Programación lineal entera

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1 PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA Mapa Conceptual Pre-procesamiento y examinación de Técnicas para la programación de Problemas Enteros Mixtos 1). Técnicas básicas En la parte de técnicas básicas se contempla el método de ramificación y acotación. Se presentan varias técnicas que modifican una representación dada de un problema entero mixto. Cuando el conjunto de soluciones factibles del problema lineal relajado es reducido, pero el conjunto de soluciones factibles de un problema entero mixto no son afectadas. Esto puede reducir la integralidad, es decir, la diferencia entre los valores de la función objetivo del problema lineal relajado y el problema entero. En el trabajo se dan las condiciones para que un problema no tenga solución, es decir, el conjunto solución sea infactible, para identificar las redundancias y como mejorar los límites de las acotaciones. Posteriormente, en el artículo se examinan las técnicas básicas para fijar variables, mejorar acotaciones y mejorar coeficientes. 2). Extensiones de las Técnicas básicas En la segunda parte del artículo se trabaja sobre los mismos puntos que en las técnicas básicas: Identificación de infactibilidad, identificación de redundancias, mejoramiento de las cotas, fijación de variables y mejoramiento de coeficientes, pero bajo condiciones particulares con lo cual se pueden aplicar nuevas técnicas que mejoran el método de solución. 1). Técnicas básicas para los problemas de programación entera mixta 2). Extensiones de las técnicas básicas para los problemas de programación de entera mixta Técnicas para la programación de problemas enteros mixtos

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1

PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

Mapa Conceptual

Pre-procesamiento y examinación de Técnicas para la programación de Problemas Enteros

Mixtos

1). Técnicas básicas

En la parte de técnicas básicas se contempla el método de ramificación y acotación. Se presentan

varias técnicas que modifican una representación dada de un problema entero mixto. Cuando el

conjunto de soluciones factibles del problema lineal relajado es reducido, pero el conjunto de

soluciones factibles de un problema entero mixto no son afectadas. Esto puede reducir la

integralidad, es decir, la diferencia entre los valores de la función objetivo del problema lineal

relajado y el problema entero.

En el trabajo se dan las condiciones para que un problema no tenga solución, es decir, el

conjunto solución sea infactible, para identificar las redundancias y como mejorar los límites de

las acotaciones.

Posteriormente, en el artículo se examinan las técnicas básicas para fijar variables, mejorar

acotaciones y mejorar coeficientes.

2). Extensiones de las Técnicas básicas

En la segunda parte del artículo se trabaja sobre los mismos puntos que en las técnicas básicas:

Identificación de infactibilidad,

identificación de redundancias,

mejoramiento de las cotas,

fijación de variables y

mejoramiento de coeficientes,

pero bajo condiciones particulares con lo cual se pueden aplicar nuevas técnicas que mejoran el

método de solución.

1). Técnicas básicas para los

problemas de programación

entera mixta

2). Extensiones de las

técnicas básicas para los

problemas de programación

de entera mixta

Técnicas para la programación de

problemas enteros mixtos

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Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

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EJERCICIOS

1).- Un estudio de cine planea producir 5 películas durante los próximos 3 años. Defina las

variables itx , donde el subíndice i se refiere a la película en particular ( 5,4,3,2,1i ) y el

subíndice t se refiere al año ( 3,2,1t ). Las variables itx son enteras binarias que valen 1 si

la i-ésima película se produce en el año t, y cero si no se produce. Modele las restricciones

de cada inciso, considerando que son independientes.

a).- No puede producir más que una película en el primer año.

b).- La película 2 no puede producirse antes que la película 3; sin embargo, pueden

producirse en el mismo año

c).- Debe producirse al menos una película cada año.

d).- La película 4 debe producirse a más tardar el año 2.

e).- La película 1 y 5 no pueden producirse en el mismo año.

2).- Problema 12.3-5

Una línea aérea piensa comprar Jets de pasajeros grandes, medianos y chicos. El precio de

compra será de $67 millones por cada avión grande, $50 millones por cada avión mediano y $35

millones por cada avión chico. El consejo directivo ha autorizado un compromiso máximo de

$1,500 millones para estas compras. Sin importar qué aviones se compren, se espera que las

distancias de viajes aéreos sean lo suficientemente grandes como para que los aviones se utilicen,

en esencia, a su capacidad máxima. Se estima que la ganancia neta anual (después de restar los

costos de recuperación de capital) será $4.2 millones para un avión grande, $3 millones para uno

mediano y $2.3 millones para un avión chico.

Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos entrenados para operar 30

aviones nuevos. Si sólo se compraran aviones chicos, las instalaciones de mantenimiento podrían

manejar 40 aviones, pero cada avión mediano equivale a 311 aviones chicos y cada avión grande

equivale a 321 aviones chicos, en términos de la utilización de las instalaciones de mantenimiento.

La gerencia desea saber cuántos aviones comprar a fin de maximizar la ganancia.

3).- Una compañía distribuidora desea minimizar el costo de transportar los bienes desde sus

almacenes A, B, C hasta los centros de venta al menudeo 1,2,3, . Los costos del transporte de

una unidad desde el almacén hasta el minorista aparecen en la siguiente tabla.

ALMACEN M1 M2 M3 COSTOS FIJOS

A 15 32 21 5000

B 9 7 6 750

C 11 18 5 600

DEMANDA 200 150 175

Los costos fijos de operación de cada almacén son 5000 para A 750 para B y 600 para C y por lo

menos 2 de ellos deben de estar abiertos a la vez. Podemos suponer que los almacenes tienen una

capacidad de almacenamiento ilimitada, formule y resuelva una PLE para decidir que almacenes

deberán abrirse y la cantidad de bienes que conviene enviar desde cada almacén a cada minorista

4).- El gerente de una empresa está tratando de decidir cuáles proyectos financiar para el próximo

año. Recibió 8 propuestas (A, B, C, D, E, F, G y H) que se muestran en la tabla de abajo.

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Investigación de Operaciones

3

Después de un estudio minucioso, hizo un cálculo estimado del valor de cada proyecto en una

escala de 0 a 100. El gerente desea encontrar una combinación de proyectos que tenga el

valor total más alto. Sin embargo, existen varias limitaciones. Cuenta con un presupuesto de

320,000 um; debe aceptar o descartar un proyecto (no hay inversión parcial); a lo más debe

invertir en uno de los proyectos G o H; finalmente si el proyecto A no recibe recursos,

entonces el proyecto D tampoco debe recibir recursos. Obtenga la mejor combinación de

proyectos.

Proyecto Costo en miles de um Valor

A 80 40

B 15 10

C 120 80

D 65 50

E 20 20

F 10 5

G 60 80

H 100 100

5).- Una ciudad considera la relocalización de sus subestaciones de policías para hacer frente al

crimen organizado. Los lugares bajo consideración y las áreas que cubrirían se describen a

continuación. Determine el número mínimo de subestaciones que cubren los servicios de

vigilancia de toda la ciudad.

Lugares potenciales para

ubicación de subestaciones

Áreas de la ciudad

que cubren

A 1, 5, 7

B 1, 2, 7

C 1, 3

D 2, 4, 5

E 3, 4

F 4, 5, 6

G 1, 6, 7

6).- Problema de asignación

Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los

siguientes:

Tipo de Nado Carlos Cristina David Antonio José

Dorso

Pecho

Mariposa

Libre

37.7

43.4

33.3

29.2

32.9

33.1

28.5

26.4

33.8

42.2

38.9

29.6

37.0

34.7

30.4

28.5

35.4

41.8

33.6

31.1

El entrenador quiere determinar cómo asignar cuatro nadadores a los cuatro tipos de nado para

minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes.

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Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

4

7).- Problema de asignación de personal

El administrador de un centro comercial, que debe atender las 24 horas, tiene el problema de

minimizar recursos en la nomina de los trabajadores. En la tabla de abajo a la izquierda se

muestra los periodos de 4 horas y la cantidad de personal necesario para atender. El problema

conociste en que los empleados son sindicalizados y por cuestiones de contrato con el sindicato

sus periodos de trabajo son de 8 horas, según el escalonamiento mostrado en la tabla de abajo a la

derecha.

Periodo Personal

necesario Turno

Inicio de

turno

Fin de

turno

9 pm a 1 am 13 1 9 pm 5 am

1 am a 5 am 1 2 1 am 9 am

5 am a 9 am 7 3 5 am 1 pm

9 am a 1 pm 6 4 9 am 5 pm

1 pm a 5 pm 6 5 1 pm 9 pm

5 pm a 9 pm 17 6 5 pm 1 am

Total 50

8).- A una compañía se le presentan 5 posibilidades de inversión, cuyos gastos y rendimientos en

miles de u.m. son:

Inversión 1 2 3 4 5

Gastos 8 4 6 3 9

Rendimientos 32 21 24 15 16

El capital total disponible para invertir es de $25,000 u.m. Además se debe cumplir que si

la cartera de inversiones de la compañía incluye la inversión 2, deberá seleccionar también la

inversión 4. Por otro lado, las inversiones 2 y 3 son mutuamente excluyentes. Plantee un modelo

que maximice los rendimientos.

9).- En una delegación del D.F. dividida en 5 colonias se quieren construir dos estaciones de

bomberos, para esto se han estudiado los lugares posibles en cada colonia en donde es factible

realizar la construcción de las estaciones. Una de las condiciones es que se puede construir

una sola estación de bomberos por colonia. Otra condición se refiere a que cada estación de

bomberos pueda responder a todos los llamados que reciba de cualquiera de las 5 colonias. El

objetivo es minimizar el promedio global de los tiempos de respuesta a los incendios por las

dos estaciones. La siguiente tabla da el tiempo promedio de respuesta (en minutos) a un

incendio desde cada lugar factible de la colonia en donde es posible construir la estación. El

último renglón proporciona el pronóstico del número promedio de incendios diarios que

ocurrirán en cada uno de los sectores.

Estación asignada

localizada en la

colonia

Tiempos de respuesta

incendios en la colonia

1 2 3 4 5

1 5 12 30 20 15

2 20 4 15 10 25

3 15 20 6 15 12

4 25 15 25 4 10

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Investigación de Operaciones

5

5 10 25 15 12 5

Frecuencia de

emergencias (por día) 2 1 3 1 3

Formule un modelo completo de PEB para el problema.

10).- Problema de distribución

Una empresa debe repartir las cantidades de materiales entre seis clientes (A, B, …, F), ver tabla

de abajo. Por otro lado, existen cinco camiones que pueden utilizarse para hacer estas entregas.

Con el uso de divisiones, un camión puede entregar una mezcla de cargas hasta llenar su

capacidad. Sin embargo, la orden de un cliente no puede distribuirse en distintos camiones. Los

camiones disponibles y sus capacidades se muestran en la tabla de la derecha.

Cliente Cantidad en

toneladas Camión

Cantidad en

toneladas

A 0.25 1 1

B 0.50 2 2

C 1.50 3 1

D 0.50 4 2

E 0.75 5 1.5

F 1.00

Los costos asociados con cada camión que hagan la entrega al cliente se muestran en la siguiente

tabla

Camión Cliente

A B C D E F

1 17 19 21 20 20 21

2 15 18 20 18 19 23

3 18 19 22 22 21 22

4 15 16 19 18 18 20

5 16 15 20 22 19 20

Además de estos costos, existe un cargo fijo de 10 um en los camiones 1, 3 y 5 y, de 15um en los

camiones 2 y 4. Se incurre en estos costos si el camión se usa. Finalmente, existe la restricción

de que en el mismo camión no pueden entregarse los pedidos a los clientes A y B. Minimice los

costos de transportación para la distribución de los materiales.

11).- Problema de distribución

Una empresa opera dos cadenas de restaurantes (I y II) mediante franquicias en una ciudad

determinada. De acuerdo con los términos del contrato, con cualquier franquicia del tipo I, los

demás restaurantes tienen derechos exclusivos en un radio de 2 kilómetros a la redonda. Esto

significa que cualquier sitio seleccionado para las franquicias I debe quedar, por lo menos, a 4

kilómetros de distancia. Existe un acuerdo similar en los contratos para las franquicias II, pero los

derechos exclusivos están garantizados dentro de 2.5 kilómetros; es decir que los restaurantes de

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Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

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la franquicia II deben quedar por lo menos a 5 kilómetros de distancia. Con respecto a las dos

cadenas no existen restricciones. La tabla siguiente muestra las distancia entre los sitios

potenciales para los restaurantes en kilómetros.

Distancias entre los sitios potenciales para los restaurantes en km

a

de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 3.7 2.2 3.2 6.4 7.3 8.6 8.8 13 10.2

2 3.7 0 2.6 5.7 3.3 6.6 9.6 10.3 13.1 7.5

3 2.2 2.6 0 3.2 4.5 5.3 7.4 7.7 11.4 8.2

4 3.2 5.7 3.2 0 7.5 5.7 5.6 5.7 10.4 10.3

5 6.4 3.3 4.5 7.5 0 5.2 9.4 10.1 11.5 4.4

6 7.3 6.6 5.3 5.7 5.2 0 4.8 5.6 6.6 5.5

7 8.6 9.6 7.4 5.6 9.4 4.8 0 1.2 5.2 10.2

8 8.8 10.3 7.7 5.7 10.1 5.6 1.2 0 5.9 11.4

9 13 13.1 11.4 10.4 11.5 6.6 5.2 5.9 0 10.2

10 10.2 7.5 8.2 10.3 4.4 5.5 10.2 11.4 10.2 0

Cada uno de los 10 sitios potenciales puede constituirse como tipo I o II, pero no ambos. Se desea

maximizar el rendimiento neto de la empresa. Las utilidades netas por franquicia son 1500,

1400, 2000, 3500, 2200, 2700, 2100, 2300, 2600, 2000, 2100, 2300, 2400, 2500, 2600, 2300,

3000, 3100, 3000 y 2500 respectivamente.

12).- Problema de planeación de la producción

En una línea de producción se fabrican dos productos, A y B, cuyos datos se muestran en la tabla

de abajo a la izquierda. El tiempo total disponible (para la producción y la puesta en marcha)

cada semana es de 80 horas. La empresa no tiene inventario de producto alguno al principio de la

semana 1, y no se permite que lo tenga al final de la semana 4. El costo de almacenar una unidad

de una semana a la siguiente es de 4um por producto. Una unidad de demanda no satisfecha

cuesta 10um para el producto A y 15um para el producto B. Los datos sobre la demanda aparecen

en la tabla de abajo a la derecha

Datos sobre los productos Datos de la demanda

Concepto Producto

Semana Producto

A B A B

Tiempo de arranque 5 horas 10 horas 1 80 15

Tiempo de producción por unidad 0.5 horas 0.75horas 2 100 20

Costo de arranque 200um 400um 3 75 50

Costo de producción por unidad 10um 15um 4 80 30

Precio de venta 20um 30um

La línea se cierra cada fin de semana para realizar operaciones de limpieza. Por lo tanto, si un

producto es fabricado en una semana, tendrá que pagarse el costo y tiempo de arranque del

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Investigación de Operaciones

7

equipo. Sólo un tipo de producto puede fabricarse durante la semana. No puede haber producción

durante el tiempo en que se pone en marcha la línea. El objetivo consiste en maximizar las

utilidades obtenidas durante estas cuatro semanas, considerando que no se pueden fabricar en la

misma semana (al mismo tiempo) los dos productos en la línea (programación entera mixta).

13).- Los gobernantes de una ciudad pusieron en licitación la construcción de su nuevo salón de

actos, que constan de cinco partes. F-cimientos, S-estructura, P-plomería, E-eléctrica e I-

interior. El contratante del gobierno especificó que las licitaciones pueden hacerse por partes

o combinaciones de partes del trabajo y que se permitirían múltiples licitaciones. Hay cinco

contratistas del área, considerados confiables, en dicha ciudad 1, 2, 3, 4 y 5, y cuyos datos

aparecen en la tabla de abajo.

Contratista Número de

licitación

Partes del trabajo en

licitación

Monto de la licitación

en miles de um

1

1 Sólo F 700

2 F + S 3,800

3 F + S + P 4,500

2

1 P + E 1,100

2 P + E + I 1,900

3 Todo el trabajo 5,800

3

1 Sólo P 700

2 Sólo E 600

3 Sólo I 1,000

4 P + E 1,200

4

1 S + P 3,600

2 S + P + E 4,100

3 F + S + P + E 4,600

5

1 Sólo F 900

2 Sólo S 3,200

3 Sólo P 800

4 Sólo E 500

5 Sólo I 1,200

Además el contratista 5 especificó que daría un descuento de 10% de la parte de su propuesta, si

recibía el contrato para realizar cuatro o más de las partes del trabajo. Los gobernantes de la

ciudad tiene la tarea de asignar los contratos de manera que los costos se minimicen. Pero quieren

que la formulación sea lo suficientemente general como para que se mantenga con diferentes

precios de la propuesta. Por otro lado, los contratistas 1 y 2 han puesto otra restricción adicional

de que ambos no pueden aceptar estar juntos.

14).- Problema de expansión de capacidad

Una compañía de servicio eléctrico está planeando ampliar su capacidad de generación durante

los próximos cinco años. La capacidad actual es de 800 megawatts (mw), pero de acuerdo con

sus propios pronósticos de demanda, va a requerir la capacidad adicional que se muestra en la

tabla de abajo a la izquierda. La compañía de servicio eléctrico podrá aumentar su capacidad de

generación con la instalación de unidades generadoras de 10, 50 o 100mw. El costo de

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Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

8

instalación de un generador depende de su tamaño y del año en que entre en servicio. Los datos

se muestran en la tabla de abajo a la derecha.

Año Capacidad

mínima mw Capacidad del

generador

mw

Año

1 880 1 2 3 4 5

2 960 10 300 250 208 173 145

3 1050 50 670 558 465 387 322

4 1160 100 950 791 659 549 458

5 1280

Una vez que el generador entra en servicio, su capacidad está disponible para satisfacer la

demanda en los años subsiguientes. Minimice el costo de poner en servicio generadores,

satisfaciendo al mismo tiempo los requisitos de capacidad mínima. Sugerencia: defina variables

para las cantidades respectivas de generadores de 10, 50 y 100 mw puestos en servicio para cada

año y otras variables para las capacidades iniciales totales por año (note que al inicio la variable

introducida vale 800mw), cuando los generadores definidos previamente hayan entrado en

servicio.

15).- 12.3.1 La división de investigación y desarrollo de una compañía ha venido desarrollando

cuatro líneas posibles de nuevos productos. La administración debe ahora tomar una decisión

sobre cuáles de estos cuatro productos producir y a que niveles. Ha pedido al departamento de

IO que formule un modelo de programación matemática para encontrar la mezcla de

productos más redituable.

La puesta en marcha de la producción de cualquier producto se asocia a un costo sustancial,

proporcionado en el primer renglón de la tabla. El objetivo de l administración es encontrar la

mezcla de productos que maximice la ganancia total (ingreso neto total menos costos fijos).

PRODUCTO

1 2 3 4

COSTO FIJO $ 50,000 $ 40,000 $ 70,000 $ 60,000

INGRESO MARGINAL $ 70 $ 60 $ 90 $ 80

Defina las variables de decisión continuas x1, x2, x3 y x4 como los niveles de producción de los

productos 1, 2, 3 y 4. Por políticas de la empresa, la gerencia ha impuesto las siguientes

restricciones sobre estas variables:

1. A lo mas dos de estos productos deben producirse

2. Cualquiera de los productos 3 o 4 se puede producir solo si se produce el producto 1 o el 2

3. O bien 5x1+3x2+6x3+4x4 <=6000 o 4x1+6x2+3x3+5x4 <=6000

a) Introduzca variables binarias auxiliares para formular un modelo de PEM para este

problema

b) Use la computadora para resolver este modelo

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Investigación de Operaciones

9

16).- 12.1.3 Una empresa de bienes raíces, Peterson & Johnson, analiza cinco proyectos de

desarrollo posibles. La siguiente tabla muestra las ganancias a largo plazo estimadas (valor

presente neto) que generaría cada proyecto y la inversión requerida para emprenderlo, en

millones de dólares

PROYECTO DE DESARROLLO

1 2 3 4 5

GANANCIA ESTIMADA 1 1.8 1.6 0.08 1.4

CAPITAL REQUERIDO 6 12 10 4 8

Los propietarios de la empresa, Dave Peterson y Ron Johnson, reunieron $20 millones de capital

de inversión para estos proyectos. Ellos quieren elegir la combinación de proyectos que

maximice la ganancia total estimada a largo plazo (valor presente neto) sin invertir más de $20

millones.

a. Formule un modelo de PEB para este problema

b. Muestre el modelo en una hoja de cálculo de Excel

c. Use la computadora para resolver este modelo

17).- Se encuentra en desarrollo una nueva comunidad planeada y una de las decisiones que se

deben tomar es el sitio en donde conviene localizar las dos estaciones de bomberos que se le

asignaron. Para propósitos de planeación, se dividió esta comunidad en cinco sectores, con

una sola estación de bomberos en un sector dado. Cada estación debe responder a todos los

llamados que reciba de los sectores en la que se localiza y a la de otros que se le asignen.

Entonces, las decisiones son: 1) los sectores que deben tener una estación de bomberos y 2) la

asignación de cada uno de los otros sectores a una de las estaciones. El objetivo es minimizar

el promedio global de los tiempos de respuesta a los incendios.

La siguiente tabla da el tiempo de respuesta promedio (en minutos) a un incendio en cada

sector (las columnas) si el servicio se presta desde una estación en un sector dado (los

renglones). El último renglón proporciona el pronóstico de número promedio de incendios

diarios que ocurrirá en cada uno de los sectores.

Tiempo de respuesta

Estación asignada

localizada en el sector

Incendios en el sector

1 2 3 4 5

1 5 12 30 20 15

2 20 4 15 10 25

3 15 20 6 15 12

4 25 15 25 4 10

5 10 25 15 12 5

Frecuencia

de emergencias

2 1 3 1 3

Formule un modelo completo de PEB para este problema. Identifique cualquier restricción

que corresponda alternativas mutuamente excluyentes o a decisiones contingentes.

18).- Reconsidere el problema anterior y suponga que ahora el costo (en miles de dólares) de

asignar una estación de bomberos en un sector es 200 para el sector 1, 250 para el sector, 400

Page 10: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

10

para el sector 3, 300 para el sector 4, y 500 para el sector 5. Suponga además que sea

cambiado el objetivo a:

Determine qué sector debe tener una estación con el fin de minimizar el costo total de las

estaciones al mismo tiempo que asegurar que cada sector tenga al menos una estación lo

suficientemente cerca para o responder a un incendio en no más de 15 minutos (en

promedio). Observe que al contrario del problema original, el número total de estaciones de

bomberos no es fijo. Lo que es más, si un sector sin estación tiene más de una estación a 15

minutos o menos, ya no es necesario asignar este sector a solo una de las estaciones.

Formule un modelo de PEB pura con 5 variables binarias, para este problema y resuelva.

19).- Suponga que un estado manda R personas a la cámara de diputados. Existen D municipios

en el estado ( RD ) y la legislatura estatal quiere agrupar estos municipios en R distritos

electorales, cada uno de los cuales elegirá un diputado. La población total del estado es P y la

legislatura desea formar distritos cuya población se aproxime a RPp / . Suponga que el

comité legislativo correspondiente que estudia el problema a generado una larga lista de N

candidatos a ser distritos ( RN ). Cada uno de estos candidatos contiene municipios

contiguos y una población total ),...,2,1( Njp j que es aceptable cercana a .p Defina

ppc jj . Cada municipio ),...,2,1( Dii está incluido al menos con un candidato a ser

distrito y casi en todos los casos está incluido con un gran número de candidatos (con el fin

de proporcionar muchas maneras factibles de seleccionar un conjunto de R candidatos que

incluyan a cada municipio exactamente una vez). Defina

no si0

candidato elcon incluye se municipio el si1 jiaij

Dados los valores de las jc y las ija , el objetivo es seleccionar R de estos N posibles

distritos. tales que cada municipio esté contenido en un solo distrito y que la más grande de

las jc asociadas sea lo más pequeña posible. Formule un modelo de PEB para este problema

20).- Una profesora estadounidense pasará un periodo sabático corto en la University of

leeland. Ella quiere llevar en su viaje en avión todos los artículos necesarios. Después de

reunir su material profesional se dio cuenta de que las reglas de línea aérea sobre el espacio y

el peso de las maletas registradas limitarán severamente la cantidad de ropa que puede

empacar (piensa llevar un abrigo caliente y. al llegar Islandia, comprará un suéter grueso). La

ropa que quiere empacar incluye 3 faldas, 3 pantalones, 4 blusas y 3 vestidos. La profesora

quiere maximizar el número de combinaciones que podrá usar en Islandia (incluyendo el

vestido especial que se pondrá para el viaje). Cada vestido constituye una combinación. Otras

combinaciones consisten en una blusa y una falda o un pantalón. Sin embargo, algunos de

ellos juntos no se ven bien y no califican como combinación.

En la siguiente tabla se marcaron con una x aquellos que forman una combinación.

Blusa Suéter de

Islandia 1 2 3 4

Falda

1 x x x

2 x x

3 x x x x

Page 11: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

11

Pantalón

1 x x

2 x x x x

3 x x x

En la siguiente tabla se muestra el peso (en gramos) y el volumen (en centímetros cúbicos)

de cada pieza de ropa.

Peso Volumen

Falda

1 600 5000

2 450 3500

3 700 3000

Pantalón

1 600 3500

2 550 6000

3 500 4000

Blusa

1 350 4000

2 300 3500

3 300 3000

4 450 5000

Vestido

1 600 6000

2 700 5000

3 800 4000

Total permitido 4000 32000

Formule un modelo de PEB para elegir las piezas de ropa que debe llevar. (Sugerencia:

después de usar variables de decisión binarias para representar las piezas individuales debe

introducir variables binarias auxiliares para representar las combinaciones del caso. Después

utilice las restricciones y la función objetivo para asegurar que estas variables auxiliares

tienen los valores correctos, dados los valores de las variables de decisión.)

21).- Una línea aérea piensa comprar jets de pasajeros de tamaño grande, mediano y chico. El

precio de compra será de $33.5 millones por cada avión grande, $ 25 millones por uno

mediano, $ 17.5 millones por cada uno chico. El consejo directivo a autorizado un

compromiso máximo de $ 750 millones para estas compras. Sin importar que aviones se

compren, se espera que las distancias de viajes aéreos sean lo suficientemente grandes como

para que los aviones se utilicen, en esencia, a su capacidad máxima.

Se estima que la ganancia neta anual (después de restaurar los costos ó de recuperación de

capital) será de $ 2.1 millones para un avión grande, $ 1.5 millones si se trata de un avión

mediano, $ 1.15 millones por cada avión chico.

Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos entrenados como para

operar 30 aviones nuevos. Si sólo se compran aviones chicos, las instalaciones de

mantenimiento podrán manejar 40 aviones, pero cada avión mediano equivale a 3

11 aviones

chicos y cada avión grande equivale a 3

21 aviones chicos, en términos de la utilización de las

instalaciones de mantenimiento.

Esta información se obtuvo mediante un análisis preliminar del problema. Más adelante se

llevará a cabo un estudio más detallado. No obstante, si se toman estos datos como una

primera aproximación, la gerencia desea saber cuántos aviones de cada tipo se debe comprar

con el fin de maximizar la ganancia.

a) Formule un modelo de PE para este problema.

Page 12: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

12

b) Utilice la representación binaria de las variables para reformular el modelo de PE del

inicio a) como un modelo de PEB.

Page 13: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

13

22).- Caso 12.2 ASIGNACIÓN DE ARTE

Se había vuelto un sueño convertido en realidad para Ash Briggs, un artista tenaz que vivía en el

área de la bahía de San Francisco. Había hecho un recorrido a la miscelánea de la esquina un

viernes para comprar algo de leche y, por un impulso, también había comprado un billete de

lotería de California. Una semana después, era multimillonario.

Ash no quiso despilfarrar sus ganancias en artículos materialistas triviales. En su lugar,

quiso usar su dinero para apoyar su verdadera pasión: el arte. Ash conocía demasiado bien las

dificultades de reconocimiento como artista en esta sociedad tecnológica postindustrial donde es

rara la apreciación artística y el apoyo financiero todavía más raro. Por ello decidió usar el

dinero para financiar una exhibición de artistas modernos incipientes en el museo de arte

moderno de San Francisco.

Ash se acercó a los directores del museo con su idea y éstos se entusiasmaron de inmediato

después que les informó que financiaría la exhibición completa aparte de donar $1 millón al

museo. Celeste McKenzie, una directora del museo, fue asignada para trabajar con Ash en la

planeación de la exhibición. La exhibición estaba planeada para abrirse en un año a partir del día

en que Ash se reunió con los directores y las piezas de exhibición permanecerían por dos meses

de exhibición.

Ash comenzó el proyecto peinando la comunidad de arte moderno en busca de artistas y

obras potenciales. Presentó a Celeste una lista (ver página siguiente) de artistas, sus obras y el

precio de exhibir cada una (el precio de exposición incluye el costo de pagarle a los artistas por

prestar la obra al museo, transportarla a San Francisco, construir el exhibidor para la pieza,

asegurarla mientras está en exhibición y transportarla de regreso a su origen).

Ash tiene ciertos requisitos para la exhibición. Cree que la mayoría de los estadounidenses

carecen de conocimientos adecuados de arte y estilos artísticos y quiere exhibir para educarlos.

Ash quiere que los visitantes se percaten del collage como una forma artística, pero cree que

requieren de poco talento. Por ello decide incluir uno sólo. Adicionalmente, Ash quiere que los

espectadores comparen las líneas delicadas en una escultura tridimensional de malla de alambre

con líneas delicadas en un dibujo bidimensional generado en una computadora. Por ello, quiere

desplegada al menos una escultura de malla de alambre, si se exhibe un dibujo generado en

computadora. De manera alternativa, quiere al menos un dibujo generado en computadora si se

despliega una escultura de malla de alambre. Más aún, Ash quiere exponer a los espectadores a

todos los estilos de pintura, pero quiere limitar el número de pinturas desplegadas para lograr un

equilibrio en la exhibición entre pinturas y otras formas de arte. Por ello decide incluir al menos

una pintura fotorrealista, al menos una pintura cubista y al menos una pintura expresionista, al

menos una acuarela y al menos un óleo. Al mismo tiempo, quiere que el número de pinturas no

sea mayor al doble de otras formas artísticas.

Ash quiere todas sus pinturas particulares sean incluidas en la exhibición puesto que la está

patrocinando y porque celebran el área de la bahía de San Francisco, sede de la exhibición.

Ash tiene sesgos a favor y en contra de algunos artistas. Mantiene actualmente un tórrido

romance con Candy Tate y quiere que se exhiban sus dos pinturas. Ash cuenta a David Lyman y

Page 14: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

14

a Rick Rawls como sus mejores amigos y no quiere hacer favoritismo entre estos dos artistas.

Por ello decide exhibir el mayor número de piezas de David Lyman y de Rick Rawls y exhibir al

menos una pieza de cada uno de ellos. Aunque Ziggy Lite es muy popular en círculos artísticos,

Ash cree que Ziggy hace una burla del arte. Ash por consiguiente aceptará sólo una obra de

Ziggy, para la exposición, si se tiene y ninguna más.

Celeste también tiene su propia agenda para la exposición. Como directora del museo está

interesada en representar a una población de artistas diversa, atractiva para un auditorio amplio y

crear una exhibición políticamente correcta. Para promover el feminismo decide incluir al menos

una pieza de una artista mujer por cada dos piezas incluidas de artistas hombres. Para promover

el ambientalismo, decide incluir ya sea una o las dos obras “Tierra envejecida” y ‘Recursos

desperdiciados”. Para fomentar los derechos de los americanos indígenas, decide incluir al

menos una pieza de Bear Canton. Para fomentar la ciencia decide incluir al menos una de las

siguientes piezas: “Reina el caos”, “Quién tiene el control”, “Más allá” y “Pioneros”.

Celeste también comprende que el espacio del museo es limitado. Este sólo cuenta con

suficiente espacio de piso para cuatro esculturas y suficiente espacio de pared para 20 pinturas,

collages y dibujos.

Por último, Celeste decide que si se incluye “Narcisismo”, también debe exhibirse

“Reflexión”, puesto que la reflexión también sugiere narcisismo.

Por favor explore en forma independiente las siguientes preguntas, salvo cuando se indique

lo contrario

a) Ash decide asignar $4 millones para financiar la exposición. Dadas las piezas disponibles

y los requisitos específicos de Ash y Celeste, formule y resuelva un problema de

programación entera binaria para maximizar el número de piezas desplegadas en la

exhibición sin exceder del presupuesto. ¿Cuántas piezas se exhiben? ¿Qué piezas se

exhiben?

b) Para asegurar que la exhibición atraiga la atención del público, Celeste decide que debe

incluir al menos 20 piezas. Formule resuelva un problema de programación entera binaria

para minimizar el costo de la exhibición y al mismo tiempo exponer al menos 20 piezas y

cumplir los requisitos impuestos por Ash y Celeste. ¿Cuánto cuesta la exhibición? ¿Qué

piezas se exhiben?

c) Un patrono influyente del trabajo de Rita Losky, quien encabeza el consejo de

administración del museo, se entera de Celeste requiere al menos 20 piezas para la

exhibición. Ofrece pagar la cantidad mínima requerida además de los $4 millones de Ash

para asegurar que se exhiban exactamente 20 piezas la exposición y que se muestren todas

las piezas de Rita. ¿Cuánto tiene que pagar el patrono? ¿Qué piezas se exhiben?

Page 15: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

15

Artista Pieza Descripción de la pieza Precio

Colin Zweibell

CZ

(1) “Perfección” Escultura de malla de alambre de un cuerpo humano $300 000

(2) “Carga” Escultura de malla de alambre de una mula 250 000

(3) “El gran igualador” Escultura de malla de alambre de un rifle 125 000

Rita Losky

RL

(1)“Reina el caos” Una serie de dibujos generados por computadora 400 000

(2) “Quién tiene el

control”

Un dibujo generado por computadora entremezclado con líneas

de código de computadora 500 000

(3) “Domesticación Dibujo de pluma y tinta de una casa 400 000

(4) “Inocencia” Dibujo de pluma y tinta de un niño 550 000

Norm Marson

NM

(1) “Tierra envejecida” Escultura de basura que cubre un gran globo 700 000

(2) “Recursos

desperdiciados” Collage de varios materiales de empaque 575 000

Candy Tate

CT

(1) “Serenidad” Pintura de acuarela toda en azul 200 000

(2) “Calma antes de la

tormenta”

Pintura con un fondo de acuarela en azul y un cetro de acuarela

negra 225 000

Robert Bayer

RB

(1) “Vacío” Óleo todo en negro 150 000

(2) “Sol” Óleo todo en amarillo 150 000

David Lyman

DL

(1) “Ventana de la

tienda” Pintura fotorrealista de una ventana de exhibición de una joyería 850 000

(2) “Harley” Pintura fotorrealista de una motocicleta Harley-Davidson 750 000

Angie Oldman

AO

(1)“Consumismo” Collage de anuncios de revistas 400 000

(2) “Reflexión” Un espejo (considerado una escultura) 175 000

(3) “Victoria troyana Escultura de madera de un condón 450 000

Rick Rawls

RR

(1) “Rick” Autorretrato fotorrealista (pintura) 500 000

(2) “Rick II” Autorretrato cubista (pintura) 500 000

(3) “Rick III” Autorretrato expresionista (pintura) 500 000

Bill Reynolds

BR

(1) “Más allá” Óleo de ciencia ficción que describe la colonización de Marte 650 000

(2) “Pioneros” Óleo de tres astronautas a bordo del trasbordador espacial 650 000

Bear Canton

BC

(1) “Sabiduría” Dibujo a pluma y tinta de un cacique indio 250 000

(2) “Poderes superiores” Dibujo a pluma y tinta de una danza de ha lluvia tradicional

indígena americana 350 000

(3) “Tierra viviente” Óleo del Gran Cañón 450 000

Helen Row

HR

(1) “Estudio de un

violín” Pintura cubista de un violín 400 000

(2) “Estudio de un

frutero” Pintura cubista de un frutero 400 000

Ziggy Lite

ZL

(1) “Mi tocayo” Collage de caricaturas de Ziggy 300 000

(2) “Narcisismo” Collage de fotografías de Ziggy Lite 300 000

Ash Briggs

AB

(1) “Todo cuanto brilla” Pintura en acuarela del Golden Gate Bridge 50 000*

(2) “La roca” Pintura en acuarela de Alcatraz 50 000

(3) “Camino curvo” Pintura en acuarela de Lombard Street 50 000

(4) “Sueños vueltos

realidad” Pintura en acuarela del museo de arte moderno de San Francisco 50 000

* Ash no requiere compensación personal y el costo de transportar sus piezas al museo desde su casa

en San Francisco es mínimo. Por ello, el costo de exhibir sus piezas incluye el costo de construir el exhibidor y asegurar las piezas.

Page 16: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

16

Optimización de la planeación de admisión de

pacientes en un hospital

Objetivos

En el trabajo se buscará la forma de optimizar la carga de pacientes y utilización de los recursos

de un hospital para el caso concreto de la especialidad en ortopedia.

I. Introducción En el presente trabajo se muestra la solución de un problema de programación entera en donde se

quiere optimizar la planeación de la admisión de pacientes a un hospital, para tal efecto se tiene

que los pacientes pueden ingresar en un hospital de tres maneras:

como un enfermo ambulatorio

como un paciente de urgencia y

como un derecho habiente.

Por otro lado, pueden distinguirse las admisiones de un derecho-habiente en dos tipos:

programado y no programado.

En general la planeación de las admisiones de los pacientes a un hospital es demasiado

complicada, simplemente en el caso de los derecho-habientes se da una lista de espera o se da una

cita para una fecha de admisión, pero aún con ellos pueden ocurrir, admisiones de urgencias con

pacientes de gravedad que se admiten inmediatamente, como consecuencia de una decisión

médica dada por un especialista. Condiciones que complican considerablemente la programación

en la admisión de los pacientes, razón por la cual en este trabajo nosotros nos concentraremos

sólo en las admisiones programadas del derecho habiente.

La planeación de admisiones decide el número de pacientes aceptados para una especialidad

cada día. Dentro de una especialidad pueden distinguirse diferentes categorías de pacientes

dependiendo de los recursos. Los tipos de recursos requerido para una admisión puede

involucrar, entre otras:

camas,

la capacidad de la sala de operación (en caso de una especialidad quirúrgica),

la capacidad de enfermeras y

las camas de cuidado intensivo (IC).

Otros recursos involucrados podrían considerar secciones de diagnóstico (por ejemplo, el

laboratorio de radiología), pero éstos no serán considerados en el trabajo.

Por consiguiente, la mezcla de admisiones es una decisión importante para el hospital con la

cual se puede manejar la carga de trabajo de la llegada de los derecho-habientes.

Page 17: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

17

La manera actual de tratar este problema está basada en la experiencia preferida del

proyectista que en un procedimiento formal. A menudo el único enfoque es la capacidad de la

sala de operaciones, porque es importante que este recurso este usado a su máxima capacidad. La

planeación de admisión está sujeta a la planeación de la sala de operaciones, cuando los otros

recursos involucrados no son considerados. No hay ninguna herramienta actualmente, disponible

para evaluar el perfil de admisión del paciente en sus consecuencias para los recursos

combinados involucrados.

En este trabajo nosotros consideramos el problema de la planificación siguiente:

¿Cómo puede generar un hospital un perfil de admisión de un paciente para una

especialidad?

La próxima sección describe el modelo de la programación lineal entera que se ha

desarrollado para este problema de la planificación. La sección penúltima discutirá la aplicación

de este modelo para la ortopedia en un hospital piloto. La sección final refleja en nuestra

contribución a este problema de la planificación, formulando conclusiones y recomendaciones

para la investigación futura.

II. Factores relevantes del modelo Nosotros en esta sección traducimos el problema de la planificación en un modelo matemático en

la forma de un programa lineal entero (ILP). Enseguida nosotros describiremos varios factores

que son pertinentes al problema de la planificación y el modelo matemático que formularemos.

Los siguientes factores son fundamentales en el problema de la planificación programada de

admisión de pacientes a un hospital:

1. Periodo de planeación. Éste es el periodo de tiempo completo (típicamente varios meses

o un año) encima de que la admisión de pacientes tiene que ser planeada.

2. Categorías de los pacientes. Hay normalmente una variedad amplia de pacientes

semejante que necesitan ser categorizados - aparte de una agrupación médica - para

propósitos de planeación para hacer el problema de la planificación más manejable. Los

pacientes están en este trabajo categorizados según su carga de trabajo para los recursos.

Los pacientes en la misma categoría tienen una longitud similar de estancia y requieren en

promedio la misma cantidad de enfermería y el tiempo en la sala de operaciones.

3. Recursos. Los recursos considerados son camas, camas de IC, salas de operación y

personal de enfermeras. Éstos son los recursos más importantes que son influenciados

directamente por la llegada de los derecho-habientes.

4. Capacidad disponible de los recursos. La cama y IC la capacidad de cama están en el

número total de camas disponible a la especialidad en las alas y unidad de IC,

respectivamente. La capacidad de la salas de operaciones es el tiempo operación total

disponible por día. La carga de trabajo de las enfermeras es moderado en términos de un

sistema del punto que permite diferenciar los requisitos de enfermeras por paciente en la

fase de la admisión; puede traducirse la capacidad de la enfermera en términos de

jornadas equivalentes completas en el número de puntos que están disponible por día.

Típicamente, la disponibilidad de recursos varía encima del periodo de la planificación, y

las capacidades se asignarán en un cíclico (por ejemplo, semanalmente).

Page 18: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

18

5. Planeación del ciclo. Puesto que las capacidades se asignan cíclicamente, es natural

también considerar modelos de admisión cíclicos. En una mano, la longitud del ciclo no

debe ser demasiado corta, porque entonces los pacientes con una ocurrencia de admisión

baja no pueden ser incluidos por el ciclo de admisión. Por otro lado, a lo largo de

longitud del ciclo produce un problema de la planificación que es computacionalmente

demasiado grande. En la práctica, la longitud del ciclo (es decir la frecuencia en la que

las sesiones son organizadas) típicamente varía de una semana a cuatro semanas.

6. Perfil de admisión. El perfil de admisión describe el flujo de pacientes, es decir el

número y mezcla de pacientes que se admitieron en cada día dentro del ciclo de la

planificación.

7. El paciente designado a hospitalizarse. El número designado de pacientes que deben

admitirse dentro del ciclo de la planificación. Por supuesto, este número puede deducirse

fácilmente del número designado de los pacientes para el periodo de la planificación.

8. Designación de los recursos utilizados. Ésta es la utilización deseada (o proporción de

ocupación) de los recursos en cada día de la planeación cíclica.

9. Restricciones en perfiles de admisión. Un perfil de admisión que comprende que la

hospitalización designada y utilización del recurso todavía pueden ser inaceptables para la

especialidad por varios razones. Estas razones incluyen:

la especialidad puede querer arreglar el número de pacientes de una categoría específica

admitiendo en un día específico por el ciclo de admisión.

el número de pacientes de una cierta combinación de categorías que pueden ser

alimentadas en un sólo día está limitado.

Estas opciones se tratarán como restricciones adicionales para los perfiles de admisión.

Esto completa la descripción de los factores pertinentes. Claramente, la variable de

decisión importante es el perfil de admisión.

III. Modelo matemático En esta subsección nosotros traducimos el problema de la planificación en un modelo

matemático. Sea T denota la longitud (en días) de la planeación cíclica, y M denota el número de

categorías de pacientes. Los pacientes se categorizan según su carga de trabajo para los recursos.

Para describir la carga de trabajos de pacientes de la categoría i, Mi ,,1 , nosotros

introducimos las variables siguientes:

ib el número de días que un paciente de la categoría i se queda en el hospital y hay

necesidades de cama;

ip el número de días del pre-operatorio para un paciente de categoría i;

ic el número de días que un paciente de la categoría i necesita una cama de IC;

io el tiempo del funcionamiento (en minutos) para un paciente de la categoría i;

Page 19: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

19

itn la carga de trabajo de la enfermera (en puntos) para un paciente de la categoría i en el

día t de su estancia en el hospital, donde t corre de 1 a ib .

En cada día de su estancia en el hospital las necesidades de un paciente es una enfermera de

cama en el ala. Aquí nosotros asumimos que una enfermera de cama también es reservada

mientras el paciente está en la unidad de IC. Típicamente, la carga de trabajo de la enfermera es

alta en el día de funcionamiento, después disminuye gradualmente. Las variables de la carga de

trabajo se ilustran en la Tabla 1. Finalmente, la hospitalización designado de categoría del

paciente i durante la planificación cíclica es denotado a través de THRi.

Tabla 1 Número de admisiones por categoría en sem 12 y promedio semanal

Categorías de pacientes Mix de pacientes sem 12 Mix de pacientes promedio

1 14 13

2 2 1

3 0 1

4 1 2

5 0 1

6 0 1

7 1 2

8 3 1

9 2 2

10 1 1

11 2 1

Totales 26 26

Es conveniente numerar los recursos y las salas de operación, enfermeras, camas y camas

de IC, de 1 a 4. Para el recurso r, r = 1,... 4, nosotros introducimos las cantidades siguientes:

rtC la capacidad disponible de recurso r en día t de la planeación cíclica;

rtU la utilización designado de recurso r en día t de la planeación cíclica.

Las variables de decisión importantes en el problema de la planificación son el número y

mezcla de pacientes admitidas en cada día de la planeación cíclica. Si itX denota el número de

pacientes de categoría i admitido en el día t de la planeación cíclica. Claramente, itX es un

entero no-negativo. Así,

,2,1,0itX , Mi ,,1 , Tt ,,1 ,

y ellos deben satisfacer la hospitalización del paciente designado, es decir:

Page 20: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

20

i

T

t

it THRX 1

, Mi ,,1 .

Nosotros queremos ahora encontrar los valores para itX , con los cuales la desviación

absoluta de la realización designada de los recursos sea minimizada. Para este problema nosotros

introducimos las variables auxiliares rtkV las cuales satisfacen:

0rtkV , 4,3,2,1r , Tt ,,1 , 2,1k

Formulando las restricciones lineales, forzando éstas a ser iguales a la desviación absoluta

de las realizaciones y objetivos utilizados. Debajo de nosotros primero explicamos esto para el

recurso 1, es decir la sala de operación. Desde los pacientes de categoría i son operados después

de ser ip días en el hospital, la utilización de la sala de operación en día t es igual a:

M

i

piti iXo

1

.

Aquí nosotros adoptamos la convención de que el subíndice t en itX debe leerse módulo T

(para que, ej. 11 iiT XX ). Entonces, si nosotros requerimos que:

)2(,,1,

)1(,,1,

211

1

111

1

TtVUXo

TtVUXo

tt

M

i

piti

tt

M

i

piti

i

i

y minimizamos la suma:

T

t

tt VV1

2111 )( ,

entonces se verifica que el mínimo se realiza para:

0,max

0,max

1

121

1

1

11

M

i

pititt

t

M

i

pitit

i

i

XoUV

UXoV

De hecho, para que 2111 tt VV sean iguales a la desviación absoluta de la realización

utilización de la sala designada de operación en el día t de la planeación cíclica.

Para los otros recursos nosotros formulamos las restricciones similares a las ecuaciones (1)

y (2). Es decir, para la enfermera, enfermera de cama y de IC nosotros obtenemos lo siguiente:

Page 21: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

21

,,,1,

,,,1,

,,,1,

,,,1,

,,,1,

,,,1,

244

1 1

1

144

1 1

1

233

1 1

1

133

1 1

1

222

1 1

1

122

1 1

1

TtVUX

TtVUX

TtVUX

TtVUX

TtVUXn

TtVUXn

tt

M

i

c

d

dpit

tt

M

i

c

d

dpit

tt

M

i

b

d

dit

tt

M

i

b

d

dit

tt

M

i

b

d

ditid

tt

M

i

b

d

ditid

i

i

i

i

i

i

i

i

La utilización comprendida de los recursos puede, por supuesto, no exceder la capacidad

disponible. Así,

rtrtrt CVU 1 , 4,3,2,1r , Tt ,,1 .

Entonces, minimizando la desviación absoluta de la realización y objetivos utilizados de los

recursos sobre la minimización de la suma:

4

1 1

2111 )(r

T

t

ttr VVw .

En esta suma, la desviación absoluta de la utilización de los recursos r es el peso con coeficiente

rw definida como:

T

t

rt

rr

U

aw

1

.

en donde ra es el mismo número no-negativo. Los coeficientes rw son introducidos (i) para hacer la

suma menos dimensional (es decir, independiente de las unidades usadas) y (ii) para controlar la

importancia relativa de los recursos (por medio de ra ).

Finalmente, nosotros tenemos que tener en cuenta las restricciones en perfiles de admisión

mencionadas en la sección anterior. La primera restricción es justamente el medio que nosotros

arreglamos con las variables itX a los valores prescritos. Para la segunda restricción nosotros

introducimos B que indica el número del máximo de pacientes de las categorías Si eso puede

una enfermera o un sólo día, donde S es un subconjunto de {1,...,M}. Entonces, la segunda

restricción se transforma a:

Page 22: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

22

BXSi

b

d

dit

i

1

1 , Tt ,,1 .

Resumiendo, nuestro problema de planeación puede formularse como el siguiente ILP:

4

1 1

2111 )(minr

T

t

ttr VVw .

Sujeta a:

,,,1,,1,,2,1,0

,,,14,,1,0,

,,,14,,1

,,,1,

,,,1,

,,,1,

,,,1,

,,,1,

,,1,

21

,1

1

1

244

1 1

1244

133

1 1

1233

122

1 1

1222

111

1

211

1

TtMiX

TtrVV

TtrCVU

TtBX

TtVUXVU

TtVUXVU

TtVUXnVU

TtVUXoVU

MiTHRX

it

rtrt

rtrtrt

Si

b

d

dit

tt

M

i

c

d

dpittt

tt

M

i

b

d

dittt

tt

M

i

b

d

ditidtt

tt

M

i

pititt

i

T

t

it

i

i

i

i

i

i

(4)

IV. Aplicación El modelo anterior se aplica en forma reducida a la especialidad de ortopedia en un conjunto de

hospitales generales. En un trabajo separado se ilustra el proceso de aplicar al modelo para este

problema de la planificación y el contexto directivo. Aquí, se ilustrará el funcionamiento

correcto del modelo, y finalmente se discuten los resultados de la aplicación del modelo a la

ortopedia. En esta sección la entrada del modelo se discutirá y se usarán datos de ortopedia en un

hospital general mediano con 450 camas y cuatro cirujanos ortopédicos.

La llegada del paciente y hospitalización. Para el estudio se usan los datos de 1998 en

donde se admitieron aproximadamente 760 derecho-habientes y 700 día-casos. De los cuales

aproximadamente se admitieron 20 por ciento de los derecho-habientes como emergencias. Los

días-casos siempre son admisiones electivas. La longitud media de estancia de los derecho

habientes (día-casos exclusivos) fue 12.4 días. En total 11 categorías de pacientes son

distinguidas en el flujo de la ortopedia; estas categorías eran significantes para las admisiones que

planean en la sección y los cirujanos ortopédicos, pero también tienen requisitos de los diferentes

recursos.

Page 23: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

23

Basados en las admisiones reales por semana, se usara el flujo de la semana 12 en 1998

como un modelo del flujo representativo, pero también usa un flujo promedio, basado en el

rendimiento anual. La Tabla II proporciona información sobre el número de admisiones por la

categoría de pacientes en la semana de la muestra y el promedio semanal.

Categorías de pacientes Mix de pacientes sem 12 Mix de Pacientes promedio

1 14 13

2 2 1

3 0 1

4 1 2

5 0 1

6 0 1

7 1 2 Tabla II.

8 3 1 Número de admisiones

9 2 2 por categoría de pacientes

10 1 1 pacientes en la muestra

11 2 1 semana y promedio por semana

Total 26 26

Demanda requerida. Las categorías de pacientes pueden caracterizarse en varios rasgos,

como longitud de estancia, la carga de trabajo de las enfermeras, día y duración de la operación, y

uso de IC-camas. Estos rasgos se dan en Tabla III. El perfil de carga de trabajo de las

enfermeras se expresa en el número de días con carga de trabajo de Z hospitalizaciones (cinco

puntos), número de días con carga de trabajo de M hospitalizaciones (dos puntos) y número de

días con carga de trabajo de L (1 punto). Por ejemplo, se expresarían las cargas de trabajo en la

Tabla III como L2Z2M2L3. Los puntos de la carga de trabajo se refieren a la cantidad de trabajo

de la enfermera hecho para una categoría de paciente, basado por ejemplo en el Sistema de San

Joaquín. Día de funcionamiento = 1 implica que el paciente se opera en el día de admisión. Se

cuentan días de IC del día de funcionamiento como punto de la referencia.

Tabla III. Características de pacientes por categoría

Categorías

de pacientes

Tiempo de

estancia

(días)

Carga de

trabajo en

enfermería

Día de

operación

Duración de

la operación

(minutos)

Días de

cuidados

intensivos

1 1 L1 1 20 0

2 1 M1 1 30 0

3 2 M1L1 1 38 0

4 3 M2L1 1 40 0

5 4 M2L2 1 50 0

6 5 M3L2 1 46 0

7 9 Z4M4L1 2 77 0

8 14 Z6M6L2 2 70 0

9 18 Z6M8L4 2 80 0

10 24 Z24 2 120 1

11 29 Z29 2 92 0

Recursos disponibles. La ortopedia tiene 28 camas asignadas en su área, incluso las camas

para la corta-estancia y día-cirugía. Los cuatro cirujanos ortopédicos tienen cada día sesiones en

Page 24: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

24

la sala de operaciones, en total seis horas al día. Hay aproximadamente 12 enfermeras con

equivalentes jornadas completa disponible para el ala, pero alimentando capacidad se expresa en

términos de puntos de la lactancia. El miércoles una IC-cama es reservada para las admisiones

electivas de categoría 10. Tabla IV resumen los recursos disponibles para la ortopedia.

Como uno puede ver, la disponibilidad de recursos es menos durante el fin de semana. En

dicho tiempo no hay capacidad de la sala de operaciones disponible y ninguna IC-cama.

Tabla IV. Disponibilidad de productos para ortopedia

Día de la

semana

Quirófano

(minutos)

Enfermería

(ptos) Camas

Camas de cuidados

intensivos

LUNES 360 80 28 0

MARTES 360 80 28 0

MIERCOLES 360 80 28 1

JUEVES 360 80 28 0

VIERNES 360 80 28 0

SABADO 0 70 20 0

DOMINGO 0 70 20 0

Factores de carga de capacidad e importancia del recurso. Los recursos diferentes cada

uno tienen un nivel de ocupación designado que define el nivel de ocupación que refleja un carga

de trabajo realista. Esto puede ser diferente durante el fin de semana. La Tabla V contiene

información sobre el nivel de ocupación designado para cada tipo de recurso.

Tabla V. Niveles de ocupación objetivo por tipo de recurso

Número de

día

Quirofano

(%)

Enfermeria

(%)

Camas

(%)

Camas de cuidados

intensivos (%)

1 85 95 90 0

2 85 95 90 0

3 85 95 90 100

4 85 95 90 0

5 85 95 90 0

6 0 95 80 0

7 0 95 80 0

Los datos antedichos exigen describir el sistema de la producción de la especialidad. La

entrada extra requerida para el modelo matemático es la función de peso para la optimización, e

información sobre restricciones impuestas en la planificación del problema.

Page 25: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

25

La Tabla VI da los pesos ra que reflejaban la importancia relativa de los diferentes

recursos involucrados, según los participantes en el hospital. El rango de peso usado es lo

siguiente: 0 = ignore, 1 = no importante, 2 = escasamente importante, 3 = la importancia

elemento, 4 = importante, 5 = muy importante.

Tabla VI. Pesos (importancia) relativos por tipo de recurso

Tipo de recurso Importancia

Quirófano 5

Enfermería 3

Camas 4

Camas CI 5

Como uno puede ver y puede usar la sala de operaciones de la IC-cama es considerado aquí

como muy importante, etc. Una alternativa, el acercamiento más objetivo habría sido hacer los

pesos dependientes en datos históricos, por ejemplo en la frecuencia de recursos para actuar como

cuello de botella.

Restricciones. En realidad muchas restricciones pueden jugar un papel que lo hará difícil de

comprender un perfil de admisión factible. Nosotros ilustraremos este rasgo del modelo con dos

ejemplos de restricciones en el caso de ortopedia. La mezcla Paciente primero restricción que

juega un papel en el problema de la planificación es esa optimización de la categoría 6 pacientes

que tienen una longitud de estancia de cinco días y necesitan ser admitido el lunes para tenerlos

descargó antes del fin de semana. Además, el número de categorías se limitan a un paciente a seis

pacientes un día de lunes a viernes para evitar una concentración de pacientes de la cirugía en un

día.

V. Análisis de sensibilidad

Aquí se contienen los resultados producidos por el modelo, en donde se ilustra la conducta del

modelo al usar la función de pesos para la importancia relativa de los diferentes recursos. Los

resultados proporcionan evidencia que el modelo hace lo que de hecho debe hacer.

Nosotros empezaremos con la escena actual para la función de pesos proporcionada en

Tabla VI, y usamos el medio semanal de pacientes en Tabla II. Los otros parámetros son fijos

según las escenas en la situación actual descrita antes. Claramente, estamos buscando un perfil de

admisión semanal. El rendimiento del modelo para la escena actual se muestra en Tabla VII y

Tabla VIII (perfil de admisión). Los números entre el paréntesis indican los pesos relativos

usados.

Page 26: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

26

Tabla VII. Resultados

QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3) CAMAS (4) CAMAS DE CUIDADOS

INTENSIVOS (5)

Día OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL

1 306 293 76 76 25 25 0 0

2 306 272 76 77 25 25 0 0

3 306 200 76 76 25 22 1 1

4 306 90 76 76 25 23 0 0

5 306 245 76 75 25 25 0 0

6 0 0 66 64 16 16 0 0

7 0 0 66 65 16 16 0 0

Tabla VIII. Resultados de perfil de admisión

Día

número 1 2 3 4 5 6 7

1 4 3 0 1 5 0 0

2 0 0 0 0 1 0 0

3 0 0 0 0 1 0 0

4 1 1 0 0 0 0 0

5 1 0 0 0 0 0 0

6 1 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 1 0 0 1

8 0 0 1 0 0 0 0

9 1 1 0 0 0 0 0

10 0 1 0 0 0 0 0

11 1 0 0 0 0 0 0

Como puede verse de la Tabla VII y puede utilizar la sala de operaciones muestra la menor

22,4 actuación debido a una encima de-capacidad que se hace disponible a la ortopedia. El uso

de camas sigue bastante bien la línea designada y la carga de trabajo de la lactancia y el IC-uso

están según las líneas designado. La cuenta de la solución 1 en la función objetiva dada por (3),

es 1.561. Esta cuenta cuantifica la calidad de la solución, y por consiguiente, puede usarse para

comparar soluciones diferentes.

El perfil de admisión semanal sugerido por el modelo se muestra en Tabla VIII. Como

puede verse de la Tabla VIII, las restricciones con respecto a las categorías pacientes 1 y 6 se ha

repartido propiamente. También, la categoría que 10 pacientes se admite el martes para estar en

necesidad de una IC-cama el miércoles.

Suponga que se reducen los recursos de la sala de operaciones para encontrar un mejor

encaje entre la demanda para y suministro de recursos. La Tabla IX muestras los resultados en

Page 27: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

27

caso de que se reduzcan los recursos de la sala de operaciones disponible a la ortopedia a 260

minutos un día. Teniendo en cuenta el nivel de ocupación designado de 85%, la capacidad

designada se vuelve 221 minutos entonces. La Tabla IX muestras que la capacidad de la sala de

operaciones es suficiente para manejar la demanda, y las líneas de ocupación siguen bastante bien

a las líneas designadas. La cuenta de la función objetiva de esta solución es 0.530. Esto muestra

que las desviaciones de las líneas designadas en Tabla IX son menores que las desviaciones en

Tabla VII.

Tabla IX. Resultados con cambio en quirófano

QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3) CAMAS (4) CAMAS DE CUIDADOS

INTENSIVOS (5)

Día OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL

1 221 243 76 76 25 25 0 0

2 221 220 76 77 25 25 0 0

3 221 200 76 76 25 22 1 1

4 221 227 76 76 25 23 0 0

5 221 210 76 75 25 25 0 0

6 0 0 66 64 16 16 0 0

7 0 0 66 65 16 16 0 0

Suponga que ahora se cambia la función de peso dando a la capacidad de la sala de

operaciones un peso del máximo de 5 y los otros recursos un peso mínimo de 1. La Tabla X

muestra los resultados de este cambio en el parámetro que pone la función de peso. Como puede

verse de la Tabla X, la capacidad de la sala de operaciones ha mejorado (suma más pequeña de

diferencias) y el uso de camas y carga de trabajo han empeorado ligeramente; el uso de las IC-

camas está inalterado. Aunque los cambios son pequeños comparé los resultados en la Tabla IX,

la dirección de los cambios sigue la escena de los pesos.

Tabla X. Resultados con importancia máxima en quirófano

QUIROFANO (5) ENFERMERIA(1) CAMAS (1) CAMAS DE CUIDADOS

INTENSIVOS (1)

Día OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL

1 221 206 76 69 25 21 0 0

2 221 222 76 76 25 25 0 0

3 221 220 76 79 25 24 1 1

4 221 232 76 80 25 24 0 0

5 221 220 76 78 25 25 0 0

6 0 0 66 65 16 16 0 0

7 0 0 66 62 16 17 0 0

Page 28: Programación lineal entera

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González

28

VI. Resultados Enfocando en la contribución del modelo matemático al problema de la planificación de

ortopedia, se ilustra esto con rendimiento del modelo para las situaciones siguientes:

¿Qué si nosotros usamos el programa de semana 12, la semana de la muestra, en

combinación de la mezcla Paciente con las escenas originales?

¿Cuál es una disponibilidad adecuada de recursos por el medio programa de la

semana?

Primeramente se ha evaluado la viabilidad del programa de la semana 12 (vea Tabla II). El

número total de pacientes es igual que para el medio programa de la semana pero hay una

substitución hacia categorías de pacientes que requieren más recursos (categorías 8 y 11).

Usando al modelo para este flujo de resultados de los pacientes en ningún perfil de admisión

factible se encontraron dentro de las restricciones definidas para el problema de la planificación.

Observando la Tabla VII, uno puede concluir que el programa de semana 12, aunque el número

de pacientes es adecuado, tiene una mezcla de pacientes que no encajan dentro de las

restricciones de capacidad para la ortopedia. Probablemente, los cirujanos ortopédicos han

considerado sólo la capacidad de la sala de operación, al decidir el programa de la semana, y no

la cama.

¿Suponga ahora que usamos el medio programa de la semana como en la Tabla II, entonces

cuántos recursos se necesitarán para encajar la demanda de recursos adecuadamente?.

Reduciendo la capacidad de la cama durante la semana a 27 camas, nosotros llegamos a los

resultados mostrados en Tabla XI.

Tabla XI. Resultados con reubicación de recursos

QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3) CAMAS (4) CAMAS DE CUIDADOS

INTENSIVOS (5)

Dia OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL

1 221 216 76 77 24 24 0 0

2 221 227 76 75 24 23 0 0

3 221 220 76 77 24 24 1 1

4 221 217 76 79 24 24 0 0

5 221 220 76 74 24 24 0 0

6 0 0 66 66 16 17 0 0

7 0 0 66 61 16 16 0 0

Hay respuestas diferentes claramente, posible a la pregunta puesta adelante acerca de la

cantidad de recursos que encajarían adecuadamente a la demanda requerida para el medio

programa de la semana, pero la solución presentó muestra resultados buenos. La función objetiva

produce una cuenta de 0.206. Éste es mejor resultado comparado con la Tabla IX con una

función objetivo de 0.530.

Page 29: Programación lineal entera

Investigación de Operaciones

29

Ahora considerando un cambio de nivel durante el fin de semana. Suponga que

aumentamos la capacidad de la sala de operación al principio de la semana, disminuimos la

capacidad de la sala de operación al final de la semana, y también hacemos algunos cambios a los

recursos de la cama disponible al final de la semana. Como se muestra en la Tabla XII.

Tabla XII. Resultados con variación en reubicación de capacidad por día

QUIROFANO (5) ENFERMERIA(3) CAMAS (4) CAMAS DE CUIDADOS

INTENSIVOS (5)

Dia OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL OBJETIVO REAL

1 238 238 76 73 24 23 0 0

2 238 235 76 77 24 25 0 0

3 222 217 76 76 24 23 1 1

4 204 200 76 77 22 22 0 0

5 204 210 76 73 22 22 0 0

6 0 0 66 66 18 19 0 0

7 0 0 66 67 18 18 0 0

Como puede verse de la Tabla XII, asignando recursos de la sala de operaciones y recursos

de la cama al principio de la semana pero aumentando el número de camas disponible durante el

fin de semana, parece que se consigue un mejor encaje entre la demanda y suministro. La cuenta

de la función objetiva es 0.235 y muestra, sin embargo, que esta solución es ligeramente más

pequeña que la obtenida en la Tabla XI. Cuando ambas cuentas son iguale que casi uno podría

decir que ambas soluciones están produciendo una actuación similar. La cantidad de recursos

usados en Tabla que XII son similares a los de la Tabla XI. La cantidad capacidad de la sala de

operaciones es casi el mismo, la capacidad de la enfermería es mejor y el número de camas en

uso muestra un ligero aumento.

VII. Conclusiones Basado en los resultados descritos en la sección anterior, nosotros podemos concluir que el

modelo puede generar un perfil de admisión bueno por la categoría. Con un perfil de admisión

bueno nosotros queremos decir un perfil que produce una desviación pequeña entre los

comprendidos y la utilización del recurso designado, mientras la capacidad disponible total de los

recursos diferentes no se excede, la llegada de pacientes designados y las restricciones dadas no

se violan. Nosotros también demostramos que el modelo puede ser acostumbrado a poner a

punto el nivel de disponibilidad de recursos a la demanda.

Una limitación sería del trabajo es que excluye el flujo de emergencia. Modelo con esta

limitación es, por consiguiente, más a favor para una especialidad con un porcentaje bajo de

emergencias (ortopedia) que para una especialidad con un porcentaje alto de emergencia (cirugía

general).