Capítulo 3Capítulo 3Programación Lineal EnteraProgramación Lineal Entera

Objetivos del capítuloObjetivos del capítulo

Programación lineal entera, programación lineal mixta, Programación lineal entera, programación lineal mixta, modelos binarios.modelos binarios.

Representaciones gráficas.Representaciones gráficas. AproximaciónAproximación Solución: Solución:

- Solución usando el computador para de modelos - Solución usando el computador para de modelos enterosenteros

- Falta de análisis de sensibilidad.- Falta de análisis de sensibilidad. El uso de Variables Binarias.El uso de Variables Binarias.

- Presupuestos de Capital / restricciones para realizar el - Presupuestos de Capital / restricciones para realizar el objetivo.objetivo.

3.1 Introducción3.1 Introducción

Muchas veces, algunas o todas las variables de Muchas veces, algunas o todas las variables de decisión deben restringirse a valores enteros.decisión deben restringirse a valores enteros.

Por ejemplo:Por ejemplo:– El número de aeronaves que se compró este El número de aeronaves que se compró este

año.año.– El número de máquinas que necesita para El número de máquinas que necesita para

producción.producción.– El número de viajes que ha realizado un agente El número de viajes que ha realizado un agente

de ventas.de ventas.– El número de policía que se asignó a la El número de policía que se asignó a la

vigilancia nocturna.vigilancia nocturna.

Variables enteras son requeridas cuando el Variables enteras son requeridas cuando el modelo represente una única decisión (no una modelo represente una única decisión (no una operación en proceso).operación en proceso).

Los modelos de Programación Lineal Entera Los modelos de Programación Lineal Entera (PLE) son mucho más difíciles de resolver que (PLE) son mucho más difíciles de resolver que los modelos de Programación Lineal (PL).los modelos de Programación Lineal (PL).

Los algoritmos que resuelven los modelos Los algoritmos que resuelven los modelos lineales enteros no entregan resultados de lineales enteros no entregan resultados de análisis de sensibilidad.análisis de sensibilidad.

Los modelos de PLE pueden clasificarse como Los modelos de PLE pueden clasificarse como sigue:sigue:– Solo de enteros, es decir, todas las Solo de enteros, es decir, todas las

variables se restringen a enteros.variables se restringen a enteros.

– De variables mixtas - algunas variables De variables mixtas - algunas variables son enteras, pero no todas.son enteras, pero no todas.

– De binarios- todas las variables son 0 De binarios- todas las variables son 0 ó 1.ó 1.

3.2 Las complejidades de PLE3.2 Las complejidades de PLE

Si un modelo de enteros se resuelve como un Si un modelo de enteros se resuelve como un modelo lineal simple, se puede obtener la modelo lineal simple, se puede obtener la solución óptima no entera.solución óptima no entera.

Aproximar a valores enteros puede provocar:Aproximar a valores enteros puede provocar:– Soluciones no-factiblesSoluciones no-factibles– Soluciones factibles pero no óptimasSoluciones factibles pero no óptimas– Soluciones óptimas.Soluciones óptimas.

¿ Por qué no enumerar todos los puntos enteros ¿ Por qué no enumerar todos los puntos enteros factibles y seleccionar el mejor?factibles y seleccionar el mejor?– Enumerar todas las soluciones enteras es poco Enumerar todas las soluciones enteras es poco

práctico, a causa del gran número de puntos factiblespráctico, a causa del gran número de puntos factibles..

¿Siempre se utiliza aproximación? Si, ¿Siempre se utiliza aproximación? Si, particularmente siparticularmente si– Los valores de las variables de decisión positivas son Los valores de las variables de decisión positivas son

relativamente grandes, y los valores de los coeficientes relativamente grandes, y los valores de los coeficientes de la función objetivo son relativamente pequeñosde la función objetivo son relativamente pequeños..

El siguiente ejemplo ilustra El siguiente ejemplo ilustra algunas de las complicaciones que algunas de las complicaciones que aparecen cuando se utilizan aparecen cuando se utilizan restricciones enteras sobre las restricciones enteras sobre las variables de decisión.variables de decisión.

Restaurante Boxcar_BurguerRestaurante Boxcar_Burguer

El Boxcar_Burger es una nueva cadena El Boxcar_Burger es una nueva cadena de comida rápida.de comida rápida.

El local planifica su expansión en el El local planifica su expansión en el centro y áreas suburbanas.centro y áreas suburbanas.

La gerencia desea determinar cuántos La gerencia desea determinar cuántos restaurantes abrir en cada área a fin de restaurantes abrir en cada área a fin de aumentar al máximo la ganancia aumentar al máximo la ganancia semanal neta. semanal neta.

Requerimientos y restricciones:Requerimientos y restricciones:– No más de 19 gerentes pueden ser asignados.No más de 19 gerentes pueden ser asignados.– Por lo menos deben abrirse dos restaurantes Por lo menos deben abrirse dos restaurantes

en el centro.en el centro.– La inversión total no puede exceder a $2.7 La inversión total no puede exceder a $2.7

Millones.Millones.

Suburbano CentroSuburbano Centro

Inversión por la ubicación 200,000 600,000Inversión por la ubicación 200,000 600,000

Ganancia diaria 1,200 2,000Ganancia diaria 1,200 2,000

Horas de operación 24 horas 12 horasHoras de operación 24 horas 12 horas

Número de gerentes necesarios 3 1Número de gerentes necesarios 3 1

SoluciónSolución

Variables de DecisiónVariables de Decisión– X1 = Número de restaurantes abiertos en X1 = Número de restaurantes abiertos en

lugares suburbanos.lugares suburbanos.– X2 = Número de restaurantes abiertos en el X2 = Número de restaurantes abiertos en el

centro .centro .

El modelo matemático se formula a El modelo matemático se formula a continuación:continuación:

negativos enterosson no X2 X1,

19 X2 +3X1

2 X2

2.76X2 +2X1

:ST

2000X2+1200X1Max

Ganancia semanal neta

La inversión total no puede exceder $2.7 dólares

Por lo menos dos restaurantes en el centro

No más de 19 gerentes se pueden asignar

enteros mayores que 0

RestriccionesRestriccionesLa inversión total no puede exceder $2.7 La inversión total no puede exceder $2.7

millonesmillones

3.3 Sensibilidad de un PLE3.3 Sensibilidad de un PLE

En los problemas de programación lineal En los problemas de programación lineal entera no es posible realizar el análisis de entera no es posible realizar el análisis de sensibilidad. Cualquier cambios en los sensibilidad. Cualquier cambios en los coeficientes de la función objetivo o en los coeficientes de la función objetivo o en los coeficientes del lado derecho implicará coeficientes del lado derecho implicará

resolver el problema nuevamente.resolver el problema nuevamente.

3.4 Programación lineal mixta3.4 Programación lineal mixta

Incluye algunas variables que están Incluye algunas variables que están restringidas a valores enteros.restringidas a valores enteros.

El problema de inversión de Shelly Mednick El problema de inversión de Shelly Mednick ilustra esta situación.ilustra esta situación.

Problema de inversión de Problema de inversión de Shelley MedrickShelley Medrick

Shelley Mednick ha decidido realizar una Shelley Mednick ha decidido realizar una inversión. inversión.

Ella invertirá en:Ella invertirá en:

-TCS, una compañía de abastecimiento y -TCS, una compañía de abastecimiento y comunicaciones y/o comunicaciones y/o

- MFI, un fondo mutuo.- MFI, un fondo mutuo.

Shelley es una inversionista precavida. Ella Shelley es una inversionista precavida. Ella tiene límites sobre el nivel de inversión, y tiene límites sobre el nivel de inversión, y definió una meta para la ganancia anual.definió una meta para la ganancia anual.

Datos:Datos: TCS vende actualmente cada acción a $55.TCS vende actualmente cada acción a $55. TCS proyecta vender cada acción a $68 dentro TCS proyecta vender cada acción a $68 dentro

de un año.de un año. MFI espera obtener 9% de utilidad anual.MFI espera obtener 9% de utilidad anual.

Restricciones:Restricciones: La utilidad esperada debe ser de por lo menos La utilidad esperada debe ser de por lo menos

$250.$250. La cantidad máxima invertida en TCS no debe La cantidad máxima invertida en TCS no debe

sobrepasar un 40% de la inversión total.sobrepasar un 40% de la inversión total. La cantidad máxima invertida en TCS no debe La cantidad máxima invertida en TCS no debe

sobrepasar $750.sobrepasar $750.

SoluciónSolución

Variables de decisiónVariables de decisión– X1 = Número de acciones a comprar en X1 = Número de acciones a comprar en

TCS.TCS.– X2 = Cantidad de dinero que invertirá en X2 = Cantidad de dinero que invertirá en

MFI.MFI. El modelo matemático:El modelo matemático:

Minimize 55X1 + X2ST 13X1 + 0.09X2 250 33X1 - 0.40X2 0 55X1 750

X1, X2 0 X1 integer.

Utilidad anual esperadaNo más de 40% en

TCS.No más de $750en TCS.

Minimizar

Entero

Solución óptima de PL

TCS

MFI

12.24

1009.79

Inversión total=$1682.99

Solución óptima de programación mixta

1044.44

12

Inversión total=$1704.44

Solución óptima de PL

Problema de requerimiento de Problema de requerimiento de personalpersonal

Sunset Beach necesita salvavidasSunset Beach necesita salvavidas La playa de Sunset beach contrata salvavidas por los 7 La playa de Sunset beach contrata salvavidas por los 7

días de la semana.días de la semana. Las regulaciones requieren que los empleados urbanos Las regulaciones requieren que los empleados urbanos

trabajen cinco días.trabajen cinco días. Las condiciones de seguridad ordenan en promedio 1 Las condiciones de seguridad ordenan en promedio 1

salvavidas por 8000 personas salvavidas por 8000 personas La ciudad desea emplear la mínima cantidad de La ciudad desea emplear la mínima cantidad de

salvavidas posibles.salvavidas posibles.

SoluciónSolución

Resumen del ProblemaResumen del Problema Asignar salvavidas para 5 días consecutivos.Asignar salvavidas para 5 días consecutivos. Minimizar el número total de salvavidas.Minimizar el número total de salvavidas. Satisfacer los requerimientos mínimos de Satisfacer los requerimientos mínimos de

salvavidas para cada día (ver el siguiente modelo salvavidas para cada día (ver el siguiente modelo lineal).lineal).

DatosDatos Para cada día, el mínimo de salvavidas requeridos Para cada día, el mínimo de salvavidas requeridos

son:son:

Dom. Lun.Dom. Lun. Mar. Mar. Mier. Mier. Jue. Jue. Vie. Vie. Sab.Sab.

88 6 6 5 5 4 4 6 6 7 7 9 9

Variables de Decisión:Variables de Decisión: Xi = el número de salvavidas que trabajará el Xi = el número de salvavidas que trabajará el

día i para i=1, 2, …,7 (i=1 es Domingo)día i para i=1, 2, …,7 (i=1 es Domingo)

La Función Objetivo:La Función Objetivo: Minimizar el número total de salvavidas Minimizar el número total de salvavidas

necesarios.necesarios.

X1X6X5

X4X3

mar. mie. jue. vie. dom.

¿quién trabajará el domingo?

Repita este procedimiento por cada día de la semana, y construya las restricciones del caso.

Para asegurar que los salvavidas sean los suficientes por cada día,pregunte que trabajadores estarán de turno. Por ejemplo:

negativos no enterosson variableslas Todas

(Sábado) 9X7 + X6 + X5 + X4 + X3

(Viernes) 7 X6 + X5 + X4 + X3 + X2

(Jueves) 6 X5 + X4 + X3 + X2 + X1

)(Miércoles 4X7 + X4 + X3 + X2 + X1

(Martes) 5X7 + X6 + X3 + X2 + X1

(Lunes) 6X7 + X6 + X5 + X2+ X1

(Domingo) 8X7 + X6 + X5 + X4 + X1

ST

X7 + X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X1

Minimizar

• El modelo matemático

Todas las variables enteras mayores que 0

Asignación de salvavidaspara Sunset Beach

salvavidasdía presentes requeridos Para cambios

domingo 9 8 1lunes 8 6 0martes 6 5 1miércoles 5 4 1jueves 6 6 3viernes 7 7 2sábado 9 9 2

total de salvavidas 10

Nota: existe una solución óptima alternativa

3.5 Programación lineal entera 3.5 Programación lineal entera binariabinaria

Las variables binarias toman solamente los Las variables binarias toman solamente los valores 0 y 1.valores 0 y 1.

Cualquier situación puede ser modelada por Cualquier situación puede ser modelada por un “si/no”, “bueno/malo” ,etc., contenido un “si/no”, “bueno/malo” ,etc., contenido dentro de la categoría binaria.dentro de la categoría binaria.

Por ejemploPor ejemplo

X

10 If a new health care plan is adopted If it is not

X

1 If a particular constraint must hold0 If it is not

Si un nuevo plan de salud se adopta

si no se adopta

Si se compra el edificio

si no se compra

Condominio Salem CityCondominio Salem City

El condomionio Salem City debe elegir un El condomionio Salem City debe elegir un proyecto de distribución de fondos de manera proyecto de distribución de fondos de manera tal que la mayoría de la población se vea tal que la mayoría de la población se vea beneficiada.beneficiada.

Los datos relevantes y concernientes al Los datos relevantes y concernientes al condominio en la ciudad son:condominio en la ciudad son:* Estimar el costo de cada proyecto* Estimar el costo de cada proyecto

* Estimar el número de trabajadores permanentes que * Estimar el número de trabajadores permanentes que empleará el proyecto.empleará el proyecto.

* Encuesta de los 9 proyectos más importantes para la * Encuesta de los 9 proyectos más importantes para la ciudad.ciudad.

Distribución de fondosDistribución de fondos

Salem City debe escoger su proyecto de fondos de Salem City debe escoger su proyecto de fondos de manera tal que la mayoría de la población se vea manera tal que la mayoría de la población se vea beneficiada, para ello realiza una encuesta sobre los 9 beneficiada, para ello realiza una encuesta sobre los 9 proyectosproyectos más urgentes.más urgentes.

Proyecto Costo (1000) Trabajos PuntosX1 Contratar siete nuevos policias 400,00$ 7 4176X2 Modernizar los cuarteles de policia 350,00$ 0 1774X3 Comprar dos nuevas patrullas 50,00$ 1 2513X4 Entregar bonif. a los of. de policia 100,00$ 0 1928X5 Comprar nuevos eq. para bomberos 500,00$ 2 3607X6 Contratar un comandante de bomberos 90,00$ 1 962X7 Invertir en programas deportivos 220,00$ 8 2829X8 Restaurar la escuela de música 150,00$ 3 1708X9 Comprar nuevos comp. para la esc. 140,00$ 2 3003

Resultados de la Encuesta

Variables de decisiónVariables de decisión

* X* Xjj, conjunto de variables binarias que indican si el , conjunto de variables binarias que indican si el proyecto j es seleccionado (Xproyecto j es seleccionado (Xj j = 1) o no (X= 1) o no (Xjj = 0). = 0).

Función ObjetivoFunción Objetivo

* Maximizar la cantidad el puntaje para la obtención de * Maximizar la cantidad el puntaje para la obtención de fondos del proyecto.fondos del proyecto.

RestriccionesRestricciones

- Vea el modelo matemático- Vea el modelo matemático

El modelo matemáticoEl modelo matemáticoLL

La mayor cantidad de fondos a destinar no puede superar los La mayor cantidad de fondos a destinar no puede superar los $900.000$900.000

El número de nuevos trabajos debe ser por lo menos 10El número de nuevos trabajos debe ser por lo menos 10

El número de nuevos policías debe ser a lo más 3.El número de nuevos policías debe ser a lo más 3.

Debe comprarse una patrulla o un carro de bomberosDebe comprarse una patrulla o un carro de bomberos

se debe restaurar la sala de música o invertir en programas se debe restaurar la sala de música o invertir en programas deportivosdeportivos

Deben invertirse en programas deportivos o Deben invertirse en programas deportivos o

restaurar la sala de música antes de restaurar la sala de música antes de

comprar nuevos computadorescomprar nuevos computadores

CONTINUA

Max 4176X1+ 1774X2 + 2513X3 + 1928X4 + 3607X5 + 962X6 + 2829X7 + 1708X8 + 3003X9

ST 400X1+ 350X2 + 50X3 + 100X4 + 500X5 + 90X6 + 220X7 + 50X8 + 140X9 900

7X1+ X3 + 2X5 + X6 + 8X7 + 3X8 + 2X9 10

X1+ X2 + X3 + X4 3

X3 + X5 = 1

X7 - X8 = 0

X7 - X9 0 X8 - X9 0

*Tres de las siguientes 5 restricciones deben ser satisfechas*Tres de las siguientes 5 restricciones deben ser satisfechas

Por lo menos $250.000 deben guardarse (no usar más de $650.000)Por lo menos $250.000 deben guardarse (no usar más de $650.000)

Se requieren al menos 3 policias y debe comprarse el equipo de Se requieren al menos 3 policias y debe comprarse el equipo de bomberos bomberos

Se deben contratar siete nuevos policiasSe deben contratar siete nuevos policias

Al menos 15 nuevos trabajos se deben crear (no 10)Al menos 15 nuevos trabajos se deben crear (no 10)

Tres proyectos de educación se deben financiar.Tres proyectos de educación se deben financiar.

La condición que al menos 3 de las 5 restricciones deben cumplirse La condición que al menos 3 de las 5 restricciones deben cumplirse puede ser puede ser

representado por una variable binariarepresentado por una variable binaria

Yi = 1 si la restricción es consideradaYi = 1 si la restricción es considerada

0 si no es considerada0 si no es considerada

400X1+ 350X2 + 50X3 + 100X4 + 500X5 + 90X6 + 220X7 + 50X8 + 140X9 650

X1+ X2 + X3 + X4 + X5 + X6 3

X1 = 1

7X1+ X3 + 2X5 + X6 + 8X7 + 3X8 + 2X9 15

X7 + X8 + X9 = 3

CONTINUA

LAS RESTRICCIONES CONDICIONADASLAS RESTRICCIONES CONDICIONADAS

SON MODIFICADAS COMO SIGUE:SON MODIFICADAS COMO SIGUE:

Las siguientes restricciones se agregan para asegurar que a Las siguientes restricciones se agregan para asegurar que a

lo más 2 de los objetivos se realizaranlo más 2 de los objetivos se realizaran

400X1+ 350X2 + 50X3 + 100X4 + 500X5 + 90X6 + 220X7 + 50X8 + 140X9 650 + MY1

X1+ X2 + X3 + X4 + X5 + X6 3 -MY2

X1 1 - MY3 X1 1 + MY3

7X1+ X3 + 2X5 + X6 + 8X7 + 3X8 + 2X9 15 -MY4

X7 + X8 +

X9 3 -MY5 X7 + X8 + X9 3 + MY5 Y1+ Y2 + Y3 + Y4 + Y5 2

Este conjunto de restriccionesse agrega al modelo original

3.6 Incluyendo Cargos Fijos3.6 Incluyendo Cargos Fijos

El modelo de programación lineal no incluye un El modelo de programación lineal no incluye un costo fijo dentro de sus consideraciones. Se costo fijo dentro de sus consideraciones. Se asume que este costo no puede ser calculado, lo asume que este costo no puede ser calculado, lo cual no siempre es verdadero.cual no siempre es verdadero.

En un problema de cargo fijo se tiene:En un problema de cargo fijo se tiene:Costo Total = CX + F si X>0Costo Total = CX + F si X>0

0 si X = 00 si X = 0

donde :donde :

C es una variable de costo, y F es el costo fijoC es una variable de costo, y F es el costo fijo

Electrónica GLOBE, INCElectrónica GLOBE, INC

Electrónica GLOBE fabrica dos tipo de control Electrónica GLOBE fabrica dos tipo de control remoto G50 y G90. remoto G50 y G90.

GLOBE tiene 4 fabricas y 3 centros de GLOBE tiene 4 fabricas y 3 centros de distribución.distribución.

Cada planta opera bajo sus propias Cada planta opera bajo sus propias condiciones, por lo cual tienen diferentes condiciones, por lo cual tienen diferentes costos fijos de operación, costos de costos fijos de operación, costos de producción, tasa de producción y horas de producción, tasa de producción y horas de producción disponibles.producción disponibles.

Ultimamente la demanda ha disminuido por lo Ultimamente la demanda ha disminuido por lo cual la gerencia esta pensando en cerrar una o cual la gerencia esta pensando en cerrar una o más de las plantas.más de las plantas.

La gerencia desea:La gerencia desea:

* Desarrollar una óptima política de distribución* Desarrollar una óptima política de distribución

* Determinar que planta cerrar (si es que existe * Determinar que planta cerrar (si es que existe alguna)alguna)

DatosDatos

Costos de producción, tiempo, disponibilidadCostos de producción, tiempo, disponibilidad

Proyección de la demanda mensualProyección de la demanda mensual

Costo fijo Costo de prod. por 100 Tiempo de prod (hr/100) Hr disponib.Planta por mes G50 G90 G50 G90 por mes

Philadelphia 40 1000 1400 6 6 640St. Louis 35 1200 1200 7 8 960New Orleans 20 800 1000 9 7 480Denver 30 1300 1500 5 9 640

DemandaCincinnati Kansas City San Franc.

G50 2000 3000 5000G90 5000 6000 7000

* Costo de transporte por 100 unidades* Costo de transporte por 100 unidades

* Al menos el 70% de la demanda en cada centro de * Al menos el 70% de la demanda en cada centro de distribución se debe satisfacerdistribución se debe satisfacer

* Precio de venta unitario* Precio de venta unitario

- G50 = $22 ; G90= $28- G50 = $22 ; G90= $28

City FranciscoCincinnati Kansas San

Philadelphia $200 300 500

St.Louis 100 100 400New Orleans 200 200 300Denver 300 100 100

Variables de decisiónVariables de decisiónXi = cientos de G50 producidos en la planta iXi = cientos de G50 producidos en la planta i

Zi = cientos de G90 producidos en la planta iZi = cientos de G90 producidos en la planta i

Xij = cientos de G50 transportados desde la planta i Xij = cientos de G50 transportados desde la planta i hasta hasta la distribuidora j la distribuidora j

Zij= cientos de G90 transportados desde la planta i Zij= cientos de G90 transportados desde la planta i hasta hasta la distribuidora j la distribuidora j

Identificación de lugaresIdentificación de lugares

Planta DistribuidoraUbicación i Ubicación jPhiladelphia 1 Cincinnati 1St.Louis 2 Kansas City 2New Orleans 3 San Francisco 3Denver 4

GLOBE ElectrónicaGLOBE Electrónica

Modelo Nº 1 :Modelo Nº 1 :

Todas las plantas operativasTodas las plantas operativas

Función ObjetivoFunción Objetivo

* La gerencia desea maximizar la ganancia neta* La gerencia desea maximizar la ganancia neta

* La ganancia bruta por 100 u = 22(100) - (costo de prod. por 100)* La ganancia bruta por 100 u = 22(100) - (costo de prod. por 100)

* La ganancia neta por 100 unidades producidas en la planta i y * La ganancia neta por 100 unidades producidas en la planta i y transportadas a la distribuidora j = transportadas a la distribuidora j =

Ganancia Bruta - Costo de transporte por 100 uGanancia Bruta - Costo de transporte por 100 u

* Max 1200X1+1000X2+1400X3+ 900X4* Max 1200X1+1000X2+1400X3+ 900X4

+1400Z1+1600Z2+1800Z3+1300Z4+1400Z1+1600Z2+1800Z3+1300Z4

- 200X11 - 300X12 - 500X13- 200X11 - 300X12 - 500X13

- 100X21 - 100X22 - 400X23- 100X21 - 100X22 - 400X23

- 200X31 - 200X32 - 300X33- 200X31 - 200X32 - 300X33

- 300X41 - 100X42 - 100X43- 300X41 - 100X42 - 100X43

- 200Z11 - 300Z12 - 500Z13- 200Z11 - 300Z12 - 500Z13

- 100Z21 - 100Z22 - 400Z23- 100Z21 - 100Z22 - 400Z23

- 200Z31 - 200Z32 - 300Z33- 200Z31 - 200Z32 - 300Z33

- 300Z41 - 100Z42 - 100Z43- 300Z41 - 100Z42 - 100Z43Costo de Transporte

Ganancia Bruta

G50

G90

RestriccionesRestriccionesSe debe asegurar que la cantidad transportada desde Se debe asegurar que la cantidad transportada desde una planta es igual a la cantidad producida por esta.una planta es igual a la cantidad producida por esta.

La cantidad recibida por una distribuidora no puede La cantidad recibida por una distribuidora no puede exceder la demanda o ser menor que el 70% de esta.exceder la demanda o ser menor que el 70% de esta.

Para G50X11 + X12 + X13 = X1X21 + X22 + X23 = X2X31 + X32 + X33 = X3X41 + X42 + X43 = X4

Para G90Z11 + Z12 + Z13 = Z1Z21 + Z22 + Z23 = Z2Z31 + Z32 + Z33 = Z3Z41 + Z42 + Z43 = Z4

Para G50X11 + X21 + X31 + X41 < 20

X11 + X21 + X31 + X41 > 14

X12 + X22 + X32 + X42 < 30

X12 + X22 + X32 + X42 > 21

X13 + X23 + X33 + X43 < 50 X13 + X23 + X33 + X43 > 35

Para G90Z11 + Z21 +Z31 + Z41 < 50

Z11 + Z21 + Z31 + Z41 > 35

Z12 + Z22 + Z32 + Z42 < 60

Z12 + Z22 + Z32 + Z42 > 42

Z13 + Z23 + Z33 + Z43 < 70

Z13 + Z23 + Z33 + Z43 > 49

Las horas de producción para cada planta no puede exceder de la cantidad de horas de producción total

6X1 + 6Z1 6407X2 + 8Z2 9609X3 + 7Z3 4805X4 + 9Z4 640

Todas las variables enteras mayores que 0

Calculo de la solución óptima mediante WINQSBCalculo de la solución óptima mediante WINQSB

ResumenResumen

El valor óptimo de la función objetivo es El valor óptimo de la función objetivo es $356.571.$356.571.

Note que el costo fijo de operación de las Note que el costo fijo de operación de las plantas no se considera en la función objetivo plantas no se considera en la función objetivo porque todas las plantas se encuentran en porque todas las plantas se encuentran en operaciónoperación

Restando el costo fijo de $125.000 resulta una Restando el costo fijo de $125.000 resulta una ganancia neta mensual de $231.571.ganancia neta mensual de $231.571.

GLOBE ElectrónicaGLOBE Electrónica

Modelo Nº 2 :Modelo Nº 2 :

El número de plantas operativas El número de plantas operativas en cada ciudad es una variable de en cada ciudad es una variable de decisióndecisión

Variables de decisiónVariables de decisiónXi = cientos de G50 producidos en la planta iXi = cientos de G50 producidos en la planta i

Zi = cientos de G90 producidos en la planta iZi = cientos de G90 producidos en la planta i

Xij = cientos de G50 transportados desde la planta i Xij = cientos de G50 transportados desde la planta i hasta hasta la distribuidora j la distribuidora j

Zij= cientos de G90 transportados desde la planta i Zij= cientos de G90 transportados desde la planta i hasta hasta la distribuidora j la distribuidora j

Yi = Una variable binaria (0-1) que describe el Yi = Una variable binaria (0-1) que describe el número de plantas operando en la número de plantas operando en la

ciudad iciudad i

Función ObjetivoFunción Objetivo

* La gerencia desea maximizar la ganancia neta* La gerencia desea maximizar la ganancia neta

* La ganancia bruta por 100 u = 22(100) - (costo de * La ganancia bruta por 100 u = 22(100) - (costo de prod. por 100)prod. por 100)

* La ganancia neta por 100 unidades producidas en la * La ganancia neta por 100 unidades producidas en la planta i y transportadas a la distribuidora j = planta i y transportadas a la distribuidora j =

Ganancia Bruta - Costo de transporte de i a j - Costo fijo condicionado

Función ObjetivoFunción Objetivo

Max 1200X1+1000X2+1400X3+ 900X4Max 1200X1+1000X2+1400X3+ 900X4 +1400Z1+1600Z2+1800Z3+1300Z4+1400Z1+1600Z2+1800Z3+1300Z4

- 200X11 - 300X12 - 500X13- 200X11 - 300X12 - 500X13 - 100X21 - 100X22 - 400X23- 100X21 - 100X22 - 400X23

- 200X31 - 200X32 - 300X33- 200X31 - 200X32 - 300X33- 300X41 - 100X42 - 100X43- 300X41 - 100X42 - 100X43

- 200Z11 - 300Z12 - - 200Z11 - 300Z12 - 500Z13500Z13 - 100Z21 - 100Z22 - 400Z23- 100Z21 - 100Z22 - 400Z23

- 200Z31 - 200Z32 - 300Z33- 200Z31 - 200Z32 - 300Z33- 300Z41 - 100Z42 - - 300Z41 - 100Z42 -

100Z43100Z43- 40000Y1 - 35000Y2 - 20000Y3 - 30000Y4- 40000Y1 - 35000Y2 - 20000Y3 - 30000Y4

RestriccionesRestriccionesSe debe asegurar que la cantidad transportada desde Se debe asegurar que la cantidad transportada desde una planta es igual a la cantidad producida por esta.una planta es igual a la cantidad producida por esta.

La cantidad recibida por una distribuidora no puede La cantidad recibida por una distribuidora no puede exceder la demanda o ser menor que el 70% de esta.exceder la demanda o ser menor que el 70% de esta.

Para G50X11 + X12 + X13 = X1X21 + X22 + X23 = X2X31 + X32 + X33 = X3X41 + X42 + X43 = X4

Para G90Z11 + Z12 + Z13 = Z1Z21 + Z22 + Z23 = Z2Z31 + Z32 + Z33 = Z3Z41 + Z42 + Z43 = Z4

Para G50X11 + X21 + X31 + X41 < 20

X11 + X21 + X31 + X41 > 14

X12 + X22 + X32 + X42 < 30

X12 + X22 + X32 + X42 > 21

X13 + X23 + X33 + X43 < 50 X13 + X23 + X33 + X43 > 35

Para G90Z11 + Z21 +Z31 + Z41 < 50

Z11 + Z21 + Z31 + Z41 > 35

Z12 + Z22 + Z32 + Z42 < 60

Z12 + Z22 + Z32 + Z42 > 42

Z13 + Z23 + Z33 + Z43 < 70

Z13 + Z23 + Z33 + Z43 > 49

Las horas de producción para cada planta no puede exceder de la cantidad de horas de producción total

6X1 + 6Z1 - 640Y1 0

7X2 + 8Z2 - 960Y2 0

9X3 + 7Z3 - 480Y3 0

5X4 + 9Z4 - 640Y4 0

Todos Xij, Xi, Zij, Zi > 0, y Yi son 0,1.

Calculo de la solución óptima mediante WINQSBCalculo de la solución óptima mediante WINQSB

ResumenResumen

La planta de Philadelphia debe ser cerrada.La planta de Philadelphia debe ser cerrada.

El esquema de producción mensual debe El esquema de producción mensual debe realizarse de acuerdo a los resultados realizarse de acuerdo a los resultados obtenidos de la solución.obtenidos de la solución.

La ganancia neta mensual será de $266.115, La ganancia neta mensual será de $266.115, $34.544 más que cuando todas las plantas se $34.544 más que cuando todas las plantas se encontraban en operación.encontraban en operación.