diagonalizacion de Matrices

Tema 7.- VALORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACIN DE MATRICES CUADRADASVALORES Y VECTORES PROPIOSMATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLESDIAGONALIZACIN ORTOGONAL DE MATRICES CUADRADAS SIMTRICAS

Fundamentos Matemticos de la Ingeniera

Un poco de historiaLos valores y vectores propios pertenecen a los temas de mayor utilidad del lgebra lineal. Se usan en varias reas de las matemticas, fsica, mecnica, ingeniera elctrica y nuclear, hidrodinmica, aerodinmica,etc. De hecho, es raro encontrar un rea de la ciencia aplicada donde nunca se hayan usado.Puede parecer muy extrao, pero los valores propios de las matrices aparecieron publicados antes que las matrices. Esto se debe al hecho inslito de que, parafraseando a Cailey, la teora de las matrices estaba bien desarrollada (a travs de la teora de los determinantes) antes de que siquiera se definieran las matrices. Segn Morris Kline, los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadrticas y en la mecnica celeste (el movimiento de los planetas), conocindose como races caractersticas de la ecuacin escalar. Desde aproximadamente 1740, Euler usaba de manera implcita los valores propios para describir geomtricamente las formas cuadrticas en tres variables.En la dcada de 1760, Lagrange estudi un sistema de seis ecuaciones diferenciales del movimiento de los planetas (slo se conocan seis) y de ah dedujo una ecuacin polinomial de sexto grado, cuyas races eran los valores propios de una matriz 66. En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los ejes principales de una forma cuadrtica con n variables. Tambin aplic sus descubrimientos a la teora del movimiento planetario. Fue Cauchy quien, en 1840, us por primera vez los trminos valores caractersticos y ecuacin caracterstica para indicar los valores propios y la ecuacin polinomial bsica que satisfacen.


Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) naci en Pars. Fue educado en casa por su padre y no ingres en la escuela hasta los trece aos, aunque pronto empez a ganar premios acadmicos. A los diecisis entr en la cole Polytechnique parisina y a los dieciocho asista a una escuela de ingeniera civil, donde se gradu tres aos despus. Su primer trabajo fue como ingeniero militar para Napolen, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro aos volvi a Pars y dos ms tarde demostr una conjetura de Fermat que haba superado a Euler y Gauss. Con veintisiete aos ya era uno de los matemticos de mayor prestigio y empez a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 pginas de esa investigacin once aos despus. En esta poca public sus trabajos sobre lmites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas. Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Matemtico y fsico francs. En un libro de 1797 l enfatiz la importancia de la serie de Taylor y el concepto de funcin. Trabaj en el sistema mtrico y defendi la base decimal.Leonhard Euler (1707-1783) Matemtico suizo. Los trabajos cientficos de Euler abarcan prcticamente todas las matemticas contemporneas a l. En todas las ramas de las matemticas hizo descubrimientos notables, que lo situaron en el primer lugar en el mundo. Euler fue capaz de comprender las matemticas como un todo nico, aunque enorme en el confluan un montn de ramas importantes y ante todo el Anlisis. Laplace indic que Euler fue el maestro comn de todos los matemticos de la segunda mitad del siglo XVIII. Euler fue en gran medida responsable de los smbolos e, i y.


VALORES Y VECTORES PROPIOSLos conceptos bsicos estudiados en este tema son tiles en todas las reas de las matemticas puras y aplicadas, y aparecen en contextos mucho ms generales que los que consideramos aqu.Una de las principales aplicaciones de la teora espectral son los sistemas dinmicos discretos (ejemplo introductorio), pero tambin pueden utilizarse los valores propios para estudiar ecuaciones diferenciales y sistemas dinmicos continuos, adems proporcionan informacin crtica en el diseo de ingeniera y se presentan naturalmente en campos como la fsica y la qumica. Un escalar se llama valor propio de A si existe una solucin no trivial de ; una de esas soluciones no triviales se denomina vector propio de A asociado al valor propio . El conjunto de todos los valores propios de una matriz cuadrada A se denomina espectro de A y se denota (A).


Cierta informacin til de los valores propios de una matriz cuadrada A se encuentra codificada en una ecuacin escalar llamada ecuacin caracterstica de A. Este hecho nos va a permitir enunciar un resultado de gran importancia prctica para el clculo de los valores propios de una matriz cuadrada.Para que sea valor propio de la matriz cuadrada A, el sistema homogneo () ha de tener soluciones no triviales, luego el determinante de la matriz cuadrada A I ha de ser cero.Polinomio caracterstico de AEcuacin caracterstica de ALos valores propios de una matriz cuadrada son las races de su polinomio caracterstico


SUBESPACIOS PROPIOS Subespacios propios. Propiedades.- Todo vector propio de A est asociado a un nico valor propio de A.1.-2.- es un subespacio vectorial de y se denomina subespacio propio asociado a .3.-4.-Si son valores propios distintos de A y , entonces:es un sistema libre


Cmo calcular los valores propios de una matriz cuadrada?Los valores propios de una matriz cuadrada A son las races de su polinomio caracterstico. El orden del valor propio es la multiplicidad k de como raz del polinomio caracterstico. Si k = 1, es un valor propio simple. La suma de los valores propios de una matriz, teniendo en cuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matrizObservacin


-EJEMPLO.- Calcular los valores propios de A, indicando su orden o multiplicidad:SolucinEspectro de AAtencin


Cmo calcular los subespacios propios de una matriz cuadrada?Para calcular los subespacios propios de una matriz cuadrada A debemos resolver un sistema homogneo compatible indeterminado.Si es un valor propio de orden k de una matriz A y d = dim V(), entonces:1 d = dim V() k


-EJEMPLO.- Calcular los subespacios propios de A, indicando su dimensin:Solucin


OBSERVACIONES.-1.-Sea tal que:valores propios distintos de A: 1 , 2 , , rrdenes respectivos: k1 , k2 , , krdimensin de los subespacios propios asociados: di = V(i) d1 , d2 , , drse cumple que:nro. valores propios distintosorden de la matriz


2.-Si cumple que:el polinomio caracterstico de la matriz A es:ATENCIN3.-Conocido el polinomio caracterstico de una matriz cuadrada se puede calcular fcilmente su determinante:


Dos matrices son semejantes si:Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterstico, luego tienen los mismos valores propios con los mismos rdenes de multiplicidad.Sin embargo, el recproco no es necesariamente cierto. Es decir, existen matrices coon el mismo polinomio carcterstico pero que no son semejantes.


MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLESEn muchos casos la informacin de vector propio-valor propio contenida dentro de una matriz A se puede mostrar con una til factorizacin de la forma:

Las ideas y mtodos aqu explicados nos permiten calcular rpidamente Ak para valores grandes de k, una idea fundamental en varias aplicaciones del lgebra Lineal. Adems la teora aqu expuesta se aplica tambin en las ecuaciones diferenciales. En sistemas dinmicos, en procesos de Markov, en el estudio de curvas y superficies, en la teora de grficas y en muchos otros campos. Una matriz cuadrada A se dice diagonalizable si existe una matriz regular P que cumple que:Es decir, A es semejante a una matriz diagonal.


La definicin anterior de matriz diagonalizable no resulta demasiado til en la prctica. Una caracterizacin muy interesante de matrices diagonalizables es la siguiente:Una matriz es diagonalizable si y slo si existe una base de formada por vectores propios de la matriz A.Existe un resultado muy cmodo que nos permite justificar de manera muy simple si una matriz cuadrada A es diagonalizable o no:A es diagonalizable si y slo si se cumplen las dos condiciones siguientes: k1 + k2 + + kr = n di = ki ; i = 1, 2 , , r


Las dos condiciones del resultado anterior se pueden resumir en una nica condicin, obteniendo el siguiente resultado:A es diagonalizable si y slo si : d1 + d2 + + dr = nDel resultado anterior se obtiene fcilmente el siguiente corolario:Una matriz cuadrada A de orden n con n valores propios reales distintos, es diagonalizable.


columnas de P: vectores de la base B de formada por v.p. de A encontrada en 2.- Cmo se diagonaliza una matriz cuadrada A diagonalizable?1.- Calcular los valores propios de A indicando sus rdenes.2.- Calcular los subespacios propios V(i) y bases Bi de cada subespacio.3.- Escribir las matrices D y P tales que: base de formada por v.p. de A. elementos de la diagonal principal de D: valores propios de AEn ordenEn orden


-EJEMPLO.- Diagonalizar la matriz cuadrada ASolucinSabemos que:


-EJEMPLO.- Hallar una matriz regular P tal que:Solucin


Como ya sabemos, el clculo de las potencias Ak puede ser bastante tedioso. Sin embargo, si A es diagonalizable y hemos calculado P y D, entonces sabemos queas que:Con lo cual, iterando el proceso llegamos a:Como el clculo de Dk equivale a elevar slo los elementos diagonales de D a la k-sima potencia, vemos que Ak es fcil de obtener. Si sucede que A es invertible, entonces 0 no es valor propio de A. Por consiguiente D-1 existe y


DIAGONALIZACIN ORTOGONAL DE MATRICES SIMTRICASLas matrices simtricas surgen en las aplicaciones, de una u otra manera, con mayor frecuencia que cualquier otra clase de matrices. La teora es hermosa y rica, y depende de manera esencial tanto de la tcnica de diagonalizacin expuesta en este captulo, como de la ortogonalidad del captulo anterior.La diagonalizacin de una matriz simtrica es el fundamento para el estudio de las formas cuadrticas y se utiliza tambin en el procesamiento de imgenes.


Teorema espectral.-Sea matriz simtrica:1.-Todos los valores propios de A son reales.2.-3.-A es diagonalizable, es decir:4.-A es diagonalizable ortogonalmente, es decir:


columnas de P: vectores de la base BON de formada por v.p. de A encontrada en 3.- Cmo se diagonaliza ortogonalmente una matriz simtrica?1.- Calcular los valores propios de A indicando sus rdenes.2.- Calcular los subespacios propios V(i) y bases Bi de cada subespacio. Recordar que al ser A simtrica es diagonalizable y por tanto: di = ki.4.- Escribir las matrices D y P tales que:base de formada por v.p. de A. elementos de la diagonal principal de D: valores propios de AEn ordenEn orden3.- Ortonormalizamos las bases Bi de 2.- base ortonormal de formada por v.p. de A.


Teorema de la matriz invertible.- Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces los enunciados que siguen son equivalentes. 1.- A es una matriz invertible.2.- A es una matriz regular.3.- A es equivalente por filas a la matriz In , es decir: .4.- Los vectores columna de A son linealmente independientes.5.- Los vectores columna de A generan .6.- Los vectores columna de A forman una base de .7.- Los vectores fila de A son linealmente independientes.8.- Los vectores fila de A generan .9.- Los vectores fila de A forman una base de .10.- AT es una matriz invertible.11.- Existe una matriz B cuadrada de orden n tal que A B = In.12.- Existe una matriz C cuadrada de orden n tal que C A = In.13.- r ( A ) = n.14.- .15.- El sistema homgeneo A x = 0 tiene solamente la solucin trivial.16.- El sistema A x = b es siempre compatible determinado y la solucin viene dada por: x = A-1 b.17.- 0 no es valor propio de A.


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