Semana 2 cs

Trigonometría SEMANA 2

LONGITUD DE ARCO

1. Calcule la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 1º y su radio mide 1800 cm.

A)2π

m B) 5π

m C) 8π

m

D)10π

m E) 20π

m

RESOLUCIÓN

Si:

1º rad180

π= ; 1800 cm = 18 m

Se pide:

L x 18180

L m10

π=

π=

RPTA.: D

2. Se muestra sectores circulares concéntricos, donde S representa área, obtener x. si S = 8L²

A) 2 L

B) 4 L

C) 5 L

D) 6 L

E) 8 L

RESOLUCIÓNS = 8 L²

( ) ( )13L x 2L 8L²

23L x 8L

x 5L

+ =

+ ==

RPTA.: C

3. Si: AB + CD = 26. Halle el área del sector circular EOF.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

RESOLUCIÓN

{

( ) ( )

AB CD 26

12 3 8 2 26

52 2612

+ =

θ + θ =

θ =

θ =

123

( )2

EOF

EOF

R 1 1S 4 ²

2 2 2

S 4

θ ∆ = = ∆ =

RPTA.: D

4. Una regadera instalada en un parque, tiene un alcance de 8 m y barre un ángulo de 120g. Calcule

CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y VentaPágina 112

S3 L

x

2 L

A

B

F

C

DE

o2θ

θ

4 4

4

18

L1º

A

B

F

C

DE

o2θ

θ

4 4

4

8

Trigonometría el área del sector circular que genera esta regadera.

A) 19,2 π m² B) 17,6 π m²C) 18,9 π m² D) 12,6 π m²E) 14,4 π m²

RESOLUCIÓN

Si: 120g = 3

rad5π

Se pide:1 3

S 8²2 5

π= g g

S = 19,2 π m²RPTA.: A

5. Si CAE es un sector circular y »»ED

AB BC. Halle : VDC

= =

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

RESOLUCIÓN

Se pide:

R3V

R9

π

=π

g

g

V = 3RPTA.: B

6. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m a su radio, se obtendrá un nuevo sector circular que tiene un área que es 49 veces el área del sector circular inicial. Determine el radio del nuevo sector.

A) 2 m B) 3 m C) 5 mD) 7 m E) 9 m

RESOLUCIÓNInicialmente:

R²S

2θ=

Finalmente:

( ) ( )

( )

( )

4 R 5 ²49S

2

4 R 5 ²R²49

2 2

7R 2 R 5

R 2m

R 5m 7m

θ +=

↓θ +θ =

= +

=

∴ + =

g

RPTA.: D


20º

E

A

CD

B

S8

8

120 g

20º

E

A

CD

B

20º

R

80º80º

R60º

radθ S

rad4 θ 49 S

R + 5m= ?

Trigonometría

7. Halle el área sombreada:

A) π

B) 2 π

C) 3 π

D) 4 π

E) 5 π

RESOLUCIÓN

Sx = S∆AOB − S∆COD

x

x

x

x

x

S a² b²2 2

S a² b²21

S 6²2 6

36S

12S 3

θ θ= −

θ= −

π = π=

= π

RPTA.: C

8. Calcule: E = x³ − x² − 1, si:

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN

( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x 15 x x 1 .........(1)

5Luego :

x 1x x 1 x² 5 x

5

−θ = − → θ =

− + = + 5(x+1) = (x²+5)(x−1)5x + 5 = x³ − x² + 5x − 5 10 = x³ − x² ∴ E = x³ − x² − 1 E = 9

RPTA.: E

9. En la figura, el trapecio circular ABCD y el sector circular COD

tienen igual área. Halle: mn

A) 22

B)12

C) 2

D) 2

E) 1

RESOLUCIÓN


30ºo

C

DB

A

6

x (x - 1)x (x + 1)

A

C

o

D

B

5

x²

nmo

DA

BC

30ºo

C

DB

A

6

a

b

x (x - 1)x (x + 1)

5

x²

θ

nmradθ S S

Trigonometría m²

menor :S2

n²mayor :2S

21 m²2 n²

1 m m 2n n 22

= θ ÷=θ

=

= → =

RPTA.: A

10. Se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser:

A) 1 rad B) 2 rad C) 1

rad2

D) 4 rad E) 14

rad

RESOLUCIÓN

Condiciones:

i) S = S → L R

a²2

=g

→ R.L = 2a²

ii) Perímetro = Perímetro

→ 2R + L = 4a

→ (2R+L)²=16a²→(2R+L)² = 8(2a²)→ 4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)→ 4R² − 4R.L +L² = 0→ (2R−L)² = 0 → 2R − L = 0→ 2R = L → 2R = θ R → θ = 2

RPTA.: B

11. De la figura mostrada, AOF, BOE y COD son sectores circulares, además:

BC = DE = a, AB = EF = 2a, » » »CD BE AF

L x, L y, L Z= = =

Calcule: M = (2x + z) y−1

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

RESOLUCIÓN

De la figura:

y x z ya 2a− −θ = =

→ 2y − 2x = z − y→ 3y = 2x + z

Luego: M = (3y) . y−1

∴ M = 3RPTA.: C


A

B

C

o

D

E

F

R

Lradθ S

R

S

a

a

a

a

A

B

C

o

D

E

F

θ x y z

2a

a

a

2a

Trigonometría

12. Calcule: 2 3

1

S SM

S+

=

Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas

A)127

B) 132

C) 112

D) 5π + 2 E) 5π − 2

RESOLUCIÓN

S1 = 2SS2 = 3SS3 = 10S

2 3

1

S S 13M

S 2+

= =

RPTA.: B

13. Dos postulantes de la UNAC, observan un reloj eléctrico cuyas agujas están detenidas, luego de la falla eléctrica en el Callao, uno de los estudiantes dice que el área que hacen las agujas es de 7,2 m² y si el reloj tiene un radio de 6 m. ¿Cuál será el arco entre las agujas?

Considere 227

π =

A)12

mts5

B) 11

mts5

C) 5

mts12

D) 12

mts7

E)5

mts11

RESOLUCIÓN

S = 1 1

L R 7,2 L(6)2 2

⇒ =

24144

L(6)10

12L mts

5

⇒ =

=

RPTA.: A

14. Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2

(R1 < R2); cuando la rueda menor gira αº la mayor gira αg. ¿En qué relación se encuentra los radios?

A)37

B) 813

C)

910

D)3

10E)

94

RESOLUCIÓNSi θ1 y θ2 son los ángulos que giran la rueda menor y mayor respectivamente.


θS2

S1

S3

2 θ

θS1 = 2S2 θ

S2 = 3S

6SS3. = 10S

gαºα

R1

R2

Trigonometría

En una bicicleta se cumple que:θ1R1 = θ2R2

αºR1 = (αg)R2

( )1 2

1

2

9ºR º R

10

R 9R 10

α = α

=

RPTA.: C

15. Se tienen dos ruedas conectadas por una faja; si hacemos girar la faja, se observa que las ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas si sus radios miden 3 m y 5 m

A)13

B) 18

C) 19

D)14

E) 110

RESOLUCIÓNθ1 + θ2 = 144º

→ L1 = L2 → θ1R1 = θ2R2

1 2 1

2 1 2

R V 5R V 3

θ= ⇒ =

θ

1 2 144 12 2 180 2θ θ π+ =π π π

g

1 2 1 2

1 2

2 2V V 8k V V 2k

5 51 1

k V V 220 20

110

+ = ⇒ = ⇒ − =

= − =

=

g

RPTA.: E

16. En el sistema mostrado, si la

rueda A da 34

de vuelta, entonces

la longitud recorrida por la rueda C es:

A) 3,6 π B) 36 π C) 1,8 π

D) 18 π E) 94π

RESOLUCIÓN

( )

A

A

3#V V

43 3

2 rad rad4 2

=

π⇒ θ = π =

* A − B: LA = LB

θARA = θBRB

( ) ( )B

B

36 2

2

92

π = θ πθ =

* B − C:


2 6

AC

8

B

5

3

26

A

C

8

B

Trigonometría θB = θC =

92π

( )C C C

9L R 8 36

2π∴ = θ = = π

RPTA.: B

17. Determine el área de la región sombreada, sabiendo que las áreas de los sectores AOB y COD son iguales (α y θ en radianes)

A) ( )1R²

2α − θ B) ( )1

R²2

α + θ

C) ( )1R² ² ²

2α − θ D) ( )1

R² ²2

α − θ

E) ( )1R² ²

2α − θ

RESOLUCIÓN

21

2 21 2

1S r

2r R

1S R²

2

= α

⇒ α = θ

= θ

S + Sx = ST

Sx = ST − S

( )

2x 1

x

x

1 1S R² r Reemplazando

2 21 1

S R² R²2 21

S R²2

= α − α

= α − θ

= α − θ

RPTA.: A

18. Del gráfico, halle el número de vueltas que dará una ruedita de radio 1, al ir de A hasta B si CB = 8π y AOC es un sector circular.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN

L1 + L2 = 2π (1) . N

4 8 2 N2

10 2 NN 5

π + π = π

π = π=

g g

g

RPTA.: D

19. Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A hasta la posición B.


θα

B

R

o

A

M

C

D

5

oA

C B

r o

rBoA

20

θα

SX

S S

r1R2

4

oA

C B

L2L1

8π

Trigonometría

A) 85 B) 9 C) 10D) 10,5 E) 11

RESOLUCIÓNRECORRIDA#V2 r

=π

Sabemos: r = (π) (21) = 21π

⇒ # vueltas = ( )21

2 1π

π#v = 10,5

RPTA.: D

20. De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie de radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la curva, si: mS AOB = 120º, r = 18u?

A) 24 π B) 24,1π C) 24,2π

D) 24,3π E) 24,4π


A

rB

B

A240 r

Trigonometría RESOLUCIÓN

»ABL = ( )240º 18u 24

180π = π

De la figura:

L 24241r 240r

π=

L = 24,1 πRPTA.: B

21. Sobre una superficie curva de radio “R” gira una rueda cuyo radio es “r” (ver figura). Si dicha rueda da una vuelta al ir de “M” a “N”. Calcule la longitud del arco MN. (O y O′ son centros).

A)R r

Rr+

πB)

RrR rπ

+

C) ( )2 Rr R rπ + D) 2 RrR r

π+

E) R r2 Rr

+π

RESOLUCIÓN

Del gráfico:

i)( )R rL

n 12 r 2 r

θ += → =

π π

→ θ = 2 rR r

π+

ii) »MNR= θ g

∴ »MN

2 RrR r

π=+

RPTA.: D

22. Dos móviles A y B parten al mismo tiempo y en las direcciones indicadas en la figura de los puntos P y Q respectivamente, si la velocidad de A es a la velocidad de B como 3 es a 7. Calcule cuando mide “α” si se encuentran por 1era. vez en el punto R.

A)5π

rad

B) 4π

rad

C) 10π

rad

D)20π

rad

E) 710

πrad


r

o

M

N

R

O′

α

P

R

Q

A

r

B

B

240

r

L

RADθ

r

rRθ

N

M

o

Trigonometría RESOLUCIÓNEspacio recorrido por el móvil A será »PR y del móvil B es el arco »QR .eA = VAtA y eB = VBtB

Pero ambos parten al mismo tiempo tA = tB

A AA B

B B

e V 37e 3e

e V 7⇒ = = ⇒ =

» » ( )A BPR QRe L r y e L r

2π = = − α = = π + α

Reemplazando:

( )7 r 3 r2

77 3 3 10

2 2

rad20

π − α = π + α π π− α = π + α ⇒ α =

π⇒ α =

RPTA.: D


α

P

R

Q

2π − α

r

rr

r

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