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PROGRAMACION LINEAL ENTERALuis Medina AquinoPROGRAMACION LINEAL ENTERAEn muchos modelos algunas o todas las variables de decisin deben ser enteras.Estos modelos son conocidos como modelos de programacin lineal entera (PLE).PROGRAMACION LINEAL ENTERAClasificacin:

PROGRAMACION LINEAL ENTERAPROBLEMA:Boxcar es una nueva cadena de restaurantes de comida rpida (fast-food) que est planificando expandirse en Washington DC. An cuando la comida es de alta calidad, la principal atraccin de esta cadena de restaurantes es su diseo. En el centro de la ciudad el interior del local se construy de tal forma de parecerse al interior de un container, mientras que en los suburbios los restaurantes se construyeron al interior de verdaderos containers.PROGRAMACION LINEAL ENTERALa compaa dispone de US$2.7 millones para su expansin. Cada restaurant en los suburbios requiere US$200,000 en inversin, y cada local en el centro requiere de US$600,000. Se proyecta que luego de los gastos, la ganancia neta semanal en los locales de los suburbios (que estarn abiertos las 24 horas) ser en promedio US$1200. Los restaurantes del centro abrirn slo 12 horas al da, pero debido a una gran cantidad de clientes durante las horas de trabajo las proyecciones indican que la ganancia neta semanal ser de US$2000.PROGRAMACION LINEAL ENTERALa compaa desea abrir al menos 2 restaurantes en el centro. Boxcar actualmente tiene 19 administradores. Cada local en los suburbios requerir tres administradores para su funcionamiento las 24 horas, y se cree que con slo un administrador en el centro por restaurante sera suficiente. Boxcar desea saber cuntos restaurantes podra abrir para maximizar su ganancia neta semanal. PROGRAMACION LINEAL ENTERARESUMIENDO:Boxcar debe decidir cuntos restaurantes debe abrir en los suburbios y en el centro de Washington DC. Desean maximizar su ganancia total semanal promedio. La inversin total no puede exceder US$2.7 millones Se deben abrir al menos 2 restaurantes en el centro Slo se cuenta con 19 administradores. PROGRAMACION LINEAL ENTERAFORMULACION:

Maximizar Z = 1200 X1 + 2000 X2 s.a. 200000 X1 + 600000 X2 = 2 3 X1 + X2 = 0, enterosPROGRAMACION LINEAL ENTERALa solucin real del problema es: X1 = 87/16 = 5.4375, X2 = 43/16 = 2.6875, Z = US$ 11,900 La solucin entera podr ser solo redondear simplemente los valores de la solucin real? Posibles resultados del redondeo:1. Los puntos pueden ser no-factibles2. Los puntos pueden ser factibles pero no-ptimos3. Los puntos pueden ser factibles y ptimosPROGRAMACION LINEAL ENTERASolucin real del problema: X1 = 5.4375, X2 = 2.6875, Z = US$ 11,900 Posibles redondeos:X1X2Es factible?Z63 NO---62NO---53NO---52SI10000Maximizar Z = 1200 X1 + 2000 X2s.a.200000 X1 + 600000 X2 = 2 3 X1 + X2 = 0, enteros PROGRAMACION LINEAL ENTERALa solucin entera del problema es: X1 = 4, X2 = 3, Z = US$ 10.800 Nota: Imponer restriccin de enteros agrega dos restricciones al problema: X1 entero y X2 entero. As es que tal como vimos antes el valor de la funcin objetivo NO puede mejorar. En un problema de maximizacin esto significa que el valor de la funcin objetivo disminuir o en el mejor de los casos ser el mismo que el valor ptimo del problema de programacin lineal en el dominio de los reales. PROGRAMACION LINEAL ENTERAVARIABLES BINARIASSe denominan variables binarias aquellas que estn restringidas a dos valores nicamente, por lo general estos valores son cero y uno.Si Y < 1Y > 0Y es enteraEntonces Y es una variable binaria {0,1}APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASDECISIONES DICOTOMICAS Cuando se tienen solo 2 elecciones, la decisin se puede representar por variables de decisin restringidas exclusi-vamente a 2 valores.Yi = 1, si la decisin i es s 0, si la decisin i es no Ejemplos: Debe emprenderse este proyecto i?Debe hacerse esta inversin en particular?Debe realizarse esta instalacin en este sitio en particular?

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Si se tiene un conjunto de alternativas de decisin, pero slo una decisin en el grupo puede ser si, se requiere de este tipo de restricciones. Yi = 1 Exactamente una decisin en el grupo debe ser si. Yi 1 Cuando mucho una decisin en el grupo puede ser si.En donde la suma se toma nicamente sobre las variables del grupoAPLICACIONES DE VARIABLES BINARIASDECISIONES CONTINGENTES. Se dice que una decisin es contingente cuando depende de decisiones anteriores, en otras palabras:La decisin K es contingente con la decisin J si se permite que K sea Si nicamente cuando J es Si.Esto sucede cuando la decisin K comprende una accin consecuente que se volvera irrelevante o imposible si la decisin J es no.APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASDECISIONES CONTINGENTES. En forma de restriccin, escribiramos:Yk < YjSi Yj = 1 Permite elegir libremente a Yk , o sea que puede tomar el valor de cero o de uno segn convenga a la funcin objetivo. Mientras que Yj = 0 fuerza a que Yk = 0Matemticamente se escribira:Yk - Yj < 0APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRESTRICCIONES ALTERNATIVAS: En ocasiones puede elegirse entre dos restricciones, de manera que debe cumplirse una "o bien" la otra.

En un modelo de Programacin Lineal TODAS las restricciones deben cumplirse para que ste tenga solucin factible, esto se debe a que la presencia de restricciones del tipo "o bien" crea un espacio de soluciones no convexo. Ejemplo: 3 X1 + 2 X2 < 20, o bien, X1 + 3 X2 < 15APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRESTRICCIONES ALTERNATIVAS: Lo anterior se puede evitar incorporando al modelo variables binarias y definiendo a M como un nmero suficientemente grande el cual, al sumarlo a cualquiera de las restricciones, automticamente estaramos eliminando esa restriccin porque sera redundante.APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRESTRICCIONES ALTERNATIVAS: En el ejemplo:3 X1 + 2 X2 < 20, o bien,X1 + 3 X2 < 15Podemos hacer redundante cualquiera de las dos al agregarle M3 X1 + 2 X2 < 20 + MX1 + 3 X2 < 15o bien3 X1 + 2 X2 < 20X2 + 3 X2 < 15 + MAPLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRESTRICCIONES ALTERNATIVAS: Como no sabemos cual de las dos alternativas anteriores sea la mas conveniente, introducimos la variable binaria Y, y dejamos que el proceso de solucin asigne el valor mas conveniente para esta variable, y al hacerlo seleccione automticamente la mejor alternativa.Y = 0, si se elimina la primera restriccin. 1, si se elimina la segunda restriccin.{ APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRESTRICCIONES ALTERNATIVAS: 3X1 + 2X2 < 20 + M (1-Y) redundante para Y = 0, y activa para Y=1.X1 + 3X2 < 15 + M (Y ) activa para Y = 0, y redundante para Y=1.Reordenando los trminos (todas las variables del lado izq.) quedara: 3X1 + 2X2 + MY < 20 + MX1 + 3X2 - MY < 15Y es binario {0,1}APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRESTRICCIONES DE APORTACIONES Suponga que se tienen las siguientes restricciones:a) Si se compra el producto j, se deben adquirir por lo menos 20 unidades.b) No se pueden adquirir ms de 100 unidades del producto j.Sea Xj = unidades que se adquieren del producto jUn intento por representar las restricciones de a) y b) podra ser:20 < Xj < 100APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRESTRICCIONES DE APORTACIONES Sin embargo, esta restriccin no representa las condiciones ya que obliga a que la variable Xj tome valores entre 20 y 100, y no considera la condicin Si...Si definimos una variable binaria Yj para representar la decisin respecto a comprar o no comprar el artculo j, tendremos:Yj = 1, Indica que Si se compra el artculo jYj = 0, Indica que No se compra el artculo j.APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRESTRICCIONES DE APORTACIONES Podramos expresar las condiciones a) y b) de la siguiente manera:Xj < 100YjXj > 20YjSi Yj = 0, obliga a que Xj sea 0, mientras que si Yj = 1 permite que la variable Xj tome valores entre 20 y 100.APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASEjemplo 1:Cierta compaa industrial ha decidido expandirse construyendo una nueva fbrica ya sea en Lima o en Arequipa. Est considerando tambin la construccin de un nuevo almacn en aquella ciudad que se seleccione para la nueva fabrica. La informacin sobre cada alternativa se muestran en la siguiente tabla. El capital disponible para inversin es $ 35, 000, 000.El objetivo es encontrar la combinacin de alternativas que maximice el valor presente neto.

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASValor presente netoCapital requerido inversinFabrica en Lima7 millones20 millonesFabrica en Arequipa5 millones15 millonesAlmacn en Lima4 millones12 millonesAlmacn en Arequipa3 millones10 millonesAPLICACIONES DE VARIABLES BINARIASPlanteamiento con variables binariasNumero deDecisinPregunta deS o NoVariable deDecisinValor Presente NetoCap. Req. de inversin (mills )1Se construye la fabrica en Lima ?Y17202Se construye la fbrica en Arequipa?Y25153Se construye el almacn en Lima?Y34124Se construye el almacn en Arequipa ?Y4310APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASSea:Yi = 1, si la decisin i es Si donde i = 1,2,3,4 0, si la decisin i es NoLas primeras dos decisiones representan alternativas mutuamente excluyentes.Y1 + Y2 = 1Las decisiones 3 y 4 son contingentes en relacin con las decisiones 1 y 2.Y3 - Y1 0Y4 - Y2 0

{ APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASEjemplo 2:Cierta compaa fabricante de pinturas tiene disponibles tres procesos diferentes estandarizados para producir pinturas blancas para casas. Cada proceso tiene unos costos fijos y un costo de proceso por galn. La capacidad de cada proceso es como sigue:

ProcesoNmeroCostofijoCosto($ / galn )Capacidad mxima diaria( galones )1$ 10052000220043000330034000APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASLa compaa espera una demanda diaria de 3500 galones. El problema es mostrar qu procesos usar y qu capacidades con el fin de satisfacer su demanda diaria con un costo total mnimo.

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASFormulacin del modeloVariables de decisin. Sea

Las variables Y1, Y2, Y3 son variables binarias {0,1}

Y1 =Y2 = Y3 = 1, Si el proceso 1 es usado 0, Si el proceso 1 no es usado 1, Si el proceso 2 es usado 0, Si el proceso 2 no es usado 1, Si el proceso 3 es usado 0, Si el proceso 3 no es usadoLas variables Y1, Y2, Y3 son variables binarias (0,1)Las variables Y1, Y2, Y3 son variables binarias (0,1)APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASVariables de decisin.SeaX1 = Cantidad de galones que se produce en el proceso 1X2 = Cantidad de galones que se produce en el proceso 2X3 = Cantidad de galones que se produce en el proceso 3

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASFuncin objetivo. El objetivo es escoger los procesos y los niveles de produccin para satisfacer la demanda diaria minimizando el costo total.Sea Z una variable que denota el costo total.Entonces

Z = 5X1 + 4X2 + 3X3Costo total variable de produccin+ 100Y1 + 200Y2 + 300Y3 Costo total fijoAPLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRestricciones. Tenemos dos tipos de restricciones sobre las variables de desicin. Para satisfacer la demanda diaria:X1 + X2 + X3 = 3500Para no sobrepasar el lmite de capacidad:Proceso 1: X1 2000 Proceso 2 :X2 3000 Proceso 3 :X3 4000Observe que si usamos cualquier proceso a un nivel positivo, tenemos que garantizar que se ha incurrido tanto en los costos fijos como en los costos variables de produccin. APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASEsto es, por ejemplo, si X1 > 0 (usamos el proceso 1) entonces Y1 = 1 ( tenemos que seleccionar el proceso 1).Esto lleva a las siguientes relaciones entre las variables continuas Xj y las variables entera Yj.Para proceso 1: Si X1 = 0, entonces Y1 = 0Si X1 > 0, entonces Y1 = 1Si Y1 = 0, entonces X1 = 0.

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASPara proceso 2 : Si X2 = 0, entonces Y2 = 0Si X2 > 0, entonces Y2 = 1Si Y2 = 0, entonces X2 = 0.Para proceso 3 : Si X3 = 0, entonces Y3 = 0Si X3 > 0, entonces Y3 = 1.Si Y3 = 0, entonces X3 = 0.

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASCada conjunto de tres restricciones dadas antes, simultneamente con la correspondiente restriccin de capacidad, pueden ser combinadas en una sola restriccin.Para el primer conjunto de tres restricciones (proceso 1) consideremos la desigualdadX1 2000Y1Observe que la desigualdad tambin incluye la restriccin de capacidad para proceso 1.APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRecuerde que Y1 tiene que ser 0 1. As, si Y1 = 0 en 2000Y1 X1, entonces 2000Y1 = 0, lo cual implica que X1 = 0. Si X1 = 0, entonces Y1 = 0, ya que estamos minimizando el costo total Z. Si X1 > 0, entonces 2000Y1 > 0 puede ocurrir solamente si Y1 = 1. De manera similar se expresara la dependencia entre las variables asociadas a los otros dos procesos.APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASEl modelo completo quedara:.PROBLEMA DE PROGRAMACION ENTERAMinimizar Z = 5X1 + 4X2 + 3X3 + 100Y1 + 200Y2 + 300Y3Sujeto a:X1 + X2 + X3 = 3500X1 2000Y1X2 3000Y2X3 4000Y3Yi es binaria para i = 1, 2, 3 Xi 0 para i = 1, 2, 3

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASEJEMPLO 3.- Problema de presupuesto de capitalCierta compaa tiene la oportunidad de invertir el prximo ao en cinco proyectos diferentes, P1, P2, P3, P4 y P5, cada uno con un beneficio neto estimado y un costo esperado de inversin que se muestra en la tabla .

Proyecto nmeroBeneficio neto esperado( 000 s )Costo esperado( miles)1$ 100$ 6028040370204604059050APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASYa que de los diferentes requerimientos de cada proyecto (mano de obra, equipo, etc.), los costos varan de proyecto a proyecto. Adems las obligaciones de requerimientos de flujo de caja hacen que la Cia. no pueda invertir en todos los cinco proyectos.La Cia. estima que tendr una disponibilidad de caja en la cantidad de $150000 para el prximo ao.

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASa) En cuales proyectos podra invertir la Cia. el prximo ao?Variables de decisin

Y1, Y2, Y3, Y4 y Y5 Son variables binarias

Yj =1, si el proyecto j es seleccionado (j = 1, 2, 3, 4, 5).0, si el proyecto j no es seleccionadoAPLICACIONES DE VARIABLES BINARIASFuncin objetivoLa meta de la Cia. es seleccionar los proyectos que maximicen la utilidad total esperada.Sea Z = utilidad total esperada, entonces la funcin objetivo esMaximizar Z = 100Y1 + 80Y2 + 70Y3 + 60Y4 + 90Y5

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRestricciones sobre las variables de decisin.Cantidad disponible para inversin:60Y1 + 40Y2 + 20Y3 + 40Y4 + 50Y5 150

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASb) Suponga que la gerencia ha decidido que exactamente un proyecto debe ser seleccionado del conjunto de proyectos P1, P3 y P5. Pero, los proyectos P2 y P4 pueden ser seleccionados sujetos a la restriccin de presupuesto. Cul restriccin (o restricciones) necesita ser agregada al modelo original?

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASSolucin.- Ya que uno de P1, P3, P5 y solo uno, puede ser seleccionado, exactamente una de las tres variables Y1, Y3 o Y5 puede tomar el valor de uno.Y1 + Y3 + Y5 = 1. Restriccin a ser agregada

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASc) Suponga que la Cia. ha decidido que no ms de uno de los dos proyectos, P2 y P4, puede ser seleccionado. Cul restriccin adicional necesita ser agregada al modelo original?Y2 + Y4 1. Restriccin a ser agregada

APLICACIONES DE VARIABLES BINARIASd) Suponga que la Cia. ha decidido que si P3 es seleccionado, entonces P4 tiene que ser seleccionada. Cul restriccin adicional necesita ser agregada al modelo original?SolucinY3 Y4. Restriccin a ser agregadaAPLICACIONES DE VARIABLES BINARIASRESUMEN DEL MODELO DE PROGRAMACION ENTERA Maximizar Z = 100Y1 + 80Y2 + 70Y3 + 60 Y4 + 90Y5Sujeto a 60Y1 + 40Y2 + 20Y3 + 40Y4 + 50Y5 150Y1 + Y3 + Y5 = 1Y2 + Y4 1Y3 - Y4 0Yi es binaria para i = 1, 2, 3, 4, 5.Proyecto nmeroBeneficio neto esperado( 000 s )Costo esperado( miles)1$ 100$ 6028040370204604059050GRACIAS

Ing. Luis MedinaModeloTipos de Variables de Decisin

Completamente entero (PLE)Todas son enteras

Mixto (PLM)Algunas, pero no todas son enteras

Binaria (PLB)Todas son binarias (0 1)