I. INTRODUCCIÓN

La explicación del comportamiento del mundo natural en función de la intervención de

fuerzas perfectamente definidas nace en el Renacimiento. Hace 500 años, los

científicos veían un universo muy distinto del que observamos hoy día. La afirmación

de que la Tierra no era el centro del cosmos, tal como había creído siempre la

humanidad, significó el derrumbe de uno de los cimientos más firmes sobre los que se

sostenía la concepción antigua y medieval del mundo, que hacía que esta no hubiera

variado de modo importante durante muchos siglos. Este cambio no tuvo lugar hasta

que el hombre fue capaz de romper con las bases conceptuales sobre las que se había

fundamentado la concepción anterior, lo que, evidentemente, no resultó fácil. El

proceso se inició con una revolución en la Astronomía, lo cual exigió una revisión de

toda la física antigua. Estas fueron las tareas que emprendieron Copérnico y Galileo, y

que Newton culminó con la formulación de un nuevo sistema del mundo donde cielo y

Tierra son regidos por las mismas leyes. Dicho cambio no consistió solamente en la

elaboración de nuevas teorías sobre la realidad, sino en una nueva forma de pensar e

investigar sobre la naturaleza. La relación entre fuerza y el cambio de velocidad,

constituye la base de la mecánica clásica, tal como ha sido formulada por Newton

(1642-1727); por eso mediante la presentación de este trabajo se tratará de explicar

los conceptos, definiciones y características de la Segunda Ley de Newton debido a que

estos son fundamentales para la comprensión de la dinámica de los cuerpos.

II. OBJETIVOS:

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- Formular la segunda ley del movimiento y definir masa y peso.

- Analizar el movimiento acelerado de una partícula por medio de la

ecuación de movimiento con diferentes sistemas de referencia.

- Investigar el movimiento de una fuerza central y aplicarlo a problemas

de mecánica espacial.

III. MARCO HISTÓRICO

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Isaac Newton

(Woolsthorpe, Lincolnshire,

1642 - Londres, 1727)

Científico inglés. Fundador de

la física clásica, que

mantendría plena vigencia

hasta los tiempos de Einstein,

la obra de Newton representa

la culminación de la revolución

científica iniciada un siglo

antes por Copérnico. En

sus Principios matemáticos

de la filosofía natural (1687)

estableció las tres leyes

fundamentales del movimiento

y dedujo de ellas la cuarta ley

o ley de gravitación universal,

que explicaba con total exactitud las órbitas de los planetas, logrando así la unificación

de la mecánica terrestre y celeste.

Hijo póstumo y prematuro, su madre preparó para él un destino de granjero; pero

finalmente se convenció del talento del muchacho y le envió a la Universidad de

Cambridge, en donde hubo de trabajar para pagarse los estudios. Allí Newton no

destacó especialmente, pero asimiló los conocimientos y principios científicos y

filosóficos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo

Galilei, Johannes Kepler, Francis Bacon, René Descartes y otros.

Tras su graduación en 1665, Isaac Newton se orientó hacia la investigación en física y

matemáticas, con tal acierto que a los 29 años ya había formulado teorías que

señalarían el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX; por entonces había ya

obtenido una cátedra en su universidad (1669). Protagonista fundamental de la

«Revolución científica» de los siglos XVI y XVII y padre de la mecánica clásica, Newton

siempre fue remiso a dar publicidad a sus descubrimientos, razón por la que muchos

de ellos se conocieron con años de retraso. Newton coincidió con Leibniz en el

descubrimiento del cálculo integral, que contribuiría a una profunda renovación de las

matemáticas; también formuló el teorema del binomio (binomio de Newton).

Las aportaciones esenciales de Isaac Newton se produjeron en el terreno de la física.

Sus primeras investigaciones giraron en torno a la óptica: explicando la composición de

la luz blanca como mezcla de los colores del arco iris, formuló una teoría sobre la

naturaleza corpuscular de la luz y diseñó en 1668 el primer telescopio de reflector, del

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tipo de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios astronómicos;

más tarde recogió su visión de esta materia en la obra Óptica (1703). También trabajó

en otras áreas, como la termodinámica y la acústica.

La mecánica newtoniana

Su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su refundación de la

mecánica. En su obra más importante, Principios matemáticos de la FILOSOFÍA

natural (1687), formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la

primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en

reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no actúa sobre él ninguna fuerza; la

segunda o principio fundamental de la dinámica, según el cual la aceleración que

experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la

tercera, que explica que por cada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpo existe una

reacción igual de sentido contrario.

De estas tres leyes dedujo una cuarta, que es la más conocida: la ley de la gravedad,

que según la leyenda le fue sugerida por la observación de la caída de una manzana

del árbol. Descubrió que la fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna era

directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia que las separa, calculándose dicha fuerza mediante el

producto de ese cociente por una constante G; al extender ese principio general a

todos los cuerpos del Universo lo convirtió en la ley de gravitación universal

La mayor parte de estas ideas circulaban ya en el ambiente científico de la época; pero

Newton les dio el carácter sistemático de una teoría general, capaz de sustentar la

concepción científica del Universo durante más de dos siglos. Si todavía en nuestros

días resulta admirable la elegancia y sencillez de la mecánica newtoniana, puede

imaginarse el deslumbramiento que produjo en sus contemporáneos aquella

clarificación de un vasto conjunto de fenómenos; así lo expresó un compatriota suyo, el

poeta Alexander Pope: "La Naturaleza y sus leyes yacían ocultas en la noche, pero dijo

Dios: ¡Hágase la luz!, y nació Isaac Newton".

Hasta que terminó su trabajo científico propiamente dicho (hacia 1693), Newton se

dedicó a aplicar sus principios generales a la resolución de problemas concretos, como

la predicción de la posición exacta de los cuerpos celestes, convirtiéndose en el mayor

astrónomo del siglo. Sobre todos estos temas mantuvo agrios debates con otros

científicos (como Edmund Halley, Robert Hooke, Leibniz o John Flamsteed), en los que

encajó mal las críticas y se mostró extremadamente celoso de sus posiciones.

Como profesor de Cambridge, Newton se enfrentó a los abusos de Jacobo II contra la

universidad, lo cual le llevó a aceptar un escaño en el Parlamento surgido de la

«Gloriosa Revolución» (1689-90). En 1696 el régimen le nombró director de la Casa de

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la Moneda, buscando en él un administrador inteligente y honrado para poner coto a

las falsificaciones. Volvería a representar a su universidad en el Parlamento en 1701.

En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society de Londres. Y en 1705 culminó

la ascensión de su prestigio al ser nombrado caballero.

IV. CONCEPTOS BÁSICOS

4.1 CINÉTICA:

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La cinética es una rama de la dinámica que se ocupa de la relación entre el cambio de movimiento de un cuerpo y las fuerzas que lo provocan.

La base de la cinética es la segunda ley de Newton, la cual establece que cuando una fuerza desbalanceada actúa en una partícula, esta se acelerará en la dirección de la fuerza con una magnitud que es proporcional a esta.

4.2 PARTÍCULA:

Es una idealización física en la que se considera el cuerpo en estudio como si fuese puntual, es decir carente de dimensiones, cualquiera que sea su tamaño, dependiendo tan solo del contexto del problema a tratar.

Desde un punto de vista cinético, el único tipo de movimiento de una partícula es el movimiento de traslación, ya que al carecer de dimensiones no puede poseer movimiento de rotación.

4.3 FUERZA:

Es una magnitud vectorial que mide la Intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas. Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los materiales.

En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de medida de fuerza es el newton que se representa con el símbolo: N , nombrada así en reconocimiento a Isaac Newton por su aportación a la física, especialmente a la mecánica clásica.

El newton es una unidad derivada del SI que se define como la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s² a un objeto de 1 kg de masa.

El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad.

p=mv

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- La fuerza en la mecánica newtoniana se puede definir a partir de la derivada del momento lineal (p) con respecto al tiempo.

F=dpdt

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante.

F=d ( mv )

dt=mdv

dt=ma

A. Fuerza Gravitacional: En mecánica newtoniana la fuerza de atracción entre dos masas, cuyos centros de gravedad están lejos comparadas con las dimensiones del cuerpo, viene dada por la ley de la gravitación universal de Newton.

LEY DE LA ATRACCIÓN GRAVITATORIA DE NEWTON.

Poco tiempo después de formular sus tres leyes del movimiento, Newton postuló una ley que rige la atracción mutua entre dos partículas. En forma matemática esta ley se expresa como:

... (a)

Donde:

F = fuerza de atracción entre dos partículas.G = constante de gravitación universal; de acuerdo con pruebas experimentales G= 66.73x10-12 m3/(kg.s2)m1, m2 = masa de cada una de las dos partículas.r = distancia entre los centros las dos partículas.

En el caso de una partícula localizada en o cerca de la superficie terrestre, la única fuerza gravitatoria de magnitud considerable es la que existe entre la Tierra y la partícula. Esta fuerza se denominada peso y, para nuestro propósito, será la única fuerza gravitatoria considerada.

A partir de la ecuación (a), podemos desarrollar una expresión general para determinar el peso W de una partícula de masa m1 = m. Sea m2 = Me la masa de la Tierra y r la distancia entre el centro de la

Tierra y la partícula. Entonces, si g =G M e

r2 , tenemos:

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Por comparación con F = m.a, denominamos g como la aceleración de la gravedad. En la mayoría de los cálculos de ingeniería g es un punto sobre la superficie terrestre al nivel del mar y a una latitud de 45°, el cual se considera como el lugar se considera como el “lugar estándar”. Aquí se utilizarán los valores g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2 en los cálculos.

En el sistema SI la masa de un cuerpo se especifica en kilogramos y el peso se calcula con la ecuación anterior. Por tanto:

… (b)

Por consiguiente, un cuerpo de 1 kg de masa pesa 9.81 N; un cuerpo de 2 kg pesa 19.62 N; y así sucesivamente.

En el sistema FPS (pies-libras-segundo) el peso de un cuerpo se especifica en libras. La masa se mide en slugs, cuyo derivado del término es tardo, hace referencia a la inercia del cuerpo. Se calcula con:

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W =

… (c)

Por consiguiente un cuerpo pesa 32,2 lb tiene una masa de 1 slug; un cuerpo que pesa 64.4 lb tiene una masa de 2 slugs, y así sucesivamente.

Tipos de Fuerzas que se Ejercen entre Sí los Cuerpos.

a)     Fuerza de gravedad terrestre.

Sobre todo cuerpo de masa m, colocado en regiones cercanas a la superficie de la tierra, la tierra le ejerce una fuerza constante, llamada el peso del cuerpo, cuya dirección y sentido es verticalmente dirigida hacia la superficie de la tierra y cuya magnitud es:

                                                   W=mg,       donde,      g = 9.8  .

A g se le llama la aceleración de la gravedad terrestre.

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b)    Fuerzas por contacto entre cuerpos.

Estas fuerzas se manifiestan por las propiedades elásticas de los cuerpos cuando entran en contacto material.

i.        Fuerzas de Contacto entre cuerpos rígidos.

Un cuerpo se dice que es rígido cuando no sufre deformaciones bajo la acción de fuerzas.

Cuando dos cuerpos rígidos entran en contacto material, interactúan a través de fuerzas perpendiculares a las superficies en contacto, conocidas como fuerzas normales, N.

Ejemplos:

 

ii.      Fuerzas de Contacto entre un cuerpo rígido y un cuerpo elástico.

Un cuerpo elástico es aquel que sufre deformaciones al aplicarle fuerzas y recupera su forma al liberarle de esas fuerzas. Ejemplo de éstos son los resortes que son cuerpos elásticos en una dirección y la deformación que sufren en esa dirección es proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada. Además consideraremos que la masa  de los resortes es tan pequeña que su valor se puede ignorar.

 

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Si un resorte es sometido a fuerzas de tracción, o de compresión, F; sufre un alargamiento, o una contracción, x tal que:

A la constante k se le llama la constante elástica del resorte.

Observar que un resorte deformado la longitud x, ejerce una fuerza F cuyo sentido es contrario al sentido de la deformación, por eso se acostumbra escribir:

c)     Fuerzas de Fricción.

i.        Fuerzas de Fricción Estática.

Cuando un cuerpo m se encuentra en reposo en contacto con otro cuerpo y sobre m actúa una fuerza F que tiende a hacer que m deslice sobre la superficie

del cuerpo en contacto, entonces dicha superficie le ejerce a m una fuerza  , llamada fuerza de fricción estática, con las siguientes características.

fE evita el deslizamiento de m, es decir actúa en la dirección de las superficies en contacto y en sentido opuesto al del deslizamiento de m.

Si F crece, en la misma cantidad crece también fE. Dados los dos cuerpos en contacto, el crecimiento fE está limitado por el valor máximo dado por:

Donde N es la magnitud de la fuerza de contacto entre los cuerpos y E es una constante cuyo valor se determina experimentalmente y depende del acabado macroscópico de las superficies en contacto y de los materiales que constituyen a los cuerpos en contacto.

A E se le llama el coeficiente de fricción estático entre los cuerpos.

Dado el comportamiento de fE, se dice que es tal que:

.

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Normalmente se tiene que 0 ≤ μE ≤ 1. En el caso en que  , se dice que entre los cuerpos no hay fricción.

Ejemplos:

ii.      Fuerza de Fricción Cinética.

Cuando un cuerpo m desliza sobre la superficie de otro cuerpo en contacto,

sobre m se ejerce una fuerza  , llamada fuerza de fricción cinética, cuya dirección y sentido son opuestos al deslizamiento de m. Si N es la magnitud de la fuerza de contacto entre los cuerpos, experimentalmente se observa que la

magnitud de   es tal que:

 

A C se le llama el coeficiente de fricción cinético entre los cuerpos, su valor numérico se obtiene experimentalmente y se observa que depende del acabado macroscópico de las superficies en contacto y  del material que constituye a los cuerpos.  Generalmente se tiene

; en el caso en que   se dice que entre los cuerpos no hay fricción. Dados dos cuerpos en contacto se tiene que:

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4.4 MASA:

Es una medida de la cantidad de materia que posee un cuerpo. Es una propiedad extrínseca de los cuerpos que determina la medida de la masa inercial y de la masa gravitacional.

La unidad utilizada para medir la masa en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo (kg). Es una magnitud escalar.

4.5 PESO:

Es una medida de la fuerza gravitatoria que actúa sobre un objeto. El peso equivale a la fuerza que ejerce un cuerpo sobre un punto de apoyo, originada por la acción del campo gravitatorio local sobre la masa del cuerpo.

Por ser una fuerza, el peso se representa como un vector, definido por su módulo, dirección y sentido, aplicado en el centro de gravedad del cuerpo y dirigido aproximadamente hacia el centro de la Tierra. 

4.6 SEGUNDA LEY DE NEWTON:

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F= m.a

Se puede enunciar de la manera siguiente:Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante.La segunda ley de movimiento de Newton se comprende mejor al imaginar el siguiente experimento:

Una partícula se somete a una fuerza F1 de dirección constante y magnitud constante F1. Bajo la acción de esa fuerza se observa que la partícula se mueve en línea recta y en la dirección de la fuerza

Al determinar la posición de la partícula en diferentes instantes, se encuentra que su aceleración tiene una magnitud constante a1. Si el experimento se repite con fuerzas F2, F3, … , o de diferente magnitud o dirección, se descubre que cada vez que la partícula se mueve en la dirección de la fuerza que actúa sobre ella y que las magnitudes a1, a2, a3, . . . , de las aceleraciones son proporcionales a las magnitudes F1, F2, F3, . . . , de las fuerzas correspondientes:

F 1a 1

=F 2a2

= F 3a 3

= constante

El valor constante que se obtiene para el cociente de las magnitudes de las fuerzas y aceleraciones es característico de la partícula que se considera; se denomina la masa de la partícula y se denota mediante m. Cuando sobre una partícula de masa m actúa una fuerza F, la fuerza F y la aceleración a de la partícula deben satisfacer entonces la relación:

… (1)

Esta relación proporciona una formulación completa de la segunda ley de Newton; no sólo expresa que la magnitud de F y a son proporcionales, sino también (puesto que m es un escalar positivo) que los vectores F y a tienen la misma dirección.

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∑ F=m.a

Debe advertirse que la ecuación (1) sigue cumpliéndose cuando F no es constante sino que con el tiempo varía de magnitud o dirección. Las magnitudes de F y a permanecen proporcionales, y los dos vectores tienen la misma dirección en cualquier instante determinado. Sin embargo, en general, no son tangentes a la trayectoria de la partícula.

Cuando una partícula se somete de manera simultánea a varias fuerzas, la ecuación (1) debe sustituirse por:

… (2)

Donde ΣF representa

la sumatoria, o resultante, de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula.

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V. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Considérese una partícula de masa m sobre la que actúan varias fuerzas.

Se tiene que la segunda ley de Newton puede expresarse mediante la ecuación (∑ F=ma) que relaciona las fuerzas que actúan sobre la partícula y el vector ma. Sin embargo, para resolver los problemas que implican el movimiento de

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una partícula se encontrará más conveniente sustituir la ecuación mencionada por ecuaciones equivalentes que incluyen cantidades escalares.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS (EQUILIBRIO DINÁMICO)

Al volver a la ecuación, ∑ F=ma, y trasponer el miembro del lado derecho, se escribe la segunda ley de Newton en la forma alternativa:

∑ F−ma=0 (1)

En la que se expresa que si se suma el vector - ma a las fuerzas que actúan sobre la partícula, se obtiene un sistema de vectores equivalente a cero. El vector -ma, de magnitud ma y de dirección opuesta a la de la aceleración, se denomina vector de inercia. De tal modo, es factible considerar que la partícula está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas dadas y del vector de inercia. Se afirma que la partícula está en equilibrio dinámico, y el problema que se considera puede resolverse mediante los métodos que se desarrollaron antes en estática.

En el caso de fuerzas coplanares, todos los vectores, incluyendo al vector de inercia, pueden trazarse uno después del otro para formar un polígono vectorial cerrado.También es posible igualar a cero la suma de los componentes de todos los vectores, incluyendo de nuevo al vector de inercia. En consecuencia, utilizando componentes rectangulares, se escribe

∑ F x=0

∑ F y=0, incluyendo al vector inercia.

Cuando se usan las componentes tangencial y normal, resulta más conveniente representar el vector de inercia por medio de sus dos componentes -mat y -man.La componente tangencial del vector de inercia ofrece una medida que la resistencia de la partícula presenta a un cambio en la velocidad, en tanto que su componente normal (también llamada fuerza centrífuga) representa la tendencia de la partícula a abandonar su trayectoria curva.

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Es necesario advertir que cualquiera de estas dos componentes puede ser cero en condiciones especiales:

1) si la partícula parte del reposo, su velocidad inicial es cero y la componente normal del vector de inercia es cero en t = 0

2) si la partícula se mueve con velocidad constante a lo largo de su trayectoria, la componente tangencial del vector de inercia es cero y sólo es necesario considerar su componente normal.

Debido a que mide la resistencia que la partícula ofrece cuando se trata de ponerla en movimiento, o cuando se intenta cambiar las condiciones de este mismo, los vectores de inercia a menudo se denominan fuerzas de inercia. Sin embargo, las fuerzas de inercia no son similares a las que se encuentran en estática, que son fuerzas de contacto o fuerzas gravitacionales (pesos). Por consiguiente, muchas personas objetan el uso de la palabra “fuerza” cuando se refieren al vector -ma, o incluso evitan el concepto de equilibrio dinámico.

Otros afirman que las fuerzas de inercia y las fuerzas reales, como las gravitacionales, afectan nuestros sentidos en la misma forma y no es posible distinguirlas por mediciones físicas. Un hombre que viaja en un elevador que se acelera hacia arriba puede sentir que su peso se ha incrementado de manera repentina; y ninguna medida efectuada dentro del elevador podría establecer si éste en verdad está acelerado o si se ha incrementado de manera repentina la fuerza de atracción ejercida por la Tierra.

VI. SEGUNDA LEY DE NEWTON EN LOS DIFERENTES

SISTEMA DE REFERENCIA.

SISTEMA DE REFERNCIA: Es un conjunto de convenciones usadas por un observador para medir la posición de otro. Es un conjunto de coordenadas convencionales usadas por un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un objeto o sistema físico en el tiempo y el espacio.

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Tenemos los siguientes Sistemas de Referencia:

Coordenadas Cartesianas o Rectangulares. Coordenadas Tangencial y Normal. Coordenadas Polares.

COORDENADAS RECTANGULARES:

Cuando una partícula se mueve con respecto a un marco de referencia inercial x, y las fuerzas que actúan en la partícula, lo mismo que su aceleración, pueden expresarse en función de sus componentes i, j. Al aplicar la ecuación de movimiento, tenemos:

∑ F=m.a ;∑ FX i+∑ F y j=m(ax i+ay j)

Para que esta ecuación se satisfaga, los componentes i, j respectiva del lado izquierdo deben ser iguales a los componentes correspondientes del lado derecho. Por consiguiente, podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes:

En particular, si la partícula está limitada a moverse solo en el plano x-y, entonces se utilizan las primeras dos de estas ecuaciones para especificar el movimiento.

- PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS:Las ecuaciones de movimiento se utilizan para resolver problemas que requieren una relación entre las fuerzas que actúan en una partícula y el movimiento acelerado que ocasionan.

Diagrama de cuerpo libre. Seleccione el sistema de coordenadas inercial. Por lo general se eligen

coordenadas x, y para analizar problemas en los cuales la partícula tiene movimiento rectilíneo.

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∑ F x=m ax

∑ F y=ma y

Una vez que se establecen las coordenadas, trace el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Trazar este diagrama es muy importante puesto que proporciona una representación gráfica que incluye todas las fuerzas (ΣF) que actúan en la partícula y por lo tanto es posible descomponer estas fuerzas en sus componentes x, y.

La dirección y sentido de la aceleración a de la partícula también debe establecerse. Si se desconoce el sentido, por conveniencia matemática suponga que el sentido de cada componente de aceleración actúa en la misma dirección que su eje de coordenadas inercial positivo.

La aceleración puede representarse como el vector m.a en el diagrama cinético.

Identifique las incógnitas en el problema.

- Ecuaciones de movimiento. Si las fuerzas pueden descomponerse directamente con el diagrama de

cuerpo libre, aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares.

Si la geometría del problema parece complicada, lo que a menudo ocurre en tres dimensiones, puede utilizarse el análisis vectorial cartesiano para la solución.

Fricción. Si una partícula en movimiento se pone en contacto con una superficie áspera, puede ser necesario utilizar la ecuación friccional, la cual relaciona las fuerzas de fricción y normales, Ff y N, que actúan en la superficie de contacto mediante el coeficiente de fricción cinética, es decir, Ff = µk.N. Recordar que Ff siempre que actúa en el diagrama de cuerpo libre opuesta al movimiento de la partícula con respecto a la superficie con la que está en contacto. Si la partícula se encuentra al borde del movimiento relativo, entonces se utilizará el coeficiente de fricción estática.

Resorte. Si la partícula está conectada a un resorte elástico de masa insignificante, la fuerza Fs del resorte puede relacionarse con su deformación por medio de la ecuación Fs = ks. Aquí k es la rigidez del resorte medida como una fuerza por unidad de longitud, y s es el alargamiento o compresión definida como la diferencia entre la longitud deformada l y la longitud no deformada lo, es decir, s = l - lo

- Cinemática.-

Si se tiene que determinar la velocidad o posición de la partícula, se deben aplicar las ecuaciones cinemáticas necesarias una vez que se determina la aceleración de la partícula con ∑ F=ma

Si la aceleración es una función del tiempo, use a=dvdt

y v=dsdt

las

cuales, cuando se integran, resultan la velocidad y posición de la partícula, respectivamente.

Si la aceleración es una función del desplazamiento, integre a ds=v dv para obtener la velocidad en función de la posición.

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Si la aceleración es constante, use v=v0+a0 t, s=s0+v0 t+ 12

a0 t2,

v2=v02+2 ac(s−s0)para determinar la velocidad o posición de la partícula.

En todos los casos, asegurarse de que las direcciones de las coordenadas inerciales positivas sean las mismas que las que se utilizaron para escribir las ecuaciones de movimiento; de lo contrario, la solución simultánea de las ecuaciones conducirá a errores.

Si la solución para un componente vectorial desconocido da un escalar negativo, ello indica que el componente actúa en la dirección a la supuesta.

COORDENADAS NORMALES Y TANGENCIALES:Cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva conocida, su ecuación de movimiento puede escribirse en las direcciones tangencial, normal. Observe, en la figura, la partícula no se mueve en la dirección binormal, puesto que está limitada a moverse a lo largo de la trayectoria. Tendremos:

∑ F=mat

∑ F t ut+∑ Fn un=ma t+m an

Esta ecuación se satisface siempre que:

… (1)

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∑ F t=mat

∑ Fn=man

∑ Fn=mv2

ρ;∑ F t=m

dvdt

- Procedimiento para el análisisCuando un problema implica el movimientos de una partícula a lo largo de una trayectoria curva conocida, en el análisis se utilizarán coordenadas normales son fáciles de formular. El método para aplicar la ecuación de movimiento, la cual relaciona las fuerzas con las aceleraciones son fáciles de formular. El método para aplicar la ecuación de movimiento, la cual relaciona las fuerzas con las aceleraciones, se describió en los procedimientos explicados en las coordenadas rectangulares. Específicamente, para las coordenadas t, n se puede formular como sigue:

- Diagrama de cuerpo libre.

Establezca el sistema de coordenadas t, n inercial en la partícula y trace el diagrama de cuerpo libre de esta.

La aceleración normal de la partícula an siempre actúa en la dirección n positiva.

Si la aceleración tangencial at es desconocida, suponga que actúa en la dirección t positiva.

Identifique las incógnitas en el problema.

- Ecuaciones de movimiento.

Aplique las ecuaciones de movimiento, ecuaciones (1)

- Cinemática. Formule los componentes normales y tangenciales de la aceleración; es

decir, a t=dvdt

o a t=vdvds

y an=v2

ρ

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Si la trayectoria se define como y = f(x), el radio de curvatura en el punto

donde la partícula está localizada se obtiene con ρ=

[1+( dydx )

2

]3 /2

d2 y /d x2

COORDENADAS POLARES:

Cuando todas las fuerzas que actúan en una partícula se descomponen en componentes polares (radial y transversal), es decir, a lo largo de las direcciones de los vectores unitarios µr, µθ, la ecuación de movimiento puede expresarse como:

∑ F=mat

∑ F r ur+∑ Fθ uθ=m ar ur+m aθuθ

Para que esta ecuación se satisfaga, requerimos:

… (2)

Si la partícula solo puede moverse en el plano r-θ, entonces solo se utilizan las ecuaciones escalares de (2) para especificar el movimiento.

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∑ F r=m ar

∑ Fθ=maθ

Al sustituir ar yaθ de acuerdo con las ecuaciones (2), se tendrá:

∑ F r=m(r−r¿ θ2)¿ …(3)

∑ Fθ=m(r θ+2 r θ)…(4)

Las ecuaciones que se obtienen pueden resolverse para dos incógnitas. Al recordar

y notar que ∑ M0=r∑ Fθ, la ecuación produce:

r∑ Fθ=d (mr e θ)

dt=m¿¿

Y después de dividir ambos miembros entre r; ∑ Fθ=m(r θ+2 r θ)

- Procedimiento para el análisis:Las coordenadas polares son una opción adecuada para el análisis de un problema para el cual se dan datos con respecto al movimiento angular de la línea radial r, o en casos en los que la trayectoria puede expresarse convenientemente en función de estas coordenadas. Una vez que estas coordenadas se establecen, las ecuaciones de movimiento pueden aplicarse entonces para relacionar las fuerzas que actúan en la partícula con sus componentes de aceleración. Lo siguiente es un resumen de este procedimiento.

- Diagrama de cuerpo libre.

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Las fuerzas que actúan sobre la probeta usada en la máquina de centrifugado de alta velocidad pueden describirse en términos de sus componentes radiales y transversales.

Establezca el sistema de coordenadas r, θ inercial y trace el diagrama de cuerpo libre de la partícula.

Suponga que ar, a0, actúan en las diferentes positivas de r, θ si son desconocidas.

Identifique todas las incógnitas en el problema.

- Ecuaciones de movimiento.

Aplique las ecuaciones de movimiento (2).

- Cinemática.

Determinar r y las derivadas con respecto al tiempo r , r ,θ ,θ ,y luego evaluar

las componentes de aceleración ar=r−r θ2, aθ=r θ+2 ˙r θ,.

Si cualquiera de las componentes de aceleración se calcula como una cantidad negativa, ello indica que actúa en la dirección de su coordenada negativa.

Cuando se toman las derivadas con respecto al tiempo de r = f(θ), es muy importante utilizar la regla de la cadena del cálculo.

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VII. SISTEMA DE UNIDADES:

Al utilizar la ecuación fundamental F = ma, las unidades de fuerza, masa, longitud y tiempo no pueden elegirse de manera arbitraria. Si eso ocurriera, la magnitud de la fuerza F que se requiere para proporcionar una aceleración a a la masa m no sería numéricamente igual al producto “m.a”; sólo sería proporcional a este producto. En consecuencia, se pueden elegir tres o cuatro unidades de manera arbitraria, pero se debe escoger la cuarta unidad de manera que se satisfaga la ecuación F = ma. Se dice entonces que las unidades forman un sistema de unidades cinéticas consistentes.

Suelen utilizarse dos sistemas de unidades cinéticas consistentes: el Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI‡) y unidades utilizadas comúnmente en Estados Unidos.

Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI).

En este sistema, las unidades básicas son las de longitud, masa y tiempo y se denominan, respectivamente, el metro (m), el kilogramo (kg) y el segundo (s).La unidad de fuerza es una unidad derivada. Se denomina newton (N) y se define como la fuerza que produce una aceleración de 1 m/s2 a una masa de 1 kg.

De la ecuación de movimiento se describe:

Se afirma que las unidades del SI forman un sistema absoluto de unidades.Lo anterior significa que las tres unidades básicas elegidas son independientes de la ubicación donde se efectúan las mediciones. El metro, el kilogramo y el segundo pueden ser utilizados en cualquier parte sobre la Tierra; incluso pueden ser usados en otro planeta. Y siempre tendrían el mismo significado.

El peso W de un cuerpo, o la fuerza de gravedad que se ejerce sobre ese cuerpo, al igual que otra fuerza, se expresará en newtons.Puesto que un cuerpo sometido a su propio peso adquiere una aceleración igual a la aceleración de la gravedad g, se deduce de la segunda ley de Newton que la magnitud W del peso de un cuerpo de masa m es

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Al recordar que g _ 9.81 m/s2, se encuentra que el peso de un cuerpo de masa 1 kg es

La conversión de estas unidades a metros, kilogramos y newtons, respectivamente, se efectúa simplemente desplazando el punto decimal tres lugares a la derecha o a la izquierda.Otras unidades aparte de las de masa, longitud y tiempo pueden expresarse en términos de estas tres unidades básicas. Por ejemplo, la unidad de cantidad en movimiento lineal se obtiene al recordar su definición y al escribir

Unidades de uso común en Estados Unidos.

La mayoría de los ingenieros estadounidenses siguen utilizando de forma común un sistema en el que las unidades básicas son las de longitud, fuerza y tiempo; estas unidades corresponden, respectivamente, al pie (ft), la libra (lb) y el segundo (s). El segundo es el mismo que la unidad correspondiente del SI.

El pie se define como 0.3048 m. La libra se define como el peso de un patrón de platino, denominado libra estándar, que se conserva en el National Institute of Standards and Technology, cerca de Washington, y cuya masa equivale a 0.453 592 43 kg.Puesto que el peso de un cuerpo depende de la atracción gravitacional de la Tierra, la cual varía con la ubicación, se especifica que la libra estándar debe situarse a nivel del mar y a una altura de 45° para definir de manera adecuada una fuerza de 1 lb.

Es claro que las unidades de uso común en Estados Unidos no forman un sistema de unidades absoluto. En virtud de su dependencia de la atracción gravitacional terrestre, se señala que forman un sistema gravitacional de unidades.

En tanto que la libra estándar sirve también como la unidad de masa en transacciones comerciales en Estados Unidos, no puede utilizarse en cálculos de ingeniería, pues una unidad de ese tipo no será consistente con las unidades básicas definidas en el párrafo anterior.

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En realidad, cuando actúa sobre ella una fuerza de 1 lb, esto es, cuando se somete a su propio peso, la libra estándar recibe la aceleración de la gravedad, g = 32.2 ft/s2 y no la aceleración unitaria que requiere la ecuación F = m.a

La unidad de masa consistente con el pie, la libra y el segundo es la masa, que recibe una aceleración de 1ft/s2

cuando se le aplica una fuerza de 1 lb. Esta unidad, llamada en ocasiones un slug, puede deducirse de la ecuación F = m.a después de sustituir 1 lb y 1 ft/s2

en vez de F y a, respectivamente. Se escribe:

Y se obtiene:

Al comparar las dos figuras se concluye que el slug es una masa 32.2 veces mayor que la masa de una libra estándar.

El hecho de que los cuerpos se caractericen en el sistema de unidades de uso común en Estados Unidos por su peso en libras más que su masa en slugs fue una conveniencia en el estudio de la estática, en la que se trata principalmente con pesos y otras fuerzas, y rara vez con masas. Sin embargo, en el estudio de la cinética, la cual implica fuerzas, masas y aceleraciones, será necesario de manera repetida expresar en slugs la masa m de un cuerpo, cuyo peso W se ha indicado en libras. Al recordar la ecuación del peso, se escribe:

donde g es la aceleración de la gravedad (g = 32.2 ft/s2).

Otras unidades aparte de las de fuerza, longitud y tiempo pueden expresarse en términos de estas tres unidades básicas. Por ejemplo, la unidad de cantidad de movimiento lineal puede obtenerse utilizando la definición de cantidad de movimiento lineal para escribir:

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Conversión de un sistema de unidades a otro.

Hay que recordar que los factores de conversión para las unidades de longitud, fuerza y masa son, respectivamente:

Longitud: 1 ft = 0.3048 mFuerza: 1 lb = 4.448 NMasa: 1 slug = 1 lb . s2/ft = 14.59 kg

Aunque no puede utilizarse como una unidad de masa consistente, la masa de una libra estándar es, por definición, 1 libra/masa = 0.4536 kg. Es posible utilizar esta constante para determinar la masa en unidades del SI (kilogramos) de un cuerpo que se ha caracterizado por su peso en unidades de uso común en Estados Unidos (libras).

VIII. EJERCICIO DE APLICACIÓN:

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO:

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COORDENADAS CARTESIANAS.

PROBLEMA DE APLICACIÓN 1 :

La flecha CA de 2 kg pasa por una chumacera lisa colocada en B. Inicialmente los resortes, enrollados con holgura alrededor de la flecha, no están estirados si ninguna fuerza es aplicada a la flecha. En esta posición s = s’ =250 mm y la flecha esta originalmente en reposo. Si una fuerza horizontal de F = 5 kN es aplicada determine la rapidez de la flecha en el instante s = 50 mm , s’ = 450 mm. Los extremos de los resortes están unidos a la chumacera colocada en B y a las tapas en A y C.

Solución:

Calculo de la velocidad del eje:

Las fuerzas de reacción de los resortes serán:

FCB = kCB (x) = 3000(x) ; FAB = kAB (x) = 2000(x)

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Aplicamos la ley del movimiento:

+←∑ FX=M ax :5000−3000 ( x )−2000 ( x )=2a

De donde : 2500−2500 (x )=a ;

Sabemos: a dx=V dV ;

y el espacio recorrido por la flecha es : 0.25 – 0.05 = 0.45 – 0.25 = 0.2 m

Integrando :

∫0

0.2

(2500−2500 ( x ) )dx=∫0

v

v dv

Evaluando:

2500 (0.2 )−( 2500 (0.2 )2

2 )= v2

2

De donde :

V = 30 m/s = 98.43 pies/s

PROBLEMA DE APLICACIÓN 2 :

El anillo de 2 lb C ajusta flojo en la flecha lisa. Si el resorte no está alargado cuando s = 0 y al anillo se le imprime una velocidad de 15 pies/s, determine la velocidad del anillo cuando s = 1 pie .

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Solución: Se sabe que la fuerza de inercia es igual y opuesta a la fuerza elástica.

Luego en la figura:

FS=k ( x )FS=4 (√1+s2−1)

Aplicando la ley de movimiento al anillo sabemos:

+→∑ FX=M ax ;

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−4 (√1+s2−1)( s

√1+s2 )=( 232.2 )(v

dvds );

En S = 0; V = 15 pie/s ; integrando para S = 1;

−∫0

1

(4 sds− 4 s ds

√1+S2 )=∫5v

( 232.2 )( v dv );

Evaluando :

−[2 s2−4√1+s2 ]{10= 132.2

( v2−152 ) ;

De donde:

V = 14.627 pies/s = 4.458 m/s

PROBLEMA DE APLICACIÓN 3 :

El embalaje de 30 lb se iza con una aceleración constante de 6 pie/s2. Si el peso de la viga uniforme es de 200 lb, determine los componentes de reacción en el apoyo empotrado A. Ignore el tamaño y masa de la polea B. Sugerencia : primero determine la tensión del cable y luego analice las fuerzas en la viga usando estática.

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Solución:

Aplicamos la ley de movimiento: +→∑ FX=M a y ;T−30=( 3032.2 ) (6 ) ;

De donde : T = 35.59 lb

Tomando como cuerpo libre la viga AB y planteando el equilibrio se tiene:

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+→∑ Fx=0 ;−A x+35.59=0 ; Ax=35.6 lb

+→∑ F y=0 ;−A y−200−35.59=0; A y=236 lb

Momentos respecto a A ;

+∑ M A=0 ; M A−200 (2.5 )−(35.59)(5)=0 ; A x=35.6 lb

De donde :

M A=678 lb . pie=919.24 N . m

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMALES Y

TANGENCIALES

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PROBLEMA DE APLICACIÓN 4 :

Un acróbata pesa 150 lb y está sentado en una silla encaramada e el extremo superior de un poste, como se muestra. Si mediante una transmisión mecánica el poste gira hacia abajo a una razón constante desde θ = 00, en forma tal que el centro de masa G del acróbata mantiene una rapidez contante de va = 10 pies/s, determine el ángulo θ al cual comienza a “volar” fuera de la silla. Ignore la fricción y suponga que la distancia del pivote O a G es ρ = 15 pies.

Solución:

Se analiza el el momento en que la normal es nula y la centrífuga lo levanta de la silla al acróbata.

Aplicamos la ley del movimiento en la normal:

∑ Fn=man;150 cosθ= 15032.2 ( 102

15 );

De donde ɵ = 78.10.

PROBLEMA DE APLICACIÓN 5 :

Un automóvil de 0.8 Mg viaja sobre la colina que tiene la forma de la parábola. Cuando el automóvil está en el punto A, viaja a una rapidez constante de 9 m/s, determine la fuerza normal y resultante que las ruedas del automóvil ejercen sobre el camino en el instante en que alcanza el punto A. Desprecie el tamaño del automóvil.

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Solución:

El módulo de su velocidad es 9 m/s para todo instante

Por cálculo:

dxdy

=−0.00625 ( x ); d2 yd x2 =−0.00625 ;

Su pendiente cuando llega al punto A :

tanθ=dydx { 0

80 m=−0.00625 (80 );θ=−26.565 °

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Radio de curvatura en A es :

ρ=[1+( dy

dx )2]

3 /2

|d2 yd x2|

ρ=[1+(−0.00625 )2 ]3/2

|−0.00625| { 080

ρ=223.61m/s = 733.63 pies/s

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: COORDENADAS POLARES

PROBLEMA DE APLICACIÓN 6 :

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Se utiliza una horquilla para mover la partícula de 2 lb alrededor de la trayectoria horizontal que tiene la forma de un caracol, r = (2 + cosӨ) pies. Si Ө = (0.5 t2) rad, donde t está en segundos, determine la fuerza que ejerce la horquilla sobre la partícula en el instante t = 1 s. La horquilla y la trayectoria tocan la partícula en un solo lado.

Solución:

Calculo de F y N sobre la partícula :

Análisis para el instante en que t = 1 s;

en la dirección radia y transversal :

Posición : r=2+cosθ ;θ=0.5 t2 ;

Derivando: r=−senθ θ ; θ=t ;

Otra vez: r=−cosθ θ−senθ θ ; θ=1 rad /s ;

Por dato sabemos:

t=1 s ,θ=0.5 rad , θ=1 rad / s , θ=1 rad / s2

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Entonces:

r=2+cos0.5=2.78776 pies;

r=−sen 0.5(1¿)=−0.4794 pies /s ;¿

r=−cos0.5 (1 )−sen0.5 (1 )=−1.357 pies /s2;

Con esto la aceleración radial y transversal:

ar=r−r θ2=−1.357−2.8776 (1 )2=−4.2346 pie /s2

aθ=r θ+2 r θ=2.8776 (1 )+2¿

El Angulo entre la tangente a la trayectoria y la dirección radial es φ

tan φ= r

( drdθ )

=2+cosθ−sen θ | 0

θ=0.5=−6.0027 ;φ=−80.54

Sea la segunda ley de newton en la dirección radial ;

+↑∑ F r=m ar :−N . cos9.46 °= 232.2

(−42346)

De donde:

N= 0.2666lb

Sea la segunda ley de newton en la dirección transversal ;

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+→∑ Fθ=m aθ: F−0.266 sen 9.46°= 232.2

(1.9187)

De donde:

F = -0.163 lb

PROBLEMA DE APLICACIÓN 7 :

La masa de la partícula es de 80 g. Está unida a una cuerda elástica que se extiende de O a P y debido al brazo ranurado se mueve a lo largo de la trayectoria circular horizontal r = (0.8 senӨ) m. Si la rigidez de la cuerda es de 0.25 m, determinar la fuerza que ejerce el brazo en la partícula cuando Ө= 600. El brazo guía tiene una velocidad angular constante Ө = 5 rad/s.

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Solución:

Calculo de la fuerza F sobre la partícula

Análisis para instante θ=60 °

En la dirección radial y transversal:

r=0.8 senθ ; r=0.8 cosθ θ ; r=−0.8 senθ (θ )2+0.8 cosθ θ

Sabemos que: θ=5 rad /s; θ=0 ;

θ=60 °;r=0.8 sen 60° = 0.6928 m

Con esto: r=2m/ s ; r=−17.321m / s2 ;

Con esto la aceleración radial y transversal:

ar=r−r ( θ )2=−34.641 m /s2

aθ=r θ+2 r θ=20 m / s2

La fuerza elástica es: FS = kS; FS = 30(0.6928 - 0.25) = 13.284 N

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Sea la segunda ley de newton en la dirección radial ;

+→∑ F r=m ar :−13.284+N P cos30 °=0.08 (−34.641 )

Sea la segunda ley de newton en la dirección transversal ;

+←∑ Fθ=m aθ: F−N P sen30 °=0.08(20)

De las 2 ecuaciones anteriores tenemos:

F = -7.67 N ; NP=12.1 N

PROBLEMA DE APLICACIÓN 8 :

Resuelva el problema 7 si Ө = 2 rad/s2 cuando Ө = 5 rad/s y Ө = 60 °

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Solución:

Cálculo de la fuerza F sobre la partícula

Análisis para instante θ=60 °

En la dirección radial y transversal:

r=0.8 senθ ; r=0.8 cosθ θ ; r=−0.8 senθ (θ )2+0.8 cosθ θ

Sabemos que: θ=5 rad /s; θ=2rad /s2;

θ=60 °;r=0.8 sen 60° = 0.6928 m

Con esto: r=2m/ s ; r=−16.521m / s2 ;

Con esto la aceleración radial y transversal:

ar=r−r ( θ )2=−34.841 m /s2

aθ=r θ+2 r θ=21.386 m / s2

La fuerza elástica es: FS = kS; FS = 30(0.6928 - 0.25) = 13.284 N

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Sea la segunda ley de newton en la dirección radial ;

+→∑ F r=m ar :−13.284+N P cos30 °=0.08 (−33.841 )

Sea la segunda ley de newton en la dirección transversal ;

+←∑ Fθ=m aθ: F−N P sen30 °=0.08(21.386)

De las 2 ecuaciones anteriores tenemos:

F = -7.82 N ; NP=12.2 N

IX. CONCLUSIONES

Es tan importante la contribución que realizó Newton, fue revolucionario

para todas la ciencias que hasta la actualidad son la base fundamental

de muchas ramas de la física, en este caso es la mecánica la ciencia que

nos ayuda a elaborar diseño de estructuras, el cuales el tema que nos

interesa como ingenieros.

Las aplicaciones prácticas en la ingeniería son muy numerosas, siendo

quizá la parte de la mecánica más empleada. Esto es así especialmente

en la ingeniería civil y en el análisis estructural, por lo general las

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estructuras se diseñan para estar y permanecer en reposo o en un

equilibrio de fuerzas, bajo las cargas de servicio estáticas, o para que su

movimiento bajo cargas dinámicas sea pequeño y estable (vibraciones).

X. BIBLIOGRAFÍA

Mecánica vectorial para ingenieros, Beer, Johnston, Cornwell, Novena edicion, Mc-Graw Hill editorial. Cap 12

Engineering Mechanics, Dynamics, R.C. Hibbeler, Twelfth edition, Prentice Hall Editorial, Cap 13

X. LINKOGRAFÍA

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza#Fuerza_en_mec.C3.A1nica_newtoniana

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http://www.biografiasyvidas.com/biografia/n/newton.htm

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