Orígenes de la Matriz

¿Qué soy?

Soy un arreglo rectangular de números

llamados “entradas de la matriz”.

¿Cómo me denoto?

Me denoto con letras mayúsculas o con

letras minúsculas con doble subíndice, y

estoy encerrada entre corchetes.

¿Qué tamaño tengo?

Mi tamaño es de m x n. En donde m son

mis renglones, y n mis columnas.

Próximamente THE

MATRIZ, solo en cines!

A cada sistema lineal se le asocia una matriz A, llamada matriz de

coeficientes y un vector de términos constantes.

Diversión

¿Por dónde entra una matriz a

su casa?

Por la entrada principal!

Cuando una fila de la matriz no

es nula, a su primer elemento

diferente de cero se le llama la

entrada principal de la fila.

¿Eres una matriz

incomunicada?

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Método de Gauss-Jordan

Es un algoritmo del álgebra lineal para

determinar las soluciones de un sistema de

ecuaciones lineales, encontrar matrices e

inversas.

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el

método de Gauss cuando se obtienen sus

soluciones mediante la reducción del sistema

dado a otro equivalente en el que

cada ecuación tiene una incógnita menos que la

anterior.

El método de Gauss transforma la matriz de

coeficientes en una matriz triangular superior.

Estrategia para resolver

la matriz:

1. Ir a la columna no cero, extrema, izquierda.

2. Si el primer renglón tiene un cero en esta

columna, intercambiarlo con otro que no lo

tenga.

3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento

delantero, sumando múltiplos adecuados del

renglón superior a los renglones debajo de él

4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso

anterior con la submatriz restante. Repetir con

el resto de los renglones (en este punto la matriz

se encuentra en la forma de escalón)

5. Comenzando con el último renglón no cero,

avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener

un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste

sumando múltiplos correspondientes a los

renglones correspondientes

¿Cuáles son mis propiedades para lograr resolver

mis problemas? Se preguntó la matriz

Intercambio de renglones

Multiplicación de renglón por una constante

Sumar el múltiplo de un renglón a otro

renglón

Ahora con Excel Automatriz, puedes

trasladarte a cualquier cuaderno con mayor

facilidad!

Operaciones entre matrices

Estas son las operaciones entre matrices:

Suma entre matrices: Se realiza sumando cada componente de las matrices

correspondientes. Las matrices deben ser siempre del mismo tamaño.

Multiplicación de un escalar por una matriz: Se multiplica el escalar por cada componente

de la matriz:

Multiplicación entre matrices: Se debe cumplir la condición de que la cantidad de

columnas en la primera matriz debe ser igual al número de renglones de la segunda

matriz. El tamaño de la matriz resultante será el número de renglones de la primera matriz

y el número de columnas de la segunda matriz. Para multiplicar se observan las

componentes de la matriz resultante. Entonces para se realiza el producto punto entre

el primer renglón de la matriz 1 y la primera columna de la matriz 1 y así sucesivamente.

Propiedades de la suma entre matrices:

Entrevista con una matriz cuadrada El día de hoy tuvimos a un invitado muy especial, que fue la matriz cuadrada a quién le realizamos varias preguntas:

Buenos días matriz cuadrada ¿Sabe por qué le pusieron ese nombre tan particular? Buenos días, sí conozco la razón y es porque tengo la forma n x n, en donde la cantidad de renglones es igual a la de columnas. Aquí tengo algunas fotos de mis parientes para que tengan una idea:

Tenemos información que ustedes fueron las primeras matrices en llegar a nuestro mundo, y rápidamente se han reproducido en nuevas matrices ¿nos podría contar cuales son las características de la nueva generación? Sí es cierto todo lo que se ha contado, cada matriz nueva tiene sus propias características pero siempre se les reconoce también como matrices cuadradas: Matrices diagonales: Las componentes de la diagonal ( ) no son necesariamente cero, pero si deben ser todas cero.

Fotos cortesía de la matriz cuadrada:

Matrices escalares: son iguales y todas las deben ser cero. Cuando es

igual a 1 la matriz recibe el nombre de matriz identidad. Fotos cortesía de la matriz cuadrada:

(Identidad)

Matrices simétricas: La matriz original es igual a su matriz transpuesta. Fotos cortesía de la matriz cuadrada:

Matrices antisimétricas: La matriz original negativa es igual a su matriz

transpuesta (La diagonal en estas matrices siempre es cero). Fotos cortesía de la matriz cuadrada:

Triángulo superior: Todas las entradas (donde ) son ceros.

Fotos cortesía de la matriz cuadrada:

Triángulo inferior: Todas las entradas (donde ) son ceros.

Fotos cortesía de la matriz cuadrada:

El único tipo de matriz que no necesariamente debe ser cuadradas son las: Matrices transpuestas: se obtiene al transformar los renglones de la matriz

original en las columnas de la nueva matriz, se denota así . Fotos cortesía de la matriz cuadrada:

Además de toda su familia de matrices, las hemos visto reuniéndose muchas veces con una matriz misteriosa ¿nos podría contar sobre ella? Jajaja, ya sé de quién me están hablando. Les presento a la matriz cero, que es el nuevo amigo de todas las matrices. Resultó bastante raro el verlo la primera vez, ya que todas sus componentes eran cero, pero es una matriz bastante amigable. Aquí hay algunas fotos de él y su familia:

Existen gran cantidad de operaciones que se pueden realizar entre matrices cuadradas, pero ahora acaba de surgir la potencia de matrices ¿podría hablarnos un poco acerca de esta operación? Bueno la potencia de matrices es una multiplicación y consiste en multiplicar la matriz por la misma matriz cuantas veces indique el exponente. Si se recuerdan de las propiedades, para multiplicar matrices el número de columnas de primera matriz debe ser igual al número de renglones de la misma matriz. Las únicas matrices que cumplen con esto, para poderse multiplicar ellas mismas, son las cuadradas. Aquí hay una foto de una operación exitosa:

Por último ¿Qué piensa sobre el trámite que deben hacer todas las matrices cuadradas para adquirir su número de identificación? Espero que el trámite sea rápido y fácil, ya que todas las matrices cuadradas deben cambiar su número de traza, por su determinante. Antes la traza se conseguía rápidamente, ya que era solamente la suma de los componentes de la diagonal de una matriz cuadrada. Pero ahora para la determinante se utiliza un método más complejo que el Presidente aún no ha explicado. Se espera que con la determinante cada matriz tenga su propio número y que no hayan dos matrices con un mismo número que los identifique.

Fotos de trazas iguales con distintas matrices:

Bueno eso fue toda la entrevista matriz cuadrada, le agradecemos por su

tiempo, todas sus respuestas y sus fotos, y que tenga un buen día.

Gracias a ustedes por dejarme contarles un poco de mi historia, espero que esta

información les sirva y que al encontrarse con una matriz se acuerden de mí y la

puedan clasificar.

¿Tienes muchos números en la cabeza y no sabes

cómo ordenarlos?

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todos esos números, que tantos problemas te dan!

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Matrices en acción

A continuación les presentamos las propiedades de las matrices transpuestas:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Chiste

¿Cuándo está

transpuesta una matriz?

Luego de haber tomado

mucho

Consejos para el cálculo eficiente de matrices

Las matrices, al igual que los vectores se pueden combinar linealmente, de esta manera: . Por lo que se puede determinar la independencia lineal, espacio generado y el conjunto generador de un conjunto de matrices.

Independencia lineal: Se dice que es independiente (l*i) si

existen escalares , tal que . Todos los

escalares deben ser cero. Si un escalar no es igual a cero entonces existe una dependencia (l*d). Ejemplo:

Dada la matriz

y

determinar si A y B son

linealmente independientes (l*i) ó dependientes (l*d).

El primer paso es establecer la combinación lineal de las matrices e

igualarlas a cero, de la siguiente manera:

Ahora se desarrollarán las multiplicaciones y las sumas:

Ya se tiene la nueva matriz y se resolverá para y

y son linealmente independientes (l*i), ya que al despejar para y

ambos dan como resultado cero.

El conjunto generador en vectores se define como; un conjunto

Rn, el cual es el conjunto de todas las combinaciones lineales de

v1, v2 …. Vn. Esta misma definición se aplica a matrices.

De esta forma un espacio generado se puede definir por un conjunto

de matrices como el conjunto de todas las combinaciones lineales de

la matrices.

Matrices

Conjunto generador de

matrices

Definiciones

Tip de resolución

Una matriz habla con su madre y le dice, ¨Mama, por mi padre no me deja hacer nada de lo que yo

quiero¨ y la madre muy tristemente le responde a su hijo, ¨Simplemente por tu papa es una

matriz cuadrada¨

Diversión 1. Se escribe la combinación lineal de matrices.

2. Con la combinación lineal de matrices, se procede a

elaborar una matriz aumentada. Donde cada matriz forma

una columna.

3. Se emplea como vector de términos constantes las letras a,

b, c, ….n. Dependiendo el número de combinaciones lineales

que se tenga.

4. Se resuelve la matriz, y si a,b, c…n aparecen de alguna

manera combinadas en la expresión de la combinación lineal,

entonces; es un conjunto generador.

El conjunto generador en vectores se define como; un

conjunto Rn, el cual es el conjunto de todas las

combinaciones lineales de v1,v2...vn. Esta misma definición

se aplica a las matrices.

De esta forma un espacio generado se puede definir por un

conjunto de matrices como el conjunto de todas las

combinaciones lineales de las matrices.

Igualdad de matrices

A=B

Una matriz es igual a otra si y solo si, estas tiene el mismo

tamaño y la misma entrada correspondiente.

Por ejemplo:

Determinante de una Matriz Se refiere a una forma multilineal alternada de un

cuerpo. Este concepto se introdujo para estudiar el

número de soluciones de los sistemas de ecuaciones

lineales.

El determinante esta solamente definido para matrices

cuadradas.

Notación de determinante

Una determinante de una matriz A se denota como:

|A| o det A

Calculo de determinantes

Para matrices de 1 x 1 y

2 x2

Si A = [a] , una matriz de 1 x 1 entonces su determinante está dado por:

|A| = a Si A es una matriz de 2 x 2, donde

A= entonces su determinante será: |A| = = a11a22 – a21a12

Este método emplea la diferencia entre el producto de las entradas de la diagonal principal y el producto de las entradas de la otra diagonal.

Método de las diagonales

Este método solamente es valido para matrices de 3 x 3. El cual es análogo al método para calcular el determinante de una matriz de 2 x 2. Este método consiste en copiar las primeras dos columnas de A a la derecha de la matriz y tomar los productos de los elementos en las 6 diagonales. Donde las diagonales que descienden tienen signo positivo y los que ascienden tiene signo negativo. Tal como se observa en la imagen.

Calculo determinante matriz 3 x 3

Expansión de

Laplace

La expansión de Laplace se puede emplear en una

matriz de n x n donde n > 2. Este método consiste en

la expansión por cofactores a lo largo de un renglón o

una columna.

1. Se define el cofactor (i, j) de A como

Cij = (–1)i+j detAij, donde Aij es la

submatriz de A obtenida mediante

la eliminación del renglón i y la

columna j.

El determinante esta dado por:

|A| = det A =

(expansión por cofactores a lo largo

del i-ésimo renglón)

|A| = det A =

(expansión por cofactores a lo largo

de la j-ésima columna).

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Teorema para calcular determinantes

Es importante observar si conviene

emplear este método, ya que resulta

más fácil si la matriz tiene un

renglón o columna con varios ceros.

Si se tiene una matriz triangular; su determinante se

calcula por medio del producto de las entradas

sobre su diagonal principal.

Por lo que se obtiene:

Si A = [aij] es de n x n

entonces

det A = a11a22a33…ann.

3. Había una vez una matriz

escalonada que quería bajar de peso. Entonces dejo de comer

tanto que llegó a ser una matriz escalonada reducida.

Diversión

Regla de Cramer

Propiedades de los determinantes Sea A una matriz cuadrada. a. Si A tiene un renglón (o columna) cero, entonces det A = 0. b. Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (o columnas) de A, entonces det B = – det A. c. Si A tiene dos renglones (o columnas) idénticos, entonces det A = 0. d. Si B se obtiene al multiplicar un renglón (o columna) de A por un escalar k, entonces det B = k det A. e. Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (columna) de C sea la suma de los i-ésimos renglones (columnas) de A y B, entonces det C = det A + det B. f. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna), entonces det B = det A.

Teoremas relacionados con determinantes

Si A y B son matrices de n x n, entonces det(AB) = (det A)(det B). Para cualquier matriz cuadrada, det A = det AT Si A es una matriz de n x n, entonces det kA = kn det A Una matriz es invertible si det A ≠ 0

Esta regla proporciona una fórmula para encontrar la solución de ciertos sistemas de n ecuaciones lineales con

n variables. Esta formula se resuelve, completamente, en términos de determinantes.

Notación de determinante Ejemplo

a Para una matriz A de n x n y un vector b en IRn,

denotemos como Ai(b) la matriz obtenida al reemplazar

la i-ésima columna de A por b.

Es importante observar si conviene

emplear este método, ya que resulta

más fácil si la matriz tiene un

renglón o columna con varios ceros.

Señorita matriz

2012

Hecha por:

Daniel Aragón

Ivo Asturias

Manuel López

José Shin