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“Las Matemáticas no son un recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a un terreno salvaje y extraño, en el cual los exploradores se pierden a menudo”

Relación ejercicios trigonometría

1) Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma hora que un árbol de 21 m. proyecta una sombra de 24 m. Sol: 49 m

2) En un mapa, la distancia entre La Coruña y Lugo es de 19 cm., entre Santiago de Compostela y La Coruña 12 cm, y entre Santiago de Compostela y Lugo 20 cm.

En otro mapa, la distancia entre Santiago de Compostela y La Coruña es de 18 cm. ¿Cuáles serán las otras dos distancias medidas en este segundo mapa? Sol: 30 cm y 28’5 cm.

3) En un mapa a escala 1:10.000.000, la distancia entre dos ciudades es de 12 cm. ¿Cuál es la distancia real que las separa? Sol: 1.200 km.

4) Tenemos dos triángulos isósceles semejantes. Del pequeño conocemos que cada uno de los lados iguales mide 5 cm y el lado desigual 3 cm; pero del grande, sólo sabemos que el lado desigual mide 7 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos lados? Sol: 11,67 cm.

5) Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 5 cm. (S: 13 cm)

6) Sabiendo que en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25 m y un cateto 7 m, halla el otro cateto. (S: 24 m).

7) Halla la altura y el área de un triángulo equilátero de 2,5 m de lado. (S: 2,2 m; 2,75 m2).

8) Un poste vertical de 3 m proyecta una sombra de 2 m; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 m? S: 6,75 m

9) Las longitudes de los lados de un campo triangular son 125 m, 75 m y 100 m. Se hace a escala un dibujo del campo, y el lado mayor queda representado por un segmento de 3 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los otros dos lados del triángulo en el dibujo?S: 2,4 cm y 1,8 cm.

10)Si un campo está dibujado a escala de 1:1200, ¿cuál será en el terreno la distancia que en el dibujo mide 18 cm? S: 216 m.

11) ¿A qué escala está dibujado un campo, si en el plano un segmento de 12 cm representa 60 m de terreno? S: 1:500

12) ¿A cuántos radianes equivalen 115°38'27"? Rdo: 2,02 rad

13) ¿A cuántos grados sexagesimales equivalen 2 radianes? Rdo: 114°35'29"

14) Ayúdate de la calculadora para completar la tabla siguiente:

Medida de en grados, minutos y segundos 45º 30º 75º

Medida de en radianes

tg 2,3 0,6

15) Resuelve los siguientes apartados:

“Un hombre es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que él es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cuanto más grande es el denominador, más pequeña es la fracción”


a) Si cos = 1/2 ; calcula sen y tg

b) Si sen = 4/5; calcula cos y tg

16) Averigua los ángulos , y sabiendo:

a) tg = 2’5 Sol: 68º 11’ 55”

b) sen = 0’3 Sol: 17º 27’ 27”

c) sen = 0’6 Sol: 36º 52’ 12”

17) Utilizando la calculadora, halla las siguientes rezones trigonométricas redondeando a 4 decimales:

a) sen 34º 35’ 57” Sol: 0,5678

b) cos 85º 7’ 23” Sol: 0,0850

c) tg 87º 33” Sol: 19,1397

d) sen 43º 35’ Sol: 0,6894

18) Utilizando la calculadora, halla los ángulos de las siguientes razones trigonométricas:

a) sen = 0,3456 Sol: = 20º 13’ 7”

b) cos = 0,5555 Sol: = 56º 15’ 17”

c) tg = 1,4572 Sol: = 55º 32’ 24”

d) cos = 0,25 Sol: = 75º 31’ 21”

e) sen = 0,0525 Sol: = 3º 34”

19) Sabiendo que , halla el resto de las razones trigonométricas.

Indicación: utiliza la fórmula en primer lugar para hallar el coseno y a partir

de ahí te saldrá:


solución: .


solución: , .

22) Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos, B = 37º, y su hipotenusa, a = 5’2 m.

Indicación: Como es un triángulo rectángulo el ángulo A = 90º, luego B + C = 90º C = 53º.



El dibujo del triángulo será:

Utilizando sen B, cos B, sen C o cos C, obtendrás que b = 3’13 m y c = 4’15 m.

23) Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos B = 29º, y el cateto opuesto, b = 4’5 m. Solución: C = 61º, a = 9’29 m, c = 8’12 m.

24) Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: la hipotenusa, a = 5’7m, y un cateto, b = 4’6m.

Indicación: Debes aplicar . B =

53º48’19”. c = 3’37m.

25) Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: los dos catetos, b = 3’5m y c = 2’8m.

Indicación: Debes partir de . Solución: B = 51º20’24”, a = 4’48m, C =

38º39’35”.

26) Las bases de un trapecio isósceles miden 7 y 4 metros; su altura mide 5 metros. Halla los ángulos del trapecio.

Indicación:

Aplicando , hallas A y como 2A + 2B = 360º,

te debe salir: A = 73º18’27” y B = 106º41’.

27) Desde un punto A del suelo se observa una torre, PQ, y se la ve bajo un ángulo = 31º. Se avanza 40 m. en dirección a la torre, se mira y se la ve, ahora, bajo un ángulo = 58º. Halla la altura h de la torre y la distancia de A al pie, Q, de la torre.

Indicación: Mirando el triángulo AQP aplica tg

Mirando el triángulo BQP aplica tg . Obtienes así un sistema

y resolviéndolo obtendrás = 24 m y h = 38’4m.

Finalmente = 64 m.


A B

Ca= 5’2 m

b

c

7m

4m

5m

A

B

A

B

Este trocito mide1’5 m.

AB

Q

P

h

d


28) Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: uno de sus ángulos, B = 51º, y el cateto contiguo, c = 7’3m. Solución: C = 39º, b = 9’01m, a = 11’60m.

29) Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: la hipotenusa, a = 4’6m, y un cateto, c = 3’1m. Solución: b = 3’40m, B = 47º37’24”, C = 42º22’35”.

30) De un rombo ABCD se conocen la diagonal = 4m. y el lado = 5m. Halla los ángulos del rombo y su otra diagonal. Solución: 132º48’, 47º12’, 9’2m.

31) Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una montaña y la visual forma un ángulo de 50º con el suelo. Al alejarse 200 m de la montaña, la visual forma 35º con el suelo. Halla la altura, h, de la montaña. Solución: 339’6 m.

32) Simplifica: Solución: 0

33) Simplifica: Solución: sen x

34) Simplifica: Solución:

35) El radio de un polígono regular mide 10 m. ¿Cuánto miden el lado y la apotema? Sol: a = 8,09 m l = 11,76 m

36) Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 14 cm y 8 cm. Sol: 120º 30’ 36”; 59º 29’ 23”

37) Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 74º. Sabiendo que la altura del acantilado es de 200 m, ¿a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado? Sol: 57,35 m

38) Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el horizonte? Sol: 63º 26’ 6”

39) En un triángulo isósceles el lado correspondiente al ángulo desigual mide 7,4 m y uno de los ángulos iguales mide 63º. Halla la altura y el área. Sol: h = 7,26 m, S = 26,86 m2

40) Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0’7. Sol: sen = 0,57; cos = 0,82

41) Completa en tu cuaderno la siguiente tabla, haciendo uso de las relaciones fundamentales:

sen 0,94 4/5

cos 0,82



tg 3,5 1

En las operaciones que te aparezcan radicals, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal.

42) Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan y el ángulo :

sen 1/3

cos

tg 2

43) Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1.200 m y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30º. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si ésta mide 40 m de alto? 2.340 m

TEOTEMAS DEL SENO Y DEL COSENO



7. MARCO TEÓRICO:

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triangulo oblicuángulo, es aquel triangulo que no tiene ángulos rectos. En la resolución de triángulos oblicuángulos se presentan cuatro casos



TEOREMA DEL SENO: en todo triangulo la medida de los lados es directamente proporcional al seno de sus ángulos opuestos. En un triangulo ABC, a, b, c son las medidas de los lados y A, B, C respectivamente los ángulos opuestos, se cumple que:

El teorema del seno se aplica para los casos LLA, LAA Y ALA

TEOREMA DEL COSENO: En todo triangulo el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos veces el producto de estas longitudes por el coseno del angulo comprendido entre ellos. En un triangulo ABC, a, b, c son las medidas de los lados y A, B, C respectivamente los ángulos opuestos, se cumple que:

El teorema del coseno se aplica para los casos LAL y LLL

8. ACTIVIDADES

ACTIVIDAD 1. Resolver problemas aplicando el teorema del seno o del coseno según corresponda



4. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?

5. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?

6. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora?

7. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º

8. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.

9. Dos vehículos salen a la misma hora del mismo punto con direcciones que forman un ángulo de 45º. La velocidad del vehículo más lento es de 80 km/h. Al cabo de una hora y media, ¿qué distancia les separa, si la recta que los une forma un ángulo de 30◦ con la que indica la dirección del más

Rápido?

10. Dos observadores, uno desde el este y otro desde el oeste, miran un globo situado en el plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre los observadores es de 2 km y los ángulos de elevación del globo desde los observadores son 48º y 56º, respectivamente. Hallar a qué distancia del suelo se encuentra el globo.

11. Durante un viaje por la carretera del norte de Colombia, Alejandra y Carolina observan las luces de un pueblo en una dirección de 18º Nor-Oeste, una hora mas tarde, ven las mismas luces, pero esta vez con un ángulo de 48º en dirección Sur-Este. Si el automóvil viaja a velocidad constante de 90 Km/h ¿a que distancia de la carretera esta el pueblo?



12. En una competencia de natación dos amigos parten lanzándose al agua desde una balsa al mismo tiempo, el primero nada a una velocidad promedio de 6 km/h y el otro a 5 km/h. comienzan a alejarse entre si con un ángulo de 35º; después de medio hora de competencia el segundo sufre un calambre. ¿Qué distancia recorrerá el primero para ir a su auxilio?

13.

VECTORES Y RECTAS

1. Dado el vector u = (2,1) y v = (a, -3), se pide:a) Hallar a para que sean paralelos. Justifica la

respuesta de forma gráfica y analíticab) Hallar a para que sean perpendiculares. Justifica

la respuesta gráfica y analíticamente. c) Hallar a para que formen 45º. d) Hallar (u . u). u

2. Dada la recta r : 3x – y + 5 = 0 y s : ax + 4y -24 = 0

a) Hallar el valor de a para que las rectas sean paralelas.

b) Hallar a para que las rectas sean perpendiculares.

c) Hallar la ecuación de una recta paralela a r que pase por el (0,0)

d) Hallar la ecuación de una recta perpendicular a r que pase por el origen.

e) Hallar el ángulo que forma r con el eje OX+.“Un hombre es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que él es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cuanto más grande es el denominador, más pequeña es la fracción”


3. Halla la ecuación implícita de las siguientes rectas:

a) r …. Que pasa por (0.2) y (1,4)b) s….. Que pasa por (2,0) y forma un ángulo de

135º con el eje OX positivoc) t ….. Que es paralela al eje 0X y pasa por (3,-5)d) u …. Que es paralela al eje OY y pasa por (3,-5)

4. TEORÍA:5.

a) ¿cuáles son dos vectores unitarios en la dirección de u= (3,-4)?

b) ¿cuáles son dos vectores ortonormales a u= (3,-4)?

c) ¿cuáles son, dos vectores ortogonales y de módulo 10, respecto de u= (3,-4)?

d) Dada la recta r: 3x-4y-1=0.Obtén la e. explícita de:

i. Recta paralela pasando por (-1,3)ii. Recta perpendicular pasando por (0,5)iii. Escribe todas las ecuaciones de r

escribe las ecuaciones de las siguientes rectas. Di si son crecientes o decrecientes



Funciones elementales I1.- Pablo salió de su casa a las 8 de la mañana para ir al instituto. En el recreo, tuvo que volver a su casa para ir con su padre al médico. La siguiente gráfica refleja la situación:

a) ¿A qué hora comienzan las clases y a qué hora empieza el recreo?

b) ¿A qué distancia de su casa está el instituto? ¿Qué velocidad lleva cuando va a clase?

c) ¿A qué distancia de su casa está el consultorio médico? ¿Qué velocidad llevan cuando se dirigen allí?

c) ¿Cuánto tiempo ha estado en clase? ¿Y en el consultorio médico?

2.- .Dada la función a través de la siguiente gráfica:

a) Indica cuál es su dominio de definición.b) ¿Es continua? Si no lo es, indica los puntos de discontinuidad.c) ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y cuáles los de decrecimiento de la función? ¿Qué ocurre en el

intervalo (-,-2]?3.-Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones:

a) Dom (f ) = [-5, 6]b) Crece en los intervalos (-5, -3) y (0, 6); decrece en el intervalo (-3, 0).c) Es continua en su dominio.d) Corta al eje X en los puntos (-5, 0), (-1, 0) y (4, 0).e) Tiene un mínimo en (0, -2) y máximos en (-3, 3) y (6, 3).

4.- Construye una gráfica que represente la audiencia de una determinada cadena de televisión durante un día, sabiendo que:

A las 0 horas había, aproximadamente, 0,5 millones de espectadores. Este número se mantuvo prácticamente igual hasta las 6 de la mañana. A las 7 de la mañana alcanzó la cifra de 1,5 millones de espectadores. La audiencia descendió de nuevo hasta que, a las 13 horas, había 1 millón de espectadores. Fue aumentando hasta las 21 horas, momento en el que alcanzó el máximo: 6,5 millones de espectadores. A partir de ese momento, la audiencia fue descendiendo hasta las 0 horas, que vuelve a haber, aproximadamente, 0,5 millones de espectadores.5.- Representa las siguientes funciones lineales. Indica cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de ellas:

a) y = 2x – 3 b) y = - x + 5 c) y = 41

x – 2 d) 4x – 2y = 0

6.- Asocia cada una de las rectas del margen con su expresión analítica. Razona tu respuesta.a) y = 0,5 x b) y = -3x c) y = x + 3

7.- a) Halla la ecuación de la recta que tiene pendiente -3 y que pasa por el punto P(-1,5).b) Halla la ecuación de la recta que tiene ordenada en el origen 2 y que pasa por el punto

P(-2,3).c) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(3,6) y Q(-1,2).d) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,1) y es paralela a la

recta y = -2x – 3.e) Halla la ecuación de la recta de la gráfica:



8.- Tres kilos de peras nos han costado 4,5 €; y, por siete kilos, habríamos pagado 10,5 €. Encuentra la ecuación de la recta que nos da el precio total, y, en función de los kilos que compremos, x. Represéntala gráficamente.

Funciones elementales II1.- Describe las siguientes funciones cuadráticas y haz un boceto de su gráfica: (escribe todas sus características).

a) y = 4x2 + 8x – 5 b) y = x2 + 3x – 4 c) y= 8 – 2x – x2 2.- Haz lo mismo con sus valores absolutos3.- Representa las siguientes funciones:

a) y = 3/x b) y = 4/x – 5 c) y = 4x d) y = 2x

e)

xsixxsi

xsixy

41041213

2

3.- Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) y = 1435

xx

b) y = 63 x d) y = 2x4 – 3x2 +1 e) y = xx 3

322

f) y = 3 2 2xx

g) y = 2

2

651

34

xx

xx

Realiza la composición de a)ₒb); b)ₒa); a)ₒf); f)ₒa).

Halla las inversas de a) y de b);

1. Halla el dominio de las siguientes funciones:

2. Calcula :

y y

la inversa de h



3. Estudia analíticamente la siguiente función.


4º E.S.O. OPCIÓN B. Departamento de Matemáticas.

I.E.S. Príncipe de Asturias. Lorca

DOMINIO, IMAGEN, PUNTOS CORTE

CRECIMENTO,DECRECIMIENTO,MÁXIMOS ,MÍNIMOS,

CONCAVIDAD, CONVEXIDAD,

PUNTOS DE INFLEXIÓN, SIMETRÍAS, ASÍNTOTAS

lím f(x)= lím f(x)=

x X -

4º E.S.O. OPCIÓN B. Departamento de Matemáticas.

I.E.S. Príncipe de Asturias. Lorca

FUNCIONES3

1) Una feria ganadera permanece abierta al público desde las 10 hasta las 20 horas. Se ha comprobado que el número de visitantes diarios queda determinado, como función de la hora del día, a través de la expresión:N(t)= -20 (α-t)2 + β , 10≤t≤20Sabiendo que a las 17 horas se alcanza el número máximo de visitantes, se pide determinar las constantes α y β. Justifica tu respuesta

2) En los estudios epidemiológicos realizados en el Puga, se ha descubierto que el número de alumnos de enseñanza media afectados por el virus de la varicela zoster, viene dado por la función:

f(x) = -3x2 + 72x +243

siendo x el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. Determinar:

a) El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.

b) El número máximo de alumnos afectados.c) El número de días en los que la cantidad de enfermos aumentó.d) Transcurridos 6 días, ¿cuántos alumnos estaban enfermos?e) Aplicando propiedades de parábolas: ¿Para que valor de x se vuelve

a alcanzar dicho nº de enfermos? Razona tu respuesta.f) ¿En que momento, el número de enfermos es igual a 483?

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