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INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables binarias (0-1) 1

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  • INVESTIGACION DE OPERACIONES

    PROGRAMACION LINEAL ENTERA

    1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables binarias (0-1)

    1

  • 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera

    Programación lineal entera o programación con enteros son modelos de programación matemática que presentan condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisión deben tener valores enteros.

    Aplicaciones: 1. Número de empleados a contratar. 2. Cantidad de máquinas necesarias para la producción 3. Número de viajes a realizar. 4. Cantidad de piezas a producir 5. Cantidad de locales a instalar

    2

  • • Los modelos de Programación Lineal Entera (PLE)

    se resuelven de manera distinta que los modelos de

    Programación Lineal (PL).

    • Los algoritmos que resuelven los modelos lineales

    enteros no entregan resultados de análisis de

    sensibilidad.

  • Clasificación de los modelos de PLE:

    Modelo

    Tipos de Variables de Decisión

    Completamente entero (PEP)

    Todas son enteras

    Mixto (PLEM)

    Algunas, pero no todas son enteras

    Binaria (PLBI)

    Todas son binarias (0 ó 1)

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  • Consideraciones generales:

    Si un modelo de enteros se resuelve como un modelo

    lineal simple, la solución óptima puede ser no entera.

    Al aproximar a valores enteros se puede obtener:

    Soluciones no-factibles

    Soluciones factibles pero no óptimas

    Soluciones óptimas.

    5

  • Modelo entero puro (PEP)

    Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3

    Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 576

    7X1 + 18X2 + 22X3 83

    X1, X2, X3 enteros

    8

  • Programación lineal entera-mixta (PLEM)

    Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3

    Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 576

    7X1 + 18X2 + 22X3 83

    X1, X2, X3 0 ; X1 y X2 enteros.

    9

  • Programación Lineal Binaria

    Min 24X11+10X12+21X13+14X21+22X22+10X23+15X31 +17X32+20X33

    Sujeto a X11+X12+X13 ≤ 1 X21+X22+X23 ≤ 1 X31+X32+X33 ≤ 1 X11+X21+X31 = 1 X12+X22+X32 = 1 X13+X23+X33 = 1 Xij = 0,1

    10

  • PROBLEMA CON VARIABLES ENTERAS

    “El Cafetín” es una nueva cadena de restaurantes de comida rápida que está planificando posicionarse en Lima y ofrecer productos de alta calidad, pero considera que su principal atracción será el diseño de sus locales. Los locales se ubicarán en el centro de Lima y en otros distritos. Los primeros se construirán de forma que “parecerán” el interior de un contenedor (container), mientras que los locales ubicados en otros distritos, se construirán al interior de verdaderos contenedores. La compañía dispone de S/. 2.7 millones para su expansión, desea abrir al menos 2 restaurantes en el centro de la ciudad y cuenta con 19 postulantes a administradores calificados para el puesto. Adicionalmente considere lo siguiente:

    Valores por Restaurante en el Restaurante fuera del restaurante centro de Lima centro de Lima

    Inversión (S/.) 600 000 200 000

    Ganancia (S/.) 2000 000 1200 000

    N° de administradores 1 3

    El gerente general desea saber cuántos restaurantes podría abrir para maximizar la ganancia neta semanal. 11

  • La solución real del problema es:

    F = 87/16 = 5.44, C = 43/16 = 2.69, Z = US$ 11.900

    Entonces,

    ¿Por qué no redondear simplemente los valores la solución

    real?

    Posibles resultados del redondeo:

    Los puntos pueden ser no-factibles

    Los puntos pueden ser factibles pero no-óptimos

    Los puntos pueden ser factibles y óptimos

    Veamos los puntos F = 6, C = 3 ¿qué sucede?

    12

  • Nota:

    Imponer restricción de enteros agrega dos restricciones al problema: F entero y C entero. El valor de la función objetivo NO puede mejorar. En un problema de maximización esto significa que el valor de la función objetivo disminuirá o en el mejor de los casos será el mismo que el valor óptimo del problema de programación lineal en el dominio de los reales.

    La solución entera del problema es: F = 4, C = 3, Z = US$ 10 800 000

    13

  • APLICACIONES DE LA PLE

    a) Variables binarias Problema de Inversiones.

    Una empresa está pensando invertir en cuatro

    proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo más

    en 3 años. Los flujos de caja requeridos en cada año

    junto con el Valor Presente Neto de cada proyecto,

    concluidos los años de ejecución, y las disponibilidades

    de recursos financieros se resumen en la siguiente

    tabla:

    14

  • Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos

    Año 1 10 8 6 12 30

    Año 2 8 15 4 0 15

    Año 3 18 0 16 0 12

    V.P.N. 35 18 24 16

    Se requiere determinar en cuáles proyectos se

    recomienda invertir de modo de conseguir el mayor

    V.P.N. de la inversión.

  • Variables de decisión: 1 si se invierte en el proyecto i Xi = con i= 1, 2, 3, 4

    0 si no se invierte en el proyecto i

    Función objetivo:

    Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4

    Restricciones (tres alternativas):

    1 Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período

    Año 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30

    Año 2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 = 15 + s1

    Año 3: 18x1 + 16x3 12 + s2

    xi {0,1} i = 1,2,3,4

  • 2 Sin invertir el dinero no utilizado en un período, pero

    utilizando el retorno de los proyectos concluIdos:

    Año 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 30

    Año 2: 8x1 + 15x2 + 4x3

    15 + 16x4

    Año 3: 18x1

    + 16x3

    12 + 18x2

    Xi {0,1} i = 1,2,3,4

    3 Reinvirtiendo dinero no utilizado en un período y retorno de

    proyectos concluidos:

    Año 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30

    Año 2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 15 + s1 + 16x4

    Año 3: 18x1 + 16x3 12 + s2 + 18x2

    Xi {0,1} i = 1,2,3,4

  • Otras restricciones del problema:

    Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primeros proyectos:

    x1 + x2 + x3 ≥ 1

    Si invierto en el proyecto i se debe invertir en el

    proyecto j:

    Ejemplo:

    xi ≤ xj

    No se puede ejecutar el proyecto 2 a menos que el

    proyecto 3 sea ejecutado:

    x2 ≤ x3

  • Otras restricciones del problema:

    Se puede invertir en el proyecto i o en el proyecto j,

    pero no en ambos:

    xi + xj ≤ 1

    No se puede invertir en más de dos proyectos:

    xi + x2 + x3 + x4 ≤ 2

  • Si se invierte en el proyecto i y en el proyecto j,

    entonces se debe invertir en el proyecto k:

    xi + xj ≤ 1 + xk

    Si se invierte en el proyecto i o en el proyecto j,

    entonces se debe invertir en el proyecto k:

    xi + xj ≤ 2xk

    Si se invierte en el proyecto i no se debe invertir en

    el proyecto j:

    xi ≤ 1 - xj

  • IMPORTANTE:

    En los problemas de programación lineal entera no es

    posible realizar el análisis de sensibilidad.

    Cualquier cambio en los coeficientes de la función

    objetivo o en los coeficientes del lado derecho implicará

    que se deba resolver el problema nuevamente.

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  • 2. El problema de asignación

    Los problemas de asignación típicos implican asignar trabajos a máquinas, agentes a tareas, personal de ventas a territorios de ventas, contratos a licitadores, etc.

    Característica: Un agente se asigna a una y sólo una tarea.

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  • Ejemplo:

    Consideremos la empresa Publiciux que acaba de recibir solicitudes para estudios de investigación de mercado de tres clientes nuevos. La compañía enfrenta el reto de asignar un líder de proyecto (agente) a cada cliente (tarea). En la actualidad tres individuos no tienen otros compromisos y están disponibles para las asignaciones de líder del proyecto. Sin embargo, la administración de Publiciux se da cuenta de que el tiempo requerido para completar cada estudio dependerá de la experiencia y capacidad del líder del proyecto asignado.

    Los tres proyectos tienen casi la misma prioridad y la administración desea asignar líderes de proyecto para minimizar la cantidad de días requeridos para completar los tres proyectos.

    26

  • Si sólo se va a asignar un líder a un cliente, ¿qué asignaciones deberían hacerse?

    Las alternativas y los tiempos estimados (en días) para completar el proyecto se muestran en la siguiente tabla:

    Líder del proyecto. Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

    1.- Asterix 10 15 9

    2.- Obelix 9 18 5

    3.- Druida 6 14 3

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  • Como en el problema transporte usamos variables de decisión con doble subíndice:

    X11: Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 1 X12: Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 2 X13: Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 3

    Xij : Representará la asignación del líder del proyecto i al cliente j

    Definimos las variables de decisión para el problema de asignación de Publiciux de la siguiente manera:

    Xij : 1 si el líder del proyecto i se asigna al cliente j, 0 en otro caso

    28

  • En el siguiente modelo de red se puede apreciar la variable y el tiempo que emplearía en el caso de que su valor sea 1:

    1 1 Asterix

    1 2 Obelix

    3 1 Druida

    X11, 10

    X22, 18

    X33, 3

    Cliente 1 1

    Cliente 1 2

    Cliente 1

    3

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  • Lo que se desea es minimizar los tiempos de ejecución de los tres proyectos, luego la función objetivo será:

    Min z = 10 x11 + 15 x12 + 9 x13 + 9 x21 + 18 x22 + 5 x23 + 6 x31 + 14 x32 + 3 x33

    s.a.:

    x11 + x12 + x13 =1 Asignación de Asterix

    x21 + x22 + x23 =1 Asignación de Obelix

    x31 + x32 + x33 =1 Asignación de Druida

    x11 + x21 + x31 =1 Cliente 1

    x12 + x22 + x32 =1 Cliente 2

    x13 + x23 + x33 =1 Cliente 3

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  • La solución del POM a este problema es la siguiente:

    (untitled) Solution

    X11 X12 X13 X21 X22 X23 X31 X32 X33 RHS Dual

    Minimize 10 15 9 9 18 5 6 14 3

    Asignación de Asterix 1 1 1 0 0 0 0 0 0 = 1 -7

    Asignación de Obelix 0 0 0 1 1 1 0 0 0 = 1 -5

    Asignación de Druida 0 0 0 0 0 0 1 1 1 = 1 -3

    Cliente 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = 1 -3

    Cliente 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = 1 -8

    Cliente 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 = 1 0

    Solution-> 0 1 0 0 0 1 1 0 0 26

    31

  • Esto quiere decir que : Asterix se asignará al cliente 2, Obelix se asignará al cliente 3 y Druida se asignará al cliente 1. El tiempo total en que esta asignación cumplirá con los tres clientes es de 26 días

    1 1 Asterix

    2 1

    Obelix

    3 1 Druida

    Cliente 1 1

    Cliente 1 2

    Cliente 1 3

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  • Ejemplo de distribución de presupuesto

    • La empresa MNG dispone de US$ 20 000 para invertir en

    cuatro posibles alternativas, buscando maximizar el Valor

    Actual Neto de todas las inversiones juntas, de acuerdo con

    el cuadro siguiente:

    Alternativa Monto de inversión VAN (US$) requerido (US$)

    A 5 000 16 000

    B 7 000 22 000

    C 4 000 12 000

    D 6 000 8 000

    La gerencia general ha dispuesto que se invierta como máximo en tres

    alternativas.

    Si se invierte en la alternativa 2 no se podrá invertir en la alternativa 4.

    Si se invierte en la alternativa 2, también tendrá que invertir en la 1.

  • 35

    Problema de alquiler (Costo fijo)

    Una empresa dedicada a la comercialización de gaseosas,

    tiene a su disposición 3 depósitos que puede alquilar para

    almacenar sus productos. Los almacenes están ubicados en

    Lima, Trujillo y Arequipa y se distribuyen en Piura, Lima y

    Arequipa. En el cuadro siguiente se indica el costo por viaje

    (por camión) expresado en soles ¿Cuántos camiones

    deberá enviar desde cada almacén a cada punto de venta?

    ALMACENES DISTRIBUIDORAS

    Piura Lima Arequipa Capacidad mensual (camiones)

    Trujillo 250 300 600 120

    Lima 400 200 500 340

    Arequipa 800 450 180 200

    Demanda mensual 120 (camiones)

    360 180

  • Supongamos ahora que utilizar un almacén implica

    pagar un costo de alquiler mensual. En Trujillo el importe es de 2500 soles; en Lima es de cinco mil soles y en Arequipa es de 3500 soles. Actualice el modelo.

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