Departamento de Ciencias

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO

SISTEMA DE COORDENADAS CICLINDRICAS Y ESFERICAS

En el sistema de coordenadas cilndricas, ms aun en las coordenadas esfricas, cada punto se representa por un tro ordenado; la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ngulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre. As, la figura muestra el punto de la superficie terrestre cuya latitud es 40 Norte (del Ecuador) y cuya longitud es 80 Oeste (del meridiano cero). Supuesta la tierra esfrica de radio 4000 millas, ese punto vendr descrito como:

)50,80,4000(

NAVEGACIN MARTIMA Y COMERCIAL

Las ecuaciones en coordenadas polares nos podr ayudar a definir las ecuaciones cilndricas?

Qu otros sistemas de coordenadas conoces en el espacio tridimensional?

Habr alguna relacin entre las coordenadas cilndricas y esfricas?

INTERROGANTES

Se vio que ciertas grficas bidimensionales son ms fciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. En esta sesin introduciremos dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de coordenadas cilndricas, es una generalizacin de las coordenadas polares en el espacio.

COORDENADAS CILNDRICAS

El sistema de coordenadas cilndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetra de tipo cilndrico o acimutal. Se trata de una versin en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometra analtica plana.

x

y

z

x y

http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa_cil%C3%ADndricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_plana

LOGRO DE SESIN

Al finalizar la sesin, el estudiante grafica puntos, curvas y superficies en el plano y en el espacio, utilizando las ecuaciones de conversiones de coordenadas rectangulares a coordenadas cilndricas y/o esfricas y viceversa; de forma correcta.

6

Un punto O y una base B = {

i,

j,

k} de los vectores libres

del espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.

Se escribe S = {O;

i,

j,

k}.

En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.

[OP] = x .

i + y .

j + z .

k

Vector de posicin de P

Origen de coordenadas

COORDENADAS EN EL ESPACIO

(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.

Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.

Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

EJES Y PLANOS COORDENADOS EN EL ESPACIO

x y

z

q

R

h

( , ) cos senz R R zq q q r i j k

0 2

0 z h

q

Coordenadas cilndricas

P(x,y,z)

z

222 ryx P(x,y,0)

A

zz

rseny

rx

q

qcos

Donde:

COORDENADAS CILINDRICAS

ELICOIDAL

Cul es la parametrizacin de la curva?

Cilndricas a

rectangulares

zz

rseny

rx

q

qcos

Rectangulares a

cilndricas

zz

x

yarctg

x

ytg

yxr

qq

222

Adems:

2222cos,

yx

x

yx

ysen

qq

q 20,0 r

Las variaciones son:

ECUACIONES DE CONVERSIONES

EJEMPLO 1: Expresar en coordenadas rectangulares el punto

3,

6

5,4),,(

q zr

3

22

14

6

54

322

34

6

5cos4

z

seny

x

Solucin:

As pues, en coordenadas rectangulares ese punto es

)3,2,32(),,( zyx

EJEMPLOS

EJEMPLO 2: Expresar el punto (x, y, z)= (1, , 2) en coordenadas cilndricas

Solucin:

231 r

2

3

)3(3

z

n

narctgtg

q

qq

Tenemos dos elecciones para r e infinitas para . Sin embargo, dos representaciones convenientes del punto son:

q

q

yr 02,3

,2

q

yr 02,3

4,2

en el cuadrante I

en el cuadrante III

3

EJEMPLOS

EJEMPLO 3:

Hallar ecuaciones en coordenadas cilndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuacin.

xyb

zyxa

2

222

)

4)

222 4zyx

Solucin:

a) Si sustituimos x2 + y2 por r2 , obtenemos su ecuacin en cilndricas

22 4zr

Ecuacin en coordenadas rectangulares

Ecuacin en coordenadas cilndricas

EJEMPLOS

b) Sustituyendo y2 por r2 sen2 y x por r cos , obtenemos: q q

xy 2

qq cos22 rsenr

0)cos( 2 qqrsenr

0cos2 qqrsen

q

q2

cos

senr

qqqq

qctg

sensenr csc

1cos

Ecuacin rectangular

Ecuacin en cilndricas

EJEMPLOS

EJEMPLO 4: Hallar la ecuacin en coordenadas rectangulares de la curva determinada por la ecuacin en cilndricas.

012cos 22 zr q

012cos 22 zr q

01)(cos 2222 zsenr qq

Solucin:

1cos 22222 zsenrr qq

1222 zyx

1222 zxy

Ecuacin en cilndricas

Ecuacin rectangular

Identidad trigonomtrica

CONVERSIN DE ECUACIONES CILNDRICAS A CARTESIANAS

16 07/04/2015

COORDENADAS ESFRICAS

En el sistema de coordenadas esfricas cada punto se representa por un tro ordenado; la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ngulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre. As, la figura 10.74 muestra el punto de la superficie terrestre cuya latitud es 40 Norte (del Ecuador) y cuya longitud es 80 Oeste (del meridiano cero). Supuesta la tierra esfrica de radio 4000 millas, ese punto vendr descrito como:

)50,80,4000(

radio 80 del meridiano cero en el sentido de las agujas del reloj

50 del Polo norte hacia abajo

IMPORTANCIA DE LAS COORDENADAS ESFRICAS

A partir de un punto P(x,y,z) de la superficie esfrica Vamos a obtener un nuevo sistema de coordenadas llamado: COORDENADAS ESFRICAS.

2222 rzyx

Proyectar el punto P sobre el plano XY el cual sera P(x,y,0), debemos hallar una relacin trigonomtrica entre las coordenadas (x,y,z) de P con los ngulos se obtiene: q ,

q

q

cos

cos

rz

senrseny

rsenx

SISTEMA DE COORDENADAS ESFRICAS

En un sistema de coordenadas esfricas un punto genrico P del espacio viene

representado por un tro ordenado . q ,,

1 . es la distancia de P al origen, 2. es el mismo ngulo utilizado en coordenadas cilndricas para

3. es el ngulo entre el semieje z positivo y el segmento recto

0

q 0r

P0

0

Ntese que las coordenadas primera y tercera son siempre no negativas.

SISTEMA DE COORDENADAS ESFRICAS

La relacin entre las coordenadas rectangulares y las esfricas se ilustra en la figura 10.75. Para pasar de uno a otro deben usarse las frmulas siguientes:

Esfricas a rectangulares:

q

q

cos

cos

z

senseny

senx

Rectangulares a esfricas:

222

2222

cos,zyx

zar

x

ytg

zyx

q

CONVERSIONES DE SISTEMA DE COORDENADAS ESFRICAS

A RECTANGULARES

CONVERSIONES DE SISTEMA DE COORDENADAS

RECTANGULARES A ESFRICAS

a) Cono 222 zyx

b) Esfera 04222 zzyx

Solucin: a) Utilizando las ecuaciones de conversin, se obtiene:

q

q

cos

cos

z

senseny

senx

0,1tancos

coscos

22222

222

222

qq

sen

sensensen

zyx

4

3

4

La ecuacin , representa la mitad superior del cono y la ecuacin su mitad inferior. 4

4

3

EJEMPLO 3: Hallar una ecuacin en coordenadas esfricas para las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se especifican a continuacin.

a) Cambie la ecuacin de la esfera, en coordenadas cilndricas.

2 2 2 2 6 4 0x y z x y z

cos4,0

0cos40cos4

04

2

222

obtenenoscomo

zzyx

El conjunto solucin de sta ecuacin incluye un punto con , de manera que no se ha perdido nada al descartar el factor .

0

CONVERSIONES DE SISTEMA DE COORDENADAS

RECTANGULARES A ESFRICAS

b) Cambie la ecuacin de la esfera, en coordenadas cilndricas.

a) Transforme la ecuacin de la esfera utilizando las ecuaciones cilndricas. Grafique la superficie.

04222 zzyx

EJERCICIOS PROPUESTOS

b) Transforme la ecuacin del cono utilizando las ecuaciones esfricas. Grafique la superficie.

2 2 24 4 0x y z z

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://www.aliatuniversidades.com.mx/bibliotecasdigitales/pdf/construccion/Geometria_analitica.pdf