Programación no lineal

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Programacin no lineal

Ctedra deInvestigacin OperativaProgramacin No LinealUniversidad Tecnolgica NacionalFacultad Regional tucumn

Programacin linealProgramacin no lineal1. La solucin ptima se encuentra en un punto extremo de la regin de factibilidad. 2. El punto ptimo nunca esta dentro de la regin de factibilidad.

3. Sus mtodos de optimizacin generan ptimos absolutos globales. 4. La regin de factibilidad es un conjunto convexo.

5. Sus funciones objetivo y restricciones son lineales.1. No siempre la solucin ptima se encuentra en un punto extremo de la regin de factibilidad. 2. Hay casos donde el punto ptimo Es la en el interior de la regin factible.3. Generalmente se encuentra un ptimo local relativo, mas no el ptimo global absoluto. 4. Se pueden generar regiones de factibilidad que no son necesariamente convexas. 5. La funcin objetivo, las restricciones ambas pueden ser no lineales.CaractersticasEjemplo

Un joven ingeniero de una compaa ha sintetizado un nuevo fertilizante hecho a partir de dos materias primas. Al combinar cantidades de las materias primas bsicas X1 y X2, la cantidad de fertilizante que se obtiene viene dada por Q=4X1+2X2 0.5X12 0.25X22Se requieren 480 euros por unidad de materia prima 1 y 300 euros por cada unidad de materia prima 2 que se empleen en la fabricacin del fertilizante. Si la compaa dispone de 24000 euros para la produccin de materias primas, plantear el problema para determinar la cantidad de materia prima de forma que se maximice la cantidad de fertilizante. Las variables de decisin son:X1 : cantidad de materia prima 1X2 : cantidad de materia prima 2

El objetivo es maximizar la cantidad de fertilizante, Q(X1 ,X2)= 4X1+2X2 0.5X12 0.25X22

Las restricciones del problema son:El coste no debe exceder el presupuesto asignado:480X1 + 300 X2 24000No negatividad de las variables: X1 ,X2 0Por lo tanto:

Max Q(X1 ,X2)= 4X1+2X2 0.5X12 0.25X22

s.a. 480X1 + 300 X2 24000X1 ,X2 0

Los tipos de problemas de programacin no lineal son:

Optimizacin no restringida. Optimizacin linealmente restringida. Programacin cuadrtica Programacin convexa. Programacin separable. Programacin no convexa. Programacin geomtrica. Programacin fraccional. Problema de complementariedad.

PROGRAMACIN CUADRTICALa programacin cuadrtica (QP) es el nombre que se le da a un procedimiento que minimiza una funcin cuadrtica de n variables sujeta a m restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Un programa cuadrtico es la forma ms simple de problema no lineal con restricciones de desigualdad. La importancia de la programacin cuadrtica es debida a que un gran nmero de problemas aparecen de forma natural como cuadrticos (optimizacin por mnimos cuadrados, con restricciones lineales), pero adems es importante porque aparece como un subproblema frecuentemente para resolver problemas no lineales ms complicados. Las tcnicas propuestas para solucionar los problemas cuadrticos tienen mucha similitud con la programacin lineal. Especficamente cada desigualdad debe ser satisfecha como igualdad. El problema se reduce entonces a una bsqueda de vrtices exactamente igual que se haca en programacin lineal. En notacin compacta el programa cuadrtico es el siguiente:

donde c es un vector de coeficientes constantes; A es una matriz (m x n) y se asume, en general que Q es una matriz simtrica. Dado que las restricciones son lineales y presumiblemente independientes, la cualificacin de las restricciones se satisface siempre, as pues, las condiciones de Karush-KuhnTucker son tambin condiciones suficientes para obtener un extremo, que ser a dems un mnimo global si Q es definida positiva. Si Q no es definida positiva el problema podra no estar acotado o llevar a mnimos locales.