Sesión 3 - Sistemas y señales 1 - UNAL

Senales y Sistemas 1Sesion 3

Jan Bacca R.Andres Olarte D.

Universidad Nacional de Colombiasede Bogota

Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 1 / 90

Agenda

1 Sistemas LIT:La suma de convolucion

2 Sistema LIT continuos: La integral de convolucion


Creditos

MIT OpenCourseWare, 6003 signals and systems, lecture 8:2010.Disponible en http://ocw.mit.edu/courses/

electrical-engineering-and-computer-science/

6-003-signals-and-systems-fall-2011/.


http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-003-signals-and-systems-fall-2011/



Ejercicio

Busque y [3]

X + +

R R

Y

Cuando la entrada es

1

x[n]

n

Respuesta

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5


Ejercicio

+ +

1

n

0 0

0 0

x[n]

n

y[n]

RR


Ejercicio

+ +

n

1 1

0 0

x[n]

n

y[n]

RR


Ejercicio

+ +

n

1 2

1 0

x[n]

n

y[n]

RR


Ejercicio

+ +

n

1 3

1 1

x[n]

n

y[n]

RR


Ejercicio

+ +

n

0 1

0 1

x[n]

n

y[n]

RR


Ejercicio

+ +

n

0 0

0 0

x[n]

n

y[n]

RR


Ejercicio

y [3] = 2

+ +

n

0 0

0 0

x[n]

n

y[n]

RR

Respuesta

a)1 b)2 c)3 d.)3 e.)5


Ejercicio

n

x[n]

n

n

n

=

+

+

-1 0 21 3 4 5

+ +0 0

0 0RR

.


Ejercicio

n

x[n]

y[n]

n

n

n

n

=

+

+

-1 0 21 3 4 5

+ +0 0

0 0RR

.


Ejercicio

n

x[n]

y[n]

n

n

n

n

n

n

=

+

+

+

+

-1 0 21 3 4 5

+ +0 0

0 0RR

.


Ejercicio

n

x[n]

n

y[n]

n

n

n

n

n

n

=

+

=

+

+

+

-1 0

1

2

3 4 5-1 0 2

1 3 4 5

+ +0 0

0 0RR

.


Representacion de senales discretas en terminos deimpulsos

El impulso unitario discreto sepuede usar para construircualquier senal discreta

x [−1]δ[n+1] =

{x [−1], n = −1

0, n 6= −1

x [0]δ[n] =

{x [0], n = 0

0, n 6= 0

x [1]δ[n − 1] =

{x [1], n = 1

0, n 6= 1

x[n]

n

n

n

n

0-1 1

Figura: Representacion desenal en terminos de impulsos


Respuesta al impulso unitario y representacion de sistemasLIT como suma de convolucion

Si un sistema es lineal e invariante en el tiempo (LIT), su salida es lasumatoria ponderada de cada respuesta.

Sistemaδ[n] h[n]

. .




Sistemaδ[n] h[n]

Sistemaδ[n− k]h[n− k]

. .




Sistemaδ[n] h[n]

Sistema

Sistema

δ[n− k]h[n− k]

x[k]δ[n− k] x[k]h[n− k]

. .




Sistemaδ[n] h[n]

Sistema

Sistema

Sistema

δ[n− k]h[n− k]

x[k]δ[n− k] x[k]h[n− k]

x[n] =∞∑

k=−∞x[k]δ[n− k] y[n] =

∞∑k=−∞

x[k]h[n− k] = x[n] ∗ y[n]. .



La respuesta de un sistema LIT a una entrada arbitraria

x[n] y[n]LIT

y[n] = x[n] ∗ h[n] =∞∑

k=−∞x[k]h[n− k]

Donde h[n] es la respuesta al impulso del sistema.Esta operacion es llamada convolucion


Ejemplo

y[n] =∞∑

k=−∞x[k]h[n− k]x[n]

n

h[n]

n

∗

1 3 4 5-1 0 2-2 1 3 4 5-1 0 2-2


Ejemplo

y[0] =∞∑

k=−∞x[k]h[0− k]x[k]

k

h[k]

k

∗

1 3 4 5-1 0 2-2 1 3 4 5-1 0 2-2


Ejemplo

y[0] =∞∑

k=−∞x[k]h[0− k]

Desplazada y escalada

x[k]

k

h[k]

k

∗

h[−k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2 1 3 4 5-1 0 2-2


Ejemplo

y[0] =∞∑

k=−∞x[k]h[0− k]

Multiplicada

x[k]

k

h[k]

k

∗

h[0− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2 1 3 4 5-1 0 2-2


Ejemplo

y[0] =∞∑

k=−∞x[k]h[0− k]

Multiplicada

x[k]

k

h[k]

k

∗

h[0− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

x[k]h[0− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2


Ejemplo

y[0] =∞∑

k=−∞x[k]h[0− k]

Sumatoria

x[k]

k

h[k]

k

∗

h[0− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

x[k]h[0− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

∞∑k=−∞


Ejemplo

y[0] =∞∑

k=−∞x[k]h[0− k]

Sumatoria

x[k]

k

h[k]

k

∗

h[0− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

x[k]h[0− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

∞∑k=−∞

= 1

y[n]

n


Ejemplo

y[1] =∞∑

k=−∞x[k]h[1− k]x[k]

k

h[k]

k

∗

h[1− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

x[k]h[1− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

∞∑k=−∞

= 2

y[n]

n


Ejemplo

y[2] =∞∑

k=−∞x[k]h[2− k]x[k]

k

h[k]

k

∗

h[2− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

x[k]h[2− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

∞∑k=−∞

= 3

y[n]

n


Ejemplo

y[3] =∞∑

k=−∞x[k]h[3− k]x[k]

k

h[k]

k

∗

h[3− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

x[k]h[3− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

∞∑k=−∞

= 2

y[n]

n


Ejemplo

y[4] =∞∑

k=−∞x[k]h[4− k]x[k]

k

h[k]

k

∗

h[4− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

x[k]h[4− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

∞∑k=−∞

= 1

y[n]

n


Ejemplo

y[5] =∞∑

k=−∞x[k]h[5− k]x[k]

k

h[k]

k

∗

h[5− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

x[k]h[5− k]

k

1 3 4 5-1 0 2-2

∞∑k=−∞

= 0

y[n]

n


Ejercicio

0 5 10 15 200

0.5

1x[n]

0 5 10 15 200

0.5

1h[n]

Si x [n] =

(2

3

)n

u[n] y h[n] =

(2

3

)n

u[n], determine y [n]

0 5 100

0.5

111.

0 5 100

0.5

12.

0 5 100

0.5

1

1.53.

0 5 100

0.5

14.

5. Ninguno de los anteriores.Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 35 / 90

Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[n]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[n]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[n]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[n]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[0]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[1−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[1]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[2−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[2]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[3−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[3]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[4−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[4]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[5−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[5]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[6−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[6]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[7−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[7]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[8−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[8]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[9−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[9]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[10−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[10]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[11−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[11]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[12−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[12]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[13−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[13]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[14−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[14]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[15−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[15]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[16−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[16]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[17−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[17]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[18−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[18]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[19−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[19]


Ejercicio

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1x[k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1 1h[20−k]

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5y[20]


Ejercicio

0 5 10 15 200

0.5

1x[n]

0 5 10 15 200

0.5

1h[n]

Expresado matematicamente como:

((23

)nu[n]

)∗((

23

)nu[n]

)=

∞∑k=−∞

((23

)ku[k]

)×((

23

)n−ku[n − k]

)

=n∑

k=0

((23

)k ×(

23

)n−k)

=n∑

k=0

(23

)n=(

23

)n n∑k=0

1

= (n + 1)(

23

)nu[n]

= 1, 43 ,

43 ,

3227 ,

8081 , . . .


Ejercicio

0 5 10 15 200

0.5

1x[n]

0 5 10 15 200

0.5

1h[n]

Si x [n] =

(2

3

)n

u[n] y h[n] =

(2

3

)n

u[n], determine y [n]. respuesta 3

0 5 100

0.5

111.

0 5 100

0.5

12.

0 5 100

0.5

1

1.53.

0 5 100

0.5

14.


Resumen convolucion discreta

La representacion de un sistema LIT dado por una senal

x[n] y[n]h[n]

La respuesta al impulso unitario h[n] es una descripcion completa de unsistema LIT.Dado h[n] se puede determinar la respuesta y [n] a una entrada arbitrariax [n]:

y [n] = x [n] ∗ h[n] =∞∑

k=−∞x [k]h[n − k]


Representacion de senales continuas en terminos deimpulsosDe manera similar que en tiempo discreto se hace una aproximacion pormedio de impulsos.

−5 0 50

5

10

15

20

25

30x(t)

t

p(t)

1∆

∆

t

x(t) =lim

∆→ 0

∑kx(k∆)p(t − k∆)∆

Como ∆→0, k∆→ dτ , ∆→dτ , y p(t)→δ(t)

x(t)→∞∫−∞

x(τ)δ(t − τ)dτ


Estructura de superposicion

Si un sistema es lineal e invariante en el tiempo (LIT), su salida es laintegral desplazada y escalada de la respuesta de impulsos unitariosunitarios


Convolucion en tiempo continuo

La convolucion de una senal en tiempo continuo es analoga a laconvolucion de una senal en tiempo discreto.

DT:y [n] = x [n] ∗ h[n] =∞∑

k=−∞x [k]h[n − k]

CT:y(t) = x(t) ∗ h(t) =

∫ ∞

−∞x(τ)h(t − τ)dτ


Ejercicio

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x(t)

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1h(t)

¿Cual grafico muestra el resultado de la convolucion de las senales?x(t) = h(t) = e−tu(t)

0 5 100

0.5

11.

0 5 100

0.5

12.

0 5 100

0.5

1

1.53.

0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.44.


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(t)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(t)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(0.3−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(0.6−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(1−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(2−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(3−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(4−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(5−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(6−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(7−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(8−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(9−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio

−10 −5 0 5 100

0.5

1

x(τ)

−10 −5 0 5 100

0.5

1

h(10−τ)

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

t

y(t)


Ejercicio¿Cual grafico muestra el resultado de la convolucion de las senales?x(t) = h(t) = e−tu(t)

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x(t)

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1h(t)

(e−tu(t)) ∗ (e−tu(t)) =∫∞−∞ e−τu(τ)e−(t−τ)u(t − τ)dτ

=∫ t

0 e−τe−(t−τ)dτ = e−t∫ t

0 dτ = te−tu(t)

0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

t


Ejercicio

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x(t)

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1h(t)

¿Cual grafico muestra el resultado de la convolucion de las senales?x(t) = h(t) = e−tu(t) 4

0 5 100

0.5

11.

0 5 100

0.5

12.

0 5 100

0.5

1

1.53.

0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

t

4.


Convolucion

La convolucion es una importante herramienta computacional Ejemplo:

Caracterizacion de un sistema LIT

Determinar la respuesta al impulso unitario h[n].

Calcular la salida para una entrada arbitraria usando la convolucion:

y [n] = x [n] ∗ h[n] =∑

x [k]h[n − k]

Ademas es una importante herramienta conceptual: Es un nuevo caminopara pensar acerca del comportamiento de los sistemas.


Respuesta al impulso de una lente

La senal borrosa a lo largo del eje optico se visualiza mejor mediante unnuevo muestreo de la respuesta de impulso de tres dimensiones.

Fuente: MIT OpenCourseWare fall 2011.


Microscopio

Las imgenes de incluso el mejor microscopio son borrosas


MicroscopioUn lente perfecto transforma una onda de luz esferica de un objetivo enuna onda esferica que converge a la imagen

La imagen borrosa es inversamente relacionada con el diametro del lente.


MicroscopioLa imagen borrosa puede ser representada por la convolucion de la imagencon el punto de difusion de funcion (respuesta al impulso 3D).

La imagen borrosa es inversamente relacionada con el diametro del lente.Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 87 / 90

MicroscopioLa imagen borrosa puede ser representada por la convolucion de la imagencon el punto de difusion de funcion (respuesta al impulso 3D).

La imagen borrosa es inversamente relacionada con el diametro del lente.Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 88 / 90

Resumen de sesion

Sistemas LIT discretos: La suma de convolucion

Sistemas LIT continuos: La integral de convolucion


Siguiente sesion

Sistemas LIT causales descritos por ecuaciones diferenciales.

Lecturas recomendadasI Secciones 2.4.1I Secciones 2.4.2

del libro Senales y Sistemas, Alan V. Oppenheim, Segunda Edicion.


Sesión 3 - Sistemas y señales 1 - UNAL

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