Dualidad en Programación Lineal. Asociado a cada problema de programación matemática (lineal o no...

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Diagonalizacin de matrices

Dualidad en Programacin Lineal

1Dualidad en Programacin LinealAsociado a cada problema de programacin matemtica (lineal o no lineal), existe otro problema denominado problema dual, que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al problema original.

Definicin:Dado un problema que llamaremos primal:

Llamaremos problema dual asociado:

2Dualidad en Programacin LinealSe verifican, entre otras, las siguientes propiedades entre ellos:

3Dualidad en Programacin LinealEn el caso lineal:

El problema dual resulta:

Y en general, se pueden demostrar las siguientes relaciones:

4Dualidad en Programacin Linealdonde en el lado de la izquierda aparecen el signo de la restricciones primales y la no negatividad de las variables (leyendo por columnas) y en el lado de la derecha aparecen la no negatividad de las variables duales y el signo de sus restricciones.

5Dualidad en Programacin LinealEjemploDado el siguiente problema:Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z 2 x + 2y + 3z = 10 y 0Su problema dual resulta:Minimizar 21 +102 Sujeta a: 31 + 2 = 3 41 + 22 6 1 + 32 = 2 1 0

6Dualidad en Programacin LinealEjemploDado el siguiente problema:Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z 2 x + 2y + 3z = 10 y 0Su problema dual resulta:Minimizar 21 +102 Sujeta a: 31 + 2 = 3 41 + 22 6 1 + 32 = 2 1 0

7Dualidad en Programacin LinealEjemploDado el siguiente problema:Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z 2 x + 2y + 3z = 10 y 0Su problema dual resulta:Minimizar 21 +102 Sujeta a: 31 + 2 = 3 41 + 22 6 1 + 32 = 2 1 0

8Dualidad en Programacin LinealEjemploDado el siguiente problema:Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z 2 x + 2y + 3z = 10 y 0Su problema dual resulta:Minimizar 21 +102 Sujeta a: 31 + 2 = 3 41 + 22 6 1 + 32 = 2 1 0

9Dualidad en Programacin LinealEjemploDado el siguiente problema:Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z 2 x + 2y + 3z = 10 y 0Su problema dual resulta:Minimizar 21 +102 Sujeta a: 31 + 2 = 3 41 + 22 6 1 + 32 = 2 1 0

10Dualidad en Programacin LinealEjemploDado el siguiente problema:Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z 2 x + 2y + 3z = 10 y 0Su problema dual resulta:Minimizar 21 +102 Sujeta a: 31 + 2 = 3 41 + 22 6 1 + 32 = 2 1 0

11Dualidad en Programacin LinealEjemploDado el siguiente problema:Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z 2 x + 2y + 3z = 10 y 0Su problema dual resulta:Minimizar 21 +102 Sujeta a: 31 + 2 = 3 41 + 22 6 1 + 32 = 2 1 0 2 cualquiera

12Dualidad en Programacin LinealEjemploDado el siguiente problema:Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z 2 x + 2y + 3z = 10 y 0Su problema dual resulta:Minimizar 21 +102 Sujeta a: 31 + 2 = 3 41 + 22 6 1 + 32 = 2 1 0

13Dualidad en Programacin LinealEjemploDado el siguiente problema:Maximizar 3x + 6y + 2zSujeta a: 3x + 4y + z 2 x + 2y + 3z = 10 y 0 (x,z cualquiera)Su problema dual resulta:Minimizar 21 +102 Sujeta a: 31 + 2 = 3 41 + 22 6 1 + 32 = 2 1 0

14Dualidad en Programacin LinealEjercicio:Obtener el dual del:Maximizar 3 x + 2 y Sujeta a: x 4 y = 4 3 x 2 y 1 5 x - 8 y -7 x 0 (y cualquiera)Solucin:Minimizar 4 1 + 1 2 7 3Sujeta a: 1 +3 2 + 5 3 3 - 4 1 - 2 2 - 8 3 = 2 2, 3 0 (1 cualquiera)

15Dualidad en Programacin LinealPropiedades de la dualidad:Sean ambos problemas:

Se verifican las siguientes propiedades:

1) F(x) H()

2) Si el interior de X es no vaco y x* es solucin del primal, entonces existe *, solucin del dual con: F(x*) = H(*)

16Dualidad en Programacin Lineal3) Si uno de los problemas tiene solucin ilimitada, el otro posee un conjunto de oportunidades vaco (carece de puntos admisibles).

4) El problema primal tiene solucin finita si y solo si los conjuntos de oportunidades de ambos problemas son no vacos.

5) Teorema fundamental de dualidad.Sea el problema primal en forma estndar y sea x* su solucin. Si el interior de X es no vaco y * es la solucin del dual, entonces:

17Dualidad en Programacin LinealEjemploTABLA 1C1=5C2=4C3=0C4=0BaseCbP1P2P3P4Sol.P30331010P401260124-5-400Z0=0TABLA 3C1=5C2=4C3=0C4=0BaseCbP1P2P3P4Sol.P1510-1/31/62/3P24012/3-1/68/30011/6Z0=1418Dualidad en Programacin LinealEjemploTABLA 1C1=5C2=4C3=0C4=0BaseCbP1P2P3P4Sol.P30331010P401260124-5-400Z0=0TABLA 3C1=5C2=4C3=0C4=0BaseCbP1P2P3P4Sol.P1510-1/31/62/3P24012/3-1/68/30011/6Z0=1419Luego el teorema fundamental nos dice que la solucin del problema dual del dado ser el producto: Dualidad en Programacin LinealTABLA 3C1=5C2=4C3=0C4=0BaseCbP1P2P3P4Sol.P1510-1/31/62/3P24012/3-1/68/30011/6Z0=14

20Dualidad en Programacin Linealque no es ms que los Zj asociados a la base cannica inicial:

TABLA 3C1=5C2=4C3=0C4=0BaseCbP1P2P3P4Sol.P1510-1/31/62/3P24012/3-1/68/30011/6Z0=14(Ntese que ni hemos obtenido el dual del dado)21Dualidad en Programacin LinealEjemplo

Primal: Dual: Maximizar 4x1+3x2-3x4 Minimizar 121+102+83Sujeta a: 3x1+4x2+x3 =12 Sujeta a: 31+32+4 3 4 3x1+3x2 +x4 =10 41+32+23 3 4x1+2x2 +x5=8 1 0 x1,x2,x3,x4,x50 2 -3 30

Solucin del primal: (x1,x2,x3,x4,x5) = (4/5 , 12/5 , 0 , 2/5 , 0) con:Z1-C1=0 , Z2-C2=0 , Z3-C3=11/5 , Z4-C4=0 , Z5-C5=8/5

22Dualidad en Programacin LinealBase cannica inicial: {P3 , P4 , P5}

Luego la solucin del problema dual es {Z3 , Z4 , Z5}:

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