1. El complemento en grados deπ30

es: (____)

a) 174° b) 120° c) 45° d) 30° e) 84°

2. El ángulo 38° 13' 12" expresado en el sistema circular (rad) es:(____)

a) 0.667 rad b) 0.223 rad c) 4π3 d)

0.432 rade) 0.651 rad

3. Línea recta que toca en un solo punto exteriormente a una circunferencia: (____)

a) Tangente b) Secante c) Radio d) Cuerda e) Diámetro

4. El ángulo AOC mide 81º, ¿cuánto mide el ángulo ABC? (____)

a) 130°b) 9°c) 40.5°d) 99°e) 55.3°

5. Recta AB tangente y <AOC = 110º; x = ?(____)

a) 160°b) 120°c) 80°d) 60°e) 30°

6. De acuerdo a la circunferencia, los valores de x e y son: (____)

a) x = 116°, y = 118°

b) x = 133°, y = 118°

c) x = 116°, y = 98°

d) x = 133°, y = 101°

e) x = 101°, y = 98°

7. Dado sen A=35, la función cos A es: (____)

a) 53 b)

34 c)

45 d)

43

e) 54

8. Si tan A= 724

, la función cot A es igual a: (____)

a) 7

25 b)

247

c)2425

d) 2524

e) 257

9. Para hallar el valor del ángulo α, de la figura siguiente, debemos aplicar: (____)

a) La definición de función Tangenteb) El Teorema de Pitágoras c) La definición de función Senod) La definición de función Secante.e) La Ley de los Cosenos

10. En la figura siguiente, la medida del lado x puede hallarse aplicando: (____)

a) Teorema de Pitágorasb) Ley de los Cosenosc) Definición de la función Senod) Ley de los Senose) La definición de función Tangente

11. La distancia a la que encuentra el barco del pié de la torre la obtienes aplicando la función: (____)

a) D = sen 27°b) D = cos 27°c) D = tan 27°d) D = sec 27°e) D = cot 27°

12. ¿Cuál de las siguientes alternativas se puede usar para calcular la altura de la antena en la siguiente figura? (____)

a) a = 100 cos 35°b) a = 100 cot 35°c) a = 100 sen35°d) a = 100 tan 35°e) a = 100 sec 35°

13. Los lados y los ángulos faltantes del siguiente triángulo son: (____)

A C

B

c = 72a

b

35°A C

B

c = 72a

b

35°

a) a = 46.34°, b = 67.97° y

B = 65°

b) a = 41.29°, b = 52.34° y

B = 45°

c) a = 38.42°, b = 58.97° y

B = 65°

d) a = 41.29°, b = 58.97° y

B = 65°

e) a = 38.42°, b = 67.40° y

B = 65°

14. Una persona de 2 m de estatura ubicada a 32 m de la base de una torre, que tiene una altura de 34 m, divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de: (____)

a) 25°b) 60c) 30d) 45°e) 35°

15. ¿Cuál es la altura de la antena sobre el tejado de la casa? (____)

a) 6.2 m

b) 3.4 m

c) 2.5 m

d) 4.8 m

e) 5.8 m

16. Dos barcos salen al mismo tiempo del puerto. Toman rumbos que forman entre sí un ángulo de 58º. El primero navega a una velocidad de 35 km/h y el segundo a 42 km/h. ¿Qué distancia les separa al cabo de 3 horas de navegación? (____)

a) 98, 37 km b) 100,51 km c) 108,23 km d) 113,49 km e) 136,48 km

TELEBACHILLERATO ESCALERAS3ER EXAMEN DE MATEMÁTICAS II

Nombre: _______________________________________________ Calif: __________

Instrucciones: * Lee con mucha atención y contesta lo que se te indica.

Coloca en el paréntesis abierto, la letra de la respuesta que creas que sea la correcta. NO SUBRAYES, si está subrayada o encerrada la respuesta, se considerará errónea.

1. El complemento en grados deπ30

es: (____)

a) 174° b) 120° c) 45° d) 30° e) 84°

2. El ángulo 38° 13' 12" expresado en el sistema circular (rad) es:(____)

a) 0.667 rad b) 0.223 rad c) 4π3 d) 0.432 rade) 0.651 rad

3. Línea recta que toca en un solo punto exteriormente a una circunferencia: (____)

a) Tangente b) Secante c) Radio d) Cuerda e) Diámetro

4. El ángulo AOC mide 81º, ¿cuánto mide el ángulo ABC?(____)

a) 130°b) 9°c) 40.5°d) 99°e) 55.3°

5. Recta AB tangente y <AOC = 110º; x = ?(____)

a) 160°b) 120°c) 80°d) 60°e) 30°

6. De acuerdo a la circunferencia, los valores de x e y son: (____)

a) x = 116°, y = 118°

b) x = 133°, y = 118°

c) x = 116°, y = 98°

d) x = 133°, y = 101°

e) x = 133°, y = 101°

7. Dado sen A=35, la función cos A es: (____)

a) 53 b)

34 c)

45 d)

43

e) 54

8. Si tan A= 724

, la función cot A es igual a: (____)

a) 7

25 b)

247

c)2425

d) 2524

e) 257

9. Para hallar el valor del ángulo α, de la figura siguiente, debemos aplicar: (____)

a) La definición de función Tangenteb) El Teorema de Pitágoras c) La definición de función Senod) La definición de función

Secante.e) La Ley de los Cosenos

10. En la figura siguiente, la medida del lado x puede hallarse aplicando: (____)

a) Teorema de Pitágorasb) Ley de los Cosenosc) Definición de la función Senod) Ley de los Senose) La definición de función Tangente

11. La distancia a la que encuentra el barco del pié de la torre la obtienes aplicando la función: (____)

a) D = sen 27°b) D = cos 27°c) D = tan 27°d) D = sec 27°e) D = cot 27°

12. ¿Cuál de las siguientes alternativas se puede usar para calcular la altura de la antena en la siguiente figura? (____)

a) a = 100 cos 35°b) a = 100 cot 35°c) a = 100 sen35°d) a = 100 tan 35°e) a = 100 sec 35°

13. Los lados y los ángulos faltantes del siguiente triángulo son: (____)

A C

B

c = 72a

b

35°A C

B

c = 72a

b

35°

a) a = 46.34°, b = 67.97° y

B = 65°

b) a = 41.29°, b = 52.34° y

B = 45°

c) a = 38.42°, b = 58.97° y

B = 65°

d) a = 41.29°, b = 58.97° y

B = 65°

e) a = 38.42°, b = 67.40° y

B = 65°

14. Una persona de 2 m de estatura ubicada a 32 m de la base de una torre, que tiene una altura de 34 m, divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de: (____)

a) 25°b) 60c) 30d) 45°e) 35°

15. ¿Cuál es la altura de la antena sobre el tejado de la casa? (____)

a) 6.2 m

b) 3.4 m

c) 2.5 m

d) 4.8 m

e) 5.6 m

16. Dos barcos salen al mismo tiempo del puerto. Toman rumbos que forman entre sí un ángulo de 58º. El primero navega a una velocidad de 35 km/h y el segundo a 42 km/h. ¿Qué distancia les separa al cabo de 3 horas de navegación? (____)

a) 98, 37 km b) 100,51 km c) 108,23 km d) 113,49 km e) 136,48 km

a) b) c) d) e)

2. En el triángulo de la figura siguiente, el valor de h es: (____)

1. Desde la torre de un fuerte costero, cuya altura es de 580m sobre el nivel del mar , se divisa un barco con un ángulo de depresión de 24º . ¿A qué distancia del punto D de la base de la torre está el barco?.

a)

8.66

b)

13

c)

1.73

d)

7.07

El área de un triángulo equilátero de lado ay ángulo es: (____)

a) a2cos A b) a2 cos A

2 c)a2 sen A

d) a2 sen A

2

a) b) c) d) e)

Si <CAO = 20º; <AOB = 100º;  x = ?(____)

a) 170°

b) 20°

c) 40°

d) 65°

e) 70°

D

24º580

m

71. triángulo ABC de la figura, se conoce que:

a = 12 cm, = 120˚, = 30˚

Entonces c es igual a:

A. 6√2cm

B. 4√3cm

C. 12√3cm

D. 12√2cm

E. 4 cm

Si en el triángulo ABC se tiene a = b = 10 y cos  =

78 entonces c es igual

a:

A. 1

B. 4

C. 5

D. 15

E. 25

Dada la siguiente figura y medidas, ¿su altura en cm será?

11.55 cm h

5cm 30cma) 12.2 cmb) 11.2 cmc) 13.2 cmd) 10.2 cm

Considerando un triángulo rectángulo donde el cateto opuesto es a, el cateto adyacente b y la hipotenusa c. La función seno corresponde a:

a) c/a Ab) a/c

c) c/b b cd) b/c

C a B

5. En un triángulo rectángulo donde el cateto opuesto es a, el cateto adyacente b y la hipotenusa c. La función coseno corresponde a:

a) c/ab) a/cc) c/bd) b/c

6. En un triángulo rectángulo donde el cateto opuesto es a, el cateto adyacente b y la hipotenusa c. La función cosecante corresponde a:

a) c/ab) a/cc) c/bd) b/c

Dada la siguiente figura encontrar el valor del cateto opuesto.a) 4.3 B b) 5.8c) 6.1 a c=1d) 7.9

C b A=38º13. Dada la siguiente figura encontrar el valor del cateto adyacente. B

a c=10

a) 4.3b) 5.8 C b A=38ºc) 6.1d) 7.9

14. Dada la siguiente figura encontrar el valor de a. B

a c=2

C B=1 A a) 10.2b) 15.8

c) 17.3d) 19.2

. Federica es propietaria de un terreno de forma triangular del cual conoce dos de sus lados, a=20m. Y b=16m. y el triángulo comprendido entre ellos mide ∠C=82º ¿Cuánto mide el lado C?

a) 26.27mb) 25.44mc) 23.81md) 24.31m

En base a los datos del problema anterior contesta lo que se te pide:56. ¿Cuánto mide el ángulo A?

a) 53º 52’b) 56º 16’c) 65º 02’d) 75º 02’

Resuelva el triángulo que se muestra en la siguiente figura, donde y

a) b) c) d) e)

a) La definición de función Tangenteb) La Ley de los Cosenosc) La definición de función Senod) La definición de función Secante.

Ejercicio 2. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un ángulo de 85º. Después de 1 hora, uno de ellos se encuentra a 225 Km. de la ciudad, mientras que el otro está a 300 km. de esta. ¿Cuál es la distancia entre ambos aviones?

a) 358.96 km b) c) d) e

Solución:

a

225 km. 300 km.85º

a2=b2+c2−2bccos (angulo opuesto al lado a )a2=2252+3002−2(225 )(300)cos85 ºa2=50 ,625+90 ,000−(135 ,000 )cos85 ºa2=140 ,625−11 ,766a2=128 ,859a=√128 ,859a=358 . 96 km .

Dospersonasdistantes entresí840m,ven simultáneamenteun aviónconángulosde elevaciónrespectivosde 60º y 47º, ¿a qué alturavuela el avión?

1. Desde una cierta distancia, el ángulo que forma la horizontal con el punto más alto de un árbol es de 60º. Si nos alejamos 10 metros el ángulo anterior es de 30º ¿Cuál es la altura del árbol?

[sol] 5√3=8 ,66 m

1. Calcula el área del triángulo ABC representado en la figura siguiente:[sol] 106,88 cm2.

Desde un punto situado a 100 metros de la base de una torre se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 45.

Entonces la altura de la torre es de:

A. 50 m

B. 50√2m

C. 50√3 m

D. 100 m

E. 150 m

Convertir 2

3 π rad a grados sexagesimales .

2.- Reducir

7 12

rad . a grados sexagesimales .

3.- Transformar 50° a radianes

50° = 50°. π 180º

rad = 50º . 3,14159 rad 180 º

= 157, 0795 180 º

rad = 0, 87266 ≈ 0, 873 rad

4.- Expresar en radianes la expresión: 42° 24’35”

a) En primer lugar transformamos la expresión dada al sistema centesimal:

42 º + 24º 60

+ 35º 3600

= 151 200º + 1 440º + 35º 3600

= 152 675º 3600

= 42, 409º ≈ 42, 41º

b) Por último se transforma del sistema decimal al sistema radial:

120º 3

360º

3

180º . 2 180º .

3

2 rad

3

2

105º 12

260º 1

12

180º . 7 180º .

12

7 rad.

12

7

42,41° . π 180º

= 42, 41º . 3, 14159 180 º

rad = 133, 2348319 180 º

rad = 0, 74019351 ≈ 0, 7402 rad

42° 24’35”¿ 0,7402 rad

5.-Convertir a grados sexagesimales la expresión

2 5

rad .

2 5

. 180º π

= 2 . 180º 5 . 3, 14159

= 360º 15,70795

= 22, 9183116º ≈ 22, 92º

0,92º 0,20’

60’ 60”

2 5

rad = 22° 55’12”

55,20’55’ 12,00”12”

Obtener el ángulo y los lados faltantes del siguiente triangulo rectángulo.

x

30 60º

ySolución:Calculo de → + 60º + 90º = 180 º = 180º - 60º - 90º = 30º

Para calcular x usamos la identidad cos 30º.

Para calcular y usamos el Teorema de Pitágoras.

(34 . 64 )2=(30 )2+ y2

√1200−900= y√300= y17. 32= y

En el siguiente triangulo calcular las medidas de los lados y ángulos faltantes.

Solución:

bCalculo de → + 76º + 42º = 180 º15 cm = 180º - 76º - 42º

= 62º 76º 42ºc

Calculo de b (aplicamos ley de los senos) Calculo de c (aplicamos ley de los senos)

cos30 º=cateto adyacentehipotenusa

cos30 º=30x

x cos30 º=30

x=30cos 30º

x=34 . 64

15sen 42 º

=csen 62º

15( sen 62 º )=c (sen 42º )15( sen 62 º )sen 42 º

=c

19 .79=c

15sen 42 º

=bsen 76 º

15( sen 76 º )=b( sen 42º )15( sen 76 º )sen 42 º

=b

21 .75=b

Ejercicio 1. En el siguiente triangulo calcular las medidas de los lados y ángulos restantes.

76º a 8cm

12cm

Solución: Utilizamos ley de los senos

Calculo de

Calculo de → + 76º + 40.3º = 180 º = 180º - 76º - 40.3º

= 63.7

Calculo de a

12sen 76 º

=8sen θ

12( sen θ )=8( sen 76 º )

sen θ=8(sen 76 º )12

θ=sen−1(8(sen 76 º )12 )

θ=sen−1 (0 . 646 )θ=40 . 3º

12sen 76 º

=asen 63 . 7

12( sen 63 .7 º )=a (sen 76 º )12( sen 63 .7 º )sen 76 º

=a

11=a

En el siguiente triangulo calcular las medidas de los lados y ángulos restantes.

Solución: Utilizamos ley de los cósenos. Calculo de aa b =15 cm

70º

c =18 cm

Calculo de , utilizamos ley de los senos. Calculo de

15senθ

=19. 08sen70 º

15 sen70 º=19. 08 senθ15 sen70 º19 . 08

=senθ

sen−1 (15 sen70 º19 .08 )=θ

47 . 62 º=θ

α+θ+70=180ºα+47 . 93+70=180 ºα=180 º−47 . 93 º−70 ºα=62 . 07

Ejercicio 1. En el siguiente triangulo calcular las medidas de los lados y ángulos restantes.

b = 45 a = 50 cm

c = 32 cm

Solución: utilizando ley de los cósenos.

a2=b2+c2−2bccos (angulo entre b y c )a2=152+182−2(15 )(18 )cos70 ºa2=225+324−184 .6a2=364 . 4a=19 .08

Calculo de Calculode , utilizamos ley de los senos.

a2=b2+c2−2bccos (angulo opuesto al lado a )502=452+322−2(45 )(32)cosθ2500=2025+1024−2880 cosθ2500−2025−1024=−2880 cosθ−549=−2880 cosθ−549−2880

=cosθ

0 . 19=cosθcos−1 0 .19=θ79 º=θ

32senα

=50senθ

32senα

=50sen79 º

32( sen79º )=senα (50)32( sen79º )50

=senα

sen−1 (32(sen 79º )50 )=α

38 . 92º=α

Calculo de

+ + = 180º + 38.92 + 79 = 180º = 180º - 38.92º - 79º = 62.08º