PROGRAMACIN LINEAL

(22/04/2015)

MTODO GRFICO

EJERCICIOS

2X + 3Y 7

2X + 3Y = 7

4X -8Y < 12

4X + 8Y = 12

X Y

0 7/3

7/2 0

X Y

0 12/8

12/4 0

P (0,0)

2(0) + 3(0) 7 0 7 FALSO

P (0,0)

4(0) 8 (0) < 12 0 < 12 VERD.

2X Y > 0

2X = Y

4X2 + 4Y2 36

X +5Y < 7

1. 4X2 + 4Y2 = 36

X2 + Y2 = 9

2. X + 5Y = 7

4X2 + 3Y2 < 12

X Y

0 0

1 2

X Y

0 0

1 2

X Y

0 7/5

7 0

P (2,0)

2(2) (0) > 0 4 > 0 VERD.

P (0,0)

4(0)2 + 4 (0)2 36 0 36 FALSO

P (0,0)

0 + 5 (0) < 7

0 < 7 VERDAD.

2X +3 > Y

1.- 4X2 + 3Y2 = 12

X2 Y2

3 4

3 4

2.- 2X - Y = - 3

3X2 + Y > 6

2X2 Y2 < 4

1.- 3X2 + Y = 6

Y= 6 3X2

X Y

-3 -21

-2 -6

-1 3

0 6

1 3

2 -6

3 -21

X Y

0 7/5

7 0

P (0,0)

4(0)2 + 3 (0)2 < 12

0 < 12 VERDAD.

P (0,0) 2 (0) - (0) > -3

0 > - 3 VERDAD.

1

P (0,0)

0 > 6 FALSO

P (0,0)

0 + 5 (0) < 7

0 < 7 VERDAD.

2.- 2X2 Y2 = 4

X2 = 4 + Y2

2

X2 4 + Y2

2

X Y

2,6 -3

2 -2

1,6 -1

1,4 0

1,6 1

2 2

2,6 3

(28/04/2015)

Una compaa de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorias

de pequeas empresas tienen inters de saber cuntas auditorias y

liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos, se

dispone de 600 horas de trabajo directo y 200 horas para revisin, una

auditoria requiere 30H de trabajo directo y 8H de revisin adems aportan un

ingreso de $250, una liquidacin de impuestos requiere de 6 horas de trabajo

directo y 4 horas de revisin produce un ingreso de $90. El mximo de

liquidaciones posibles es de $50.

P (0,0)

0 < 4 VERDAD.

LIQ. X

AUD. Y

F.O (MAX)

T.D REV. ING.

Liquidaciones 6 4 $ 90

Auditorias 30 8 $ 250

Disponibilidad 600 220

F.O Max.

S.A.

Z = 90X + 250 Y

Z = 50 (25) + 250 (15)

Z = 6000

6X + 30Y 600

4X + 8Y 220

X 50

X, Y 0

1.- 6X + 30Y = 600

2.- 4X + 8Y = 22

X Y

0 20

100 0

X Y

0 27,5

55 0

MAX. $50

P (0,0)

0 600 VERDAD.

P (0,0)

0 7 VERDAD.

3.- X = 50

ARCO CONVEXO

4X + 8Y = 220

6X + 30Y = 600

24X + 48Y = 1320

-24X 120Y= -2400

+72Y = +1080

Y = 15

4X + 8(15) = 220

X = 280 -120

4

X = 25

(29/04/2015)

Un frutero necesita 16 cajas de naranja, 5 de pltano y 20 de manzanas.

Dos mayoristas pueden suministrar para satisfacer sus necesidades pero solo

venden la fruta en contenedores completos, el mayorista A enva en cada

contenedor 8 cajas de naranja, 1 de pltano y 2 de manzana, el mayorista B enva

en cada contenedor, 2 cajas de naranja, 1 de pltano y 7 de manzanas. Si se sabe

que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 30 km

determine cuantos contenedores abra que comprar a cada mayorista con el objeto

de ahorrar tiempo y dinero y minimizar la distancia.

PUNTO X Y Z

A 0 0 0

B 0 20 5000

C 25 15 600

D 50 0 4500

SOLUCIN PTIMA

Z = 6000

VALOR PTIMA

X = 25

Y = 15

RESTRCCIONES ACTIVAS = 1,2

RESTRICCIONES INACTIVAS = 3

NARANJA PLTANO MANZANA DISTANCIA

May. A 8 1 2 150 Km

May. B 2 1 7 300 Km

DISPONIB. 16 5 20

F.O Min.

Z = 150A + 300 B

S.A

8A + 2B 16

A + B 5

2A+ 7B 20

A, B 0

1.- 8A + 2B = 16

2.- A + B = 5

3.- 2A+ 7B = 20

ARCO CONVEXO

X Y

0 8

2 0

X Y

0 5

5 0

X Y

0 2.9

10 0

PUNTO B

A+ B = 5

2A+ 7B = 20

-2A 2B = -10

2A+ 7B = 20

5B = 10

B = 2

A= 5- B

A= 5-2

A=3

PUNTO C

A+ B = 5

8A+ 2B = 16

-8A 8B = -40

8A+ 2B = 16

+6B = +24

B = 4

A= 5- B

A= 5-4

A=1

(05/05/2015)

MAXIMIZAR

Z= 5

2 X1 + X2

S.A=

3X1 + 5X2 15

5X1 + 2X2 10

PUNTO X Y Z

A 10 0 1500

B 3 2 1050

C 1 4 1350

D 0 8 2400

SOLUCIN PTIMA

Z = 1020

VALOR PTIMA

A = 3

B = 2

RESTRCCIONES ACTIVAS = 3

RESTRICCIONES INACTIVAS = 2

XJ 0

1.- 3X1 + 5X2 = 15

2.- 5X1 + 2X2 = 10

Este problema tiene mltiples soluciones.

ARCO CONVEXO

3X1 + 5X2 = 15

15X1 - 25X2 = -75

15X1 + 6X2 = 30

X Y

0 5

3 0

X Y

0 5

2 0

PUNTO X Y Z

A 0 0 0

B 0 3 3

C 20/19 45/19 5

D 2 0 5

P (0,0) 0 15 VERDAD.

P (0,0) 0 10 VERDAD.

19X2= + 45

X = 45 / 19

5X1 + 2X2 = 10

3X1 + 5(45/19)= 15

3X1 = 15 -225/19

X1 = 20/19

MAXIMIZAR

Z= 2X+ 3Y

S.A=

X 2

Y 4

2X + Y 5

X + Y 0

X = 2

Y = 4

ARCO CONVEXO

X Y

0 5

5/2 0

PUNTO X Y Z

A 2 4 16

C 0 5 15

MAXIMIZAR

Z= 2X+ 3Y

S.A= X 2

Y 3

2X + Y 18

X + Y 0

X = 2

Y = 3

EL PROBLEMA NO TIENE SOLUCIN

Una compaa produce automviles y camiones, cada vehculo tiene que pasar

por un taller de pintura y por un taller de montaje de carroceras.

Si el taller de pintura, pinta solo camiones se podran pintar 40 camiones al da y si

pinta solamente automviles se podra pintar 60 automviles. Si el taller de

carroceras ensamblara solo camiones podra ensamblar 50 camiones al da y si

ensamblara solo automviles podra ensamblar 50 automviles al da. Cada camin

aporta $300 a la utilidad y cada automvil $200.

MAXIMICE LA UTILIDAD

X AUTOS

Y CAMIONES

ENSAMBLAJE

P1 (0,50)

X Y

0 18

9 0

P2 (50,0)

m Y2 Y1

X2 X1 m 0 50

50 0

m = 1

PINTURA

m Y2 Y1

X2 X1

m 0 40

60 0

m = - 2/3

MAXIMIZA

Z= 200X + 300Y

S.A

2X + 3Y 120

X + Y 50

X + Y 0

ARCO CONVEXO

X Y

0 40

60 0

X Y

0 50

50 0

RECTA

X - Y1 = m (X X1) Y 50 = -1 (x)

X + y = 50

RECTA

X - Y1 = m (X X1) Y 40 = -2/3(x) 3Y 120 = -2X 2X + 3Y = 120

2X + 3Y = 120

-2X - 2Y = - 100

Y = 20

2X + 60 = 120

2X = 120 60

X = 30

R.A = 1, 2

R.I = NO HAY

ESTE PROBLEMA MLTIPLES SOLUCIONES

(12/05/2015)

Una joyera elabora dos modelos de joyas 1.- 5-5-10, 2.- 5-10-5 los nmeros que

se indican representan en porcentaje oro, plata y cobre, la joyera dispone de

40 kg de oro, 180 kg de plata y 200 kg de cobre, por cada tipo 5-5-10 se

obtiene una utilidad de $ 18.5 y por el otro tipo se obtiene una utilidad de $

20, verifique si existe holgura o excedente, maximice la utilidad, establezca

restricciones activas o inactivas.

Max.

Z = 18,5 X + 20 Y

0,05X + 0,05Y 110

0,05X + 0,10Y 180

0,10X + 0,05Y 200

X,Y 0

1.- 0,05X + 0,05Y = 110

X Y

PUNTO X Y Z

A 0 0 0

B 0 40 12000

C 30 20 12000

D 50 0 10000

P (0,0)

0 110 VERDAD.

0 2200

2200 0

2.- 0,05X + 0,10Y = 180

X Y

0 1800

3600 0

3.- 0,10X + 0,05Y= 200

X Y

0 4000

2000 0

P (0,0)

0 180 VERDAD.

P (0,0)

0 200 VERDAD.

1.)

0,05X + 0,05Y = 110

- 0,05X - 0,10Y = -180

0,05 = 70

0,05X + 0,05(1400) = 110

0,05X + 70 = 110

0,05X= 110 70

X= 800

2.)

0,05X + 0,05Y = 110

-0,10X - 0,05Y = - 200

0,05X = 90

X = 1800

0,05(1800) + 0,05Y = 110

50 + 0,05Y = 110

0,05Y= 20

Y= 400

SOLUCIN PTIMA

Z= 42800

VALORES PTIMOS

X= 800

Y=1400

CLCULO DE LA HOLGURA PARA EL ORO

0,05X + 0,05Y + H1 110

H1 0

CLCULO DE LA HOLGURA PARA LA PLATA

0,05X + 0,10Y + H2 180

H2 0

SI X= 800 Y = 1400

Z= 42800

SI X= 1800 Y = 400

Z= 41300

CLCULO DE LA HOLGURA PARA EL COBRE

0,10X + 0,05Y + H3 200

H3 50

DISPONIBLE OCUPADO HOLGURA

ORO 110 110 0

PLATA 180 180 0

COBRE 200 150 50

SOLUCIN PTIMA

Z= 42800

VALORES PTIMOS

X= 800

Y= 1400

H1= 0

H2= 0

H3= 50

RESTRICCIONES

R.A= 1,2

R.I = 3