Regra Derivadas
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Ensino Superior
Clculo 1
2.1- Regras de Derivao
Amintas Paiva Afonso
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1. REGRAS DE DERIVAO
Considere u e v funes derivveis de x, com k IR e n IR.
As principais regras de derivao e derivadas das principais funes elementares segundo a Regra da Cadeia so:
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Regras de derivao
R1 - Derivada de uma funo constante
Se k uma constante e f(x) = k para todo x, ento f(x) = 0.
Exemplo
Seja f(x) = 5 f(x) = 0.
Se aplicarmos a definio:
xxfxxfxf
x
)()(lim)(' 1101
00lim55lim)('001
xx x
xf
Clculo 1 - Derivadas
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Clculo 1 - Derivadas
R2 - Derivada de uma funo potnciaSe n um nmero inteiro positivo e f(x) = xn, ento:f(x) = n. xn-1
Exemplo: Seja f(x) = x5 f(x) = 5x4.
R3 - Derivada de uma funo multiplicada por kSejam f uma funo, k uma constante e g a funo definida por g(x) = k.f(x), ento:
g(x) = k.f(x). Exemplo: f(x) = 8x2 f(x) = 8.(2x) = 16x
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Clculo 1 - Derivadas
R4 - Derivada da Soma Sejam f e g duas funes e h a funo definida por
h(x) = f(x) + g(x). A derivada da soma : h(x) = f(x) + g(x).
Exemplo: f(x) = 3x4 + 8x + 5 f(x) = 3.(4x3) + 8.1 + 0 = f(x) = 12x3 + 8
R5 - Derivada do Produto Sejam f e g duas funes e h a funo definida por
h(x) = f(x) . g(x). A derivada do produto :h(x) = f (x) . g(x) + f(x).g(x) y = u.v + u.v
Exemplo f(x) = (2x3 - 1)(x4 + x2) f(x) = (2x3 - 1).(4x3 + 2x) + (x4 + x2).6x2
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Clculo 1 - Derivadas
R6 - Derivada do quociente Sejam f e g duas funes e h a funo definida por
h(x) = f(x) / g(x). A derivada do quociente :
Exemplo:
2)]([)(').()(').()('
xgxgxfxfxgxh
3532)( 2
4
xxxxf 22
432
)35()52)(32()04.2).(35()('
xxxxxxxxf
22
432
)35()52)(32()8).(35()('
xxxxxxxxf
2'.'.'
vvuuvy
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Exerccios de Fixao
R1 - Derivada de uma funo constante
Se c uma constante e f(x) = c para todo x, ento f(x) = 0.
a)
b)
c)
8y 3y
5y
a)
b)
c)
cosy)3( seny
ey R2 - Derivada de uma funo potncia
Se n um nmero inteiro positivo e f(x) = xn, ento f(x) = n. xn-1.
a)
b)
c)
8xy 3
xy2/1xy
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Clculo 1 - Derivadas
R3 - Derivada de uma funo multiplicada por uma constante
Sejam f uma funo, k uma constante e g a funo definida por g(x) = k.f(x) g(x) = k.f(x).
a)
b)
c)
82xy 36 xy2/14xy
d)
e)
f)
35 xy3/238 xy
baexy /
g)
h)
i)
3/5 xy3/2/1 xy
baxey //
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Clculo 1 - Derivadas
R4 - Derivada da Soma e da DiferenaSejam f e g duas funes e h a funo definida por h(x) = f(x) + g(x).A derivada da soma : h(x) = f (x) + g(x)
A derivada da diferena : h(x) = f (x) - g(x)
xxy 82
xxy 26 3
234 2/1 xxy
45 3 xy3/13/238 xxy
23 3/5 xxy
xxy 2/1 3/2
23
2
3 xxy xba
xba
xy
25
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Clculo 1 - Derivadas
R5 - Derivada do Produto Sejam f e g duas funes e h a funo definida por h(x) = f(x).g(x). A
derivada do produto h(x) = f(x) . g(x) + f (x) . g(x).
a)
b)
c)
xxy 82xxy 2.6 3xxy 3.4 2/1
d)
e)
f)
xxy 4.5 33/13/23 .8 xxy
g)
h)
i)
23 3./5 xxyxxy 2./1 3/2
1613
xx
xy 2312 xxxy
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Clculo 1 - Derivadas
R6 - Derivada do quociente Sejam f e g duas funes e h a funo definida por h(x) = f(x)/g(x)
A derivada do quociente :
2)]([)(').()(').()('
xgxgxfxfxgxh
a)
b)
c)
)1/()2( 8 xxxy 32/6 3 xxy
d)
e)
f)
)23/(5 3 xxy3/13/23 /8 xxy
g)
h)
i)
xxxy 2/)2( 3/2
23/12 xxxy 2
3
31
x
xy 22
42xb
xy
xaxay
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Clculo 1 - Derivadas
R7 - Seja f(x) = sen x, a derivada do seno f(x) = cos x.
R8 - Seja f(x) = cos x, a derivada do cosseno f(x) = - sen x.
R9 - Seja f(x) = cotg x, a derivada da cotangente f(x) = - cosec2 x.
R10 - f(x) = sec x, a derivada da secante f(x) = sec x . tg x.
R11 - f(x) = cosec x, a derivada da cosec f(x) = -cosec x . cotg x.
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Clculo 1 - Derivadas
Exemplo Calcule a derivada de h(x) = (2x + 1)10.
A funo h(x) composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1.Pela regra da cadeia, temosh(x) = f(g(x)) . g(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9
R12 - Regra da Cadeia Se f e g so funes diferenciveis, ento a derivada da
funo composta f(g(x)) dada por: [f(g(x))] = f(g(x)) . g(x)
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Clculo 1 - Derivadas
R12) Regra da Cadeia Se f e g so funes diferenciveis, ento a derivada da funo
composta f(g(x)) dada por: [f(g(x)] = f(g(x)) . g(x)
a)
b)
c)
8)32( xy
d)
e)
f)
522 axy 331 xy
3
xaxay
xxy
11
22 32 xy
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Clculo 1 - Derivadas
R13 - Derivada da funo logartmica natural
Seja f(x) = lnx, sua derivada ; f(x) = 1/x.
Exemplo:
xxxx
xxxf
entoxxxf
22
2
316)16.(
31)('
),3ln()(
10ln.1)('
,log)( 10
xxf
entoxxf
R14 - Derivada da funo logartmica de base a Seja f(x) = loga(x), sua derivada ; f(x) = 1/x . lna
Exemplo:
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Clculo 1 - Derivadas
R15 - Derivada da funo exponencial de base e
Seja f(x) = ex, sua derivada a prpria f(x) = ex.
R16 - Derivada da funo exponencial de base a
Seja f(x) = ax, sua derivada : f(x) = ax . lna
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(u + v) = +
+
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAO DE LAGRANGE
= 0 dk = 0 (k)= 0
d(ku) = 0 (ku)= 0
d(u+v) = du+dv (u+v)= u+ v
d(u.v) = vdu + udv (uv)= uv+vu
d(u/v) = (vdu udv)/v2 (u/v)= (uv vu)/v2
d(un) = n.un-1.du (un)= n.un-1.u
d(eu) = eu.du (eu)= eu.u
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DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAO DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du (au) = au.lna.u
d(senu) = cosu.du (senu) = cosu.u
d(cosu) = - senu.du (cosu) = -senu.u
d(lnu) = (1/u).du (lnu)= (1/u).u
d(arctgu) = du/(1+u2)
(arctgu) = u/(1+u2)
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