Pendulo Simple

Laboratorio de Física II, Marzo 2011

EL PÉNDULO SIMPLE

Castañeda Gómez H.1, Orozco De la Cruz L.1, Polo Cano K.1, Roa Escobar E.1, Robles Montoya G.1

Martín Morales Fontalvo 2

Universidad Del Atlántico

Facultad de Ingeniería

Programa de Ingeniería Mecánica

Martes, Marzo 29 del 2011, 12:30 P.M

RESUMEN

El presente informe se efectúa un minucioso análisis cuantitativo y cualitativo de la práctica número uno del laboratorio de física de ondas y calor, titulada, “Péndulo Simple”, realizada en las instalaciones del laboratorio de física de calor y ondas, en la Universidad del Atlántico.

Para realizarla, se construyó un sistema que constaba de un soporte universal, un hilo inextensible, una cinta métrica, un juego de masas diferentes (para ir probando las respectivas leyes), un goniómetro y un cronómetro.

El principal objetivo de la experiencia comprobar las siguientes leyes: 1. La ley de las masas que dice “el periodo es independiente de la masa”. 2. Ley de isocronismo que dice “el periodo es independiente de su amplitud angular”. 3. Ley de las longitudes que dice “el periodo es inversamente proporcional a la longitud”. Luego hallar el valor de la gravedad.

1. INTRODUCCION

Todo movimiento que ocurre entre dos puntos fijos y oscila o vibra entre estos, se llama movimiento oscilatorio. Tal movimiento es descrito por el péndulo simple, un sistema idealizado en el que una masa puntual está suspendida del extremo de una cuerda inextensible de masa despreciable.


La razón de ser de este sucinto informe, fue examinar los factores y variables que intervienen en este sistema mecánico, estudiar sí efectivamente su comportamiento cumple con las características para enmarcarlo en los movimientos oscilatorios y determinar experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad, valiéndose de la relación entre el período y la longitud del mismo

2. DISCUSIÓN TEÓRICA

Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sometidos a una fuerza restauradora, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple es uno de estos.

Se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.

Éste sistema, como se había mencionado anteriormente, se compone de una pesa de masa m suspendida de un fino hilo de longitud L fijo por su extremo superior. (La masa de este fino hilo es muy pequeña en comparación con la masa esto quiere decir que es posible no tomarla en cuenta). Cuando se suelta la masa desde un punto de partida, la masa se balancea hacia un lado y otro sobre la misma trayectoria, este movimiento ocurre en un plano vertical y es accionado por la fuerza gravitacional. Examinando las fuerzas que actúan sobre el péndulo, se puede asegurar que este describe un movimiento armónico simple, pues esta fuerza (componente tangencial de la fuerza gravitacional) es proporcional al desplazamiento S, y es de la forma de la ley de Hooke.

La componente de la fuerza de gravedad tangencial a la trayectoria circular es la fuerza queobliga al péndulo a volver a su posición de equilibrio. Por tanto, la fuerza restauradora es

mg sin θ

Con base a esto podemos llegar a la conclusión que el movimiento de un péndulo no es armónico simple. Sin embargo, cuando la amplitud angular es significativamente pequeño (θ ≤ 15°), el angulo medido en radianes y el seno de este son aproximadamente iguales (sin θ=θ).


En definitiva, si restringimos el movimiento a ángulos pequeños (menores a quince grados), la fuerza restauradora se puede escribir como

α=−gL

sin θ

Y teniendo en cuenta sin θ=θ se puede denotar, α=−gL

θ

Esta ecuación sigue la forma general de la fuerza de la ley de Hooke, dada por α=ω2θ .

Por esto, se justifica afirmar que un péndulo experimenta un movimiento armónico

simple sólo cuando oscila de un lado a otro con amplitudes muy pequeñas.El período de un péndulo se puede de la siguiente forma

T=2 πω

=2 π √ Lg

Esta ecuación pone de manifiesto el resultado de que el período de un péndulo simple no depende de la masa sino de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad. Por otro lado, la amplitud no es un factor importante en tanto sea relativamente pequeño. En la siguiente figura se ilustra la analogía entre el movimiento de un péndulo simple y el sistema de masa-resorte.


3. PROCEDIMIENTOS.

En la realización de la práctica de Laboratorio de Física II concerniente a “Péndulo Simple”, en primera instancia se llevo a cabo la fase de instalación de los instrumentos con la finalidad de demostrar experimentalmente la independencia del Periodo con la masa oscilante en el Péndulo, para ello, se emplearon los siguientes instrumentos:

Un soporte universal. Una cuerda inextensible de longitud no menor a 150 cms. Bloques de masa de 50, 100 y 200 grms. Cinta métrica. Transportador. Cronómetro.


La instalación se realizó tomando una medida exacta de longitud de la cuerda valorada desde el extremo superior del soporte universal hasta el centro de masa del bloque colgante de 50 gramos. La longitud tomada fue de 51 cms, y el procedimiento de medición se realizo en primera instancia con un bloque de 50 gramos, luego con uno de 100 gramos y finalmente con uno de 200 gramos, manteniendo invariable el valor de lalongitud.

La medición del periodo se hizo posible, halando la masa colgante con un ángulo aproximadamente igual o mayor a 15° respecto a la vertical, soltándose para que empezara a oscilar. Se tomó el tiempo transcurrido en 10 oscilaciones para lograr finalmente la relación T = t/10. Los resultados fueron tabulados y el procedimiento se realizo sucesivamente diez veces para obtener un valor promedio. Así mismo se realizó aumentando el valor de la masa, con una de 100 y 200 gramos.

Para la segunda etapa de la medición se realizó exactamente lo mismo que en la etapa anterior, lo que marcó la diferencia fue el valor fijo de la masa, y el aumento durante la medición del valor de la longitud de la cuerda para calcular el periodo respectivo. Se inició con 30 cms de longitud, se fue aumentando en 20 cms hasta llegar finalmente a 150 cms. Los parámetros de medición fueron exactamente los mismos.

4. ANÁLISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS.

En la realización de los cálculos correspondientes en la determinación experimental de los fundamentos del M.A.S. asociado a un Péndulo simple se tomaron los siguientes datos iniciales:


Tabla 1: Determinación experimental de los valores del Periodo para un “Péndulosimple” variando la masa colgante, y dejando constante la longitud de la cuerda.

T(S) L M ANGULO2.078 1M 5OG 152.083 1M 200G 15

En la fase de medición respectiva hay que tener en cuenta que el valor del periodo con cada Masa colgante se determinó tomando el tiempo de una oscilacion para disminuir el índice de error, los valores de las masas son respectivamente M1 = 50g, M2 = 200g podemos notar que aunque se

varió la masa el valor del Periodo presentó pequeñísimas desviaciones, independientemente de la amplitud utilizada, se procuró siempre empezar las mediciones con el mismo valor; pero la tendencia es a un valor de Periodo perfectamente constante.

A partir de estos resultados es posible comprobar el valor de la aceleración de gravedad que actúa siempre sobre un sistema en oscilación, la fuerza de gravedad acciona el movimiento y siempre que sea un ángulo pequeño éste será Armónico simple, este requisito fue tenido en cuenta debido al valor de amplitud pequeño utilizado para la toma de mediciones. La longitud medida de la cuerda fue de 1 m. Partimos entonces de la ecuación que define al Periodo de un Péndulo simple:

√Donde L es la longitud de la cuerda del péndulo y g la aceleración de la gravedad. De esta forma si despejamos g de la ecuación anterior tenemos:

Perio

do T

(seg

)


Determinación del Periodo de osilación variando la longitud de la cuerda.

T L M ANGULO0.8101.006

Si analizamos los resultados obtenidos, en primera noción podemos observar que si variamos los valores de la longitud de la cuerda asi mismo varía el valor del periodo no de una forma directa debido a la relación entre T y L. Para poder comprender mejor la información que proporciona la

gráfica es conveniente realizar una representación gráfica de T Vs. L, y T 2 vs L para observar sucomportamiento:

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Periodo T(s) vs Longitud (Cms)

0 20 40 60 80 100 120 140 160Longitud (Cms)

Cuad

rado

Per

ido

T 2(

s2)


Realizando un análisis gráfico podemos observar que la gráfica representa una curva cóncava hacia abajo que indica que a medida que aumenta la Longitud de la cuerda del Péndula aumenta también el valor del periodo de oscilación pero no de manera proporcional debido a la relación entre T y L. Podemos apreciar, que la curva tiene la forma de una función que lleva un termino de raíz cuadrada, y esto es justificable ya que T , por lo tanto la gráfica no puede ser lineal, es ascendente también.

Ahora podemos apreciar la gráfica del Periodo al Cuadrad contra la Longitud:

Cuadrado Perido T 2(s2) vs Longitud (Cms)3

2.5

2

1.5

1

0.5

00 20 40 60 80 100 120 140 160

LONGITUD (Cms)

El ideal de realizar un gráfico que relacione el Cuadrado del Periodo contra la Longitud es linealizar los puntos obtenidos en la gráfica anterior. Si apreciamos la gráfica vemos que la rectitud aumenta respecto a la primera gráfica, sin embargo existe una pequeña desviación debida al índice de error por tratarse de una práctica experimental, sin embargo la tendencia es significativa. Si se unieran los puntos extremos, los puntos que se encuentran entre éstos quedarían dispersos y de esta forma se pueden inferir que esto es posible por la fuente de error, que pudo deberse a perturbaciones externas, variación brusca en la precisión a la hora de soltar la masa colgante con un valor de amplitud específico, si esto fuera asi, el sistema podría experimentar pérdida de energía mecánica en el cambio de la trayectoria y de esta forma el movimiento no sería Armónico simple, sin embargo el ángulo de amplitud fue mayor o igual a 15°.


Es un gráfico aproximadamente lineal, que indica que a medida que aumenta la longitud idealmente aumenta el cuadrado del periodo de una forma proporcional. Aunque experimentalmente esta apreciación es significativamente aproximada. Todo esto debido a que:

Como la relación es directamente proporcional, y la grafica entre el cuadrado del periodo y la longitud es lineal, podemos hallar entonces el valor de la pendiente.

Si tomamos el valor científico de g, y sustituimos su valor obtenemos que m = 0.040. Y este valor es consistente, ya que por ser una línea recta la pendiente también puede hallarse como el cociente entre la diferencia de los valores mayor y menor del cuadrado del periodo, y la diferencia de los valores mayor y menor de la longitud; entonces el valor de dicha operación es 0.041, muy aproximado al primer valor (Véase Tabla 4)

El valor de la gravedad también puede ser determinado utilizando los valores experimentales tomados en la segunda parte de la práctica, para de esta forma lograr la comparación con el valor científico y calcular el índice de error:

Tabla 5: Determinación del valor de la aceleración de gravedad con los datosexperimentales tomasdos en la medición.

Longitud (Cms) Periodo T(s) Gravedad g ( )30 1.11 961.2450 1.45 938.8470 1.69 967.5790 1.92 963.83

110 2.11 975.41130 2.31 961.79150 2.48 962.83


Si observamos la tabla vemos una aproximación bastante cercana de la magnitud de la aceleración de la gravedad respecto al valor científico de la misma. Sin embargo el índice de error puede ser conocido mediante el porcentaje de desviación entre dichos valores. Se usa entonces la siguiente fórmula:

| |.Los valores obtenidos son los que se muestran en la siguiente tabla que se muestra

Tabla 3: Determinación de los valores de los %Desv. Para cada valor experimental obtenidoen el cálculo de la aceleración de la gravedad.

Valor experimental: g

( )Valor Teórico (Científico) ( ) %Desviación

961.24

980.66

1.98%938.84 4.26%967.57 1.34%963.83 1.72%975.41 0.53%961.79 1.92%962.83 1.82%

Si apreciamos los valores de los porcentajes de desviación para esta segunda etapa de la práctica observamos una tendencia mayor del índice de error, sin embargo, los valores de la aceleración de la gravedad respecto al valor científico son bastante próximos pues oscila ente 0.5% y 4%, lo que puede garantizar éxito a la práctica. El índice de error es debido a la imprecisión a la hora de soltar la masa oscilante desde su amplitud pequeña, o la variación de su ángulo por encima de los 15°, lo que puede hacer que el sistema no describa un Movimiento armónico Simple.

5. CONCLUSIONES

A través de esta experiencia de laboratorio de Física II podemos deducir que el periodo medido en un Péndulo simple no depende para nada de la masa colgante del sistema ni de la amplitud, sin embargo ésta no debe tener un valor elevado pues modifica el ángulo de elongación que no puede ser superior a 15°. Con ángulos mayores el sistema no se mueve con M.A.S. y la energía mecánica


del mismo se disipa alterándose así su sentido físico. La relación entre Periodo y Longitud no es lineal como apreciamos en el gráfico, pero entre el cuadrado del periodo y la longitud es directamente proporcional. El valor de la aceleración de la gravedad fue comprobado experimentalmente con una proximidad bastante significativa, sin embargo el error debido a la imprecisión en la determinación empírica del valor del ángulo de elongación produjo pequeñas desviaciones, haciéndose su magnitud físicamente despreciable.

REFERENCIAS

RAYMOND A. Serway. J Jewett. Física: Para ciencias e ingeniería, Vol 1, 4ª edición. EditorialMC GRAW-HILL. México D.F., México, 2003.

Web Física de Franco: acienciasgalilei.com http://www.meteored.com/

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