INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA...

30
INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables binarias (0-1) 1

Transcript of INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA...

Page 1: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

INVESTIGACION DE OPERACIONES

PROGRAMACION LINEAL ENTERA

1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables binarias (0-1)

1

Page 2: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera

Programación lineal entera o programación con enteros son modelos de programación matemática que presentan condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisión deben tener valores enteros.

Aplicaciones: 1. Número de empleados a contratar. 2. Cantidad de máquinas necesarias para la producción 3. Número de viajes a realizar. 4. Cantidad de piezas a producir 5. Cantidad de locales a instalar

2

Page 3: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

• Los modelos de Programación Lineal Entera (PLE)

se resuelven de manera distinta que los modelos de

Programación Lineal (PL).

• Los algoritmos que resuelven los modelos lineales

enteros no entregan resultados de análisis de

sensibilidad.

Page 4: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Clasificación de los modelos de PLE:

Modelo

Tipos de Variables de Decisión

Completamente entero (PEP)

Todas son enteras

Mixto (PLEM)

Algunas, pero no todas son enteras

Binaria (PLBI)

Todas son binarias (0 ó 1)

4

Page 5: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Consideraciones generales:

Si un modelo de enteros se resuelve como un modelo

lineal simple, la solución óptima puede ser no entera.

Al aproximar a valores enteros se puede obtener:

Soluciones no-factibles

Soluciones factibles pero no óptimas

Soluciones óptimas.

5

Page 6: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Modelo entero puro (PEP)

Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3

Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 576

7X1 + 18X2 + 22X3 83

X1, X2, X3 enteros

8

Page 7: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Programación lineal entera-mixta (PLEM)

Minimizar 6X1 + 5X2 + 4X3

Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 576

7X1 + 18X2 + 22X3 83

X1, X2, X3 0 ; X1 y X2 enteros.

9

Page 8: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Programación Lineal Binaria

Min 24X11+10X12+21X13+14X21+22X22+10X23+15X31

+17X32+20X33

Sujeto a X11+X12+X13 ≤ 1 X21+X22+X23 ≤ 1 X31+X32+X33 ≤ 1 X11+X21+X31 = 1 X12+X22+X32 = 1 X13+X23+X33 = 1 Xij = 0,1

10

Page 9: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

PROBLEMA CON VARIABLES ENTERAS

“El Cafetín” es una nueva cadena de restaurantes de comida rápida que está planificando posicionarse en Lima y ofrecer productos de alta calidad, pero considera que su principal atracción será el diseño de sus locales. Los locales se ubicarán en el centro de Lima y en otros distritos. Los primeros se construirán de forma que “parecerán” el interior de un contenedor (container), mientras que los locales ubicados en otros distritos, se construirán al interior de verdaderos contenedores. La compañía dispone de S/. 2.7 millones para su expansión, desea abrir al menos 2 restaurantes en el centro de la ciudad y cuenta con 19 postulantes a administradores calificados para el puesto. Adicionalmente considere lo siguiente:

Valores por Restaurante en el Restaurante fuera del restaurante centro de Lima centro de Lima

Inversión (S/.) 600 000 200 000

Ganancia (S/.) 2000 000 1200 000

N° de administradores 1 3

El gerente general desea saber cuántos restaurantes podría abrir para maximizar la ganancia neta semanal. 11

Page 10: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

La solución real del problema es:

F = 87/16 = 5.44, C = 43/16 = 2.69, Z = US$ 11.900

Entonces,

¿Por qué no redondear simplemente los valores la solución

real?

Posibles resultados del redondeo:

Los puntos pueden ser no-factibles

Los puntos pueden ser factibles pero no-óptimos

Los puntos pueden ser factibles y óptimos

Veamos los puntos F = 6, C = 3 ¿qué sucede?

12

Page 11: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Nota:

Imponer restricción de enteros agrega dos restricciones al problema: F entero y C entero. El valor de la función objetivo NO puede mejorar. En un problema de maximización esto significa que el valor de la función objetivo disminuirá o en el mejor de los casos será el mismo que el valor óptimo del problema de programación lineal en el dominio de los reales.

La solución entera del problema es: F = 4, C = 3, Z = US$ 10 800 000

13

Page 12: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

APLICACIONES DE LA PLE

a) Variables binarias Problema de Inversiones.

Una empresa está pensando invertir en cuatro

proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo más

en 3 años. Los flujos de caja requeridos en cada año

junto con el Valor Presente Neto de cada proyecto,

concluidos los años de ejecución, y las disponibilidades

de recursos financieros se resumen en la siguiente

tabla:

14

Page 13: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos

Año 1 10 8 6 12 30

Año 2 8 15 4 0 15

Año 3 18 0 16 0 12

V.P.N. 35 18 24 16

Se requiere determinar en cuáles proyectos se

recomienda invertir de modo de conseguir el mayor

V.P.N. de la inversión.

Page 14: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Variables de decisión: 1 si se invierte en el proyecto i

Xi = con i= 1, 2, 3, 4

0 si no se invierte en el proyecto i

Función objetivo:

Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4

Restricciones (tres alternativas):

1 Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período

Año 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30

Año 2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 = 15 + s1

Año 3: 18x1 + 16x3 12 + s2

xi {0,1} i = 1,2,3,4

Page 15: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

2 Sin invertir el dinero no utilizado en un período, pero

utilizando el retorno de los proyectos concluIdos:

Año 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 30

Año 2: 8x1 + 15x2 + 4x3

15 + 16x4

Año 3: 18x1

+ 16x3

12 + 18x2

Xi {0,1} i = 1,2,3,4

3 Reinvirtiendo dinero no utilizado en un período y retorno de

proyectos concluidos:

Año 1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30

Año 2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 15 + s1 + 16x4

Año 3: 18x1 + 16x3 12 + s2 + 18x2

Xi {0,1} i = 1,2,3,4

Page 16: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Otras restricciones del problema:

Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primeros proyectos:

x1 + x2 + x3 ≥ 1

Si invierto en el proyecto i se debe invertir en el

proyecto j:

Ejemplo:

xi ≤ xj

No se puede ejecutar el proyecto 2 a menos que el

proyecto 3 sea ejecutado:

x2 ≤ x3

Page 17: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Otras restricciones del problema:

Se puede invertir en el proyecto i o en el proyecto j,

pero no en ambos:

xi + xj ≤ 1

No se puede invertir en más de dos proyectos:

xi + x2 + x3 + x4 ≤ 2

Page 18: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Si se invierte en el proyecto i y en el proyecto j,

entonces se debe invertir en el proyecto k:

xi + xj ≤ 1 + xk

Si se invierte en el proyecto i o en el proyecto j,

entonces se debe invertir en el proyecto k:

xi + xj ≤ 2xk

Si se invierte en el proyecto i no se debe invertir en

el proyecto j:

xi ≤ 1 - xj

Page 19: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

IMPORTANTE:

En los problemas de programación lineal entera no es

posible realizar el análisis de sensibilidad.

Cualquier cambio en los coeficientes de la función

objetivo o en los coeficientes del lado derecho implicará

que se deba resolver el problema nuevamente.

24

Page 20: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

2. El problema de asignación

Los problemas de asignación típicos implican asignar trabajos a máquinas, agentes a tareas, personal de ventas a territorios de ventas, contratos a licitadores, etc.

Característica: Un agente se asigna a una y sólo una tarea.

25

Page 21: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Ejemplo:

Consideremos la empresa Publiciux que acaba de recibir solicitudes para estudios de investigación de mercado de tres clientes nuevos. La compañía enfrenta el reto de asignar un líder de proyecto (agente) a cada cliente (tarea). En la actualidad tres individuos no tienen otros compromisos y están disponibles para las asignaciones de líder del proyecto. Sin embargo, la administración de Publiciux se da cuenta de que el tiempo requerido para completar cada estudio dependerá de la experiencia y capacidad del líder del proyecto asignado.

Los tres proyectos tienen casi la misma prioridad y la administración desea asignar líderes de proyecto para minimizar la cantidad de días requeridos para completar los tres proyectos.

26

Page 22: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Si sólo se va a asignar un líder a un cliente, ¿qué asignaciones deberían hacerse?

Las alternativas y los tiempos estimados (en días) para completar el proyecto se muestran en la siguiente tabla:

Líder del proyecto. Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

1.- Asterix 10 15 9

2.- Obelix 9 18 5

3.- Druida 6 14 3

27

Page 23: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Como en el problema transporte usamos variables de decisión con doble subíndice:

X11: Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 1 X12: Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 2 X13: Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 3

Xij : Representará la asignación del líder del proyecto i al cliente j

Definimos las variables de decisión para el problema de asignación de Publiciux de la siguiente manera:

Xij : 1 si el líder del proyecto i se asigna al cliente j, 0 en otro caso

28

Page 24: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

En el siguiente modelo de red se puede apreciar la variable y el tiempo que emplearía en el caso de que su valor sea 1:

1 1 Asterix

1 2 Obelix

3 1 Druida

X11, 10

X22, 18

X33, 3

Cliente 1 1

Cliente 1 2

Cliente 1

3

29

Page 25: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Lo que se desea es minimizar los tiempos de ejecución de los tres proyectos, luego la función objetivo será:

Min z = 10 x11 + 15 x12 + 9 x13 + 9 x21 + 18 x22 + 5 x23 + 6 x31 + 14 x32 + 3 x33

s.a.:

x11 + x12 + x13 =1 Asignación de Asterix

x21 + x22 + x23 =1 Asignación de Obelix

x31 + x32 + x33 =1 Asignación de Druida

x11 + x21 + x31 =1 Cliente 1

x12 + x22 + x32 =1 Cliente 2

x13 + x23 + x33 =1 Cliente 3

30

Page 26: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

La solución del POM a este problema es la siguiente:

(untitled) Solution

X11 X12 X13 X21 X22 X23 X31 X32 X33 RHS Dual

Minimize 10 15 9 9 18 5 6 14 3

Asignación de Asterix 1 1 1 0 0 0 0 0 0 = 1 -7

Asignación de Obelix 0 0 0 1 1 1 0 0 0 = 1 -5

Asignación de Druida 0 0 0 0 0 0 1 1 1 = 1 -3

Cliente 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = 1 -3

Cliente 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 = 1 -8

Cliente 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 = 1 0

Solution-> 0 1 0 0 0 1 1 0 0 26

31

Page 27: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Esto quiere decir que : Asterix se asignará al cliente 2, Obelix se asignará al cliente 3 y Druida se asignará al cliente 1. El tiempo total en que esta asignación cumplirá con los tres clientes es de 26 días

1 1 Asterix

2 1

Obelix

3 1 Druida

Cliente 1 1

Cliente 1 2

Cliente 1 3

32

Page 28: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Ejemplo de distribución de presupuesto

• La empresa MNG dispone de US$ 20 000 para invertir en

cuatro posibles alternativas, buscando maximizar el Valor

Actual Neto de todas las inversiones juntas, de acuerdo con

el cuadro siguiente:

Alternativa Monto de inversión VAN (US$) requerido (US$)

A 5 000 16 000

B 7 000 22 000

C 4 000 12 000

D 6 000 8 000

La gerencia general ha dispuesto que se invierta como máximo en tres

alternativas.

Si se invierte en la alternativa 2 no se podrá invertir en la alternativa 4.

Si se invierte en la alternativa 2, también tendrá que invertir en la 1.

Page 29: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

35

Problema de alquiler (Costo fijo)

Una empresa dedicada a la comercialización de gaseosas,

tiene a su disposición 3 depósitos que puede alquilar para

almacenar sus productos. Los almacenes están ubicados en

Lima, Trujillo y Arequipa y se distribuyen en Piura, Lima y

Arequipa. En el cuadro siguiente se indica el costo por viaje

(por camión) expresado en soles ¿Cuántos camiones

deberá enviar desde cada almacén a cada punto de venta?

ALMACENES DISTRIBUIDORAS

Piura Lima Arequipa Capacidad mensual (camiones)

Trujillo 250 300 600 120

Lima 400 200 500 340

Arequipa 800 450 180 200

Demanda mensual 120 (camiones)

360 180

Page 30: INVESTIGACION DE OPERACIONES ... - … · INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables

Supongamos ahora que utilizar un almacén implica

pagar un costo de alquiler mensual. En Trujillo el importe es de 2500 soles; en Lima es de cinco mil soles y en Arequipa es de 3500 soles. Actualice el modelo.

36