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LA GEOMETRA DE DESCARTESTodos los problemas de Geometra pueden reducirse fcilmente a trminos tales, queno es necesario conocer de antemano ms que la longitud de algunas lneas rectaspara construirlos.Descartes. La Geometra (G.AT.VI.369).

Descartes mediante un nuevo mtodo hizo pasar de las tinieblas a la luz cuanto en lasMatemticas haba permanecido inaccesible a los antiguos y todo cuanto loscontemporneos haban sido incapaces de descubrir; luego puso los cimientosinquebrantables de la Filosofa sobre los cuales es posible asentar la mayor parte delas verdades en el orden y con la certidumbre de las Matemticas.Spinoza. Los Principios de la Filosofa cartesiana.

Lo que ha inmortalizado el nombre de Descartes es la aplicacin que ha sabido hacerdel lgebra a la Geometra, una idea de las ms vastas y felices que haya tenido elespritu humano, y que ser siempre la llave de los ms profundos descubrimientosno solamente en la Geometra, sino en todas las ciencias fsico-matemticas.D'Alembert. Discours Prliminaire de l'Encyclopdie (Orbis, 1984, pp.8485).

La Geometra analtica, mucho ms que cualquiera de sus especulacionesmetafsicas, inmortaliza el nombre de Descartes y constituye el mximo paso hechoen el progreso de las ciencias exactas.J. Stuart Mill. (citado por E.Bell en Les grands mathmaticiens. Payot, Pars, 1950.Cap.3. p.46).

Introduccin.Del lgebra Geomtrica griega a la Geometra Analtica Cartesiana.El lgebra Geomtrica del Libro II de Los Elementos de Euclides.Coordenadas en Las Cnicas de Apolonio.El Anlisis Geomtrico griego y la Geometra Analtica.

La Geometra de Descartes.La formacin de Descartes en La Flche.Citas memorables de Descartes.Citas memorables sobre Descartes.Los sueos de Descartes y los orgenes de La Geometra.Las Regulae, El Discurso del Mtodo y La Geometra.La percepcin de Descartes sobre el eco cientfico de La Geometra.El contenido de La Geometra.

La construccin geomtrico-algebraica de las operaciones aritmticas.La notacin matemtica cartesiana.Anlisis y Sntesis: planteamiento y resolucin de las ecuaciones.Sistemas de referencia. El Problema de Pappus.Las rectas normales a una curva. El Mtodo del crculo.

La Geometra de Descartes y la Geometra Analtica.La proyeccin histrica de la Geometra Analtica cartesiana.Bibliografa.

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Introduccin:Del lgebra Geomtrica griega a la Geometra Analtica CartesianaLa Geometra Analtica es un poderoso instrumento de ataque de los problemasgeomtricos que utiliza como herramienta bsica el lgebra. La esencia de su aplicacin enel plano es el establecimiento de una correspondencia entre los puntos del plano y paresordenados de nmeros reales, es decir, un sistema de coordenadas, lo que posibilita unaasociacin entre curvas del plano y ecuaciones en dos variables, de modo que cada curvadel plano tiene asociada una ecuacin f(x,y)=0 y, recprocamente, para cada ecuacin endos variables est definida una curva que determina un conjunto de puntos en el plano,siempre respecto de un sistema de coordenadas. En particular queda establecida unaasociacin entre rectas del plano y ecuaciones de primer grado de la forma Ax+By+C=0. LaGeometra Analtica es, pues, una especie de diccionario entre el lgebra y la Geometraque asocia pares de nmeros a puntos y ecuaciones a curvas. Pero esta asociacin va msall de lo gramatical ya que vincula tambin las sintaxis del lgebra y de la Geometra, esdecir, las relaciones, vnculos y operaciones entre los elementos de ambas. As pues, parahallar geomtricamente la interseccin de dos curvas f(x,y)=0, g(x,y)=0 problemageomtrico habra que resolver algebraicamente el sistema formado por ambas ecuacionesproblema algebraico. Adems, para cada curva f(x,y)=0, la Geometra Analtica establecetambin una correspondencia entre las propiedades algebraicas y analticas de la ecuacinf(x,y)=0 y las propiedades geomtricas de la curva asociada. De hecho, estas propiedadesgeomtricas son el trasunto geomtrico de la estructura algebraica de la expresin f(x,y)=0 yse establecen mediante el clculo literal que permite el lgebra. En particular la tarea deprobar un teorema o resolver un problema en Geometra se traslada de forma muy eficientea probarlo o resolverlo en lgebra utilizando el clculo analtico.Es indiscutible que Fermat y Descartes son los verdaderos artfices de la GeometraAnaltica. Descartes publica en 1637 La Geometra, junto con La Diptrica y Los Meteoroscomo apndices de su Discurso del Mtodo o ste como prlogo de aquellos opsculos. Elmismo ao, Fermat enva al Padre Mersenne sus investigaciones de alrededor de 1629contenidas en la memoria Introduccin a los Lugares Planos y Slidos (Ad Locos Planos etSolidos Isagoge). Las obras citadas de Descartes y Fermat contienen los fundamentos de lallamada ms tarde Geometra Analtica.Hay una gran unanimidad en considerar a La Geometra de Descartes como una de lasobras ms importantes en la historia del pensamiento matemtico. Al utilizar el lgebrasimblica como herramienta algortmica bsica, Descartes realiza una nueva lectura de laGeometra griega, que supera sus limitaciones y rebasa sus conquistas geomtricas. A basede elaborar una excelente herramienta para enfrentar y resolver problemas geomtricosantiguos y modernos, Descartes libera a la Geometra de la dependencia a la estructurageomtrica de las figuras e introduce una forma de solucin de los problemas basada en laaplicacin del Anlisis mediante la intervencin del lgebra.El Anlisis Geomtrico griego utilizaba un equivalente de las coordenadas pero sloempleaba lgebra Geomtrica. El Arte Analtica de Vieta desarrolla el lgebra simblicapero no usa coordenadas. Al aunar ambos instrumentos, coordenadas y lgebra literal,Descartes alumbra la Geometra Analtica que establece un puente para transitar entre laGeometra y el lgebra, al permitir asociar curvas y ecuaciones, a base de aplicar el Anlisisalgebraico de Vieta a los problemas de lugares geomtricos de Apolonio y Pappus,definidos, en un sistema de coordenadas, por una ecuacin indeterminada en dosincgnitas. La Geometra Analtica resultante, dotada del simbolismo literal, con toda lapotencia algortmica de la mecnica operatoria del clculo, manipulacin y simplificacin quepermite el lgebra, sustituye las ingeniosas construcciones geomtricas de la rgida yretrica lgebra Geomtrica de los griegos por sistemticas operaciones algebraicas y seconvierte en una poderosa herramienta de investigacin, mediante la cual Descartesresuelve de forma brillante y asombrosa, numerosos problemas geomtricos, clsicos ymodernos, algunos realmente difciles, como el trazado de normales a las curvas, elProblema de Apolonio y otros que se haban resistido a lo largo de la Historia como elfamoso Problema de Pappus.

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Aqu vamos a realizar un estudio crtico de la obra de Descartes, La Geometra. Para valorarla trascendencia de esta obra en la Historia de la Matemtica, haremos una brevedescripcin de los mtodos de la Geometra griega, no slo porque por comparacinpodremos ponderar la eficiencia de los mtodos cartesianos sino porque la motivacin y elorigen de la obra cartesiana arranca de su lectura por parte de Descartes y la crtica de suslimitaciones. Tambin conviene remontarse a la Geometra griega para rastrear ciertosvestigios analticos, entre ellos el uso rudimentario de coordenadas en Apolonio y lanaturaleza del Anlisis Geomtrico griego como instrumento de investigacin, ya que amboselementos son primigenios antecedentes de la Geometra Analtica cartesiana.La Geometra Analtica de Descartes es un salto revolucionario sin precedentes en laHistoria de la Matemtica. Para valorar en su justo valor el nuevo instrumento cientfico, ascomo para comprender cmo tuvo lugar su gestacin es imprescindible conocer lanaturaleza de la Geometra griega, condicionada por el veto al infinito que trajo la aparicinde los inconmensurables, con la consiguiente estructuracin rgida de la Matemtica griegaelemental en la enciclopdica obra de Los Elementos de Euclides, que establece de formaparadigmtica un estilo sinttico de exposicin que oculta la va heurstica deldescubrimiento, impulsa la Geometra al margen de la Aritmtica, impide el desarrollo de unlgebra en sentido algortmico y simblico y limita la introduccin de nuevas curvas a suconstruccin mediante interseccin de superficies o lugares geomtricos definidos a travsde relaciones de reas o longitudes, en forma de proporcin, y no por medio de ecuaciones.La estructura que adopta esta Matemtica se llama el lgebra Geomtrica de los griegos.Se trata de una especie de Geometra algebraica, resultado de la geometrizacin de losmtodos algebraicos mesopotmicos, en la que los nmeros son sustituidos por segmentosde recta y las operaciones entre ellos se llevan a cabo, mediante construccionesgeomtricas que obligan a mantener escrupulosamente la homogeneidad de los trminos.Esta teora constituye una potente tcnica de resolucin de ecuaciones muy rigurosaaunque un tanto onerosa para nosotros, que se llama el mtodo de Aplicacin de lasreas. Mediante una sofisticada aplicacin de este mtodo, Apolonio construye con uninefable virtuosismo su famosa obra Las Cnicas, donde aparece una aplicacin muyincipiente de las coordenadas. De todas estas cuestiones que interesan al origen de laGeometra Analtica se habla en los captulos introductorios. Y tambin del mtodo deAnlisis de los griegos, del que la Geometra Analtica recibir no slo su nombre sino sobretodo sus procedimientos. Se trata en particular el concepto que sobre l tenan Platn yPappus y la visin de Descartes sobre el mismo en las Reglas para la direccin del espritu.El objetivo fundamental de este trabajo es desentraar las races de la Geometra Analticaen el pensamiento filosfico y matemtico cartesianos. Por eso se ha dedicado unagenerosa extensin a la importante cuestin del anclaje de La Geometra de Descartes ensu obra filosfica y en particular en El Discurso del Mtodo y en las Reglas para la direccindel espritu, obras donde se sita la metodologa cartesiana, en particular los preceptos delAnlisis y la Sntesis que Descartes aplicar de forma constante en La Geometra. As pues,se analizan de forma exhaustiva los textos de esas obras de Descartes, que son esencialespara entender como se va fraguando la motivacin y la estructuracin de la metodologacartesiana de La Geometra.Se estudia en un captulo, de forma sucinta, el contenido general de La Geometra, pero enlos siguientes captulos se concretan, con gran extensin, los aspectos de la obra cartesianaque interesan a los orgenes de la Geometra Analtica: La construccin geomtrico-algebraica de las operaciones aritmticas, la notacin matemtica cartesiana, la aplicacindel Anlisis y la Sntesis en el planteamiento y resolucin de las ecuaciones, los sistemas dereferencia en el estudio del Problema de Pappus y la construccin de las rectas normales auna curva mediante el mtodo del crculo.La Geometra Analtica es mucho ms que una mera combinacin de lgebra y Geometra.Para poder circular del lgebra a la Geometra y de la Geometra al lgebra se necesitacomo ingredientes ineludibles no slo el carcter algortmico operatorio del lgebrasimblica sino tambin la aplicacin de las coordenadas. Una aproximacin al uso de stasya tuvo lugar en la Geometra griega con Apolonio y Pappus, pero el lgebra simblica no

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se desarrolla de forma satisfactoria hasta los trabajos de Vieta. Al vincular ambos elementosen los desarrollos de Descartes, emerge la Geometra Analtica de forma inexorable. Perocomo en cualquier creacin humana, la de Descartes es tributaria de importantes desarrollosmatemticos anteriores. Por eso, a lo largo de este estudio acerca origen de la GeometraAnaltica en La Geometra de Descartes intentamos clarificar la influencia de los diversoshitos histricos geomtricos y algebraicos sobre el hallazgo cartesiano. Esta es la raznpor la cual hemos incluido aspectos de la Historia de la Geometra griega y de la evolucindel lgebra sin los cuales no se entendera la obra de Descartes y su enorme incidencia enla Historia de la Matemtica.A fin de concretar el significado de los trminos, digamos que entendemos por GeometraAnaltica lo que hemos descrito ms arriba como su esencia y que ahora sintetizamos:

La aplicacin del lgebra simblica al estudio de problemas geomtricos mediante laasociacin de curvas y ecuaciones indeterminadas en un sistema de coordenadas.

Esta definicin es la que nos ha guiado para entresacar de toda la obra cartesiana loselementos que se refieren a lo que dos siglos despus de Descartes se llam GeometraAnaltica. As pues, se empieza por la descripcin de los preliminares geomtrico-algebraicos que Descartes estudia con la denominacin Cmo el clculo de la aritmtica serelaciona con las operaciones de geometra, de una gran importancia, porque en esteapartado Descartes soslaya el problema de la inconmensurabilidad, al asignar longitudes alos segmentos, previa la adopcin de un segmento unidad a discrecin, tras lo cualconstruye de forma efectiva las operaciones aritmticas dndoles significado geomtrico. Deesta forma Descartes elimina la limitacin pitagrica de la inconmensurabilidad.El siguiente punto esencial es la simplificacin de la notacin algebraica, una cuestinintrnsecamente vinculada a los mtodos de la Geometra Analtica. Tanto es as, que entodo estudio histrico sobre la Geometra Analtica una parte importante la ocupa laevolucin histrica del simbolismo, que alcanza su clmax en los aportes del propioDescartes a la notacin algebraica, ingrediente esencial del descubrimiento cartesiano, queaparece primero en las Regulae y despus en La Geometra. En el apartado de sta tituladoCmo pueden emplearse letras en geometra, Descartes considera un segmento de rectatanto como magnitud geomtrica continua como una medida numrica, pero establece quela potencia de un segmento sigue siendo un segmento, de modo que cuadrado y cubo ya noson magnitudes planas o espaciales, sino la segunda o tercera potencia de un nmero. Deeste modo, las operaciones aritmticas quedan incluidas en un terreno estrictamentealgebraico. Con ello Descartes elimina otra limitacin, la eucldea de la homogeneidad.Contina el trabajo cartesiano con la aplicacin de la metodologa cartesiana del Anlisis yla Sntesis en el planteamiento y resolucin de ecuaciones que corresponden a losproblemas planos, donde se desarrolla todo un protocolo de actuacin suponer el problemaresuelto; dar nombre a todos los segmentos que parecen necesarios para representar losdatos del problema, tanto los conocidos como los desconocidos; determinar la ecuacinentre las longitudes conocidas y las desconocidas; resolver la ecuacin resultante; construirgeomtricamente la solucin. Se trata de un verdadero mtodo de resolucin de problemasgeomtricos donde se transita de forma reversible de la Geometra al lgebra y del lgebraa al Geometra. En particular, Descartes exhibe de forma ostentosa eficientes mtodos deresolucin de ecuaciones y de construccin geomtrica de las soluciones, que contrastancon la farragosidad del lgebra Geomtrica de Los Elementos de Euclides. Realmente aquvemos la magnificencia y simplicidad de los mtodos de La Geometra de Descartes encontraposicin a la prolijidad y precariedad de la Geometra griega.Sigue a continuacin un tratamiento exhaustivo del histrico Problema de Pappus dondeDescartes introduce el primer sistema de coordenadas de La Geometra. Este problema fueun indicador fehaciente, ante el pblico cientfico coetneo, de la novedad y de la inusitadapotencialidad del mtodo analtico cartesiano en Geometra en un asunto geomtrico quedesbord a lo largo de los siglos las posibilidades del Anlisis geomtrico griego.Finalmente se considera el problema ms querido y anhelado para Descartes, segn suspropias palabras, la determinacin de las rectas normales a una curva, donde se resuelve

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de forma prodigiosa el problema de normales y tangentes, pero sobre todo se apunta a laasociacin de curvas y ecuaciones que instaura los dos principios fundamentales de lallamada Geometra Analtica: La relacin entre las coordenadas de los puntos de una curva la ecuacin de la curva

establece una correspondencia entre las propiedades algebraicas de la expresin de laecuacin y las propiedades geomtricas de la curva asociada.

La interseccin de curvas que es un problema geomtrico se reconduce a laresolucin de sistemas de ecuaciones que es un problema algebraico.

La Geometra de Descartes traslada de la Geometra al lgebra la resolucin de losproblemas geomtricos y adems convierte al lgebra en un magnfico instrumento deexploracin e investigacin geomtrica. Por ejemplo, la realizacin de ciertos clculos y enparticular la resolucin de algunas ecuaciones vinculadas a la expresin de la curva,permiten la obtencin de los elementos geomtricos notables de la misma, es decir,dimetros, ejes, asntotas, centros, etc. Incluso Descartes habla de su aplicacin a lamedida del espacio que abarcan, queriendo indicar, tal vez, las cuadraturas.Y ms todava, la propia expresin analtica de la ecuacin de una curva es una incipienteaproximacin al concepto de funcin.Como una manifestacin de la trascendencia de La Geometra de Descartes en la Historiade la Matemtica, nos ha parecido conveniente describir la decisiva influencia de la obracartesiana en el descubrimiento y desarrollo del Clculo Infinitesimal.Hacia el final se relaciona de forma muy sucinta la rpida evolucin de la GeometraAnaltica poscartesiana, hasta situarnos en el umbral de la Geometra Analtica moderna, laque se imparte hoy acadmicamente, salvo en lo que se refiere al instrumento vectorial.Acabamos con unas reflexiones sobre la proyeccin histrica de la Geometra Analticacartesiana, una potente herramienta que domina el pensamiento matemtico desde la pocade Descartes, que al aportar simplificacin, generalizacin, mecanizacin, unificacin,flexibilidad, versatilidad, claridad, economa, brevedad y difusin, se convierte en el lenguajeuniversal de las ciencias. La Geometra Analtica cambi el rostro de las Matemticas y elsemblante de la Educacin matemtica.Adems de la consulta a diversos textos de Historia de la Matemtica, Historia de laFilosofa, Filosofa de la Ciencia y de la Matemtica, artculos de revistas cientficas, etc., elmanantial bibliogrfico fundamental utilizado ha sido, por una parte, Obras originales de losprincipales matemticos griegos (Euclides, Apolonio, Diofanto y Pappus), y por otra de Vietay Descartes. En concreto, dignas son de mencin las ediciones de Blanchard, en francs, dePaul Ver Eecke de Las Cnicas de Apolonio, La Aritmtica de Diofanto y La ColeccinMatemtica de Pappus; y las mismas obras en ediciones en espaol de F.Vera incluidas enCientficos griegos (Aguilar, Madrid, 1970).Los argumentos de los diversos captulos se sustentan de forma esencial en los textosoriginales de Descartes. Aparte de diversas ediciones, en espaol, de El Discurso delMtodo y de las Reglas para la direccin del espritu, la referencia esencial ha sido Oeuvresde Descartes, Publicadas por C.Adam et P.Tannery (Librairie philosophique J.Vrin, Pars,1964-74), sobre todo el volumen VI que contiene El Discours de la Mthode y La Gomtriey el volumen X que contiene las Regulae ad directionem ingenii. Han sido tambin de unagran utilidad las ediciones de La Geometra, en espaol (Espasa-Calpe y Alfaguara), ingls(Dover) y en especial la magnfica edicin en cataln del Institut dEstudis Catalans(Barcelona, 1999) con introduccin y notas de J. Pla y P. Viader.La referencia concreta a un texto de Descartes se har respecto a Oeuvres de Descartes,indicando la pgina a continuacin de la partcula DM.AT,VI., G.AT.VI., o R.AT.X.respectivamente, segn se trate de El Discurso del Mtodo, La Geometra o las Regulae.Por ejemplo (G.AT,VI,372) indicar que el texto al que se hace alusin se encuentra en lapgina 372 del sexto tomo de las Oeuvres de Descartes, que contiene La Geometra.

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El lgebra Geomtrica del Libro II de Los Elementos de EuclidesComo consecuencia de la aparicin de las magnitudes inconmensurables, los griegos nopodan reconocer la existencia de nmeros irracionales, lo que les dificultaba el tratamientonumrico de longitudes, reas, volmenes y ngulos. Esta limitacin operacional junto a undeficiente sistema de numeracin que utilizaba las letras del alfabeto para representar losnmeros enteros, con la consiguiente dificultad para realizar las operaciones, impedaasignar a las figuras geomtricas nmeros que midieran sus longitudes, reas y volmenesy por tanto los griegos tenan que tratar directamente con las figuras a modo de magnitudes.El abismo infranqueable que se haba abierto entre nmero y magnitud continua impedasometer las magnitudes geomtricas a manipulaciones algebraicas, como se hace con losnmeros, lo que determin la transformacin del lgebra oriental que los pitagricos habanheredado de los babilonios en el lgebra Geomtrica del Libro II de Los Elementos deEuclides que juega un papel fundamental en la Geometra griega. Con gran habilidad en laprctica geomtrica, los griegos hicieron de su lgebra Geomtrica un poderoso instrumentopara la resolucin de ecuaciones, mediante el mtodo de la Aplicacin de las reas, teoraque segn Proclo sera de ascendencia pitagrica.El lgebra Geomtrica, denominacin acuada por el historiador de la Matemtica H.G.Zeuthen hacia 1886, viene a ser una geometrizacin de los mtodos algebraicos practicadospor los babilnicos, una especie de Geometra algebraica, en la que los nmeros sonsustituidos por segmentos de recta y las operaciones entre ellos se llevan a cabo medianteconstrucciones geomtricas respetando escrupulosamente la homogeneidad de lostrminos de la siguiente forma:

La suma de dos nmeros se obtiene prolongando sobre el primero un segmento igual alsegundo.

La diferencia de dos nmeros se obtiene recortando del primero un segmento igual alsegundo.

El producto de dos nmeros es el rea del rectngulo cuyos lados tienen comolongitudes esos nmeros.

El cociente de dos nmeros es la razn de los segmentos que los representan (segnlos principios del libro V de Los Elementos de Euclides).

La suma y la diferencia de productos se reemplaza por la adicin y sustraccin derectngulos.

La extraccin de una raz cuadrada se establece mediante la construccin de uncuadrado de rea equivalente a la de un rectngulo dado (Euclides II.14).

Por ejemplo, el viejo problema mesopotmico en el que dada la suma o diferencia y elproducto de los lados de un rectngulo, xy=A , xy=b, se peda hallar dichos lados, seinterpretaba geomtricamente de la siguiente forma:

2

2

xy Ay b x , x(b x) A , bx x A

x y b

xy Ax b y , y(b y) A , by y A

x y b

= = = =+ =

= = + + = + = =

b

A x

x y

b

y

y

A

x

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La solucin geomtrica lleva a la construccin sobre un segmento b de un rectngulo cuyaaltura desconocida x debe ser tal que el rea del rectngulo en cuestin exceda del readada A (en el caso de signo positivo) en el cuadrado de lado x; o difiera del rea dada (en elcaso de signo negativo) en el cuadrado de lado y.En su lgebra Geomtrica los griegos utilizaron principalmente dos mtodos para resolvercierto tipo de ecuaciones, el mtodo de las proporciones y el mtodo de Aplicacin de lasreas. El mtodo de las proporciones permite construir exactamente, como se hace hoy, unsegmento de lnea x dado por:

a c , ax bcb x= =

Se aplica la cuarta proporcional (Euclides VI.12)

o bien:

2a x , x abx b= =

Se aplica la media proporcional (Euclides VI.13)

No obstante la inseguridad provocada en la Matemtica griega por las magnitudesinconmensurables, conduca a evitar a toda costa el uso de razones en la Geometraelemental. Por eso el tratamiento de ecuaciones tan sencillas como ax = bc y x2 = ab, enforma de proporcin, tiene lugar en el Libro VI de Los Elementos de Euclides, es decir, seretrasa hasta despus de desarrollar la Teora de la Proporcin de Eudoxo en el libro V.La parte ms importante del lgebra Geomtrica de los griegos se encuentra en el Libro IIde Los Elementos de Euclides. En la actualidad su contenido no juega ningn papelfundamental en los libros de texto modernos. Sin embargo en la Geometra griega ejerceuna funcin primordial. La discrepancia radical entre los puntos de vista griego y modernoestriba en que hoy nosotros podemos disponer de un lgebra simblica y unaTrigonometra, que han sustituido completamente a sus equivalentes geomtricos clsicos,precisamente gracias a La Geometra de Descartes, que al aplicar la naturaleza algortmicadel lgebra a los problemas geomtricos alumbr su Geometra Analtica.Mientras nosotros representamos las magnitudes con letras que se sobreentiende sonnmeros conocidos o desconocidos, con las cuales operamos mediante las reglasalgortmicas del lgebra, los griegos representaban las magnitudes rectilneas mediantesegmentos de lnea recta que deban obedecer a los axiomas y teoremas de la Geometra.Con estos elementos los griegos disponan de un lgebra Geomtrica que cumpla atodos los efectos las mismas funciones que nuestra moderna lgebra simblica. Cierto esque el lgebra moderna con su clculo literal facilita de forma considerable la manipulacinde las operaciones y las relaciones entre magnitudes geomtricas, pero no es menos ciertoque con su lgebra Geomtrica los griegos eran mucho ms hbiles que nosotros en laprctica geomtrica. Y es que el lgebra Geomtrica griega sorprende al estudioso modernopor ser bastante difcil y artificiosa, pero los griegos la utilizaron con soltura y para ellosdebi ser una herramienta de utilizacin necesaria, bsica y cmoda.

b

x

a c

b

x

a

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As por ejemplo la Proposicin II.5 de Los Elementos de Euclides:Si se divide una recta en partes iguales y desiguales,el rectngulo comprendido por las partes desigualesde la recta entera, ms el cuadrado de la diferenciaentre las dos partes, es equivalente al cuadrado de lamitad de la recta dada

equivale a pesar del circunloquio retrico a laidentidad algebraica:(a + b)(ab) + b2 = a2 (a + b)(a b) = a2 b2, y no es ms que la formulacin geomtrica de una delas leyes fundamentales de la Aritmtica suma pordiferencia igual a diferencia de cuadrados.

La evidencia visual del teorema aludido para un estudioso griego es muy superior a sucontrapartida algebraica actual. Claro est que la demostracin rigurosa de Euclides de estaproposicin puede ocupar ms de una pgina.Para explicar de forma ms efectiva el mtodo de la aplicacin de las reas, consideremosun segmento de lnea AB y un paralelogramo AQRS cuyo lado AQ est a lo largo de AB:

1. Cuando Q coincide con B, se dice que el paralelogramo AQRS se ha aplicado sobre elsegmento AB.

2. Cuando Q est entre A y B, se dice que el paralelogramo AQRS se ha aplicado sobre elsegmento AB de forma elptica o con defecto el paralelogramo QBCR.

3. Cuando Q est en la prolongacin de AB, se dice que el paralelogramo AQRS se haaplicado sobre el segmento AB de forma hiperblica o con exceso el paralelogramoQBCR.

Volviendo a la Proposicin II.5 de Los Elementos de Euclides, para su demostracinconsideremos la figura siguiente:

Sea AB el segmento de lnea rectadado, dividido de forma igual por C y deforma desigual por D, la proposicinestablece que: ADDB + CD2 = CB2.Tomando AB=2a, AC=a, CD=b, resultala identidad algebraica:(a + b)(ab) + b2 = a2 .Simplificando el lenguaje retrico deEuclides tenemos:ADDB + CD2 = AKHD + LEGH= AKLC +

CLHD + LEGH = CLMB + CLHD + LEGH = CLMB + HGFM + LEGH = CB2.

a+b

a

a-b

b

b2

Euclides II.5(a+b)(ab) +b2=a2

B A Q

S R C S

A B,Q

R S C

Q B A

R

A D

M K

B

E G F

C

H L

290

Digamos que ms importante que la demostracin exhibida, es el diagrama que utilizaEuclides en esta demostracin porque es un esquema grfico que jugaran un papelfundamental en la resolucin geomtrica de ecuaciones cuadrticas.En efecto: sea resolver en la Geometra griega la ecuacin axx2=b2, es decir, encontrar unsegmento de lnea x que cumpla la condicin expresada por la ecuacin axx2=b2, dondea,b son segmentos tales que a>2b.Sea ahora AB=a, y sea C el punto medio de AB, levantemos por C una perpendicular CP delongitud igual a b. Con centro en P y radio a/2 tracemos una circunferencia que corte a ABen el punto D.Construyamos sobre AB un rectngulo ABMK de anchura BM=BD y completemos elcuadrado BDHM. Este cuadrado es el rea x2 que cumple la condicin expresada por laecuacin cuadrtica. En lenguaje griego de la Aplicacin de las reas se ha aplicado deforma elptica al segmento AB=a un rectngulo AH de rea (ax)x, es decir axx2, que esigual a un cuadrado dado b2, y que es deficiente del rectngulo AM en un cuadrado DM. Lademostracin de este hecho viene dada por la Proposicin Euclides II.5, segn la cual elrectngulo ADHK es igual al polgono cncavo CBFGHL, es decir, difiere de (a/2)2 en el

cuadrado LHGE cuyo lado es por construccin CD= 2 2(a/2) b .

Sintetizando los clculos geomtricos:AB=a, AC=CB

CP=b, PD=a/2, LH=CD= 2 2(a/2) b .Rectngulo ABMK (BM=BD)Cuadrado BDHM = x2 . Euclides II.5: ADDB+CD2=CB2 . ADHK + LHGE = CBFE , ADHK = ABMK BDHM , ADHK = CBFE LHGE ,ABMKBDHM=CBFELHGE

ax x2 = (a/2)2 2

2 2(a/2) -b = b2 .

De manera similar se resuelve la ecuacin cuadrtica ax+x2=b2 mediante la Proposicin II.6de Los Elementos de Euclides:

Si se divide una recta en dos partes iguales y se prolonga, el rectngulo comprendidopor la recta entera, ms la prolongacin, y por la prolongacin, junto con el cuadradode la recta mitad, es equivalente al cuadrado de la recta formada por la recta mitad y laprolongacin.

En este caso se trata de aplicar de forma hiperblica a una lnea recta dada AB=a, unrectngulo AM=ax+x2, que sea igual a un cuadrado dado b2 y que exceda al rectngulo AHen un cuadrado x2 .Sea C el punto medio de AB, levantemos por C una perpendicular CP de longitud igual a b.Con centro en C y radio PB tracemos una circunferencia que corte a AB en el punto D.

Esta vez la distancia es CD=PB= 2 2(a / 2) b+ , y como por la proposicin se sabe que elrectngulo AM=ax+x2 ms el cuadrado LG=(a/2)2 es igual al cuadrado CF=(a/2)+b2, severifica la condicin de la ecuacin ax+x2=b2.

A D

M K

B

E G F

C

P

H L

291

Sintetizando los clculos geomtricos:

AB=a, AC=CB, CP=b, CD=PB= 2 2(a/2) b + .Rectngulo ADMK (BM=BD), Cuadrado BDHM = x2 . Euclides II.6: ADMK + LHGE = CDFE . ADMK = CDFE LHGE, ADMK= ABHK + BDMH ,ABHK + BDMH = CDFE LHGE

ax + x2 = 2

2 2(a/2) b + (a/2)2 = b2 .

A D

K

B

E G F

C

P

H LM

1. La Proposicin II.5 de Los Elementos deEuclides en la edicin de Oliver Byrne(Londres,1847).

La Aplicacin de las reas se convirti para losgriegos en una de las tcnicas ms importantesen Geometra como til instrumento de lgebraGeomtrica para la resolucin de ecuaciones. Enprincipio debi de ser ideado para sustituir almtodo de las proporciones, ya que eldescubrimiento de las magnitudes inconmensu-rables hizo prcticamente inviable el uso de lasmismas en el tratamiento de los problemasgeomtricos, hasta la introduccin por Eudoxo dela Teora general de la Proporcin del Libro V deLos Elementos de Euclides.

EL LGEBRA GEOMTRICA Y LA APLICACIN DE LAS REASEN EL LIBRO II DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

Las bases firmes de Teora de la Proporcin permiten a Euclides en las Proposiciones 27, 28 y 29 delLibro VI dar una generalizacin del mtodo de Aplicacin de las reas, donde el libre uso del conceptode semejanza facilita la sustitucin de los rectngulos del Libro II por paralelogramos, permitiendoaplicar a un segmento dado un paralelogramo igual a una figura rectilnea dada y que exceda o seadeficiente en un paralelogramo semejante a otro dado. Las construcciones correspondientes como las delas Proposiciones II.5, II.6 son en la prctica soluciones geomtricas de las ecuaciones cuadrticasaxx2=bx, sometidas a la restriccin geomtrica equivalente a que el discriminante sea no negativo, esdecir, las aludidas Proposiciones VI.27, VI.28 y VI.29 son una especie de contrapartida geomtrica de laforma algebraica ms generalizada de ecuaciones cuadrticas con raz real y positiva.Adems, desde el punto de vista histrico la Aplicacin de las reas est en el punto de partida de lateora de Apolonio (hacia 200 a.C.) de las secciones cnicas. De hecho los tres nombres acuados porApolonio para las cnicas no degeneradas provienen de la denominacin de los tres tipos de aplicacinde las reas: elptico (dado un segmento construir sobre una parte de l o sobre l mismo extendido, unparalelogramo igual en rea a una figura rectilnea dada y resultando deficiente en un paralelogramosemejante a uno dado), hiperblico (idem. resultando excedente) y parablico (idem. resultando igual).

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Coordenadas en Las Cnicas de ApolonioLas Cnicas de Apolonio es una de las obras ms importantes de toda la Geometra griega.En ella quedan acuadas, con significado, para la posteridad, los nombres de elipse,parbola e hiprbola, procedentes del lenguaje pitagrico de la Aplicacin de las Areas. Enel cambio de denominacin de las cnicas por Apolonio subyace un cambio conceptual, todavez que una vez construidas a travs del cono, Apolonio maneja las cnicas medianterelaciones de reas y longitudes, que expresan en cada caso la propiedad caracterstica dedefinicin de la curva de la que se obtienen sus propiedades intrnsecas. Apolonio fue capazde vincular los aspectos estereomtricos y planos de las cnicas, al mostrar que lassecciones de los conos tenan importantes propiedades como lugares planos, traducibles enbsicas expresiones geomtricas equivalentes a nuestras ecuaciones, que permitandeducir, a su vez, otras innumerables propiedades de las cnicas. Es bajo esta visin sobreel trabajo de Apolonio que algunos historiadores modernos (Zeuthen, Coolidge, Loria yHeath) reclaman para los griegos, y empezando por Apolonio, la paternidad de la GeometraAnaltica, al establecer como la esencia de esta rama de la Matemtica el estudio de loslugares por medio de ecuaciones.En el estudio de las cnicas, Apolonio considera ciertas lneas de referencia dimetrosconjugados o dimetro-tangente, que juegan un papel de coordenadas. En el segundocaso al tomar un dimetro y una tangente en uno de sus extremos como rectas dereferencia, las distancias medidas a lo largo del dimetro a partir del punto de tangencia sonlas abscisas y los segmentos paralelos a la tangente, interceptada por el dimetro y la curva,son las ordenadas. Para cada cnica, la conocida relacin de reas y longitudes en formade proporcin en el lenguaje del lgebra Geomtrica propiedad geomtrica de la curvaequivalente a su definicin como lugar geomtrico se traduce en una relacin entre lasabscisas y las correspondientes ordenadas, que Apolonio llamaba el symptoma de la curvay que no es sino la expresin retrica de la ecuacin analtica de la curva, que en suevolucin histrica dara lugar a la llamada ecuacin caracterstica. El lenguaje de Apolonioes sinttico, utilizando con una pericia increble la tcnica pitagrica de la Aplicacin de lasreas, pero sus mtodos de coordenadas guardan una gran similitud con los de laGeometra Analtica.Debemos aquilatar, no obstante, ciertas afirmaciones sobre elementos precursores de laGeometra Analtica, porque al sealar tales atribuciones, ms o menos fundadas oinfundadas, siempre nos encontraremos con las serias limitaciones impuestas por elcarcter geomtrico-sinttico de la Geometra griega y por la ausencia de un lgebrasimblica en sentido algortmico, que es un componente ineludible de una verdaderaGeometra Analtica general, y que a fin de cuentas es lo que permite la real y mutuacorrespondencia entre curvas y ecuaciones. Esto fue realmente lo que se plantearon y resolvieron Fermat y Descartes con el concursodel Arte Analtica de Vieta, al establecer que una ecuacin arbitraria en dos cantidadesindeterminadas determina, con respecto a un sistema dado de coordenadas, una curva.Al analizar la posicin histrica de Apolonio en el camino hacia la Geometra Analticadigamos que, a pesar de los conceptos y elementos geomtricos introducidos, que parecenemular la presencia de sistemas de referencia con coordenadas abscisas y ordenadasque permiten expresar las ecuaciones de las cnicas, estos sistemas de coordenadasaparecan siempre superpuestos a posteriori a las curvas para estudiar sus propiedades. Enla Geometra griega, las coordenadas, variables y ecuaciones no eran elementos de partida,sino conceptos subsidiarios derivados de situaciones geomtricas concretas de curvas quedeterminan las ecuaciones sin que se d la situacin inversa, es decir, que las ecuacionesdeterminen las curvas, ya que stas siempre se producan mediante una construccinestereomtrica como secciones de un slido tal es el caso de las propias cnicas deApolonio o de forma cinemtica como composicin de movimientos tal es el caso de laEspiral de Arqumedes o la cuadratriz de Dinostrato, de forma que el conjunto de curvasmanejadas por los griegos fue necesariamente muy limitado.

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Portada y pgina con ilustraciones de figuras geomtricas de Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V, VI,VII. Edicin de Borelli. Florencia 1661. Biblioteca de la Universidad de Pava.Las Cnicas de Apolonio contienen muchos aspectos que anticipan elementos de la GeometraAnalticas. Como Descartes, Apolonio considera, ciertas lneas de referencia dimetros conjugados odimetro-tangente que al jugar un papel de coordenadas, son asociados a la cnica dada, de modoque mediante lgebra retrica son expresadas en funcin de esas lneas las propiedades geomtricasde la curva equivalentes a su definicin como lugares geomtricos.C.Boyer escribe sobre Apolonio y la Geometra Analtica (en Historia de las Matemticas, AlianzaUniversidad, Madrid, 1986, cap.17, p.208):

El hecho de que Apolonio, uno de los ms grandes gemetras de la antigedad, no consiguiesedesarrollar de una manera efectiva la Geometra Analtica, se debe probablemente ms a unapobreza en el nmero de curvas que de pensamiento; los mtodos generales no son ni muynecesarios ni muy tiles cuando los problemas se refieren siempre a un nmero limitado de casosparticulares. Por otra parte, es bien cierto que los primeros inventores de la Geometra Analticatenan a su disposicin todo el lgebra renacentista [el lgebra de los cosistas italianos y ellgebra simblica de Vieta], mientras que Apolonio tuvo que trabajar con las herramientas dellgebra Geomtrica, mucho ms rigurosa pero a la vez mucho ms incmoda de manejar.

Hay que ponderar la magnfica obra de Apolonio, primer estadio en la Historia de la Matemticasobre la aplicacin de coordenadas al estudio de las propiedades de las curvas; y aunque el discursoretrico sustituye al simbolismo y la construccin geomtrica a las tcnicas algebraicas, las relacionesde reas y longitudes mediante las que Apolonio expresa las propiedades intrnsecas de la curva setraducen con gran facilidad al ulterior lenguaje del lgebra simblica de ecuaciones que permitir laasociacin de curvas y ecuaciones, esencia de la Geometra Analtica. As pues, el trabajo deApolonio inicia la singladura histrica hacia el desarrollo de la Geometra Analtica de Descartes.Adems, dos problemas histricos importantes de gran incidencia sobre la Geometra Analtica deDescartes tienen su origen en los trabajos de Apolonio:1. El Problema de Apolonio (Dados tres elementos, punto, recta o circunferencia, trcese una

circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres)2. El Problema de Pappus o lugar geomtrico determinado por tres o cuatro rectas: Dadas tres

(resp. cuatro) rectas en un plano, encuntrese el lugar geomtrico de un punto que se mueve de formaque el cuadrado de la distancia a una de las tres rectas es proporcional al producto de las distanciasa las otras dos (resp. el producto de las distancias a dos de ellas es proporcional al producto de lasdistancias a las otras dos), si las distancias se miden en direcciones tales que formen ngulos dadoscon las lneas correspondientes.

LAS CNICAS DE APOLONIOY LA GEOMETRA ANALTICA

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El Anlisis Geomtrico griego y la Geometra AnalticaLos Elementos de Euclides establecieron en la Geometra griega un severo modelo deexposicin y demostracin que oculta el camino de la investigacin hacia el descubrimiento.Surge de forma natural la pregunta acerca de cmo los gemetras griegos encontraban susimpresionantes resultados que despus plasmaban en sus obras con un rigor impecable.Pues bien, es aqu donde interviene el Anlisis como un procedimiento metodolgico capitalpara el progreso de la Matemtica, del que la Geometra Analtica heredar no slo sunombre sino sobre todo sus procedimientos.Proclo (411-485 d.C.) en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides atribuye aHipcrates de Quos (hacia 450 a.C.) la invencin del Mtodo Analtico cuando lo define:

La apagog es una reduccin de un problema o de un teorema a otro, que si esconocido o determinado, conduce a la solucin de la cuestin propuesta.

Pero siempre se ha imputado su paternidad a Platn segn ciertos pasajes del Menn(86e87a), la Repblica (510c) y la tica a Nicmaco de Aristteles (1095a), que loformulara como un mtodo pedaggicamente conveniente, viniendo a decir que cuando unacadena de razonamientos desde unas premisas a una conclusin no es obvia, se puedeinvertir el proceso; uno puede empezar por la proposicin que ha de probarse y deducir deella una conclusin que es conocida. Si entonces podemos invertir los pasos en esta cadenade razonamientos, el resultado (Sntesis) es una prueba legtima de la proposicin. Es decir,mediante el Anlisis se asume como cierto aquello que hay que probar y se razona con baseen esta asuncin hasta llegar a algo que forma parte de los principios o alcanzar unresultado cierto por haber sido previamente establecido. Si entonces podemos invertir lasecuencia de los pasos anteriores se obtiene una demostracin del teorema que haba queprobar. As pues, el Anlisis viene a ser un procedimiento sistemtico de descubrircondiciones necesarias para que un teorema sea cierto, de modo que si por medio de laSntesis se muestra que estas condiciones son tambin suficientes, se obtiene unademostracin correcta de la proposicin.Conviene explicar un poco en qu medida la Geometra Analtica recibe su nombreprecisamente del mtodo de Anlisis de los griegos. Como se ha dicho, el Anlisis empiezaasumiendo como cierto aquello que hay que probar. Esto es precisamente un principioque aplica Descartes desde el comienzo de La Geometra. Por ejemplo en el segundoepgrafe del Libro I, titulado: Cmo se llega a las ecuaciones que sirven para resolver losproblemas, Descartes escribe (G.AT,VI,372):

As, si se quiere resolver algn problema, debe de antemano considerarse como yaresuelto,[...]

Descartes no slo realizar una aplicacin directa de los procedimientos del Anlisis y laSntesis de los griegos sino que reformulados sern las dos reglas intermedias de las cuatroreglas del El Discurso del Mtodo (DM.AT,VI,17-18). Una y otra vez en la multiplicidad deproblemas que resuelve en La Geometra, Descartes empezar por suponer el problemaresuelto. En concreto en dos de los problemas ms importantes que trata, Descartes escribeliteralmente:

Primeramente yo supongo la cosa como ya hecha, ... (Problema de Pappus[G.AT,VI, 382]).Supongamos que la cosa est hecha, ... (rectas normales a una curva [G.AT,VI,413]).

Naturalmente hay una diferencia notable entre la aplicacin que del mtodo de Anlisis ySntesis hacen los griegos y lo que realiza Descartes en lo que se ha llamado su GeometraAnaltica. ste es el asunto que queremos estudiar: a partir de algunos de los principios

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metodolgicos de la Geometra griega tiene lugar el nacimiento de algo completamentenuevo y revolucionario La Geometra de Descartes que consigue clausurar, en gran parte,el punto de partida la propia Geometra griega.Qu poderoso instrumento utilizar y Descartes para alcanzar tal hazaa matemtica? Ellgebra, una herramienta que no pudo disfrutar la Geometra griega porque la aparicinsbita de los inconmensurables desvi la influencia de la Matemtica babilnica, bienversada en Aritmtica y en incipientes tcnicas algebraicas, hacia la Geometra Sinttica y ellgebra Geomtrica. Cuando Descartes, bajo la inspiracin de Vieta (1540-1603), apliquetodo el potencial algortmico del lgebra rabe, renacentista y del propio Vieta, el Anlisisalcanzar su mximo poder heurstico para la resolucin de los problemas geomtricos incluso los que se haban resistido de forma reiterada a los mtodos clsicos, como elProblema de Pappus y el Problema de Apolonio, a base de complementar el estudioanaltico con la sntesis algebraica, lo que le permitir mediante las ecuaciones pasar de laGeometra al lgebra y del lgebra a la Geometra.La forma ms esmerada del Anlisis y la Sntesis la aplica Pappus en el Tesoro del Anlisis,describiendo como para comprobar la validez y encontrar la prueba de un teorema oresolver un problema en general de construccin se procede analticamente, asumiendopor el momento que el teorema en cuestin es vlido o que el problema est resuelto.Siguiendo entonces las implicaciones lgicas del teorema o la solucin del problema, sellega a alcanzar una solucin conocida que es verdadera o falsa. Si se trata de un teorema,de una falsa conclusin resulta la invalidez del teorema, y entonces del mismo Anlisisresulta la refutacin del teorema por reduccin al absurdo; pero, si la conclusin obtenida atravs del Anlisis es verdadera, nada se puede decir de la validez del teorema. Es decir, elmtodo de Anlisis produce una cadena de inferencias que lleva de una premisa de valorverdadero desconocido a una conclusin de valor verdadero conocido; la falsedad de laconclusin implica la de la premisa, pero la verdad de la conclusin no dice nada acerca dela de la premisa, a menos que, como sealaba Platn, uno pueda dar la vuelta a lainferencia. La eficiencia del Anlisis es doble, por una parte abundan los teoremasgeomtricos que tienen un recproco vlido, y por otra, cuando el recproco de un teoremano es vlido puede llegar a serlo aadiendo ciertas condiciones suplementarias, que eranllamadas por los griegos diorismos. Gran parte de la investigacin geomtrica consista enla bsqueda del diorismo adecuado para poder invertir una inferencia. Una vez que se hahallado el diorismo, la inferencia invertida constituye una Sntesis, es decir la rigurosademostracin del teorema. Las considerables dificultades inherentes a la inversin deinferencias propiciaron que los grandes matemticos griegos se expresaran en sus obrasmediante formales demostraciones sintticas de los resultados que haban obtenidoaplicando el mtodo de Anlisis. Es decir, el Anlisis geomtrico griego era una fecundaheurstica geomtrica, el instrumento fundamental de investigacin y creacin matemtica;pero, alcanzada tras el Anlisis, la Sntesis, en presencia de la demostracin sintticacualquier anlisis era superfluo y como tal se suprima de los grandes tratados. De estaforma, los griegos ocultaban la forma y el camino utilizados en la obtencin de susmagnficos resultados matemticos.Cuando a partir del Renacimiento tiene lugar la recuperacin, reconstruccin y divulgacindel legado clsico griego, los matemticos lo acogen con entusiasmo, pero preocupadosporque el estilo sinttico y apodctico de exposicin de la Geometra griega, y en particularde las obras de Euclides, Arqumedes y Apolonio, privaba a los investigadores de la formaen que haban sido descubiertos los resultados, manifiestan junto a su admiracin, unacierta perplejidad y extraeza. Incluso algunos (Torricelli, Barrow, Wallis,...) sospechaban sinfundamento que los griegos disponan de algn instrumento (el lgebra?), un determinadotipo de Anlisis Geomtrico, pero que lo haban ocultado de forma tan perfecta que a losmodernos matemticos les haba resultado ms fcil inventar un nuevo Anlisis laGeometra Analtica que recuperar el antiguo. Quiz es Descartes quien con mayorclaridad muestra en la Regla IV de las Regulae la insatisfaccin de una curiosidadfrustrada por la ocultacin de los mtodos de descubrimiento de la Geometra griega.

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Retrato caricaturesco de Descartes escribiendo un libroy con el pie apoyado en una obra de Aristteles.Grabado de C.Hellemans. Biblioteca Nacional. Pars.Descartes subraya en la regla IV (Regulae ad directionemingenii) que los antiguos gemetras utilizaban ciertoAnlisis para la resolucin de todos los problemasgeomtricos como se advierte en Pappus y Diofanto-,pero privaron de l a la posteridad con la expresinsinttica que oculta los mtodos de descubrimiento, ymerecen por ello al impedir la divulgacin de losmtodos de trabajo- la ms acerba de las crticas.Descartes elogia, en cambio, a hombres de gran talento(Vieta?), que han recuperado el Anlisis Geomtrico delos antiguos y lo han desarrollado con los nuevosinstrumentos del lgebra un arte que clarificado yliberado de su actual farragosidad podra cumplir unafuncin similar a la del Anlisis de los antiguos. Conbase en estos analistas Descartes destilar un autnticoAnlisis Algebraico, que histricamente se desarrollaren la lnea de una verdadera Geometra Analtica.

[...] En las ms fciles de las ciencias, laAritmtica y la Geometra, vemos contoda claridad que los antiguos gemetrasse han servido de cierto Anlisis, queextendan a la resolucin de todos losproblemas, si bien privaron de l a laposteridad. Y ahora florece cierta clase deAritmtica que llaman lgebra, pararealizar sobre los nmeros lo que losantiguos hacan sobre las figuras [...]Cuando por primera vez me dediqu a lasdisciplinas Matemticas, de inmediato lepor completo la mayor parte de lo quesuelen ensear sus autores, y cultivpreferentemente la Aritmtica y laGeometra, porque se las tena por lasms simples y como un camino para lasdems. Pero no caan en mis manosautores que me satisficieran plenamente:lea cosas acerca de los nmeros que yocomprobaba, habiendo hecho clculos, serverdaderas; y lo mismo respecto de lasfiguras; [...] Pero por qu esto era as, ycmo eran halladas, no parecanmostrarlo suficientemente a la mente, [...]Pero como despus pensase por qusuceda que antiguamente los primeroscreadores de la Filosofa no quisieranadmitir para el estudio de la sabidura anadie que no supiese Mathesis, [...], tuvela sospecha de que ellos conocan ciertaMathesis muy diferente de la Matemticavulgar de nuestro tiempo [...] Yciertamente me parece que vestigios deesta verdadera Mathesis aparecen enPappus y Diofanto, [...] Y fcilmentecreera que despus fue ocultada por ciertaaudacia perniciosa por los mismosescritores; pues as como es cierto que lohan hecho muchos artistas con susinventos, as ellos temieron quiz que,siendo tan fcil y sencilla, se envileciesedespus de divulgada; y para que lesadmirsemos prefirieron presentarnos ensu lugar, como productos de su mtodo,algunas verdades estriles deducidas consutileza, en vez de ensearnos el mtodomismo que hubiera hecho desaparecer porcompleto la admiracin. Ha habido,finalmente, algunos hombres de grantalento que se han esforzado en este siglopor resucitarla; pues aquel arte no pareceser otra cosa, que lo que con nombreextranjero llaman lgebra, con tal quepueda zafarse de las mltiples cifras einexplicables figuras de que estrecargado a fin de que no falte ya aquellaclaridad y facilidad suma que suponemosdebe haber en la verdadera Mathesis [...].

ANLISIS Y LGEBRA EN LA REGLA IV (AT.X.373-377) DE LAS REGLAS PARA LA DIRECCIN DEL ESPRITU DE

DESCARTES

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El texto de la IV Regla de Descartes es fundamental para poder entender la actitud mentalde Descartes sobre su magno proyecto de reforma de la Filosofa, la Ciencia, y sobre todode la Matemtica de donde surgen las fuentes de su Geometra Analtica.Descartes habla de la Mathesis como si se tratara de un saber an ms universal que lapropia Matemtica, y aplicable a todas las ciencias. En puridad, la Mathesis no se identifica,por tanto, con la Matemtica, pero surge del espritu, de la naturaleza, de los rasgos, delestilo, del modo, del proceder, de los mtodos, etc., de las ciencias matemticas de laGeometra (Pappus), de la Aritmtica (Diofanto) y del lgebra (Vieta, uno de los hombresde gran talento que han resucitado la Mathesis). Precisamente uno de los instrumentosms potentes que se ha desarrollado en toda la Historia del Pensamiento matemtico laGeometra Analtica Cartesiana, sin duda ntimamente vinculada a la Mathesis, surge de laaplicacin del lgebra simblica de Vieta al estudio de los problemas del AnlisisGeomtrico de Pappus mediante ecuaciones indeterminadas, cuyo origen remoto, as comolas races de la esencial simplificacin de la notacin cartesiana estn en La Aritmtica deDiofanto. Por eso Descartes rinde claro homenaje a los matemticos griegos, Pappus yDiofanto, y de forma implcita tambin a Vieta, al atribuirles vestigios de la Mathesis.Como seala Descartes, en la plyade de gemetras griegos, Pappus fue una excepcin,porque desarroll una singular metodologa en la forma de exposicin, codificando todo uncuerpo de tratados analticos de solucin de problemas en el llamado Tesoro del Anlisis delLibro VII de La Coleccin Matemtica. En estos tratados queda patente el camino que siguela investigacin matemtica ya que se procede a la reduccin de un problema dado a unproblema equivalente cuya solucin era ya conocida. Encontramos en la obra de Pappus,adems de infinidad de teoremas y problemas sobre Geometra superior no incluida en LosElementos de Euclides, un gran nmero de cuestiones que debemos situar en las raceshistricas de la Geometra Analtica como son la ms elaborada exposicin sobre losmtodos de Anlisis y Sntesis, numerosas soluciones a los problemas clsicos sobre todola duplicacin del cubo y la triseccin del ngulo, nuevos estudios y extensiones depropiedades de las secciones cnicas como lugares geomtricos y la clasificacin definitivade los problemas geomtricos en planos, slidos y lineales segn sean resolubles,respectivamente, con rectas y circunferencias, cnicas u otras curvas superiores, quepersegua la idea de ajustar la envergadura de los instrumentos geomtricos a utilizar a laenjundia de los problemas geomtricos a resolver, en la lnea de aplicar siempre los mediosms simples posibles, lo que ser no slo un rasgo distintivo de la Geometra Analtica deDescartes, sino un componente general de la mejor Matemtica, que siempre exigeelegancia y economa en el razonamiento.Pero quiz el asunto ms importante sea el tratamiento general del llamado Problema dePappus o lugar geomtrico de n rectas, que en su formulacin ms sencilla, para tres ocuatro rectas ya era conocido por Apolonio, siendo la solucin una cnica, y que ha tenidoun valor emblemtico para la Historia de la Geometra Analtica. Pappus realiza un estudioexhaustivo del problema, propone la generalizacin a ms de cuatro rectas y reconoce queindependientemente del nmero de rectas involucradas en el problema, queda determinadauna curva concreta. He aqu la observacin ms general sobre lugares geomtricos de todala Geometra griega, lo que implica, adems, la consideracin de infinitos tipos nuevos decurvas planas, algo esencial en un mundo geomtrico tan limitado en cuanto a curvasplanas. Pappus vacila a la hora de considerar el problema para ms de seis lneas porque:no hay nada contenido en ms de tres dimensiones. De haber seguido en esa direccin,se habra dado un paso muy importante de anticipacin de la Geometra Analtica, toda vezque ello hubiera propiciado un necesario tratamiento algebraico y no geomtrico de losproductos de lneas involucradas en el problema. Naturalmente los mtodos sintticos ledesbordan a Pappus en el abordaje del problema. Cuando el nuevo lgebra Simblica deVieta acte sobre el Anlisis Geomtrico de los griegos aparecer la Geometra Analticacartesiana como poderoso instrumento algortmico de ataque de los problemas geomtricosdifciles como el propio Problema de Pappus, que fue la prueba de fuego que tuvo que pasarLa Geometra de Descartes par demostrar la potencia de los nuevos mtodos de laGeometra Analtica.

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PAPPUS Y DIOFANTOY LA GEOMETRA ANALTICA

1. La Coleccin Matemtica de Pappus. Edicin de F.Commandino. (Bolonia, 1670).2. La Aritmtica de Diofanto. Edicin de 1670 de S. de Fermat con las observaciones de su

padre P. de Fermat.

La Coleccin Matemtica de Pappus tiene un gran valor histrico y didctico. Pappus realizauna encomiable labor de compilacin, comentario, restauracin, organizacin, clasificacin ygeneralizacin del conocimiento matemtico superior de la antigedad. La obra describe unamultitud de trabajos matemticos perdidos que constituyen lo que se llama Tesoro delAnlisis. Adems, Pappus nos relata las vas que segua la investigacin geomtrica, oculta enlos grandes tratados clsicos debido a su estilo sinttico, es decir, lo que los antiguosgemetras entendan por Anlisis y Sntesis.La obra de Pappus contiene soluciones nuevas a numerosos problemas clsicos, laclasificacin definitiva de los problemas geomtricos en planos, slidos y lineales, estudiosdefinitivos de las cnicas como lugares geomtricos y una visin ms general del famosoProblema de Pappus, todas ellas cuestiones de trascendental influencia sobre la evolucin dellgebra Geomtrica y el Anlisis Geomtrico griegos hacia la Geometra Analtica deDescartes.

Diofanto es el responsable, con su obra La Aritmtica, de los primeros escarceos del lgebrasimblica el lgebra sincopada. A base de adoptar ciertas letras o expresiones comoabreviaturas para las cantidades indeterminadas y sus potencias y para las operaciones mshabituales, fragua un incipiente simbolismo antecedente de la notacin algebraica que en suevolucin a lo largo de los siglos, culminar con la simplificacin notacional poderosamentedefinitiva que acuar Descartes en La Geometra y que se convertir en el alfabeto de laMatemtica. Al ser el lgebra simblica un instrumento algortmico ineludible de laGeometra Analtica, y Diofanto el primer iniciador de esta utilidad, debemos situar su obra,en una direccin conveniente hacia la generacin de la Geometra Analtica.

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La Geometra de DescartesLa formacin de Descartes en La FlcheDescartes instaura una nueva poca en la Matemtica, la Ciencia y la Filosofa sin parangn enla Historia de la Cultura, donde el conocimiento cierto y seguro de la Matemtica ejerce un podery adquiere una universalidad, que se convierte en la base racional del pensamiento cartesiano yrevoluciona todas las ciencias. Con sus fundamentales aportaciones en los campos de laFilosofa, la Geometra, la ptica, la Mecnica y otros, Descartes da un aliento unitario yorgnico al pensamiento cientfico, construye una visin global del conocimiento y marca unnuevo rumbo en la Filosofa.

Ren Descartes nace en La Haye, en Touraine, el 31 de marzo de 1596. Su formacin tienelugar con gran autosatisfaccin en el Colegio jesuita de La Flche entre 1606 y 1616. Descartessiempre tuvo la conciencia de haber sido instruido en una de las mejores escuelas de Europa,como manifiesta en El Discurso del Mtodo (DM.AT,VI,5).

Descartes haba alcanzado en La Flche un soberbio conocimiento de la Cultura clsica, queinclua un gran dominio del latn incluso como lengua viva, en la que poda hablar y escribir,griego e italiano, y haba desarrollado una irrefrenable aficin a la lectura como demuestranciertos pasajes de El Discurso del Mtodo (DM.AT,VI,5).

En cuanto a la Filosofa aprendida, siempre se mostr un tanto displicente (DM.AT,VI,6):

[...] Mientras las Matemticas me han hecho disfrutar he visto la Filosofa como un mediopara hablar de manera superficialmente convincente de cualquier cosa y ganar laadmiracin de los menos cultos.

Es ms, a juzgar por El Discurso del Mtodo, parece que la Filosofa inicialmente no le interesara(DM.AT,VI,17):

La Lgica, sus silogismos y la mayor parte de sus otras reglas sirven ms bien paraexplicar a otro lo que uno sabe ms que para aprenderlo.

En cuanto a su formacin matemtica el joven Descartes confiesa que qued cautivado por laparte del curso de Filosofa referente a las Matemticas que imparta el padre Franoise, queatenda no slo a los aspectos tericos de las Matemticas, sino tambin a las artes mecnicas,los autmatas, la ptica, la magia y la Astrologa.

La propia Ratio Studiorum de los Jesuitas de 1586 establece:

La Enseanza de las Matemticas conviene a los fines de la Orden, no slo por elprestigio que dan a toda Academia, sino tambin en razn de su utilidad en todas lasprofesiones.

Tambin en el folio 183 de los Archivos romanos de la Compaa de Jess consta:

La Enseanza de las Matemticas es de las ms tiles no slo porque contribuye a laprecisin del razonamiento sino tambin porque procura conocimientos infinitamenteventajosos para el bien de la sociedad.

La enseanza matemtica de los Jesuitas tena una orientacin eminentemente prctica.Adems del Cuadrivium pitagrico aada nociones de Mecnica, ptica, Acstica, Topografa,Perspectiva, Hidrulica y Balstica, segn el cuadro general de la Matemtica prcticarenacentista, y con una orientacin hacia la ingeniera civil y militar, de inters para los jvenesnobles que ocuparan cargos en la administracin y en el ejrcito. Por eso cuando un Descartesya maduro mira retrospectivamente, en el autobiogrfico Discurso del Mtodo, hacia sus aos deformacin comenta (DM.AT,VI,16):

Las Matemticas tienen invenciones muy sutiles y pueden utilizarse tanto para contentara los curiosos como para facilitar todas las Artes y disminuir el trabajo de los hombres.

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Ediciones de Clavius de Los Elementos de Euclides (Colonia 1591), Geometra Prctica (Maguncia,1606) y Aritmtica Prctica (Venecia, 1738)Ya que la enseanza en el Colegio de La Flche estaba inspirada en la Ratio Studiorum de losJesuitas, es de suponer que la doctrina Matemtica recibida por Descartes en sus aos deFormacin se basara en las primeras ediciones de estos manuales de Clavius. Pero su proyecto dereforma de la Geometra tuvo que partir necesariamente de un profundo conocimiento de lasgrandes obras de la Matemtica Griega de Euclides, Apolonio, Diofanto y Pappus.

El jesuita alemn C.Clavius,profesor de Matemticas en elColegio Romano de Roma, fue elgran inspirador de la Enseanza dela Matemtica en la poca deDescartes que inclua La RatioStudiorum de los Jesuitas. Clavius organiz un verdaderoseminario de jvenes matemticos,destinados a proveer de profesoresde Matemticas a los colegiosjesuitas.Aparte de excelente profesor,Clavius se revel como unmagnfico escritor de libros detexto. Public en 1574 una clebreedicin de Los Elementos deEuclides, que tuvo reediciones en1589, 1591, 1603, 1607, 1612 y 1674,lo que da idea de su valor.Tambin escribi magnficosmanuales de Aritmtica Prctica(1583), Geometra Prctica (1604),lgebra (1608), una edicincomentada de la Sphera deSacrobosco (1591), un compendiode Trigonometra y Astronomaampliamente utilizado y muyencomiado por Kepler y tuvo unaimportante intervencin en lareforma gregoriana del calendario.

LA INFLUENCIA DE C.CLAVIUS SOBRE DESCARTES

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Con toda seguridad los Jesuitas usaban los manuales del ms famoso de sus matemticosC.Clavius, llamado El nuevo Euclides por sus coetneos, quien con su enseanza deMatemticas en el Colegio Romano, la ms prestigiosa institucin docente de los Jesuitas, ysus publicaciones, contribuy ms que nadie, a dignificar y extender el papel de laMatemtica en el Currculum general de la Enseanza. Sus trabajos fueron recopilados ensu famosa Opera Mathematica, publicada en cinco volmenes en 1611. En esta obra,Clavius realiza una apasionada apologa de la Matemtica, contrastando la firmeza y launanimidad de las opiniones de los matemticos con la multiplicidad de visiones diferentes,y por tanto de incertidumbre, que habita en la mente de los filsofos, sensacin quemanifestar claramente Descartes en El Discurso del Mtodo (DM.AT,VI, 7-8):

Me complaca especialmente [en mi juventud] en las Matemticas por la certeza y laevidencia de sus razonamientos, [...] De la Filosofa slo dir que, habiendo sidocultivada por los espritus ms excelentes, y que sin embargo an no hay nada de loque no se discuta, [...] , y considerando cuantas opiniones diversas pueden haberacerca de un mismo tema, [...].

EL JOVEN DESCARTESA travs de una irresistible pasin por la lectura, laactividad intelectual adolescente de Descartes ibafraguando su pensamiento filosfico y matemtico.La slida formacin en las humanidades del mundoclsico y la consiguiente aficin de Descartes a laCultura griega, se extenda a los grandes tratados de laMatemtica griega: Los Elementos de Euclides, las Obrasde Arqumedes, La Aritmtica de Diofanto y sobre todoLas Cnicas de Apolonio y La Coleccin Matemtica dePappus, obras que conoca en profundidad. Asimismo,Descartes deba estar al corriente de los desarrollos dellgebra de los matemticos italianos, Tartaglia, Cardanoy Ferrari, y aunque confiesa que desconoca la obra deVieta antes de escribir El Discurso del Mtodo, esinconcebible que as fuera, ya que hay una manifiestacontinuidad en la lnea de pensamiento geomtricoentre la obra de Vieta y La Geometra de Descartes.Descartes sale de La Flche con el mejor bagaje culturalpara emprender su aventura intelectual. El dominio dellatn y del griego le abren las puertas al saber de losclsicos y a toda la erudicin renacentista; lasHumanidades y la Retrica animaron una conversacininteresante y el don de gentes; situndose en las mejorescondiciones de integrarse en la agitada vida social ypblica de su poca y dedicarse al conocimiento delmundo, como manifiesta en El Discurso del Mtodo(D.M.AT,VI, 9):

[...], gracias a Dios, no me encontraba en lasituacin de verme obligado a hacer de la Cienciaun oficio para alivio de mi fortuna, [...] Emple elresto de mi juventud en viajar, en ver cortes yejrcitos, [...], en recoger experiencias diversas, enprobarme a m mismo, en reflexionar sobre lo queme ocurriera, [...].

Hegel en su Lecturas sobre la Historia de la Filosofadescribe al joven Descartes cono un ser vivaz e inquieto,con insaciable afn de conocimiento en todos lossistemas y formas de pensamiento, de modo que tresexperiencias juveniles sucesivas jalonaran la forja de suespritu: sus amplios estudios de juventud en La Flche;su buceo en el gran libro del mundo, con otros hombresy otros pueblos; y el encanto o hechizo de lasMatemticas, cuya esencia impregnar todo supensamiento. Tres experiencias que sealan trescaminos o vas en la bsqueda incesante de la verdad.

Descartes joven. Supuesto retrato delfilsofo. Escuela Francesa del sigloXVII. Museo de los Agustinos deToulouse.

2CITAS MEMORABLES DE DESCARTES

R1. Slo

[RII. 32. Los q

que nla Ge

3. Es mumtod

4. Ningu[RIV.

5. Cultivpor la

6. El siloslo pconoc

1. Las Mlos cu

2. Mienhablalos m

3. Gusta4. La L

a otro5. Esas

acostuocasise enc

6. Entrehallar

7. No esespri

1. Todonecesconst

2. Pero naprena mi p

3. Se pupoco

4. Para tienenlneases el anhel

5. Y yo aqu dejarl30

EGLAS PARA LA DIRECCIN DEL ESPRITU. (R.AT.X. 359468)la Aritmtica y la Geometra estn libres de todo defecto de falsedad e incertidumbre.64].

ue buscan el camino recto de la verdad no deben ocuparse de ningn objeto sobre elo puedan tener una certidumbre semejante a las demostraciones de la Aritmtica y deometra. [RII. 366].

cho ms acertado no pensar jams en buscar la verdad de las cosas que hacerlo sino. [RIV. 371].na ciencia puede obtenerse, sino mediante la intuicin de la mente o la deduccin.

372]. [en mi juventud] preferentemente la Aritmtica y la Geometra, porque se las tenas ciencias ms simples y como un camino para las dems. [RIV. 374].gismo es completamente intil para los que desean investigar la verdad de las cosas yuede aprovechar , a veces, para exponer con mayor facilidad a los otros las razones yaidas. [RX. 406].

EL DISCURSO DEL MTODO (DM.AT.VI. 178)atemticas tienen invenciones muy sutiles y pueden utilizarse tanto para contentar ariosos como para facilitar todas las Artes y disminuir el trabajo de los hombres. [6]tras las Matemticas me han hecho disfrutar he visto la Filosofa como un medio parar de manera superficialmente convincente de cualquier cosa y ganar la admiracin deenos cultos. [6]ba, sobre todo de las Matemticas por la certeza y evidencia de sus razones. [7].gica, sus silogismos y la mayor parte de sus otras reglas sirven ms bien para explicar lo que uno sabe ms que para aprenderlo. [17].largas cadenas trabadas de razones muy simples y fciles, que los gemetrasmbran a emplear para llegar a sus ms difciles demostraciones, me haban dadon para imaginar que todas las cosas que entran en la esfera del conocimiento humanoadenan de la misma manera. [19].

todos los que han buscado la verdad en las ciencias, slo los matemticos han podido algunas demostraciones, esto es, algunas razones ciertas y evidentes. [19].peraba sacar de las demostraciones matemticas ms utilidad que acostumbrar mitu a saciarse de verdades y a no contentarse con falsas razones. [19].

LA GEOMETRA (G.AT.VI. 369485)s los problemas de Geometra pueden reducirse fcilmente a trminos tales, que no esario conocer de antemano ms que la longitud de algunas lneas rectas pararuirlos. [369].

o me detengo a explicar esto con ms detalle para no privar a cada uno del placer dederlo por s mismo, ni impedir el cultivo til del propio espritu ejercitndolo, que es,arecer, la principal utilidad que puede obtenerse de esta ciencia [374].eden construir todos los problemas de la geometra ordinaria sin hacer ms que loque est comprendido en las cuatro figuras que he explicado. [376]encontrar todas las propiedades de las lneas curvas basta con saber la relacin que todos sus puntos con los de las lneas rectas, [...] y conocer la manera de trazar otras que las corten en todos esos puntos en ngulo recto. [...] Y me atrevo a decir que steproblema ms til y ms general no slo que yo conozca, sino aun que yo hayaado jams conocer en Geometra. [412413].espero que nuestros descendientes me estarn agradecidos no slo por las cosas quehe explicado, sino tambin por aquellas que he omitido voluntariamente a fin dees el placer de descubrirlas. [485].

303

CITAS MEMORABLES SOBRE DESCARTES1. A Descartes le fue revelada en sueos la clave mgica que le abra el acceso al tesoro de

la naturaleza y que le colocaba en situacin de poseer los verdaderos fundamentos detodas la ciencias. A.Baillet. La Vie de Monsieur Des-Cartes.

2. Acudiendo a la cita con su ejrcito, en la calma del invierno, combinaba en su mente losmisterios de la naturaleza con las leyes de las Matemticas, aspirando a desvelar lossecretos de ambas. Epitafio de Descartes por H. Pierre Chanot, 1650.

3. Su alma siempre con sabidura fecunda, hacia ver a los espritus lo que se esconde alos ojos. Despus de haber explicado el modelo del mundo revel el misterio de loscielos. Epitafio de Descartes por C. Huygens, 1650.

4. Descartes mediante un nuevo mtodo hizo pasar de las tinieblas a la luz cuanto en lasMatemticas haba permanecido inaccesible a los antiguos y todo cuanto loscontemporneos haban sido incapaces de descubrir; luego puso los cimientosinquebrantables de la Filosofa sobre los cuales es posible asentar la mayor parte de lasverdades en el orden y con la certidumbre de las Matemticas. Spinoza. Los Principiosde la Filosofa cartesiana.

5. Lo que ha inmortalizado el nombre de este gran hombre, es la aplicacin que ha sabidohacer del lgebra a la Geometra, una idea de las ms vastas y felices que haya tenidoel espritu humano, y que ser siempre la llave de los ms profundos descubrimientosno solamente en la Geometra, sino en todas las ciencias fsico-matemticas.D'Alembert. Discours Prliminaire de l'Encyclopdie (Orbis, 1984, pp.84,85).

6. La Diptrica de Descartes es la ms grande y la ms bella aplicacin que se haya hechohasta ahora de la Geometra a la Fsica. D'Alembert. Discours Prliminaire del'Encyclopdie (Orbis, 1984, p.85):

7. Descartes se caracterizaba por su espritu vivaz e inquieto, que buscaba con insaciableafn todas las ramas del conocimiento humano, buceando en todos los sistemas yformas de pensamiento. Hegel. Lecturas sobre la Historia de la Filosofa.

8. Slo quien haya pensado real y detenidamente este escrito [Las Reglas para ladireccin del espritu], radicalmente parco, hasta en sus rincones ms recnditos y fros,est en condiciones de tener una idea de lo que pasa en la ciencia moderna.M.Heidegger. Die Frage nach dem Ding.

9. El cartesianismo no debe nada esencial a ninguna doctrina de la antigedad.H.Bergson. La Filosofa.

10. No hay una Matemtica, hay muchas Matemticas. [...]. El espritu antiguo creo suMatemtica casi de la nada. El espritu occidental, histrico, haba aprendido laMatemtica antigua, y la posea, aunque slo exteriormente y sin incorporarla a suintimidad; hubo, pues, de crear la suya modificando y mejorando, al parecer, pero enrealidad aniquilando la Matemtica euclidiana, que no le era adecuada. Pitgoras llevacabo lo primero; Descartes lo segundo. Pero los dos actos son, en lo profundo,idnticos. O.Spengler. El sentido de los nmeros. (La decadencia de Occidente, p.144).

11. La Geometra analtica, mucho ms que cualquiera de sus especulaciones metafsicas,inmortaliza el nombre de Descartes y constituye el mximo paso hecho en el progresode las ciencias exactas. J. Stuart Mill. (citado por E.Bell en Les grands mathmaticiens.Payot, Pars, 1950. Cap.3. p.46).

12. La Geometra Analtica de Descartes ha afectado probablemente a la vida humana msprofundamente, aunque menos violentamente, que la mquina de vapor o el aeroplano.L.Hull. Historia y Filosofa de la Ciencia, 1981, p.268.

13. La Geometra Analtica de Descartes cambi la faz de las Matemticas. M.Kline. Elpensamiento matemtico de la Antigedad a nuestros das, 1992. vol.1, p.425.

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Los sueos de Descartes y los orgenes de La GeometraEl 10 de noviembre de 1618 ocurri un evento de trascendental importancia en la vida deDescartes, el encuentro con Beeckman, un intelectual amante de la Fsica y la Matemtica.Vagando por Breda, Descartes se tropez con una gente que miraba un anuncio en el queun matemtico retaba a que se resolviese un problema, cosa muy propia de la poca. ComoDescartes todava no dominaba el holands, suplic a quien estaba al lado que se lotradujese al latn o al francs. Result ser Beeckman, quien hablndole en latn, le explicen qu consista el problema: Cun lejos caer una piedra en una hora si se sabe cunlejos cae en dos?, y le dio su tarjeta de visita. Beeckman se qued atnito cuando al dasiguiente el joven francs se present en su casa, sin anunciarse, con la solucin delproblema, lo que inici una fructfera amistad, mantenida sobre todo de forma epistolar,plena de gratitud recproca, como muestran sendas cartas de Descartes a Beeckman, dondese explaya en palabras de agradecimiento hacia l por ser el catalizador de la empresaintelectual de ordenamiento de sus reflexiones y concepciones cientficas.

Podis estar seguro que antes olvidara a las musas que a vos, [...], ellas me hanatado a vos con lazos de afecto (24/1/1619, AT,X, 162-163).[...] Vos habis sido el instigador, el motor primero de mis investigaciones, [...], vosme sacudisteis la desidia, apartndome de la erudicin intil, conduciendo mi espritu,que vagaba en ocupaciones ociosas, a otras mejores, [...] (23/4/1619).

Influido por Beeckman, Descartes emprende una serie de estudios matemticos en relacincon la triseccin del ngulo y las ecuaciones cbicas, y es consciente, tras los contactos conla literatura rosacruciana alemana, de que los aspectos algebraicos, en especial elsimbolismo que apuntaba a convertirse en el lenguaje universal que permitira elconocimiento y el dominio global de la realidad, entroncan con la tradicin hermtica ycabalstica del arte luliano en ntima relacin con la idea del saber universal.

S. de Sacy, en su biografa de Descartes de1956, refleja la imagen del filsofo como lohace esta ilustracin, describiendo alhombre izado entre una generacin deaventureros, [...], un mosquetero del alma,[...] en vagabundeo metdico, [...].En el gran teatro del mundo, apareciendocomo desherado y marginal de las clasessociales dominantes, desligado de latradicin y del marco familiar, Descartessostiene en una mano la pluma y en la otrala espada, en un continuo vaivn entre elafn de retiro y el estudio y su curiosidad porla vida mundana, alistndose en ejrcitos,dedicado a la vida militar, como aventureroy rebelde, junto a los mercenarios de lasguerras de Religin que asolaban Europa.Provisto del bagaje intelectual delRenacimiento, dotado de una prodigiosaerudicin alcanzada en La Flche y de unabrillante retrica, con una incontenibleaficin a la Matemtica, trasmitida por elpadre Franoise y por Beeckman, Descartesviaja y conoce mundo pues es casi lo mismoconversar con gentes de otros siglos queviajar (DM.AT,VI, 6) y se convierte en elfilsofo enmascarado que persigue lasabidura universal que anunciaban suscuriosas lecturas de adolescencia, de raceslulianas, dentro de la tradicin hermtico-cabalstica.Descartes en las calles de Pars, por Chartan.

EN UNA MANO LA PLUMA Y EN L A OTRA LA ESPADA

305

El inters por los rosacruces, que presuman de tener la clave de la sabidura universal,impele a Descartes a abandonar Holanda hacia mayo de 1619 camino de Alemania, dondeasiste a la coronacin de Fernando II y se enrola en las tropas del Duque de Baviera.A la llegada del invierno, Descartes se retira a alguno de los refugios militares, quiz en Ulm,donde viva el matemtico Faulhaber. En un ambiente propicio para la meditacin,Descartes se plantea algunos problemas geomtricos y la solucin lograda le induce abuscar un mtodo general para resolver cualquier problema de Geometra que se lepresentase. Pero enseguida extrapola sus ideas y ampla tan ambicioso plan para concebirla posibilidad de encontrar un mtodo para el descubrimiento de la verdad en cualquier ramade la ciencia. As que en la mente de Descartes fue tomando cuerpo el ideal de unconocimiento integral, unificado sobre la totalidad global de las ciencias, que al tratar de lodivino y de lo humano, reunira todas las ciencias con un simbolismo adecuado, intuyendoque el lgebra y la Geometra, adecuadamente interpretadas e insertas en un simbolismosuperior, podan convertirse o al menos apuntar hacia el tan proclamado saber universal.Con estas ideas fijas en la mente, en la noche del 10 de noviembre de 1619, primeraniversario del encuentro con Beeckman, Descartes tuvo una concatenacin de sueos quele dejaron una profunda impresin marcando un hito en su ulterior evolucin espiritual.La profunda experiencia visionaria fue plasmada por Descartes en un manuscrito de 1620,en latn, con el nombre de Olympica, ahora perdido, que parece ser fue ojeado por Leibnizen su estancia en Pars en 1675 y que fue traducido por Baillet, el bigrafo de Descartes(AT.X, 181-188). En una minuciosa descripcin de los sueos y su interpretacin, Descartesrelata un itinerario simblico en sus tres sueos: siente angustia en el primero, lucesprometedoras en el segundo, hasta alcanzar la revelacin de la verdad en el tercero, en elcual el espritu de la Verdad quera abrirle los tesoros de todas las ciencias.Los Olympica comienza con estas palabras:

X Novembris 1619, cum plenus forem Enthousiasmo et mirabilis scientiaefundamenta reperirem ...X de noviembre de 1619, cuando, lleno de entusiasmo, descubr los fundamentos deuna ciencia admirable.

En la interpretacin mstica que hace Descartes de sus sueos, a l se le ha revelado launidad de la ciencia, ha sido ungido de un sagrado entusiasmo mstico que le ha liberado deuna crisis espiritual y le ha cargado de una gran responsabilidad en el alumbramiento de laverdad al tomar conciencia de una misin:

Ser sta emprender la magna empresa de reforma de la Filosofa yconsecuentemente de la Matemtica?

El espritu de la verdad ha conducido a Descartes a una exaltacin intelectual para alcanzarla visin de una ciencia nueva y admirable, que tal vez deba de ser el conocimiento detodas las cosas de las que el espritu humano es capaz, y que sus fundamentos consistiranen un mtodo general extrado de los procedimientos del pensamiento matemtico dondese experimenta la certeza y evidencia inherentes al verdadero saber.Al ao siguiente, el mismo da 10 de Noviembre, aniversario del encuentro con Beeckman yde los sueos, Descartes vuelve a tener una visin que le ilumina, escribiendo al margen delmanuscrito de Los Olympica (AT.X.179):

X Novembris 1620. Coepi intelligere fundamentum inventi mirabilis.10 Noviembre 1620. He empezado a entender el fundamento de un admirabledescubrimiento.

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La importancia que La Geometra de Descartes tiene en la Historia de la Matemtica, hapropiciado, a veces, la sublimacin de la intuicin de sus races en la mente de Descartes,de modo que algunos historiadores le atribuyen un origen casi legendario, segn el cual el10 de Noviembre de 1619, en su delirio onrico Descartes habra adivinado la unin dellgebra y la Geometra en un solo cuerpo de doctrina: La Geometra Analtica aunque msbien habra que hablar de Geometra Algebraica y ante la visin de una ciencia nueva yadmirable se habra sentido predestinado para construir un nuevo sistema filosfico, dondela Matemtica ocupara una situacin privilegiada como llave del conocimiento y la sabidurauniversal e instrumento de explicacin racional de los fenmenos naturales, de modo que lailuminacin de Descartes le procurara una explicacin global de la naturaleza fsica, esdecir una Filosofa natural una Fsica en sentido actual basada en la Matemtica. As seexplicaran los tres ensayos que al acompaar a El Discurso del Mtodo justificaran deforma verdadera y global el mtodo cartesiano.

LOS SUEOS DE DESCARTES Y LA GEOMETRA

Los sueos de Descartes, de gran significado freudiano, marcaron una impronta inmarcesible en laorientacin de su pensamiento. El rapto mstico habra de servir a Descartes de cimiento de unslido edificio racionalista, presidido por la unidad como emblema para entender el mundo:unidad de la Matemtica a travs de la fusin del lgebra y la Geometra; unidad entre Fsica yMatemtica; unidad de todas la ciencias; presidida por la unidad de mtodo y criterio para bienconducir la razn y buscar la verdad en las ciencias, que as subtitular precisamente a su principalobra filosfica y cientfica: El Discurso del Mtodo; en suma, unidad de todo el saber radicada en elespritu proclamada con carcter de primariedad desde el comienzo de su ltimo escrito dejuventud: Las Reglas para la direccin del espritu (Regulae ad directionem ingenii)

La noche del domingo del 10 al 11 denoviembre de 1619, en un descanso enlos cuarteles de invierno de losejrcitos de Maximiliano de Baviera,Descartes enfrebrecido sufrealucinaciones. Sintiendo unailuminacin interior asiste lleno deentusiasmo a la revelacin de losfundamentos de una ciencia admirable.Descartes tiene tres sueos que le hacentomar conciencia de su vocacinfilosfica. En palabras de su primerbigrafo A.Baillet (La Vie de MonsieurDes-Cartes):

[...] Le fue revelada la clavemgica que le abra el acceso altesoro de la naturaleza y que lecolocaba en situacin de poseerlos verdaderos fundamentos detodas la ciencias.

La descripcin de los sueos deDescartes en los Olympica pudo ser unpretexto literario o un artificio potico-filosfico para explicar que se sentapredestinado a la bsqueda de lasabidura universal. En todo caso laexperiencia onrica de Descartes fueuna intensa vivencia personal, unautntico Pentecosts, que marc suporvenir. A raz de los sueos,Descartes, imbuido de entusiasmo ysatisfaccin, decidi ir en peregrinacinal santuario de Santa Mara de Loreto yaunque cambi de residencia muchasveces entre 1619 y 1650, jams se separdel manuscrito de sus sueos.

Descartes representado como Fausto. Opuscula posthuma,physica et mathematica. J. Blaeu. Amsterdam, 1701.

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Las Regulae, El Discurso del Mtodo y La GeometraLa lectura de las Regulae y El Discurso del Mtodo es un preliminar necesario, o al menosaconsejable, para entender la motivacin y los presupuestos intelectuales de Descartesacerca de la Ciencia, de la universalizacin del razonamiento matemtico como base delconocimiento racional y en particular de los orgenes y objetivos de La Geometra. Comoseala Vctor Gmez Pin (Congreso de Ontologa, 24/331/3 de 1996, San Sebastin-Barcelona):

El Discurso del Mtodo es tan slo el prlogo aadido por Descartes a sus escritoscientficos [los tres ensayos la Diptrica, los Meteoros y la Geometra], a fin de mostrarlo estril que sera abordar stos sin el hilo conductor de la problemtica comn, esdecir, sin referencia a la unidad de la razn que tales escritos despliegan.

Descartes haba estudiado las Matemticas con gran fruicin en su adolescencia y desde elprimer momento apreci su indudable condicin de certeza, pero slo ms tarde lleg areparar en lo que l llama su verdadero uso hacia la gestacin y desarrollo del Mtodo. Esen los sueos de 1619 y cuando escribe, en 1620, en los Olympica, sobre los fundamentosde una ciencia admirable, cuando empieza un primer estadio en la intuicin del Mtodo; elsegundo estadio de puesta a punto del Mtodo tiene lugar con las Reglas para la direccindel espritu de 1628 (Las Regulae) y el tercero, de codificacin, con El Discurso del Mtodode 1637.Descartes busca un fundamento absoluto e inconmovible de la verdad en que basar elconocimiento cientfico sobre el que cimentar la vida y la accin. Pero ello no es posiblealcanzarlo sin mtodo. La Regla IV de las Regulae se titula precisamente: El mtodo esnecesario para la investigacin de la verdad de las cosas (RIV.AT.X.371), y en ellaDescartes alude de forma reiterada sobre el asunto:

[...] Es mucho ms acertado no pensar jams en buscar la verdad de las cosas quehacerlo sin mtodo (RIV.AT.X.371).[...] Entiendo por mtodo reglas ciertas y fciles, mediante las cuales el que lasobserve exactamente no tomar nunca nada falso por verdadero, y, no empleandointilmente ningn esfuerzo de la mente, sino aumentando siempre su ciencia, llegaral conocimiento verdadero de todo aquello de que es capaz (RIV.AT.X.371372).El mtodo explica rectamente de qu modo ha de usarse la intuicin de la mentepara no caer en el error contrario a la verdad y cmo han de ser hechas lasdeducciones para llegar al conocimiento de todas las cosas, [...] ninguna ciencia puedeobtenerse, sino mediante la intuicin de la mente o la deduccin (RIV.AT.X.372).

As pues, las reglas del mtodo se remiten al saber de la razn, pero de los textoscartesianos hay que colegir, como veremos, que en principio se trata de la razn matemticay que en origen las reglas del mtodo lo son primariamente del saber matemtico.En el cultivo de las Matemticas desde su juventud, Descartes atribuye a las verdadesmatemticas una naturaleza esencialmente diferente a la de las verdades basadas en laexperiencia. Segn Descartes las proposiciones matemticas no deben su verdad a laexperiencia y no pueden ser desmentidas por sta, es decir son verdades de razn conuna validez universal y absoluta. Es el mbito de la razn, sobre el que descansa laMatemtica, al que acudir Descartes para fundamentar su mtodo que impone la certezacomo condicin epistemolgica ineludible que excluye los conocimientos tan slo probables.As tiene lugar en la Regla II de las Regulae titulada (RII.AT.X.361):

Conviene ocuparse tan slo de aquellos objetos, sobre los que nuestros espritusparezcan ser suficientes para obtener un conocimiento cierto e indudable.

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La exigencia cartesiana de encontrar un conocimiento cierto y evidente que alcance y rijacon seguridad la unidad del saber, hace recalar a Descartes en el modo del pensarmatemtico, elaborando el Mtodo con base en su larga experiencia en las cienciasgeomtricas y aritmticas. As se advierte de forma palmaria a lo largo de las Regulae:

[...] Cuando por primera vez me dediqu a las disciplinas Matemticas, de inmediatole por completo la mayor parte de lo que suelen ensear sus autores, y cultivpreferentemente la Aritmtica y la Geometra, porque se las tena por las ms simplesy como un camino para las dems (RIV.AT.X.374375).

La Aritmtica y la Geometra deben, pues, ejercer para Descartes una funcin propeduticae indicativa porque en ellas se experimenta la certeza y evidencia requeridas para elverdadero saber; a ellas hay que reducirse, pues slo ellas estn libres de incertidumbre yfalsedad, de modo que (RII.AT.X.363,364):

[...] Si calculamos bien, de las ciencias ya descubiertas slo quedan la Aritmtica y laGeometra, a las que la observacin de esta regla [ Regla II] nos reduce.[...] Slo la Aritmtica y la Geometra estn libres de todo defecto de falsedad eincertidumbre.

En el Colegio de La Flche Descartes habra recibido una slida formacin matemtica, peroms all de esta ciencia, habra captado el espritu mismo del saber matemtico, que alaunarlo con su notable y peculiar penetracin filosfica, alcanzara la visin de lasMatemticas, por la certeza y evidencia de sus razones, como instrumento clave deldescubrimiento de una tcnica puramente especulativa el Mtodo que sita al espritu enposesin de la verdad y en posesin de s mismo, experimentando lo que deviene elconocimiento humano cuando se le ahorma segn el patr