Programación Lineal

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Completo material con algo de teoría y varios ejercicios para praticar

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  • 1. 1 PROGRAMACIN LINEAL La programacin lineal es una tcnica de modelizacin matemtica desarrollada a partir de la dcada de 1930. Desde entonces, se ha aplicado con frecuencia en los procesos de toma de decisin de numerosos mbitos econmicos y productivos, como la planificacin de empresa y la ingeniera industrial. La programacin lineal es una herramienta que hapermitido el ahorro de miles de millones de dlares en elmundo empresarial o de los negocios, pues en esenciapermite asignar recursos limitados entre actividadescompetitivas en forma ptima o de la mejor maneraposible. Permite elegir el nivel de ciertas actividades quecompiten por escasosrecursos necesarios pararealizarlas. Se puede determinar la cantidad de recursosque consumir cada una de las actividades elegidas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar es muy grande, y va desde la produccin de distintos tipos de artefactos que hay que fabricar para obtener la ganancia ptima hasta la asignacin de los recursos nacionales a las necesidades de un pas; tambin tiene aplicacin en diferentes campos de la sociedad, como en los aeropuertos, en el campo de la medicina, para el diseo de una terapia de radiacin, por ejemplo. No obstante, el ingrediente comn de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles ptimos de las mismas. Se considera el desarrollo de la Programacin Lineal como uno de los avances cientficos ms importantes de mediados del siglo XX.UN POCO DE HISTORIAA lo largo de la historia es frecuente encontrarse con la colaboracin entre cientficos y militares con el fin de dictaminar la decisin ptima en la batalla. Es por esto que muchos expertos consideran el inicio de la Investigacin Operativa en el siglo III A.C., durante la II Guerra Pnica, con el anlisis y solucin que Arqumedes propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por los romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de espejos con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol. PROFESOR: Javier Trigoso T.

2. 2En 1503, Leonardo Da Vinci particip como ingeniero en la guerra contra Pisa ya que conoca tcnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehculos acorazados, caones, catapultas, y otras mquinas blicas. Otro antecedente de uso de la Investigacin Operativa se debe a F. W. Lanchester, quien hizo un estudio matemtico sobre la potencia balstica de las fuerzas opositoras y desarroll, a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales, la Ley Cuadrtica de Combate de Lanchester, con la que era posible determinar el desenlace de una batalla militar. Thomas Edison tambin hizo uso de la Investigacin Operativa, contribuyendo en la guerra antisubmarina, con sus grandes ideas, como la proteccin anti-torpedos para los barcos.Pero no se considera que haya nacido una nueva ciencia llamada InvestigacinOperativa o Investigacin de Operacioneshasta la II Guerra Mundial, durante la atalla deInglaterra, donde la Fuerza Area Alemana, esdecir la Luftwaffe, estaba sometiendo a los britnicos a un duro ataque areo ya que estos tenan una capacidad area pequea, aunque experimentada en el combate. El gobierno britnico, buscandoalgnmtodo para defender su pas, convoc a varios cientficos de diversas disciplinas para tratar de resolver el problema de sacar el mximo beneficio de los radares de que disponan. Gracias a su trabajo determinando la localizacin ptima de las antenas y la mejor distribucin de las seales consiguieron duplicar la efectividad del sistema de defensa area. El nombre de Investigacin de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares). Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos britnicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron problemas logsticos complejos, la planeacin de minas en el mar y la utilizacin efectiva del equipo electrnico. Al trmino de la guerra y atrados por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigacin de Operaciones a la resolucin de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamao y la complejidad de las industrias. PROFESOR: Javier Trigoso T. 3. 31. GRFICA DE INECUACIONES1.1. Regiones del plano determinadas por rectasLa grfica de una recta de ecuacin y = ax + b divide al plano en dos regiones: una formada por los puntos que satisfacen la inecuacin y < ax + b, y otra formada por los puntos que satisfacen la inecuacin y > ax + b. Si se trata de una inecuacin en sentido estricto (>, x 2y 3 1, se obtiene -1 < 0: verdad; por lo que la solucin para esta inecuacin es el 2x y 1 conjunto de puntos del semiplano queincluyen al origen. Solucin:El conjunto solucin del sistema es la Trazamos la grfica de cada una de las interseccin de los semiplanos ecuaciones; para lo cual calculamos lossolucin hallados individualmente (la valores de las coordenadas de dos de regin sombreada) sus puntos: x + 2y = 3: (0; 3/2) y (3; 0) 2x - y = 1: (0; -1) y (1/2; 0)Si sustituimos x = 0 e y = 0 en x + 2y > 3, se obtiene -3 > 0: falsedad; por lo que la solucin para esta inecuacin esPROFESOR: Javier Trigoso T. 5. 5Ejemplo 4 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales: x 3y 7 3x 2y 1 4x y 17 Solucin: Lo primero que debemos hacer es trazar la grfica de cada una de lasx 3y 7 x 3y 7 3x 2y 1 ecuaciones. 3x 2y 1 4x y 17 4x y 17 Basta con hallar las coordenadas de dos de los puntos para cada una de Para el primer sistema la solucin es ellas: (1; 2), para el segundo (4; 1) y para el tercero (3; 5). x + 3y = 7: (0; 7/3) y (7; 0) 3x - 2y = -1: (0; 1/2) y (-1/3; 0) La solucin del sistema de inecuaciones 4x + y = 17: (3; 5) y (17/4; 0) es, en resumen, el interior del tringulo, cuyos vrtices son los puntos El conjunto solucin es el interior del (1; 2), (4; 1) y (3; 5); sin incluir ninguno tringulo sombreado, sin incluir ninguno de los tres lados del tringulo. de los lados. Para aclarar mejor la solucin debemos calcular las coordenadas de los vrtices del tringulo, lo cual se consigue resolviendo los tres sistemas: 2. INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEALLa Programacin Lineal tiene infinidad de aplicaciones, como por ejemplo en la industria, la economa, la estrategia militar, y en otras reas, en las que se presentan situaciones donde se exige optimizar (maximizar o minimizar) algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas situaciones.Resolver un problema de programacin lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una funcin lineal, denominada funcin objetivo, estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solucin factible. Veremos a continuacin la aplicacin de la programacin lineal a diversas situaciones. PROFESOR: Javier Trigoso T. 6. 62.1. Programacin lineal bidimensionalLa programacin lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar o minimizar una funcin lineal con dos variables sujeta a unas restricciones que estn dadas por inecuaciones lineales. 2.2. Conjunto de restricciones lineales El conjunto de restricciones lineales, es el conjunto de todas las restricciones del problema asociadas a un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo Encuentra la regin definida por el siguiente sistema de inecuaciones:x y 7 2x y 10 x 0 y 0 2.3. Regin factible La regin factible est formada por la interseccin o regin comn de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, estos pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solucin, en el caso de que exista el conjunto solucin puede ser acotado o no. Si la regin factible est acotada, su representacin grfica es un polgono convexo con un nmero de lados menor o igual que el nmero de restricciones. La regin factible incluye o no los lados y los vrtices, segn que las desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >). Ejemplo Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la regin factible representada en la grfica. PROFESOR: Javier Trigoso T. 7. 7 2.4. Funcin objetivo La funcin objetivo en un problema de programacin lineal es la funcin lineal en dos variables que se desea optimizar. Se representa por: f(x;y) = ax + by Ejemplo Continuando con el ejemplo anterior, se pide maximizar en dicha regin el valor de la funcin f(x;y) = 30x + 20y 2.5. Solucin ptima La solucin ptima son los puntos de la regin factible donde la funcin objetivo alcanza el valor ptimo, es decir, el mximo o el mnimo. Si la solucin ptima es nica, es uno de los vrtices de la regin factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que estn sobre uno de los lados.Si existe una solucin que optimice la funcin objetivo, sta debe encontrarse en uno de los vrtices de la regin factibleAnalticamente, para hallar la solucin ptima, se prueba en la funcin objetivo cada uno de los vrtices de la regin factible. Ejemplo Continuando con el mismo ejemplo: Restricciones x 0, y 0 Prcticamente en todos los O (0; 0) f (0; 0) = 30 0 + 20 0 = 0 problemas de programacin A (5; 0) f (5; 0) = 30 5 + 20 0 = 150 lineal se exige que las B (3; 4) f (3; 4) = 30 3 + 20 4 = 170 Mximovariables x e y sean mayores C (0; 7) f (0; 7) = 30 0 + 20 7 = 140 o iguales que cero; en estos La solucin ptima es B (3; 4)casos, la regin factible se dibuja directamente en el 1 er cuadrante. PARA LA CLASE Representa en el plano cartesiano la solucin de las siguientes inecuaciones:1.x3x y 1 2.3 x 57. x y 1 3.y5 4.5 y 3 5.y 3x 4 6.x 2y 3 PROFESOR: Javier Trigoso T. 8. 8 y x 110. Dado el recinto definido por el 8. y x 2siguiente sistema de inecuaciones: y02x y 1000x 1,5y 750 9. Representa grficamente la regin x0 factible determinada por las siguientes y0 desigualdades: xy5 A. Represntalo grficamente. B. Halla sus vrtices. 4x 3y 30 C. Obtn el valor mximo de la funcin x0 f(x; y) = 15x + 12y en el recinto anterior, y0 as como el punto en que lo alcanza. Calcula la solucin que hace mnima la funcin objetivo f(x; y) = x + 2y sometida a las restricciones anteriores.3.RESOLUCINDEPROBLEMASDEPROGRAMACIN LINEAL3.1. Procedimiento de resolucin Para resolver un problema de programacin lineal se sigue el procedimiento:Se hace una tabla con los datos del problema. Se representa la regin factible. Se calculan los valores de la funcin objetivo en los vrtices de la regin factible. Se escribe la solucin.3.2. Tabla con los datos del problemaEn la 1 fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientes a losconceptos de las variables y la etiqueta restricciones. En la 2 fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan a lasvariables. En cada una de las filas siguientes se escribe una condicin, que da origen a una restriccin, es decir, a una inecuacin. En la ltima fila se escriben los valores correspondientes a la funcin objetivo y si setrata de maximizar o minimizar. PROFESOR: Javier Trigoso T. 9. 9Ejemplo 1Una fbrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaa. Lafbrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Paraconstruir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kgde aluminio, y para construir una bicicleta de montaa senecesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende lasbicicletas de paseo a 200 E y las de montaa a 150 E, cuntas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea mximo? Solucin 1) Tabla con los datos del problema.B. de paseoB. de montaa Restricciones N de bicicletas x yx 0; y 0 Acerox2yx + 2y 80 Aluminio 3x 2y 3x + 2y 120 Beneficio 200x 150y f(x; y) = 200x + 150y 2) Regin factible. Es el grfico del margen.3) Valores de la funcin objetivo en los vrtices de la regin factible. O (0; 0) f (0; 0) = 200 0 + 150 0 = 0 A (40; 0) f (40; 0) = 200 40 + 150 0 = 800 B (20; 30) f (20; 30) = 200 20 + 150 30 = 850 Mximo C (0; 40) f (0; 40) = 200 0 + 150 40 = 6004) La solucin ptima es B (20; 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo e y = 30 bicicletas de montaa.Ejemplo 2Se quiere organizar un puente areo entre dos ciudades, conplazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1 600personas y 96 toneladas de equipaje.Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 deltipo B. La contratacin de un avin del tipo A, que puedetransportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 euros; la contratacin de uno del tipo B, que puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10 000 euros. Cuntos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mnimo?PROFESOR: Javier Trigoso T. 10. 10Solucin 1) Tabla con los datos del problema.Tipo ATipo BRestricciones N de aviones x y0 x 11; 0 y 8 Personas200x100y200x + 100y 1 600 Equipaje6x 15y6x + 15y 96 Costo40 000x10 000yf(x; y) = 40 000x + 10 000y 2) Regin factible. Es el grfico del margen.3) Valores de la funcin objetivo en los vrtices de la regin factible. A (6; 4) f (6; 4) = 40 000 6 + 10 000 4 = 280 000 B (11; 2) f (11; 2) = 40 000 11 + 10 000 2 = 460 000 C (11; 8) f (11; 8) = 40 000 11 + 10 000 8 = 520 000 D (4; 8) f (4; 8) = 40 000 4 + 10 000 8 = 240 000 Mnimo4) La solucin ptima es D (4; 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 aviones tipo B PARA LA CLASEEjercicio 1La empresa recibe un pedido de 300 Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120unidades de A y 500 de B. Los costos de m2 de tejido B. Un traje de caballerofuncionamiento de las dos factoras son: requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un S/.100 por hora para la factora 1 y vestido de seora 2 m2 de cada tejido. S/.80 por hora para la factora 2. Si la venta de un traje deja al sastre elCuntas horas debe funcionar cada mismo beneficio que la de un vestido,factora para minimizar los costos de la halla cuntos trajes y vestidos debe empresa y satisfacer el pedido? fabricar para obtener la mxima ganancia.Ejercicio 3Un vendedor de libros usados tiene en su Ejercicio 2tienda 90 libros de la coleccin Austral y Una empresa produce dos bienes A y B.80 de la coleccin Alianza de bolsillo. Tiene dos factoras y cada una de ellasDecide hacer dos tipos de lotes: el lote produce los dos bienes en las cantidades de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de por hora siguientes: Alianza de Bolsillo, que vende a S/.8 y elde tipo B con 1 libro de Austral y 2 de PROFESOR: Javier Trigoso T. 11. 11Alianza de bolsillo, que vende ade tipo B a S/. 4 el kg. Sabiendo que solo S/.10.Cuntos lotes de cada tipo debedispone en su camioneta de espacio para hacer el vendedor para maximizar su transportar 700 kg. de naranjas como ganancia cuando los haya vendido todos? mximo y que piensa vender el kg. de naranjas de tipo A a S/.3 y el kg. de tipo Ejercicio 4 B a S/.6. Cuntos kg. de naranjas de Un comerciante acude a cierto cada tipo deber comprar para obtener supermercado a comprar naranjas con el mximo beneficio?, Cul ser el S/.5 000. Le ofrecen dos tipos de mximo beneficio? naranjas: las de tipo A a S/.2 el kg. y las PARA LA CASADetermina grficamente el conjuntoEncuentra los vrtices de dicha regin solucin de los siguientes sistemas: 8. Dada la regin definida por el 1. y 2x 2 siguiente sistema de inecuaciones 2. 4x 3y 2 xy8 3. y x 2 3x 2y 12 x0x y 3 4. y0 2x y 4 minimiza en dicha regin el valor de la funcin: f(x, y) = 15x + 10y xy3 5. 2 x 49. Dada la regin definida por el siguiente sistema de inecuacionesx 3y 15 xy44x y 16 x 2y 10 6. x0 x0y0 y0 minimiza en dicha regin el valor de la 7. Se considera la regin del plano funcin: f(x, y) = 12x + 19y determinada por las inecuaciones:x 3 y 10. Dada la regin definida por elsiguiente sistema de inecuaciones8xy x y 6y x 3x0 xy y0 x0 y0 PROFESOR: Javier Trigoso T. 12. 12maximiza en dicha regin el valor de laII. La regin admisible es un polgono de funcin: f(x, y) = 7x + 11ycuatro lados.III. Los puntos (3; 2) y (4; 1) pertenecen 11. Dado el recinto definido por ela la regin admisible. siguiente sistema de inecuaciones: x y 2714. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x 12 y6 x 2y 10 x6 A. Represntalo grficamente. y8 B. Determina los vrtices de ese recinto. x0 C. Cules son los valores mximo y mnimo de la funcin f(x;y) = 90x + 60y en y0 el recinto anterior? A. Represntalo grficamente. D. En qu puntos alcanza dichos valores?B. Calcula sus vrtices.C. Calcula el mximo de la funcin 12. Dada la funcin objetivo f(x, y) = 20x + 60y f(x; y) = 2x + 3y sujeta a las restricciones siguientes:15. Sea el recinto definido por las3x y 10siguientes inecuaciones:x 2y 85x 2y 10x0 3x 4y 20y0 x y 2 x0 A. Representa la regin factible. B. Halla los valores de x e y que hacen y0 mxima la funcin objetivo.A. Dibuja dicho recinto y determina sus C. Determina los valores x e y que vrtices. minimizan la funcin objetivo. B. Determina en qu punto de ese recintoalcanza la funcin f(x; y) = 4x + 3y el 13. Al maximizar f(x; y) =x + y; x;y R mximo valor. sujeto a las siguientes condiciones: 2x 3y 6 16. Un taller dispone semanalmente de 2x y 6 24 kg de algodn y 15 kg y4de lana para la produccin x0 de dos tipos de tapices y0decorativos A y B, segn Identifica la alternativa correcta despuslos siguientes de determinar si la proposicin esrequerimientos: verdadera (V) o falsa (F). Tapiz A: 200 g de algodn y 100 g de lana. I. El valor ptimo es 5. Tapiz B: 200 g de algodn y 300 g dePROFESOR: Javier Trigoso T. 13. 13lana. Si el tapiz A se vende a S/.40 y el Geometra. El libro de lgebra requiere tapiz B a S/.60, determina cuntosde 4 horas para su impresin y 6 horas tapices de cada clase se deben vender para su encuadernacin. El libro de para obtener el mximo ingreso. Geometra requiere de 5 horas para105 de A y 15 de B imprimirse y de 3 horas para ser encuadernado. Si se dispone de 200 horas 17. Una fbrica depara imprimir y de 240 horas para muebles fabrica dos encuadernar, calcula la mxima utilidad tipos de sillones, S1 y que se puede obtener.S/. 400 S2 . La fbrica cuenta con dos secciones; carpintera y tapicera. 20. Una empresa fabrica dos Hacer un silln de tipo S1 requiere 1 horaclases de cuadernos. Los de carpintera y 2 de rayados a S/. 2 la unidad y los tapicera, mientras que uno de tipo S2cuadriculados a S/. 1.5 la requiere 3 horas de carpintera y 1 deunidad. En la produccin diaria tapicera. El personal de tapicera Quse sabe que el nmero de cantidad de aceite debe comprar elcuadernos cuadriculados no supera en distribuidor a cada una de los1000 unidades al nmero de cuadernos almacenes para obtener el mnimo costo? rayados, entre las dos clases no superan a Determina dicho costo mnimo. 3000 unidades, y los cuadernos105 de A y 15 de B cuadriculados no bajan de 1000 unidades. Halle el costo mximo y mnimo de la 18. Una fbrica prepara salsas para produccin diaria. 5 500 y 1 500 tallarines Extra y Gourmet. La primera contiene 200 g de tomate y 25 g de carne por lata, la segunda 150 g de 21. Una escuela prepara tomate y 50 g de carne. Si se una excursin para 400 abastecen de 4 toneladas de tomates y alumnos. La empresa de 1,25 toneladas de carne, cuntas latas transportes tiene 8 buses deben fabricar de cada tipo parade 40 asientos disponibles obtener la mxima utilidad, ganando eny 10 buses de 50 asientos la venta de cada una S/.1,80 y S/.2,30disponibles, pero solo dispone de nueve respectivamente?conductores. El alquiler de un bus grande 2 000 Extra y 24 000 Gourmetcuesta S/. 80 y el de uno pequeo, S/. 60. Calcula cuantos buses de cada tipo hay 19. La editorial Matetextos produce que alquilar para que los gastos sean dos libros de Matemtica: mnimos para la escuela. lgebra y Geometra. La 4 grandes y 5 pequeos utilidad por unidades es de S/. 7 para el libro de lgebra y de S/. 10 para el libro de PROFESOR: Javier Trigoso T. 14. 1422. Un granjero tiene 480 hectreas en mnimo de dos toneladas y un mximo de 7las que puede sembrar yay para atender a su demanda, elsea maz o trigo. Calcula que distribuidor debe comprar en total undispondr de 800 horas de mnimo de 6 toneladas. El distribuidortrabajo durante ladebe comprar como mximo al almacn Atemporada. Los mrgenes deel doble de aceite que al almacn B. Quutilidad para cada uno de los cantidad de aceite debe comprar elproductos son S/.40 por distribuidor a cada una de los almaceneshectrea y lospara obtener el mnimo costo? Determina requerimientos laborales para trabajar endicho costo mnimo. S/. 14 000 la siembra del maz son 2 horas por hectrea y para el trigo, 1 hora por 25. Una compaa de telefona mvil hectrea. Cul es la utilidad mxima? quiere celebrar una jornadaS/.19 200 de Consumo razonable yofrece a sus clientes la 23. Ricardo y Martn siguiente oferta: 15 cntimos ganan 10 millones de de sol por cada mensaje SMS nuevos soles en la y 25 cntimos de sol por cada Tinka y les aconsejan que los inviertan en minuto de conversacin la bolsa en dos tipos de acciones, A y B.incluyendo el costo de establecimiento de Las de ti po A tienen ms riesgo perollamada. Impone las condiciones: producen un beneficio anual del 10%. Las A. El nmero de llamadas de un minuto no de tipo B son ms seguras, pero producen puede ser mayor que el nmero de solo el 7% anual. Despus de variasmensajes aumentado en 3, ni menor que el deliberaciones ellos deciden invertir como nmero de mensajes disminuido en 3. mximo 6 millones en la compra deB. Sumando el quntuplo del nmero de acciones A y, por lo menos, 2 millones enmensajes con el nmero de llamadas la compra de acciones B. Adems, deciden no puede obtenerse ms de 27. que lo invertido en las acciones de tipo A Determina el nmero de mensajes y de sea, por lo menos igual a lo invertido enllamadas para que el beneficio sea las de tipo B. Cmo debern invertir losmximo. Cul es ese beneficio 10 millones de nuevos soles para que elmximo? beneficio anual sea mximo?26. Cada mes una empresa puede 24. Un distribuidor de aceite de oliva gastar, como mximo, 10 000 soles en compra la materia prima a dossalarios y 1 800 soles en energa almacenes ,A y B. Los(electricidad y gasolina). La empresa almacenes A y B venden elsolo elabora dos tipos de productos A y aceite a 2000 y 3 000 solesB. Por cada unidad de A que elabora por tonelada, respectivamentegana 0,8 soles; y, por cada unidad de B, Cada almacn le vende un gana 0,5 soles. El costo salarial y PROFESOR: Javier Trigoso T. 15. 15energtico que acarrea la elaboracin de 28. Un granjero desea una unidad del producto A y de una crear una granja de pollos unidad del producto B aparece en lade dos razas, A y B. Dispone siguiente tabla: de 9 000 nuevos soles parainvertir y de un espacio con ProductoProducto una capacidad limitada paraA B 7 000 pollos. Cada pollo deCosto salarial2 1 la raza A le cuesta 1 sol y obtiene con l Costo energtico0,1 0,3un beneficio de 1 sol, y cada pollo de laraza B le cuesta 2 soles y el beneficio esde 1,4 soles por unidad. Si por razones Se desea determinar cuntas unidadescomerciales el nmero de pollos de la raza de cada uno de los productos A y BB no puede ser superior a los de la raza A, debe producir la empresa para que eldetermina, justificando la respuesta: beneficio sea mximo.A. Qu cantidad de ambas razas debe 2 400 de A y 5 200 de Bcomprar el granjero para obtener unbeneficio mximo? 27. Un ganadero tiene que elaborarB. Cul ser el valor de dicho beneficio? alimento para su ganado a5 000 de A y 2 000 de B 7 800 soles partir de dos ingredientes nutritivos: A y B. Los29. Una fbrica produce mnimos que necesita soncmaras fotogrficas 30 unidades de A y 32convencionales y unidades de B. En eldigitales. Se obtiene un mercado se venden sacos de dos marcasingreso de S/.450 por cada que contienen A y B, cuyos contenidos ycmara convencional y S/.600 precios se dan en la siguiente tabla:por cada digital. En un da no se puedenfabricar ms de 400 cmaras MarcaUnidadesUnidades Precioconvencionales ni ms de 300 digitales yde Ade Bdel sacotampoco pueden producirse ms de 500I 3 1S/.9 cmaras en total. Suponiendo que se logra II 1 4S/.12vender toda la produccin del da, cules el nmero de cmaras de cada clase Cuntos sacos de cada marca tiene que que conviene fabricar para obtener un comprar el ganadero para elaborar este ingreso mximo?, Cul debera ser la alimento con el mnimo costo?produccin para obtener mximo ingreso 8 unidades de A y 6 de B si se obtuvieran S/.600 por cada cmaraconvencional y S/.450 por cada cmaradigital? PROFESOR: Javier Trigoso T. 16. 1630. Una empresa que sirve comidas cada uno de los ingredientes que se preparadas tieneemplearn en el men, de manera que que disear un men su coste sea lo ms reducido posible. utilizando dosA. Indica la expresin de las ingredientes. Elrestricciones y la funcin objetivo del ingrediente A problema. contiene 35 g de grasas y 150 kilocalorasB. Representa grficamente la regin por cada 100 gramos de ingrediente, delimitada por las restricciones. mientras que el ingrediente B contiene 15 C. Calcula el porcentaje ptimo de cada g de grasas y 100 kilocaloras por cada uno de los ingredientes que se incluirn 100 g. El coste es de 1,5 soles por cadaen el men. 100 g del ingrediente A y de 2 soles por f(x;y) = 1,5x + 2y cada 100 g del ingrediente B. El men que35x + 15y 30; 150x + 100y hay que disear debera contener no110; x 0; y 0 ms de 30 g de grasas y, al menos 110 11,5 gr de A y 0 gr de B kilocaloras por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones dewww.issuu.com/sapini/docs/ PROFESOR: Javier Trigoso T.