UNIVERSIDAD DEL CAUCA

Departamento de Física

Laboratorio de Mecánica de Fluidos I Periodo de 2010

1

Movimiento Armónico Simple

M.I. Urbano1, A.López1, J.M. Escobar1, J.L. Rengifo1

1Ingenieria en Automática Industrial, Facultad de Ingenieria Electrónica y Telecomunicaciones Universidad del Cauca, Sector Túlcan Carrera 2 con calle 18N, Popayán Colombia

Recibido: 5 de Abril de 2010

Resumen

Mediante esta práctica calcularemos experimentalmente el valor de la constante de elasticidad (k),y el periodo (T) haciendo uso de la ley de Hooke y la ecuación del movimiento armónico simple de un resorte sometido a una fuerza de deformación y así lograr aclarar los conceptos teóricos vistos dentro de la materia.

Palabras Clave: Periodo, Elasticidad, Ley de hooke, movimiento armónico simple.

Abstract Through this practice experimentally we will calculate the value of the constant elasticity (k),and the period (T) using Hooke's law and the equat 2w ion of simple harmonic motion of a spring subjected to a deformation force and thus achieve clarify the concepts viewed within the theoretical field. Keywords: Period, Elasticity, Hooke's law, simple harmonic motion.

Introducción

El movimiento vibratorio u oscilatorio de los sistemas mecánicos, constituye uno de los campos de estudio más importante de toda la física. Uno de estos sistemas que en muchas ocasiones ha sido objeto de nuestro estudio, es el sistema masa-resorte, debido a las diferentes facetas que este presenta. Es muy importante analizar los efectos tanto estáticos como dinámicos originados por la masa del resorte. En este caso nos centramos en el efecto dinámico que la masa del resorte tiene sobre las oscilaciones verticales del sistema, el cual está constituido por un resorte uniforme de masa 푚 y constante de elasticidad k, con una masa m sujeta en su extremo inferior. En el desarrollo de esta práctica, podemos observar la pro-piedad que tienen algunos materiales de cambiar de forma al ser afectados por una fuerza de deformación y volver a su estado normal que depende de un máximo esfuerzo que un material puede soportar.

Conociendo la propiedad anteriormente mencionada pode-mos percatarnos de la existencia de diversos materiales que nos servirán para la implementación de sistemas mecánicos útiles en el campo profesional.

Marco Teórico

Un cuerpo se denomina elástico si al actuar una fuerza sobre él sufre una deformación de tal manera que al cesar de ac-tuar la fuerza recupera su forma original. El prototipo de un cuerpo elástico lo constituye un resorte o muelle en un ran-go de deformaciones no demasiado grandes (rango de elas-ticidad). Si la deformación supera un cierto umbral el resor-te queda permanentemente deformado. [3]

El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno).

Movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recupe-radora elástica, proporcional al desplazamiento en ausencia de todo rozamiento.

La elasticidad es la propiedad mecánica de ciertos materia-les de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuen-tran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.

Movimiento Armónico Simple

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La Ley de Hooke dice que la cantidad de estiramiento o de compresión es directamente proporcional a la fuerza aplica-da.

퐹 = −푘푋 x: Elongación o alargamiento producido k: Constante de Elasticidad (N/m) Donde el signo negativo se debe a la fuerza restitutiva. Como la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración tenemos que: 퐹 = 푚푎 (Ley de Newton)

−푘푥 = 푚푎

2

2

d xkx mdt

- =

X=OP

El péndulo recorre el arco DQ → β=wt

x=OQ Sen β= Asen β

x=A Sen wt

Como 2wTpæ ö=ç ÷

è ø → x=A Sen

2 tTpæ ö

ç ÷è ø

Derivamos dos veces para obtener la aceleración

a=-A22 2 tSen

T Tp pæ ö æ ö

ç ÷ ç ÷è ø è ø

a=-A 2w Sen wt

Al tener x=A Sen wt, tenemos:

a= - 2w x, entonces

-kx=ma, y

K=m 2w , por lo tanto,

kwm

= , donde la masa total del sistema es igual a la

masa del cuerpo (m), mas la masa del resorte que es un tercio (1/3) de la masa masa real (m0).

Como T=2wp

, entonces, T= 02 m mk

pæ ö+ç ÷ç ÷è ø

· Si se llegara despreciar el rozamiento del aire, no habría ninguna fuerza contraria al movimiento, por lo tanto el sistema masa-resorte entraría en un mo-vimiento infinito conocido como movimiento ar-monico simple.

Resultados y Análisis

A continuación se presentan las tablas con los datos obteni-dos en el laboratorio.

Tabla 1. Masa contra elongación:

To-mas

Fuerza (gr-f) Elongación (cm) k

1 100 0.65 153.85 2 150 1.1 136.36 3 250 1.92 130.21 4 300 2.29 131.00 5 350 2.75 127.27 6 400 3.15 126.98 7 500 4.11 121.65 8 550 4.49 122.49 9 600 4.95 121.21 10 700 5.61 124.78 11 750 6.09 123.15 12 900 7.29 123.46

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Masa contra periodo:

Anexo 1.

Con los datos tomados en la práctica de laboratorio se obtu-vieron las siguientes grágicas:

1.Para hallar la contante de elasticidad k se puede emplear emplear la ecuación de la ley de Hook 퐹 = 푘푋 o se puede utilizar la grafica obtenida a partir de los datos. Mediante la ley de Hook hallamos la constante de elastici-dad para cada masa los resultados se muestran en la tabla1. Por lo tanto la constante k será la media de estos valore y se tendrá que:

푘 = 128.54푔 − 푓푐푚

Mediante la grfica se debe realizar el siguiente procedimien-to:

En la grfica de masa contra elongación se observa clara-mente que la unión de los puntos experimentales no propor-ciona una recta. Sin embargo una aproximación lineal a este resultado experimental es asociarle a esa colección de pun-tos una recta que los represente mejor.

Una vez dibujada la mejor recta se procede a determinar los valores de la pendiente 푎 y del término independiente 푏 en la ecuación: 푦 = 푎푥 + 푏 Para ello se toman dos puntos alejados de la recta dibujada que no tienen que corresponder a puntos experimentales y cuyas coordenadas (푥 ,푦 ) y (푥 ,푦 ) se miden cuidadosamente sobre la gráfica.

Se calcula la pendiente mediante:

푎 =푦 − 푦푥 − 푥

De donde se tiene que 푎 = 8.28푥10

Como 푥 = 퐹 , la pendiente se relaciona con la contante de elasticidad k tenemos que:

푎 =1푘→ 푘 =

1푎

Por lo tanto se tiene que

푘 = 120.772푔 − 푓푐푚

Existe una pequeña diferencia entre las constates de elasti-cidad encontradas por los diferentes métodos; sin embargo son bastante similares lo cual sugiere que ambos métodos funcionan y se llega a resultados bastante aproximados.

2. Gráfica de masa contra periodo

Modelo matemático propuesto: 푇 = 푚 + 푚

3. Mediante un proceso de linealización que relacione la masa y el periodo se determina la contante k y la masa esquivalente del resorte 푚 .

La recta de regresión de mínimos cuadrados de Y sobre X es:

푌 = 푎 + 푎 푋

Movimiento Armónico Simple

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Por regresión lineal tenemos que:

푎 = 0.26

푎 = 3.5 푥 10

Entonces

푌 = 0.26 + 3.5푥10 푋

Tenemos que la pendiente de la recta es

푎 = 3.5푥10

Se tiene la ecuación que relaciona la pendiente de la recta con la constante de elasticidad:

푘 =4휋푎

Por lo tanto tenemos que:

푘 = 112474.12푔푠

Con los valores hallados mediante la regresión lineal se realiza la gráfica:

Se toman dos puntos de la grafica y se resuelve la ecuación:

푎 =푦 − 푦푥 − 푥 → 푎 =

0.53− 0.30750 − 100

Por lo tanto se tiene que

푎 = 3.5푥14

Esto coincide con la pendiente hallada por lo tanto la grafica anterior es la recta que mejor representa a los datos tomados en el laboratorio.

4. La constante hallada con el método estático tiene un igual a 푘 = 128.535 푔−푓

푐푚 y la hallada por el método dinámico tiene un valor de 푘 = 112474.12

Las dos constantes se encuentran en diferentes unidades, por lo tanto es necesario realizar una pequeña conversión:

128.535푔 − 푓푐푚 ∗

980푔 ∗ 푐푚푠푔 − 푓 = 125964.3

푔푠

Se observa que el valor de la constante hallada por ambos métodos es similar; sin embargo se puede ver que la cons-tante del método estático es mayor.

Para linealizar:

T= 02 m mk

pæ ö+ç ÷ç ÷è ø

Eleveamos la anterior ecuación al cuadrado en ambos lados, entonces se tiene:

푇 = 4휋(푚 +푚 )

퐾

Entonces separamos la ecuación asi:

푇 =4휋 푚퐾 +

4휋 푚퐾

Sabiendo que:

푌 = 푀푋 + 푏

Entonces m sera:

푀 =4휋퐾

Y b será:

푏 =4휋 푚퐾

5

Fuerza (gr-f) 푻ퟐ

100 0.09

150 0.11

250 0.11

300 0.13

350 0.14

400 0.16

500 0.19

550 0.20

600 0.23

700 0.27

750 0.28

900 0.33

Datos Masa y Periodo.

Grafica Periodo vs Masa.

Realizando la linealizacion de la grafica la cual también corresponde a la Gráfica 1. Al final del informe obtenemos tenemos la siguiente grafica:

Haciendo uso de dos puntos de la Gráfica 2. Al final del informe, se halla la pendiente:

푀 = 푌 − 푌푋 − 푋

M = 3.71 ∗ 10

Se igualan las pendientes:

푀 = , 푀 =

4휋퐾 = 3.71 ∗ 10

Despejo K;

퐾 =4휋

3.71 ∗ 10

퐾 = 106410.83 푔푠

0,000,050,100,150,200,250,300,35

0 500 1000

Series1

Movimiento Armónico Simple

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6.

Considerando la energia cinética y potencial tenemos que:

퐸푝 =12푘푦

퐸 = 퐸 + 퐸

Donde:

퐸 es la energía cinética del resorte.

퐸 es la energía cinética de la masa.

퐸 =12푚푣

Para hallar 퐸 se tiene que:

Tomando un diferencial de la masa del resorte 푑푚 y su-poniendo que éste se mueve en fase se tiene que la veloci-dad del resorte 푣 es proporcional a la velocidad 푣.

푣 = 훽푣

La constante 훽 se obtiene de: 훽 =

Donde:

L es la elongación del resorte con la masa.

y la distancia a la que se estira el resorte.

Entonces 푣 = 푣 [1

Para hallar el diferencial se tiene que

휆 =

Donde:

휆 es la densidad lineal

휆 =푚퐿

Sustituyendo 휆 en la anterior ecuación y despejando de esta

푑푚 se tiene:

푑푚 = 푑 [2

Al derivar 퐸 = 푚푣

푑퐸 =12푑 푣

Reemplazando la ecuación [1 y [2 en la anterior se tiene

푑퐸 = , 푑푦 푣

푑퐸 = 12푚

푣퐿 푦 푑푦

퐸 = 12푚

푣퐿

퐿3

퐸 = 16푚 푣

Entonces se tiene:

퐸 = 16푚 푣 +

12푚푣

퐸 =12

13푚 +푚 푣

Aplicando el método de Rayleigh

(퐸푐) = (퐸푝)

Luego:

12 푚 +

13푚 푣 =

12푘푦

Como el sistema masa-resorte es M.A.S

푦 = 퐴 sin(푤푡 + ∅)

A = 푦

Al derivar esta ecuación se tiene:

푦̇ = 퐴푤 cos(푤푡 + ∅)

De donde Aw = 푣

7

Entonces:

12 푚 +

13푚

(퐴푤) =12푘퐴

푚 +13푚 푤 = 푘

Despejando w se tiene:

푤푘

푚 + 13푚

Como 푇 = , reeplazando w se tiene:

푇 = 2휋푚 + 1

3푚푘

Teóricamente sabemos que:

푇 = 2휋푚 +푚

푘

Igualando las dos ecuaciones anteriores se tiene:

2휋푚 +푚

푘 = 2휋푚 + 1

3푚푘

Elevando al cuadrado y efectuando algunas cancelaciones obtenemos:

푚 =13푚

Demostrando asi que: 푚 = 푚

Conclusiones

Las deformaciones sufridas por un resorte y el periodo de oscilacion del mismo son proporcionales a las masas.

La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento de la masa desde el punto de equili-brio, varia en el tiempo, es decir se mueve periodicamente respect a su posición de equilibrio.

Haciendo uso de los dos métodos estático y dinámico, se obtuvieron constantes de elasticidad relativamente simila-res, lo que nos permite elegir cualquiera de los dos métodos, dependiendo de las condicones y los datos obtenidos en el laboratorio. Los errores presentes en este laboratorio se presentaron debido a errores instrumentales, debido a que la regla no se encontraba totalmente paralela al resorte, errores personales ya que la reacción del sentido de la vista no es inmedianto ante las oscilaciones del resorte. Referencias [1] Enciclopedia Wikipedia en español:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)&oldid=35484843

[2] Enciclopedia Wikipedia en español: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Movimiento_arm%C3%B3nico_simple&oldid=35633492

[3] Documento “Ley de Hook: Constante de recuperación de un cuerpo elástico: http://webpages.ull.es/users/fexposit/ife_b1.pdf

[4] Documento regresión lineal.

http://www.monografias.com/trabajos35/movimiento-armonico-hooke/movimiento-armonico-hooke.shtml

[5] Documento movimiento armónico simple.

http://www.unalmed.edu.co/fisica/paginas/cursos/paginas_cursos/recursos_web/lecciones_fisica_universitaria/leccion_teoria_de_la_medida/concepto/index42.htm