula mientras se desplaza desde el punto 1 al punto 2, y

es la energía cinética que posee la partícula en un punto dado, 1 ó 2.

∑ −21U

KE La energía cinética ( 2

21 vm ) es siempre un valor escalar positivo, cuyas

unidades son las mismas que para el trabajo, es decir Joules o lb.p. El principio del trabajo y la energía es también representada por la siguiente expresión: ∑ −+= 211K2K UEE Lo cual significa que si a una partícula, con una energía cinética inicial se le aplica un trabajo ∑ , al final la partícula tendrá una energía cinética

.

1KE

−21U

2KE Ejemplos: 2.1.1. Una bala que se desplaza con una rapidez de 1000 pies/s experimenta una

reducción de ésta a 900 pies/s al atravesar una tabla. Determine la cantidad de tablas que penetrará antes de detenerse.

( ) ( )

( )

.ta6laenmarcaunahaceytablas5atraviesasólo,Luego5100v,24100v,43100v,igualmente

62100v95000900mvm:UEE

"constante"Um950001000m900mEEU

543

2

2212

221

1k2k

2212

21

0k1k10

===

=

−=+=

==−=−=−=−

.

Rpta


Rpta.

2.1.2. El peso del bloque A es de 60 lb y el del bloque B es de 10 lb. Si el coeficiente de ficción cinética entre el plano y el bloque es de µk = 0.2, determine la rapidez del bloque A después de deslizarse 3 pies por una pendiente, comenzando desde el reposo. Desprecie la fricción y la masa de la cuerda y las poleas.

2.1.2. El peso del bloque A es de 60 lb y el del bloque B es de 10 lb. Si el coeficiente de ficción cinética entre el plano y el bloque es de µk = 0.2, determine la rapidez del bloque A después de deslizarse 3 pies por una pendiente, comenzando desde el reposo. Desprecie la fricción y la masa de la cuerda y las poleas.

B A

5 3

4

=

( )

spies5164.3V2.19V42.32

1021V

2.3260

21:V2V

61036.9605300Vm

21Vm

21:UEE

lb6.9Nfrlb48N6054N:0F

A2A

2AAB

2BB

2AA21K2k

ky

1

=→=+=

−

−++=++=

=µ=→=→=

−

∑

sm4294.462.19281.9286.58hg2vv

hgmvmvm:UEE

sm6720.786.58381.92hg2vhgm0vm

:UEE

B2CB

B2B2

12C2

1

CBBKCK

AC

A2C2

1

CAAKCK

≅=××−=−=

+=

+=

≅=××==

+=

+=

−

−

A

B

3 m

2 m

C

2.1.3. Las canicas, que tienen una masa de 5 g, caen desde el reposo en A a través del tubo de vidrio y se acumulan en el bote en C. Determine la ubicación R del bote, con respecto del extremo del tubo, y la rapidez con que las canicas caen dentro de aquél. Desprecie el tamaño del bote.

2.1.3. Las canicas, que tienen una masa de 5 g, caen desde el reposo en A a través del tubo de vidrio y se acumulan en el bote en C. Determine la ubicación R del bote, con respecto del extremo del tubo, y la rapidez con que las canicas caen dentro de aquél. Desprecie el tamaño del bote.

R

Rpta. Rpta.

0.5m

0.45m

kB kA C

A

B

2.1.4. La barra de acero, cuya masa es de 1800kg, se desplaza por una banda transportadora con una rapidez de v = 0.5 m/s cuando chocó con un par deresortes “anidados”. Si la rigidez del resorte externo es kA = 5 kN/m, determine la rigidez del resorte interior requerida kB para que la barra se detenga cuando el frente C de la barra seencuentre a 0.3 m del muro.

2.1.4. La barra de acero, cuya masa es de 1800 kg, se desplaza por una banda transportadora con una rapidez de v = 0.5 m/s cuando chocó con un par de resortes “anidados”. Si la rigidez del resorte externo es kA = 5 kN/m, determine la rigidez del resorte interior requerida kB para que la barra se detenga cuando el frente C de la barra se encuentre a 0.3 m del muro.


( )( ) ( )( ) ( )

mN1111.111119

100000k

0k01125.010022503.045.0k3.05.050005.01800

0sksk²vmEUE

B

B

2B2

12212

21

2BB2

12AA2

121

2K211K

≅=

=−−

=−−−−

=−−

=+ −

.

vA =

10 p/s A

3 pies

k = 400 lb/p

1 pie

2.1.5. El cilindro de 5 lb cae desde A, con una rapidez vA = 10 p/s, a una plataforma. Determine el desplazamiento máximo de la plataforma causado por la colisión. El resorte tiene una longitud no estirada de 1.75 pies y originalmente se encuentra comprimido gracias a los cables de 1 pie de longitud unidos a la plataforma. Desprecie la masa de la plataforma y el resorte y cualquier energía que se pierda durante la colisión.

( ) ( )( ) ( )( )

pies0735032.0d: oresolviend022.763975d 295-d² 200-

d75.0²75.0400d352.322²1050

skskhhWvmvmUEE

221

222

1212

121

212

1222

1

2-11K2K

==+

+−+++××

=

−+−+=

+= . 2.1.6. El camión T arrastra la piedra de 1

de arrastre pasa por una pequeñapiedra cuando θ = 60°. Dicha piestá en reposo cuando θ = 30° camión ejerce una fuerza constF = 500 N sobre el cable B.

( )

( ) (

( 31m

F32v2vmU

EUE1F1630csc60cscF8

cscF8dcsccotF8

dcsc8cosFdsFU

dcsc8dscot8s

22K211K

60

30

60

302

2

−=→=

=+−=°−°−=

−=θθθ−−=

θθθ==

θθ=

θ=

−

∫

∫∫

Rpta

T A B

00 kg por una superficie lisa. Si el cable polea en A, determine la rapidez de la edra y el ante

8 m

C θ

)

) sm2234.83

33

6030

=

θ °

°

.
Rpta
Rpta


2.1.7. El ciclista se dirige al punto A, pedaleando hasta que alcanza una rapidez vA = 8 m/s. Luego se mueve por la sola inercia, hacia arriba sobre la superficie curva. Determine la altura a la que llega antes de detenerse. También, calcule la fuerza normal resultante sobre la superficie y la aceleración en ese punto. La masa total de la bicicleta y el hombre es de 75 kg. Desprecie la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño de la bicicleta.

2.1.7. El ciclista se dirige al punto A, pedaleando hasta que alcanza una rapidez vA = 8 m/s. Luego se mueve por la sola inercia, hacia arriba sobre la superficie curva. Determine la altura a la que llega antes de detenerse. También, calcule la fuerza normal resultante sobre la superficie y la aceleración en ese punto. La masa total de la bicicleta y el hombre es de 75 kg. Desprecie la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño de la bicicleta.

y

C

x1/2 + y1/2 = 2

4 m B y = x

45° A

x

4 m 4 m

VmcosgmN

xx2

dxdytan

22

ρ=θ−

−==θ

θθ

mg

N

( )( )2

2

21

222

1212

1

K21K

x2y

m0.0376y2x

m3.2620g2

Vh

VmhgmVm

EUE21

−=

=−=

==

=−

=+ −

t aamsengm →=θ 2.1.8. El ciclista de la pregun

que alcanza una rapidehacia arriba sobre la santes de detenerse. Tasuperficie y la acelerachombre es de 75 kg. tamaño de la bicicleta.

2.1.8. El ciclista de la pregunque alcanza una rapidehacia arriba sobre la santes de detenerse. Tasuperficie y la acelerachombre es de 75 kg. tamaño de la bicicleta.

( )( )

4623.39x

2xdxdytan

x2y

2033.1y2x

815.081.92

16g2

vy

ygmvm0UEE

2

2

21

212

1

211k2k

°−=θ

−==θ

−=

≅−=

≅×

==

−=

+= −

Rpta.

N78.54Nx

x2tanarccosgmN

=

−=

.

.9x

x2tanarcseng =

−=

ta anterior se dirige al puntoz vA = 4 m/s. Luego se mueuperficie curva. Determine lambién, calcule la fuerza normión en ese punto. La masa toDesprecie la fricción, la mas

ta anterior se dirige al puntoz vA = 4 m/s. Luego se mueuperficie curva. Determine lambién, calcule la fuerza normión en ese punto. La masa toDesprecie la fricción, la mas

234.6asenga

msengmamF

030.568NcosWNcosWN

amF

m5

t

t

tt

nn

−=θ==θ

=

=θ=θ−

=

∑

∑

Rpta

2sm7539 .

A, pedaleanve por la sol altura a la qal resultante

tal de la bicica de las rue

A, pedaleanve por la sol altura a la qal resultante

tal de la bicica de las rue

( )( )

²sp9sen81.9

a

lb4co81.975

0m

t

2

θ=

=ρ=

Rpta

do hasta a inercia, ue llega

sobre la leta y del das y el

do hasta a inercia, ue llega

sobre la leta y del das y el

sθ

.

.

θθ

W

N

Rpta

Rpta.
Rpta


A

B 8 m

8 m

θ 16 m C

D

R

2.1.9. El hombre de la ventana A desea lanzar al suelo el saco de 30 kg. Para esto, desde el reposo lo hace oscilar de B a C; luego suelta la cuerda a θ = 30°. Determine la rapidez con la que golpea el suelo y la distancia R que recorre.

+

vA k P

1.5 p 5 p A

sm71779.1781.924v2v3081.930160

EUE

sm65896.1181.94v

2v3081.930cos80

EUE

D

2D

kDBk

23

C

2C

kCBk DBCB

=×=

=××+

=+

=×=

=××θ

=+ −−

Rpta.

m98511.32t30cosv30sen88R:xEjes07836.2t01634t65896.11t905.4

tgt30senv30cos816)(tatvhLibreCaída:yEje:DCTramo

C

212

221

C

221

O

=°+°+=

=→=−+×−

+°−=°−

+↓+=→−

Rpta.

2.1.10. El resorte tiene una rigidez k = 50 lb/p y longitud no estirada de 2 p. Como se ilustra, está confinado entre la placa P y el muro por medio de cables, de modo que su longitud es de 1.5 p. Determine la rapidez vA del bloque de 4 lb cuando se encuentra en A, de modo que se deslice sobre el plano horizontal, golpee la placa y la empuje hacia delante 0.25 p antes de detenerse momentáneamente. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano es µk = 0.2. Desprecie la masa de la placa y del resorte, así como la pérdida de energía entre la placa y el bloque durante la colisión.

( ) ( )

( )( ) ( )( )

sp9069.1340125.193v

025.542.0²5.0²75.050v2.32

4025.5Wskskvm

EUE

A

212

A21

A212

1222

12AA2

1

2K211K

≅=

=−−−

=µ−−−

=+ −
Rpta.


II.2. Potencia y Eficiencia La potencia es la cantidad de trabajo realizada por unidad de tiempo, es decir:

dtdUP = 1

Si expresamos e

La eficiencia me

por un sistema y la potemecánica (Pm) es la relpotencia recibida por di

depotenciadpotencia

m =ε

depotenciapérdiPm =

Luego : εm + Pm Si las cantidadesel mismo intervalo de tirelación de energías, d

1 En el sistema métrico(PS)), o caballo de vap735.5 W

Unidades S.I. Británico Potencia Watt (W = J/s)1 Horse Power (HP = 550 lb.p/s)

1 HP = 746 W

l trabajo dU como F : rdvv⋅

vFdt

rdFdtdUP vvvv

⋅=⋅

==

cánica (εm) es la relación entre la potencia proporcionada ncia recibida por dicho sistema. Asimismo, la pérdida

ación entre las pérdidas de potencia en un sistema y la cho sistema.

)P(entradadepotencia e

entradasalidae

sistema

pérdidasentradadas

= 1 )P(salidadepotencia s

de las potencias de entrada y de salida son evaluadas en empo, la eficiencia también puede expresarse como una ado que P = dU/dt.

entradadeenergíasalidadeenergía

f =ε

también se suele usar el caballo de fuerza (Pferdestärke or (CV), ambos equivalentes a 75 kgf·m/s = 735.5 N·m/s =


Ejemplos :

( )( ) ( )( )( )( )

HP74.647WK2141.48368.0

6.328585P

W6.328585282.11735vFP2.1173552300283.0F

amFF:amF

)motor(e

s

2

Dx

≈==

====+=

=−=∑

FD

2.2.1. El automóvil deportivo mostrado tiene una masa de 2.3 Mg y mientras se desplaza a 28 m/s, el conductor causa una aceleración de 5 m/s². Si la resistencia al avance del carro, opuesta por el viento es FD = (0.3 v²) N, donde v es la velocidad en m/s, determine la potencia proporcionada al motor en ese instante. Dicho motor tiene una eficiencia de operación εm = 0.68.

Rpta.

M

E

2.2.2. Se utiliza el motor M para izar el elevador de 500 kg con una velocidad constante VE = 8 m/s. Si el motor consume 60 KW de potencia eléctrica, determinar su eficiencia. Despreciar la masa de las poleas y el cable.

EW

E

T T2

( )

( )( )

%4.65654.060

24.39PP

24.39816353vT3vFP

16353

81.95003

WT

T3W

e

sm

s

E

E

====ε

====

===

=

Rpta.


2.2.3. El collarín de 10 libras se encuentra en reposo cuando de pronto es elevado al aplicar una fuerza horizontal F = 25 libras a la cuerda. Si la barra es lisa, determine la potencia que desarrolla la fuerza en el instante θ = 60°.

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

HP22866.0550

60cosvFP

36.2574.547340855

2.32v22.32

v102vm

EUE34085UUU

4310w34U3252535332F337csc60cscF3

cscF3dcsccotF3

dcsc3cosFdsFU

dcsc3dscot3s

222K211K

wF

w

6037

60

37

60

372

F

2

=°

=

−=−=→×

==

=+−=+=

−=−−=

−=−−=°−°−=

θ−=θθθ−−=

θθθ==

θθ=

θ=

−

°

°∫

∫∫

θF

w

3 p

F

4 p θ

A

U

.

2.2.4. La caja tiene una masa

superficie cuyos coeficiefricción estática y cinétiµs = 0.3 y µrespectivamente. Si el mproporciona una fuerza ade F = (8 t² + 20) N, donexpresa en segundos, dela potencia de saliddesarrolla el motor t = 5 s.

0 0

−

( )

89375.15820Ft

03NFNF3:F

147181.9150gmN:F:mueva se bloque el que para t

1

ssx

y

1

==

=µ

=→µ==

====

∑

∑

( ) ( )562.1t16.0a

a1505.14712.020t83amNF3:amF

2

2

kx

−=

=−+

=µ−=∑

Rpta

M

de 150 kg y se encuentra en reposo sobre una ntes de ca son k = 0.2, otor M l cable

de t se termine a que cuando

( ) 15.1473

5.14713.5.

=

( )( )

( )

W9680.1124PotFv3Pot

2202058F

7045.1t562.1t16.0v

dvdt562.1t16.0

dvdtadtdva 2

5

t3

31

v

0

5

t2

v

0

5

t

1

1

1

≅×=

=+=

≅−=

=−

=→=

∫∫

∫∫

N

gm

NµF2F

Rpta.


2.2.5. La carga de 50 libras es levantada por medio de un sistema de poleas y un motor M. Si el motor ejerce una fuerza constante de 30 libras sobre el cable, determine la potencia que es preciso proporcionar al motor si la carga fue elevada s =10 pies iniciando desde el reposo. El motor tiene una eficiencia εm = 0.76.

( )( ) HP1.62905500.76

v60:entradadePotencia

v60vT:salidade Potencia

B

BMM

=

=

Rpta.

M

B

s

( )

BMB

BB20

2B

2B

BBBM

v2v,128.8vsa2vv:m10spara

spies6.4450

32.25060a

amWT2amF

==

+==

=−

=

=−

=∑ 2.2.6. Un carro tiene una masa m y acelera sobre una trayectoria rectilínea

horizontal, partiendo del reposo, tal que la potencia es siempre una cantidad constante P. Determine la distancia d que debe recorrer para alcanzar una rapidez v.

P3vmd

3vmdP

dvvmdsPvdsdvvmP

dsdvvadvvdsa,vFP

33

v

02d

0

=→=

=→×=

=→=×=

∫∫

2.2.7. Una bola de béisbol, con una masa de

0.4 kg, es lanzada de modo que la fuerza que actúa sobre ella varía con el tiempo, según se muestra en la primera gráfica. Asimismo, la velocidad de la bola, que actúa en la misma dirección que la fuerza, varía con el tiempo, según se ilustra en la segunda gráfica. Determine la potencia máxima que desarrolla durante el lapso de 0.3 s.

Rpta.

]sm[v

20

]s[t3.0

]N[F

800

]s[t2.0 3.0

3.0t2.0para3

²t1600000t160000P

2.0t0para3

t160000P

3t200v

3.0t2.0parat80002400F2.0t0para,800F

:sexpresione siguientes las según varían velocidad la yfuerza la de valores Los

<<−=

<<=

=

<<−=<<=


V

( )

( ) W6667.106663

320003

²t16000002.0160000P

W6667.106663

320003

2.0160000P

velocidad la de pendiente la que mayor ynegativaserá F de pendiente la después que yas, 2.0t cuando producirá se P donde,FP máx

≅=−=

≅==

==

.

v

T

2.2.8. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética es µk = 0.20. Si el motor proporciona un impulso constante T = 150 KN, determine la potencia de salida del motor como una función del tiempo. Desprecie la pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire.

2.2.8. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética es µk = 0.20. Si el motor proporciona un impulso constante T = 150 KN, determine la potencia de salida del motor como una función del tiempo. Desprecie la pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire.

( )

( )

( ) KWt7.5330t5380.35150vTPt5380.35tav

²sm5380.35aa424.392.0150amNT:xEje

24.3981.94gmN:yEje

s

K

=====

=→=−=µ−

===

gm

NNKµ

T

v

T

2.2.9. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal lisa de tal manera que mantiene una potencia de salida constante de 60 kW. Desprecie la pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire, hallar la distancia que debe recorrer para alcanzar una rapidez de v = 60 m/s.

2.2.9. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal lisa de tal manera que mantiene una potencia de salida constante de 60 kW. Desprecie la pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire, hallar la distancia que debe recorrer para alcanzar una rapidez de v = 60 m/s.

m72006060000

²604000s

vPFdonde,sF0vm

UEE

21

221

211k2k

=×

=

=×+=

+= −

.

Rpta

Rpta.

Rpta


II.3. Energía Potencial Es una medida del trabajo que puede realizar una fuerza o conjunto de fuerzas para desplazar una partícula desde un nivel de referencia hasta un nivel determinado, sin pérdida ni ganancia de energía desde o hacia el exterior. Las unidades son las mismas que para la energía cinética o el trabajo. En este apartado se tomarán en cuenta la energía potencial debida al peso (energía potencial gravitacional) y al resorte elástico (energía potencial elástica). La Energía Potencial Gravitacional (EPG) es el producto de la magnitud del peso de la partícula (W) por su distancia por encima del nivel de referencia. De esto se deduce que, si la partícula se encuentra por debajo del nivel de referencia, su energía potencial gravitacional será negativa. Asimismo, se infiere que si la partícula se encuentra sobre el nivel de referencia, su EPG será cero. Otra forma de interpretar esta idea es evaluar el trabajo que requerirá hacer el peso para llevar la partícula hacia el nivel de referencia.

h∆

h∆referencia de Nivel

( )hWE GP ∆−=

( )hWE GP ∆=

0E GP =

La Energía Potencial Elástica (EPE) es equivalente al trabajo requerido por un resorte elástico para retornar a su punto de no deformación (nivel de referencia), y, por consiguiente, su valor es siempre un escalar positivo.

s s

F

F

deformadaNo

EstiradaComprimida

221

EP skE =

0E EP =

221

EP skE =


Conservación de la Energía Se puede expresar en forma genérica la ecuación de la conservación de la energía como:

( ) 2P2Kvasconservatino211P1K EEUEE +=++ ∑ − donde es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas desde el punto 1 hasta el punto 2.

( )vasconservatino21U∑ −

Las fuerzas no conservativas son aquéllas que provocan un incremento o

disminución de la energía del sistema de partículas. Son fuerzas no conservativas las de resistencia al avance (fuerza de rozamiento, ocasionan una pérdida de energía) y las fuerzas externas (ocasionan, ya sea una ganancia de energía, si aceleran la partícula, o una pérdida de energía, si desaceleran la partícula). Si sobre el sistema de partículas no actúan fuerzas no conservativas, entonces se dice que la energía mecánica se conserva, por lo que:

2P2K1P1K EEEE +=+ Ejemplos : 2.3.1. El collarín tiene un peso de 8 lb. Si se le suelta

desde el reposo, a una altura h = 2 p, desde la parte superior de un resorte no comprimido, determine la rapidez del collarín después de caer y comprimir el resorte 0.3 p (k = 30 lb/p).

h

k = 30 lb/p

( ) ( )( ) sp7155.112525.137

2.328

3.0303.28v

mskhWv

skvmhW0EEEE

21

221

21

221

2212

21

2P2K1P1K

≅=

−

=

−=

+=+

+=+

.

Rpta


50 mm 50 mm

240 mm

2.3.2. Cada una de las ligas de hule de la resortera tiene una longitud no deformada de 200 mm. Si son jaladas hasta la posición que se ilustra y se sueltan desde el reposo, determine la altura máxima que alcanzará la munición de 25 g si es disparada en forma vertical hacia arriba. Desprecie la masa de las bandas de hule y el cambio de elevación de la munición mientras se halla constreñida en ellas. Cada una tiene una rigidez k = 50 N/m.

( ) ( )m4157.0h

h81.9025.000s502EEEE

2.005.024.0s

221

2P2K1P1K

22

=

+=+

+=+−+=

Rpta.

2 m 2 m

h

k = 40 N/m k = 40 N/m

2.3.3. Si se suelta el cilindro de 20 kg desde el reposo en h = 0, determine la rigidez k requerida para cada resorte de modo que el movimiento se detenga cuando h = 0.5 m. Cada resorte tiene una longitud no deformada de 1 m.

( ) ( )( )( )

( ) mN0839.77325.4225.4

1.981125.4

5.081.920sshgmk

sk2hgm0sk20EEEE15.02s

12s

2221

22

222

1212

1

2P2K1P1K

222

1

≅−

=−−

=−

=

+−=+

+=+−+=

−=

Rpta.

2.3.4. Sólo por divertirse, dos estudiantes de Ingeniería, A y B, de 100 lb cada

uno, intentan lanzarse, desde el reposo, de un puente utilizando una cuerda elástica (cuerda bungee) que tiene una rigidez k = 80 lb/p. Desean llegar sólo a la superficie del río, cuando A, unido a la cuerda, suelta a B en el momento que tocan el agua. Determine la longitud no deformada de la cuerda adecuada para hacerlo, y calcule la aceleración máxima del estudiante A y la altura máxima que alcanza sobre el agua después de rebotar. A partir de los resultados, comente la factibilidad de realizar este salto.


120 p A B

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )p3305.206h

L120h80h1000L120800L120p240h

h1000L120800máximaaltura3,agua2,EEEE

²sp7886.5982.3266.257100L12080m

Wska

amWsF:amFp5051.95610120L

L1208001202000agua2,puente1,EEEE

max

2max2

1max

221

máx

max2

21

3P3K2P2K

2.32100

A

AA

AAAAAA

221

2P2K1P1K

≅

−−++=−+

+>=

+=−+

==+=+

≅−=−−

=−

=

=−=

≅−=

−+=+

==+=+

∑

.

. No es recomendable hacer este salto, pues el estudiante A rebotará eaire, una vez alcanzada la altura máxima, y caerá con fuerza al puente.

Rpta

Rpta

n el

.
Rpta


2.3.5. La bola tiene un peso de 15 libras y está unida a la barra cuya masa es despreciable. Si se suelta desde el reposo cuando θ = 0°, determine el ángulo θ en el que la fuerza de compresión de la barra llega a cero.

θ 3 p

( ) ( )( ) °==θ→=θ

θ+θ=

θ+=

+=+

θ=→=θ

ρ=θ

=∑

1897.4832cosarc32coscos32.32cos6.962.323

cos3gmvmgm3EEEE

cos6.96v3vcos2.32

vmcosgm

amF

21

221

2P2K1P1K

22

2

nn

wθ

. 2.3.6. Si el carro de la montaña rusa

tiene una rapidez vA = 5 pies/s cuando se encuentra en A y desciende por la pista gracias a la sola inercia, determine la rapidez vB que alcanza cuando llega al punto B; también, la fuerza normal que un pasajero de 150 libras ejerce sobre el carro cuando está en B. En este punto, la pista sigue una trayectoria definida por y = x²/200. Desprecie los efectos de la fricción, la masa de las ruedas y el

200

²xy =

dx

( ) ( )

( )[ ]

15²vmWN

:amF

²dxy²ddxdy1

1001

²dxy²d,

100xdy

sp4124.989685vv1502.32²5

0gmvmhgmvm

EEEE

nn

32

B

2B2

121

2B2

12A2

12p2k1P1k

=ρ

+=

=

+=ρ

==

≅=

=+

+=+

+=+

∑

Rpta

tamaño del carro.

y A

150 pies

B x

lb1646.6011002.32

96851500

²vmWN

1000x

2

≅××

+

ρ=−

=

=
Rpta.


B

A

2.3.7. El ensamble consiste en dos bloques A y B cuyas masas son de 20 kg y 30 kg, respectivamente. Determine la rapidez de cada bloque cuando B desciende 1.5 m. Los bloques se sueltan desde el reposo. Desprecie la masa de las poleas y las cuerdas.

3 ∑

( ) ( )

( )

( )( )↓=−=

↑==→−=

−++=

+++=+

+=+

↑=↓=→−=

∑∑∑

sm4.6164v3v

sm1.5388145

343.35vvv

g4510v15v100hgmhgmvmvm00

EEEEm0.5s,m1.5sparavv

AB

ABA

2B

2A

BBAA2BB2

12AA2

1

PKPK

ABBA

2211

Rpta.

3 2.3.8. Se utiliza el tope de doble resorte para

detener la barra de acero de 1500 libras en la banda de rodillos. Determine la rigidez k = k1 = k2 de cada resorte, de modo que no se compriman más de 0.2 pie después de ser golpeados por una barra que se desplaza con una rapidez de 8 pies/s. Desprecie la masa de los resortes, rodillos y las placas A y B.

v = 8 pies/s B k2 A k1

( )

( )pklb2671.37

2.02.3248000k

²sk282.32

1500

²sk²sk00vm

EEEE

2

2

21

212

21

2p2k1p1k

==

=

++=+

+=+

Rpta.


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

lgpu0476.1921

4008hpidese,21

232

hg2g21

4640:hg2v

21g464

7g26

122014

122087

vg76k06ykyEEE

22

23

2212

212

2

222

12212

21

2K2P1K1P

≅=+=

−=−=

=

−+−=

+=+++−

+=+

2.3.9. Cuatro cables no elásticos C se encuentran unidos a la placa P y mantienen el resorte de 20” con una compresión de 6”, cuando no actúa compresión alguna sobre la placa. Si el bloque B, que tiene un peso de 7 libras, es colocado sobre la placa, ésta sufre un empuje hacia abajo y = 8” y se suelta desde el reposo, determine la altura a la que se eleva el bloque desde el punto en que se libere. Desprecie la masa de la placa. El resorte tiene una rigidez k = 20 lb/pie.

B

P

y

14” C

E W v v . h

14”

2.3.10. Un pistón es diseñado para disparar un

bloque de 3 lb a 2 p en el aire, medido con respecto del punto en que el bloque es empujado hacia abajo, y = 5”, y se suelta desde el reposo. Si la rigidez del resorte es k = 30 lb/p, determine la longitud no comprimida de éste que es preciso utilizar en el instrumento. Cuatro cables no elásticos C mantienen en su lugar a la placa P, cada uno de los cuales tiene una longitud de 14”.

( )

( )

( ) ( )

p5833.13615.4

3115.1

1214 def. no long.

3115.1s

5s3053

00yskyWEEEE

8.128v

23v2.32

30hWvm0

EEEE

121

21

121

221

2K2P1K1P

22

222

1

3222

1

3K3P2K2P

≅=+=

=→

++−

=+++

+=+

=→

=

+=+

+=+

Rpta

B

P

y

C

"46.18

8.1282.32

3s30

vmsk

212

212

222

1221

=

+=

++

.
Rpta


A

50 m vB

B 4 m

s C 30°

2.3.11. El esquiador arranca desde el reposo en A y desciende por la rampa. Si es posible despreciar la fricción y la resistencia del aire, determine la rapidez vB al llegar a B. También, calcule la distancia s que recorrerá para aterrizar en C, si realiza el salto desplazándose en dirección horizontal en B. Desprecie el tamaño del esquiador, que tiene una masa de 70 kg.

( )( )

m2036.1303

6678184s

02944s368²s3

s92736²s81.9

s852.90230coss

tvs:xEje81.9

s8t²t81.9s8²t81.930sens4

²tatvs:yEjesm0420.3052.902vvm4681.9m0:EEEE

43

xx

21

21

0y

B2B2

1BPBKAPAK

≅+

=

=−−

+=

+=°

=

+=→=+

=°+

+=

≅=→=++=+

.

.

2.3.12. El bloque tiene una masa de 20 kg y se suelta desde el reposo cuando s = 0.5 m. Si se desprecia la masa de los topes A y B, determine la deformación máxima de cada resorte debida a la colisión.

.

( )( )( )

( )[ ]

m0.63828sm.021251s0196.2s.65637s812.5

s800500s.65637196.2

sssksk:FFskskss392.4196.2

sksk0ss0.59.81200EEEE

B

AA2A

2A

285

A

A85

BBBAArAr

2BB

2AABA

2BB2

12AA2

1BA

2P2K1P1K

B

==→=−−

+=+

=→==

+=++

++=+++

+=+ ∑∑∑∑

s = 0.5m

B A

Rpta

kA = 50

kB = 80

Rpta

0 N/m

0 N/m

Rpta


III. Impulso y Momento Lineales III.1. Principio del Impulso y Momento Lineales Con el propósito de analizar el movimiento en el que una fuerza es aplicada durante un determinado tiempo, debemos expresar la expresión (C), de la segunda ley de Newton, de la siguiente manera:

12t

t

v

v

t

t

vmvmdtF

vdmdtFdtvdmamF

2

1

2

1

2

1

vvv

vv

vvv

−=

=

==

∑ ∫

∫∑ ∫

∑

Esta ecuación, escrita de la siguiente manera:

, 1t

vm v

Unidades S.I. Británico

∑∫2t

dtFv

N·s lb·s kg·m/s slug·p/s

2t

t1 vmdtFvm 2

1

vvv =+ ∑ ∫ se conoce como el principio del impulso y momento lineales. Como puede demostrarse, las unidades del Impulso y del Momento lineales son equivalentes.

El Impulso Lineal (∑ ) es una cantidad vectorial que mide el efecto

de la fuerza durante el tiempo en que ésta actúa. Este vector tiene la misma dirección y sentido que el vector F .

∫2

1

t

tdtF

v

v

El Momento Lineal (m ) es una cantidad vectorial que mide el movimiento de una partícula. Este vector tiene la misma dirección y sentido que el vector y es conocido también como cantidad de movimiento.

vv

vv

1vm v ∑∫2

1

t

tdtFv

2vm v

+ =

1vm v

2vm v

∑∫2

1

t

tdtFv

Lineales Momento yImpulso del Principio


Si se descompone el movimiento de la partícula en sus componentes rectangulares, se puede descomponer los vectores Impulso y Momento Lineales en sus componentes x, y y z:

2zt

t z1z

2yt

t y1y

2xt

t x1x

vmdtFvm

vmdtFvm

vmdtFvm

2

1

2

1

2

1

vvv

vvv

vvv

=+

=+

=+

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

Ejemplos :

sp18vA =

°30A

B3.1.1. Se lanza una bola de 2 lb en la dirección que aparece en la figura con una rapidez inicial vA = 18 p/s. Determine el tiempo necesario para que alcance el punto más alto B y la rapidez a la que se desplaza en dicho punto B; use el principio del impulso y el momento para resolver el problema.

( )( )

( )1830cosvv:xEje

s2795.02.32

9t

0t2182.32

2

0dtW30senvm:yEje

vmdtFvm

23

B

21

t

0

21

==°=

≅=

=+

=+°

=+

∫

∑ ∫ vvv

3.1.2. Si se requieren 35 s para que eremolcador de 50 Mgincremente su rapidez demanera uniforme hasta25 km/h, desde el reposodetermine la fuerza de lacuerda sobre el remolcador. Lahélice proporciona una fuerzade propulsión F que da al remque la barcaza se mueve librsobre el remolcador. La barcaza

Rpta.

sp5885.1539 ≅ .

(vB)1

B

l , olcador un impulso hacemente. Asimismo, dete tiene una masa de 75

Rpta

(vT)1 T

ia delante, en tanto rmine F que actúa

Mg.


( ) ( )( ) ( )

N5873.24801F185255000035TF0

vmdtFvm

:molcadorRe

N9524.14880T1852575000T350

vmdtFvm

:Barcaza

235

01235

01

=

=−+

=+

=

=+

=+ ∫∫

. . 3.1.3. El bloque de 5 kg cae c

v1 = 2 m/s cuando se enla superficie de la areimpulso necesario de lbloque para frenar Desprecie la distancia hunde en la arena y rebota. Desprecie el durante el impacto con la

( )( )

.1605vmdtF

0dtFvm

881.922v

hg2vv

2

2

22

21

22

==

=−

=+=

+=

∑ ∫∑ ∫

3.1.4. El bloque A pesa 10 lb

mueve hacia abajo con en t = 0, determine la veSuponga que el plano homasa de las poleas y la c

)a(...2.32v10T

2.3260

2.32v10T

2.32610

vmdtFvm:ABloque

2AA1AA

=+

×=+

×

=+ ∫

Rpta

on una velocidad cuentra a 8 m de na. Determine el a arena sobre el su movimiento.

que el bloque se suponga que no peso del bloque arena.

m8

sN4350.6396

96.160

⋅≅

.

y el bloque B, 3 lb. Si B se una velocidad vB1 = 3 pies/s locidad de A cuando t = 1 s. rizontal es liso. Desprecie la uerda.

)b(...2.32v5.1T23

2.329

2.32v3

T232.3233

vmdtFvm:BBloque

21

2BB1BB

=−+

=−+×

=+ ∫

Rpta

sm2v1 =

Rpta
A
vB1 = 3 p/s B

sp49.102152256v

2.32v5.213

2.32129

:)b()a(2Sumando

≅=

=+

+

.
Rpta


( ) ( )( )( )

sm9055.622.338.2v

v50t120t5.9100

v50dt81.950t120500250

vmdtFvm

2

2

2

0

332

22

0

21

≅+=

=++

=−++

=+

∫∫

B v

3.1.5. El bloque B de 50 kg se eleva por medio del arreglo de motor y cables de la figura. Si el bloque asciende a una velocidad v1 = 2 m/s cuando t = 0 y el motor desarrolla una tensión sobre la cuerda de T = (500 + 120 ) N, donde t se expresa en segundos, determine la velocidad del bloque cuando t = 2 s. Desprecie la masa de las poleas y el cable.

t

T

Wv

Rpta. III.2. Conservación del Momento Lineal Cuando se tiene un sistema de partículas con movimiento interdependiente, es decir, unidas por contacto o por cables, en los cuales el movimiento de una de las partículas ocasiona un movimiento inminente en la otra, los impulsos de acción y reacción se anulan, por ser iguales en magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Esta anulación de los impulsos externos hace que la ecuación del impulso y momento lineales se simplifique:

∑∑ = 21 vmvm vv Hay que tomar en cuenta que si las fuerzas externas son relativamente grandes y el tiempo en que éstas actúan sobre el sistema de partículas es muy pequeño, no pueden anularse los impulsos que generan.

lineal momento delónconservaci de Casos


Ejemplos :

M

B

3.2.1. El hombre M pesa 150 lb y salta a la lancha B, que originalmente está en reposo. Si el hombre tiene una componente horizontal de velocidad de 3 p/s un instante antes de entrar a la lancha, determine el peso de la embarcación si adquiere una velocidad de 2 p/s una vez que el hombre ha entrado.

( ) ( ) ( ) ( )

lb751502

3150m

22.32m1500

2.32m3

2.32150

vmvm 21

=−×

=

+=+

= ∑∑

.

3.2.2. Un remolcador T, con

de 19 Mg está atadbarcaza B que tiene un75 Mg. Si la cuerda esde tal manera que rigidez k = 600 kN/m, el estiramiento máximcuerda durante el arrasOriginalmente el remolccon rapidez (vT)1 = 15 kla resistencia del agua.

( ) (

m22076.0s

75001851519000

EEEE

10750001851519000

vmvmvmvm

21

2

21

2P2K1P1K

T2B1BB1TT

=

+

×

+=+

×+

×

+=+

.

Rpta

(vB)1 (vT)1

B T

una masa o a una a masa de "elástica" tiene una determine o en la tre inicial. ador y la barcaza se mueven en la misma dirección m/h y (vB)1 = 10 km/h, respectivamente. Desprecie

( )

) ( ) ( )s600000v75000190000185100

sm058510.3vv7500019000185

2212

221

2

22

2

++=+

×

=→+=

Rpta


A

15 p

5 3

4

B

3.2.3. La rampa en deslizamiento libre tiene un peso de 120 lb. La caja, cuyo peso es de 80 lb, se desliza desde el reposo en A, 15 p por la rampa hasta B. Determine la rapidez de la rampa cuando la caja llega a B. Suponga que la rampa es lisa y desprecie la masa de las ruedas.

=

− = 38 =

( )( ) 4.3864senNF

6480cosWN

53

x

54

==θ=

==θ

( )

592.111876.25v

625v

v2.32

48v2.32

200592.11

184.38

v2.32

Wv2.32WWt4.0

vmdtFvm

rc

cr

c53C

rrc

2xx1x

−

−=

−+

=+

=+ ∑∫∑

( )

592.1118

as2

t²tatvs

592.116480aag

WcosNW

amF

yy2

10y

54

802.32

yyc

c

ycy

==→+

=−=→=θ

=∑ θ

θθ

WN−

xF

( )

sp4109.10v

059248v592.11

183

51520v9

13580

v120592.11

1876.25v6

258023184

v120v8023184

v2.32

120v2.32

8000980

EEEE

r

r2r

2r

2

r

2r

2c

2r

2c

2K2P1K1P

=

=+−

+

−=

+=

++=+

+=+

Rpta.

3.2.4. Los bloques A y B tienen masas de 40 y 60 kg, respectivamente. Están

colocados en una superficie lisa y el resorte que los une está estirado 2 m. Si se los libera desde el reposo, determine la rapidez de ambos bloques en el instante en que el resorte pierde su estiramiento.

sm1909.28.4vvsm2863.38.10v

vv236v3v236

v60v40²2180

vmvm²sk

EEEEvv

v60v400vmvm

A32

B

A

2A3

42A

2B

2A

2B

2A

2BB2

12AA2

121

2p2k1p1k

A32

B

BA

21

===

==

+=

+=

+=×

+=

+=+

=−=

= ∑∑

Rpta.


III.3. Impacto Cuando dos partículas colisionan libremente entre sí, se conservan los momentos lineales del sistema. Para facilitar el análisis del impacto, se definen la línea de impacto y el plano de contacto entre ambas partículas.

contacto de Plano

impactode Línea

A B

La línea de impacto es la línea que une los centros de masa de las partículas en colisión y siempre es perpendicular al plano de contacto.

El plano de contacto es el plano que forma la deformación natural de las partículas en colisión al chocar entre sí.

A B

y

x

1Avv

2Avv

1Bvv

2Bvv

1θ

2θ 2φ

1φ

Si llamamos eje x a la línea de impacto y eje y a una línea del plano de contacto que corte a la línea de impacto, podemos analizar el movimiento en cada eje por separado. Eje x : A lo largo de la línea de impacto se va a producir una conservación del momento lineal del sistema, de tal manera que:

2xBB2xAA1xBB1xAA vmvmvmvm +=+

Además, podemos hallar una relación entre las velocidades de ambas

partículas, según el tipo de impacto, haciendo uso del coeficiente de restitución (e).

1xB1xA

2xA2xB

vvvv

e−

−=

Para ambas ecuaciones, es importante notar que las velocidades deben ser

colocadas con su signo, dependiendo de su sentido. El coeficiente de restitución e está relacionado con el tipo de impacto y su valor está comprendido entre 0 y 1. El impacto elástico (e = 1) se produce cuando la colisión entre las dos partículas es perfectamente elástica. En este caso no existe pérdida de energía durante la colisión, porque la suma de las velocidades de las partículas del sistema se mantiene. Este es un caso ideal, imposible de reproducir en la práctica. El impacto plástico (e = 0) se produce cuando, después de la colisión, las partículas se mantienen pegadas, manteniendo una velocidad común. En este caso existe una pérdida máxima de energía, producida por la deformación permanente (plástica) de las partículas.


Eje y : Al no existir ningún impulso a lo largo del plano de contacto en ninguna de las partículas que colisionan los momentos lineales de cada partícula se van a conservar, de tal manera que:

Eje y : Al no existir ningún impulso a lo largo del plano de contacto en ninguna de las partículas que colisionan los momentos lineales de cada partícula se van a conservar, de tal manera que:

2yAA1yAA vmvm =2yAA1yAA vmvm = y y

2yBB1yBB vmvm =2yBB1yBB vmvm =

En este capítulo no vamos a considerar la pérdida de masa de ninguna de las partículas en colisión, podemos simplificar las últimas expresiones como: En este capítulo no vamos a considerar la pérdida de masa de ninguna de las partículas en colisión, podemos simplificar las últimas expresiones como:

2yA1yA vv =2yA1yA vv = y y

2yB1yB vv =2yB1yB vv =

En los casos especiales en que las velocidades, tanto de entrada como de salida, de las partículas en colisión son perpendiculares a la línea de impacto, éste se conoce como impacto central y sólo se analiza el movimiento en el eje x, .ya que las velocidades en el eje y valen cero.

En los casos especiales en que las velocidades, tanto de entrada como de salida, de las partículas en colisión son perpendiculares a la línea de impacto, éste se conoce como impacto central y sólo se analiza el movimiento en el eje x, .ya que las velocidades en el eje y valen cero.

m0568.2381.9

59864.04t2R

381.959862.02

81.948.78

t

t905.4t24t81.9030tanR4

tgvh:yEjet2tvR:xEje

34

332

231

221

221

yo

≅+

==

+=

++=

=+

+=°+

+=

==

A vA = 2 m/s

4

m

30°

B B

R R

Ejemplos : Ejemplos : 3.3.1. El tubo A expulsa una bola de 0.5 kg

con una velocidad horizontal vA = 2 m/s. Determine la distancia horizontal R a la que golpea el plano inclinado liso. Si el coeficiente de restitución es e = 0.6, determine la rapidez con que rebota en el plano.

3.3.1. El tubo A expulsa una bola de 0.5 kg con una velocidad horizontal vA = 2 m/s. Determine la distancia horizontal R a la que golpea el plano inclinado liso. Si el coeficiente de restitución es e = 0.6, determine la rapidez con que rebota en el plano.

359862.02

t81.90tgvv y0y

+=

+=+=

59861.030senv30cosvv359861.0130cosv30senvv

xyn

xyt

=°−°=

+=°+°=

( 0.03359861.01vvv

v6.0vv

vvv

vv6.0e

2

22n2

2t

2nn

2n

npiso

piso2n

+

+

+=+=

−=→−

=−

−==

Rpta.

3+

) sm2139.859866 2

n

≅ .

xv

yvnv

tv°30

°30

Rpta


4 pies

A

d B

3 5

4

3.3.2. La bola se suelta desde el reposo y cae una distancia de 4 pies antes de golpear el plano liso en A. Si e = 0.8, determine la distancia d a la que golpea de nuevo en el plano e

A vA

3 p

C B

d

velocidad horizontal de 8 p/s, determine la distancia d de manera que la pelota rebote una vez en la superficie suave y después caiga en la taza en C. Tome e = 0.8.

n B.

.3.3. Si la niña lanza la pelota con una

1.165

12vv

1.165

16vv

153

1t

154

1n

1

==

==

1.16442.322hg2v =××==

t1.16125432d

tvx12576vvv

125432vvv

1.

54

x

ytyny

xtxnx

→=

=∆

=+=

=+=

( )

( )

( )

( ) p5709.8d0135

d6211664

²d62511664

²d625135

d19d

²1.16108

d252.321.16108

d251.1612576d

²tatvy1.16108

d25t

1.16

1.16

1.1625361.16

512v

1.1625481.16

512v

1.161252561.16

2564v

1.161251921.16

2564v

:vyvendoDescomponi

1625641.16

5168.0vev

vv

vvvv

e

53

21

53

21

0y

53

yt

54

xt

54

yn

53

xn

2t2n

1n2n

1n

2n

1p1n

2n2p

=→=+

−=

−

=

+=∆

=

−==

==

==

==

=×==

=−

−=

−

Rpta.

2nv

1nv

2t1t vv =

4

34

3

1v 3

:BATramo − ( )

2.1938.0v8.0v

vv

vvvv

8.0e,1.16

38tvd:xEje

2.1931.16

32.32tgv,1.16

32.32

32gh2t:yEje

y2y

y

2y

ypiso

piso2yA1

y

−=−=⇒

−=

−

−====

======


T :CBramo −

( )( )

( )

p9786.81.16

92.1161.16

38dd

1.1692.116

1.1692.182tv2d:xje

1.1692.1

2.3292.12

gh2t,)subida(92.1

2.322648.123

g2v

h:yje

21

A2

22y

≅+=+=

===

======

.

E E

D 3

( )( )

( )( ) (( )( )θ−−=φ

−+=+θ−

+=+

=−

=−−

=

θ−=

+=θ−+

cos1e1cosarcLgm00cos1Lg2em

EEEE

v:pero,vv

vvvve

cos1Lg2v0vmcosLLgm0

2

221

4CP4CK3CP3CK

3C2A

3A

2B2A

3A3B

A

22A2

1

2AP2AK1AP1AK

2

D E B

.3.4. Las tres pelotas tienen la misma masa

.3.5. Se suelta la maleta A, de 20 lb, desde e

s es el

de regresar al reposo.

se suelta a A desde el reposo en θ, detel ángulo φ que forma C después colisión. El coeficiente de restitucióncada bola es e.

=+ E +EEE

3desliza por una rampa lisa y golpea a la maleta B, de 10 lb, que se encuentra originalmente en reposo. Si el coeficiente de restitución entre las maletae = 0.3 y coeficiente de fricción cinética entre el piso DE y cada mvelocidad de A un instante antes del imun instante después del impacto, y (c) l

Rpta

L L θ L φ

A

B C

( )

)φ

θ−==−

cosL

cos1Lg2evev 2A3A

.

m. Si ermine de la

entre

Rpta

A C

6 p

l reposo en C. Después de eso, se

aleta es µk = 0.4, determine: (a) la pacto, (b) las velocidades de A y B a distancia que se desliza B antes


.3.6. El hombre A tiene un pes

( )

( ) ( )

( )( )( ) 289832617

4.0102.322v10

0sNv2.3210EU

4.386vv

3.0,vvvv

v10v2004.386

vmvmvmvsp6571.194.386

20206

22B

22B2

3K322K

2B

1B1A

2A2B

2B2A

B2AA1BB1AA

1

≅==

=µ+

=+

−=

−−

=

+=+

+=+≅=

++

−

.

el reposo, a una altur

E 0P +

( )v2.3200EEE

212

11K1P0K

=

+=

v m 20

e

E 1 s 3

plataforma P que pesa montada en un resorte cuDetermine: (a) las velociddespués del impacto, y que experimenta el resorque el coeficiente de restplataforma es e = 0.6 y qrígido durante el movimie

5182.322hg2 =××=

(

2.5156.0235

2.515139v

sp4256.13235

2.515139v

v60v17502.515175vmvmvmvm

v2.515

vv6.0

2P

2A

A2A

PP2AA1PP1AA

2P2A2P

=+=

≈=

+=+

+=+

=→−

=

v 1A =

mEEEE

223P3K2P2K +=+

. p9276.2s:solviendoRe

02209

1505280s60s100

s100s6047

2.515564.64

60

sk0swv

2

221

P2PP21

≈

=−−

=+

+=+

Rpta

o de 175 lb y salta desde

p2550.11

sp0361.1734.3866.2vsp1390.1134.3867.1v

v24.38624.3863.0vv

0 2B

2A

2A2A2B

2A

≅=≅=

−=+=

− .

.

A

h

a h = 8 pies, sobre una

2B

60 lb. La plataforma está ya rigidez es k = 200 lb/p. ades de A y P un instante

(b) la compresión máxima te por el impacto. Suponga itución entre el hombre y la ue el hombre permanece

nto.

2.5

)

sp0444.2747

56

2.5156.0

2.5156.0v

2

2

2A

+

+

. 2.515≈ .

2

Rpta

Rpta

P

Rpta

Rpta

Rpta


A

h

B

k

el coeficiente de restitución entre A y B esdel bloque justo después de la colisiónk = 30 N/m.

hg21A ==

A una pelota de tamaño de le y

A

.3.7. El bloque A, que tiene una masa m, se sueltadesde el reposo, cae una distancia h, y golpea la

.3.8. El bloque A, que tiene una masa de 2 kg

una distancia h = 0.5 m, y golpea la placa B

3.3.9.

masa m se le aplica una velo e vo

le

3

placa B, que tiene una masa 2 m. Si el coeficiente de restitución entre A y B es e, determine la velocidad de la placa un instante después de la colisión. El resorte tiene una rigidez k.

mvm 1y = ∑∑hg2v2A +=

estando en el centro del carro, cuya masa es M y originalmente se encuentra en reposo. Si el coeficiente de restitución entre la pelota y los muros A y B es de e, determine la velocidad de la bola y del carro justo después de que la pelota gotiempo total necesario para que la bola golprebote y regrese al centro del carro. Desprec

3 ,

hg23

1ev

vhg2ehg2v2vvv2

vmvm2vmv

2B

2BB

2A1AB

2A2B1A

2y

+=

−+=

+=

+−=−

A1Av2Av +.

v 012A

2A2B vve−

−−=

hg2v 1A =

2B1A2A

2B2A1A

1A

vvevvvve

v

−=

+=

sm1253.025

81.9v

v3v2081.92vmvmvmvm

96.0vv81.9vv6.0

81.95.081.92v

2A

2B2A

2BB2AA1BB1AA

2A2B2A2B

≈=

+=+

+=+

+=→−

=

=××

.

spreciabcidad d

Rpta

A

e = 0.6, determine la velocidad . El resorte tiene una rigidez

h

B

k

que tiene una masa de 3 kg. Si se suelta desde el reposo, cae

B 2Bv

81.

Rpta

vo B

d d

pea A. e A, rebote, golpee después B, ie la fricción.

También, determine el


A vA 3.3.10. Se observa que una pelota de

( )( )

( ) ( ) 2

O

O2

OO

OBBAAO

O2

3C3POB

O2P2CBA

OAO

O2

3C3P

OO

3C3P

2P2C

3C3P

OO2P2C

O2P

O2P2PO

2C2PO

2CC2PP1CC1PP

O

e11

vdt

ved

ved2

vdt

ttttved

vvdt

ved2

vvd2t

vt

vevvMm

eMmvMm

e1mvvv

vvvv

e

Mmmvvevv

MmeMmvv

vevMvmvmvMvm0vm

vmvmvmvmv

+=

++=

++=

=−

=

=−

=

=

=−+−

−++

−=

−−

=

+=+=

+−

=

++=

+=+

+=+

→→→

→

→

→

Rpta.

Rpta.

Rpta.

O2P2C2P2C

dvevvvv

e =−→−

= ( )e1+

7.5 p vB

20 p B

tenis, cuando se sirve en forma

a la cancha en B. Tom 0.7.

θ

e e e =

horizontal a 7.5 pies por encima de la cabeza, golpea el piso liso en B a 20 pies de distancia. Determine la velocidad inicial vA de la pelota y la velocidad vB (y θ) de la pelota justo después de que golp

4835.72.322hg2v y =××==

487.0vevvv

vve

sp3030.29483

2.3220tevv

2.32483

gv

t

1y2yP1y

2yP

xA

1y

−=−=→−

−=

≈×

===

==

.

1

3

+= jvivv2yxB

v

.

( )

°≅θ

=××

==θ

≈=

+×

=

6995.27

525.02.3220

4837.0vv

tan

sp0959.33483

61.529047v

483²7.0483

²2.32²20v

X

2y

B

B .

Rpta

Rpta

Rpta


A vA

7.5 p vB

20 p B

θ

v =

3.3.11. Se golpea la pelota de tenis con una velocidad horizontal

vA, choca con el piso en B y rebota hacia arriba formando un ángulo θ = 30°. Determine la velocidad inicial vA, la velocidad final vB y el coeficiente de restitución entre la bola y el suelo.

( )( )

( ) 76.09

34483452.3220

v30senve

cosvvvm30cosvm

sp3030.2915

2.3220tev:xEje

2.3215

gv

t,4835.72.322hg2v:yEje

y

B

ABAB

A

yy

≅==°

=

=⇒=°

≅==

=====

.

3.3.12. La caja de 20 lb se desliza

sobre una superficie lisa a

v = 15 p/s cuando golpea la placa de 10 lb. Determine la rigidez necesaria en el resorte si se le permite comprimirse un máximo de 4". Tome e = 0.8 entre la caja y la placa.

vmvm BB1AA + vmvm 2BB2AA1 +=

( ) v10v201520vWvW0vW

2B2A

2BB2AA1AA

→+=

+=+

vvvv8.0e 2A2B2A2B →

−=

−==

015vv 1B1A −−

Resolvien

( )( )

590.9052.32

29160312.32

1810sv

gWk

0²ksvm0

2

2

2

2BB

212

BB21

≅===

+=+

EEEE 3K3P2K2P +=+

Rpta

15 p/s

2 p

98

sp8362.3345

2.3230

≅°

.

40=

.

30vv2 2B2A =+

12vv =−

18v:od 2B =

2A2B

plb1 .

Rpta

Rpta

k

Rpta


3.3.14. Dos discos lisos A y B

3.3.14. Dos discos lisos A y B

( )

( )

sp7663.0v8.0

v

sp2981.031

38.02.2v

v34.01.1vv34.03.vv4.04.0

30senv45cosv30cos8.05.0vmvm

30cosv45senv30sen8.05.0

22

2B23

2A

2B

2B231

2B21

2A22

2B23

2A22

2B2A53

2y1y

2B2A54

≅−

=

≅+−

=

=+−

−=+−

−−=−−

°−°=°+−

=

°−°−=°−−

+

∑∑

y

vA1 = 6 m/s

x

B 5

3

4

A

vB1 = 4 m/s

3.3.13. Dos monedas lisas A y B, con la misma masa, se deslizan sobre una superficie

tienen cada uno una masa

3.3.13. Dos monedas lisas A y B, con la misma masa, se deslizan sobre una superficie

tienen cada uno una masa

2+

lisa moviéndose como se ilustra. Determine la rapidez de cada moneda después de la colisión si se separan sobre las trayectorias punteadas.

lisa moviéndose como se ilustra. Determine la rapidez de cada moneda después de la colisión si se separan sobre las trayectorias punteadas.

y vA2

vA1 = 0.5 p/s

A 45° 5 3 A

30° O 4 x

B 30° vB1 = 0.8 p/s

vB2 B

vmvm 2x1x = ∑∑

0

de 0.5 kg. Si ambos se desplazan cuando chocan con las velocidades que se ilustran, determine las velocidades finales un instante después de la colisión. El coeficiente de restitución es e = 0.75.

de 0.5 kg. Si ambos se desplazan cuando chocan con las velocidades que se ilustran, determine las velocidades finales un instante después de la colisión. El coeficiente de restitución es e = 0.75.

:xEje

Rpta.

( )

( )

35.1v95.4v

6.3vv3.6vv

46vv75.0

vmvmvmvme

6.3vv46vmvmvmvm

2xA

2xB

2xA2xB

2xA2xB

53

2xA2xB

1xBB1xAA

2xAA2xBB

2xB2xA53

xBB2xAA1xBB1xAA

=−=

−=+

−=−

−−−

=

−−

=

−=+=+−

=+

( ) 2.34vv0vv

:yEje

54

1yB2yB

1yA2yA

===

==

sm8943.5vvv

sm35.1vv

2y2B2x

2B2B

2xA2A

≅−=

==

Rpta.

Mecánica II Ing° Hugo D. Pachas Luna

Página 56 Cinética de la Partícula

y

(vA)1 = 6 m/s

x B 5 4 A

3

(vB)1 = 4 m/s

Dos discos lisos A y B tienen las Dos discos lisos A y B tienen las

01131449.046

2.36.32.3vvvv

e

2.3430tanv30tanvv

v6.3vvv46

53

33

33

1xB1xA

2xA2xB

33

33

54

1yB2yB2xB

2xB2xA2xB2xA53

=×−−−+−

=−−

=

=××−=°−=°−=

+−=→+=×+−

vB = 3 m/s

3.3.15. ada uno

3.3.16.

velocidades iniciales que se indican un

= 3 m/s

3.3.15. ada uno

3.3.16.

velocidades iniciales que se indican un

Dos discos lisos A y B tienen cuna masa de 0.5 kg. Si ambos se

locidad s

Dos discos lisos A y B tienen cuna masa de 0.5 kg. Si ambos se

locidad s desplazan con las ve e que se ilustran, cuando chocan, determine el coeficiente de restitución entre los discos si después de la colisión B se desplaza 30° sobre una línea, en sentido opuesto a las manecillas del reloj, a partir del eje y.

desplazan con las ve e que se ilustran, cuando chocan, determine el coeficiente de restitución entre los discos si después de la colisión B se desplaza 30° sobre una línea, en sentido opuesto a las manecillas del reloj, a partir del eje y.

vmvmvm 2xA1xB1xA =+ vm 2xB+

.

O

instante antes de chocar en O. Si sus masas son mA = 10 kg y mB = 8 kg, determine sus velocidades justo después del impacto. El coeficiente de restitución es e = 0.4.

instante antes de chocar en O. Si sus masas son mA = 10 kg y mB = 8 kg, determine sus velocidades justo después del impacto. El coeficiente de restitución es e = 0.4.

1nBB1nAA mvmv =+ 10

2nA2nB

13131nB1nA

vv1320

−=−

,11735v:oResolviend 2nA −=

2nB2nA

2nB2nA1313

v8v1013

230v8v10387

+=−

+=+−

552nA2nB2nA2nB

)(3)(7vv

vvvv

4.0e−−

−=

−

−==

( )( ) ( )( )552nBB2nAA vmvm +

117215v 2nB −=

73512 22

−

1171512

117215

13123vvv

1171171322

2n2B2t

2B2B

2nA2tA2A

=

−+

=+=

1167vvv 22 =+ =+=

Rpta
y
13 12

A A = 7 m/s

x

BB

5

v

sm3235.301≅

.

sm4685.689≅

Rpta


IV. Impulso y Momento Angulares

to Angulares

edor del punto O, está efinido por la siguiente ecuación:

= brazo de palanca del impulso lineal = brazo de palanca del momento lineal

del Impulso y del Momento

ngulares son equivalentes.

) es una cantidad vectorial

que resulta de la integración en el tiemuna pa O

que resulta el producto vectorial del tícula, por su brazo de

compone el movimiento de la partícula en sus componentes ctangulares, y si el movimiento de la partícula se produce sólo en el plano x-y,

IV.1. Principio del Impulso y Momen El principio del Impulso y Momento Angulares, alredd t

1OHvvv

+z

bd

Como puede demostrarse, las unidades

vm v

∑∫ dtFv

rv

∑ ∫ dtM,HOvv

O

x

ydb

Unidades S.I. Británico

∑ 2t v ∫

1tO dtM N·m·s lb·p·s

OH v

kg·m²/s slug·p²/s

2Ot O HdtM2

1=∑ ∫

A

El Impulso Angular (∑ ( )∑ ∫∫ ×= 2

1

2

1

t

t

t

t O dtFrdtMvvv

po de todas lasor su brazo de palanca co

fuerzas que actúan sobre rtícula, multiplicadas p n respecto a un punto .

Este vector es perpendicular al plano formado por los vectores rv y Fv

. El Momento Angular ( vmrHO

vvs×= ) es una cantidad vectorial

d momento lineal de una parto O. Este vpalanca con respecto a un pun ector es perpendicular al plano formado

por los vectores rv y vv . Si se desrese puede descomponer los vectores Impulso y Momento Lineales en sus componentes cartesianos:

2Ot

t O1O

2yt

t y1y

2xt

t x1x

HdtMH

vmdtFvm

vmdtFvm

2

1

2

1

2

1

vvv

vvv

vvv

=+

=+

=+

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫


0.4 m

0.4 m

M

z 60 N

5 4

0.75 m 3

v C

M = (8 t² + 5) N·m

En el caso de que no existan impulsos angulares, ya sea por la inexistencia de impulsos externos o porque el impulso angular sea dirigido hacia el punto O, el momento angular se conservará, quedando simplificad uación del impulso y momento angulares, como sigue:

.1.1. Dos esferas, cada una con una masa de 3 kg, están unidos a una varilla de masa despreciable. Determine el tiempo en que el torque M = (8 t) N·m,

t se expresa en segundos, debe aplicarse a la varilla, de modo

4.1.2.

una fuerza de 60 N, que siempre está dirigida

a la ec

2O1O HHvv

=

O

y si se tiene un conjunto de partículas con movimiento angular interdependiente, podemos escribir:

∑∑ = 21O HHvv

Ejemplos : 4

donde

que cada esfera logre una rapidez de 3 m/s a partir del reposo.

( )3234.0t4

vmrdtt80

HdtMH

2

t

0

1t

0 OO

→×=

=+

=+

∫

∑∫

x en la forma que se ilustra, determine la rapidez del cilindro cuando t = 2 s. El cilindro tiene una rapidez vO = 2 m/s cuando t = 0.

( ) vmrdt75.0605t8vmr

HdtMH2 3

1t

0 OO

=××+++

=+

∫

∑ ∫

El pequeño cilindro C tiene una masa de 10 kg y está unido al extremo de una varilla cuya masa puede despreciarse. Si la estructura está sujeta a un par M = (8 t² + 5) N·m, donde t se expresa en segundos, y el cilindro está sujeto a

s34164.18.1t == Rpta.

sm37778.1345

602v

v1075.0t323t821075.0

1

1

3

0 5

==

××=++××

Rpta.

1O


.1.4. Un pequeño bloque, que tiene una masa de .1.4. Un pequeño bloque, que tiene una masa de

s7394.02v

tsp5213.1

²2²1263

vvrr r2

112

≅==≈

−×

==

r1 = 500 mm v1 = 0.4 m/s

h

r2

θ v2

30°

4.1.3.

a es jalada a través de un

0.1 kg, experimenta una velocidad horizontal

4.1.3.

a es jalada a través de un

0.1 kg, experimenta una velocidad horizontal

Una bola B de 4 lb se desplaza alrededor de un círculo, cuyo radio es r1 = 3 pies, con una rapidez vB1 = 6 pies/s. Si la cuerd

Una bola B de 4 lb se desplaza alrededor de un círculo, cuyo radio es r1 = 3 pies, con una rapidez vB1 = 6 pies/s. Si la cuerdagujero en el centro del círculo, con una rapidez constante vr = 2 pies/s, determine el tiempo necesario para que la bola alcance una rapidez de 12 pies/s. ¿A qué distancia r2 del agujero se encuentra la bola cuando esto ocurre? Desprecie la fricción y el tamaño de la bola.

agujero en el centro del círculo, con una rapidez constante vr = 2 pies/s, determine el tiempo necesario para que la bola alcance una rapidez de 12 pies/s. ¿A qué distancia r2 del agujero se encuentra la bola cuando esto ocurre? Desprecie la fricción y el tamaño de la bola.

rrvrmvrm:H 22112O −−

==

B r1 = 3 p

vB1 = 6 p/s

vr = 2 p/s

140183H

211O

. 44

v1 = 0.4 m/s cuando r1 = 500 mm. Se desliza por una superficie cónica lisa. Cuando desciende a h = 100 mm, determine su rapidez y el ángulo de caída θ, es decir, el ángulo medido desde la horizontal a la tangente de la trayectoria.

v1 = 0.4 m/s cuando r1 = 500 mm. Se desliza por una superficie cónica lisa. Cuando desciende a h = 100 mm, determine su rapidez y el ángulo de caída θ, es decir, el ángulo medido desde la horizontal a la tangente de la trayectoria.

E 1

v v =

( )sm4567.1122.2

1.081.92²4.0hg2v

vhg20vmhgmvm

212

22

21

221

12

≅

+=+=

=+

+=+

EEE22

2P2K1P1K +=+

5.0r1 =

2r°60 1.0

35.060tanr1 =°

5.0r

35.05.0

2 =

=

33

5.0−

( )31.05.1

6.01.035.034.05.0

rvrv

vrmvrm

2

11h2

h2211

−=

−==

=

( )°≅

−=

9144.7112.231.05.1

6.0cosarc

v 2

.

=θvcosarc h2

θ

.

HH 2O1O =

Rpta

Rpta

1.01.03 −

r2

2

Rpta


r1 = 500 mm v1 = 0.4 m/s

h

r2

θ v2

30°

.1.5. Un pequeño bloque, que tiene una masa de 0.1 kg, experimenta una velocidad horizontal

4

v1 = 0.4 m/s cuando r1 = 500 mm. Se desliza por una superficie cónica lisa. Determine la distancia h que debe descender para alcanzar una rapidez de v2 = 2 m/s. Asimismo, ¿cuál es el ángulo de descenso θ, es decir, el que se toma entre la horizontal y la tangente de la trayectoria?

( ) m1957.032764

81.9216.04

g2vvh

vhg2v0vmhgmvm

21

22

22

21

221

121

≅=−

=−

=

=+

+=+

1r

2r°60 1.0

°60tanr1

Rpta.

EEEE22

2P2K1P1K +=+

19623128981

335.0r

rr

32764

2

21

−=

−=

h60tanr60tanr 11 −°=°

( )31.05.1

6.01.035.034.05.0

rvrv

vrmvrm

2

11h2

h2211

−=

−==

=( ) °≅

−= 9144.71

122.231.05.16.0cosarc

v 2=θ

vcosarc h2

θ

Rpta. HH 2O1O =


Bibliografía Los ejemplos resueltos fueron propuestos en el libro Ingeniería Mecánica – Dinámica de R. C. Hibbeler, 7ma edición, Capítulos 12, 14 y 15, siendo entregados como solucionario a los alumnos de Ingeniería Agrícola, no habiendo ninguna disconformidad con los desarrollos planteados. El desarrollo de los ejemplos, así como la exposición teórica al principio de cada capítulo son de responsabilidad del autor de este trabajo.

Bibliografía Adicional Recomendada J.L. Meriam – DINÁMICA. Editorial Reverté. Harry R. Nara – MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. VOLUMEN II: DINÁMICA – 1ra Edición. Editorial Limusa. Ferdinand L. Singer – MECÁNICA PARA INGENIEROS: DINÁMICA – 3ra Edición. Editorial Harla.

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