NÚMEROS COMPLEJOS Y POLINOMIOS

Obtener los valores de 𝑟 𝑦 𝜃 que satisfacen la siguiente ecuación(𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃)2= 𝑧1(𝑧2 − 𝑧3)

Donde:

𝑧1 = 8 𝑐𝑖𝑠 315°

𝑧2 = 2𝑒 5𝜋𝑖2

𝑧3 = 25 + 27𝑖

Obtener los valores de x, y para los cuales se cumple la siguiente igualdad:

(𝑥 + 𝑦𝑖)2= (𝑥 − 𝑦𝑖)2

Calcular el o los valores de z que satisfacen la siguiente ecuación:

𝑧 3 2𝑒 𝜋 2𝑖 − 1 + 𝑖 −1 − 𝑖 = −(4 + 3𝑖)𝑧 3 2

Es un procedimiento practico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio.

EJEMPLO 1:4𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥2 + 7𝑥 + 8

𝑥 + 1=𝑓 𝑥

𝑞 𝑥

EJEMPLO 2:18𝑥5 − 29𝑥3 − 5𝑥2 − 12𝑥 − 16

3𝑥 + 23x+2=0

X= -2/3

Grado del cociente:

𝑓 𝑥 ° − 𝑞 𝑥 ° = 5 − 1 = 4

Cociente:

18𝑥4 − 12𝑥3 − 21𝑥2 + 9𝑥 − 18Residuo: -4

1. Se determina por lo menos un cero del polinomio.

Cuando el primer coeficiente del polinomio es 1 se toman todos los divisoresdel termino independiente con su doble signo. Ejemplo:

𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 4𝑥2 + 7𝑥 − 12𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠: ±1,±2,±3,±4,±6,±12.

𝑃 1 = (1)3+4 1 2 + 7 1 − 12 = 0 ∴ 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜

Cuando el coeficiente del primer termino es diferente de 1, se procede comoen el caso anterior y además se considera las fracciones que resultan de dividirtodos los divisores del termino independiente entre los divisores del primercoeficiente. Ejemplo:

𝑃 𝑥 = 4𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 − 9

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠: ±1,±3,±9,±1

2, ±

3

2, ±

9

2, ±

1

4, ±

3

4,9

4.

Termino

independiente

2. De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomioo factor

3. El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisorobtenido mediante división sintética.

Ejemplo:

Factorizar: 𝑥3 − 4𝑥2 − 25𝑥 + 28

1. Se determinan los posibles ceros:𝑃. 𝐶.= ±1,±2,±4,±7,±14,±28

2. Para x=1, el valor numérico del polinomio es:𝑃 1 = (1)3 − 4 1 2 − 25 1 + 28 = 0

∴ 𝑥 − 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟

De donde se obtiene el cociente: 𝑥2 − 3𝑥 − 28 que es el otro factor buscado.

Luego el polinomio factorizado es: (𝑥2−3𝑥 − 28)(𝑥 − 1)

Finalmente: P 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 − 4 𝑥 − 1

Las raíces racionales son: 𝜶𝟏 = 𝟏,𝜶𝟐 = 𝟏,𝜶𝟑 = 𝟒

La regla de los signos de Descartes está relacionado con el numero desoluciones positivas de una ecuación polinómica, es decir, nos sirvepara poder determinar la cantidad de raíces positivas, negativas oimaginarias que tiene como resultado un polinomio de grado “n”. Paraun polinomio, siendo:

La cantidad de raíces reales positivas es igual al número de cambiosde signo de f(x) o disminuido en ese número en una cantidad enterapar.

La cantidad de raíces reales negativas es igual al número de cambiosde signo de f(-x) o disminuido en este número en una cantidad enterapar.

𝒑 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙

𝒏−𝟏 + …+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎

Llamando C (p) al número de cambios de signo en la lista de coeficientes delpolinomio, en este caso C(p) = 5. Por Lo tanto hay un máximo de 5 raíces realesnegativas.

Hay varias posibilidades que analizamos a continuación:

1º Posibilidad: Al haber 0 raíces positivas, 5 negativas, y el polinomio original es degrado 5 el total de raíces es 5, habiendo 0 raíces imaginarias.

También puede ser menor que los cambios de signo por un múltiplo par, en estecaso seria