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REVISTA

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¿Qué es una matriz? ¿Qué tipos de matrices hay? ¿Cómo operar una matriz?

¡Todo esto y más en la edición especial sobre

matrices!

Sofía Lam Hsing Li

Jorge Melgar Jeissel Penagos

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CONTENIDO:

1. Conceptos página 2 2. Casos especiales página 2

a. Matriz diagonal b. Matriz escalar c. Matriz identidad d. Matriz triangular e. Matriz superior e inferior

3. Operaciones con matrices página 4 4. Propiedades de las operaciones página 5 5. Potencias de matrices página 7 6. Ecuaciones con matrices página 7 7. Transpuesta página 8 8. Simétrica/antisimétrica página 8 9. Traza de una matriz página 9 10. Determinantes página 10

a. Método de diagonales b. Expansión Laplace

11. Regla de Cramer página 11 12. Matriz adjunta página 12 13. Chistes página 13 14. Juegos página 14 15. Tutoriales página 15

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1. Conceptos: Matriz: Es un arreglo rectangular de números llamados ‘’entradas’’. Notación de las matrices: A, B, C…Z. A= [!!"] entrada !      !→!"#$%&  !"  !"#$%&#"'        !→!"#$%&  !"  !"#$%&'( Tamaño de las matrices:

!!  ×!        !  !"#$%&#"'  !  !  !"#$%&'( A=

Las matrices cuadradas: son las que

tienen igual número de renglones y de columnas.

2. Existen cinco casos especiales de dichas matrices

Matriz diagonal: Los números de la diagonal son distintos entre ellos y distintos de cero y todas las demás entradas son cero.

Matriz escalar: Los números de la diagonal son iguales distintos de cero y todas las demás entradas son cero.

F= 3 0

0 3

Matriz identidad: Los números de la diagonal son uno y todas las demás entradas son cero.

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G =

Matriz cero: todas las entradas de

la matriz son cero.

Matriz triangular:

-­‐ Inferior: tiene entradas cero únicamente arriba de la diagonal, las demás entradas pueden ser cualquier número.

-­‐ Superior: tiene entradas cero únicamente debajo de la

diagonal, las demás entradas pueden ser cualquier número.

Dos matrices son iguales si sus entradas correspondientes son iguales

= M = L =

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3. Operaciones con matrices

Suma: únicamente se puede realizar la suma de matrices del mismo tamaño. Y se suma cada entrada con la correspondiente de la otra matriz.

A 2 ⋯ 6⋮ ⋱ ⋮9 ⋯ 3

B 4 ⋯ −3⋮ ⋱ ⋮1 ⋯ 5

A + B = 6 ⋯ 3⋮ ⋱ ⋮10 ⋯ 8

Diferencia: únicamente se puede realizar la resta de matrices del mismo tamaño. Y se resta cada entrada con la correspondiente de la otra matriz.

C −1 ⋯ 3⋮ ⋱ ⋮2 ⋯ −4

D2 ⋯ 5⋮ ⋱ ⋮1 ⋯ −3

C – D = −3 ⋯ −2⋮ ⋱ ⋮1 ⋯ −1

Multiplicación de un escalar por una matriz: se multiplica un escalar k por todos los componentes de la matriz.

K = 3 G2 ⋯ 3⋮ ⋱ ⋮4 ⋯ 5

kG = 6 ⋯ 9⋮ ⋱ ⋮12 ⋯ 15

Producto: para multiplicar matrices, la matriz A debe tener ‘x’ numero de columnas y ese numero debe coincidir con el numero de filas de la matriz B.

!!×!     !!×!

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4. Propiedades de las Operaciones

1. (AT)T = A 2. (A + B)T = AT + BT 3. (α •A)T = α• AT 4. (A • B)T = BT • AT

Suma y Resta de Matrices: Dadas dos matrices de la misma dimensión, ! = !!"  !  ! = (!!"), se define la matriz suma como: ! ± ! = !!" + !!". Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición. Ejemplo:

+

=

=

De la dimensión La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro

A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto

A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa

A + B = B + A

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Multiplicación de Matrices: Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. M(m*n) * M(n*p) = M(n*n); Y además m*p nos dirá el tamaño de la matriz resultante. El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. Ejemplo:

A•B =

=

= Propiedades del producto de matrices

Asociativa A • (B • C) = (A • B) • C

Elemento neutro A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es conmutativa A • B ≠ B • A

Distributiva del producto respecto de la suma A · (B + C) = A · B + A · C

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5. Potencias de matrices

6. Ecuaciones con matrices Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar, con una división de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

, , pueden ser encontradas como sigue:

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7. Transpuesta de una matriz Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A (y notamos AT) a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas de A. Es decir, !!" = !!"  ∀  !, ! Ejemplo:

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8. Simétrica y Antisimétrica

Matriz simétrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: !   =  !!.

1 12 312 3 23 2 4

=1 12 312 3 23 2 4

 

Matriz antisimétrica o hemisimétrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: !   =  −!!.

0 12 3−12 0 2−3 −2 0

=0 −12 −312 0 −23 2 0

9. Traza de una matriz En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A. Es decir,

Propiedades de la Traza

La traza es un operador lineal:

siendo y matrices cuadradas,

y un escalar.

Como la diagonal principal no se ve afectada al transponer la matriz,

Si es una matriz de y una matriz de , entonces

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10. Determinantes El determinante de una matriz es el escalar denotado por el valor absoluto de la matriz. Único para matrices cuadradas.

a. Método de diagonales

Solo para matrices 2x2 y 3x3

b. Expansión Laplace

Aij se obtiene al eliminar el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de la matriz.

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11. Regla de Cramer Este método permite resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando únicamente determinantes. Todo sistema de ecuaciones lineales tiene asociada una matriz aumentada.

x y b (Ab) =

3 -1 8

1 3 2

det A =

3 -2 = 15 + 2 = 17 1 5

Obtenido de: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/sistemas_ecuaciones/ap12_aplicaciones_de_los_determinantes.php

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12. Matriz Adjunta

La matriz adjunta es aquella en la que cada

elemento se sustituye por su adjunto.

Se llama adjunto del elemento aij al menor

complementario anteponiendo:

El signo es + si i+j es par.

El signo es - si i+j es impar.

Ejemplo:

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13. Chistes

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14. Juegos Sudoku

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15. Tutoriales: Matrices y operaciones: http://youtu.be/D0-Uj6zFOD8 http://youtu.be/ACQZQYrwRdI Resolver Sudoku http://youtu.be/xrHxaZTqo4M

Fuentes de Consulta:

Harvey E. Rose: Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach. Springer 2002, p. 57-60

David Poole: Linear Algebra. A Modern Introduction. Cengage Learning 2005, p. 265-267