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Movimiento armónico simpleDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda

El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado m.v.a.s.), es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto.Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

Contenido

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1 Cinemática del movimiento armónico simple 2 Ecuación del movimiento

o 2.1 Elongación o 2.2 Velocidad o 2.3 Aceleración o 2.4 Amplitud y fase inicial

3 Dinámica del movimiento armónico simple 4 Energía del movimiento armónico simple 5 Ejemplos

o 5.1 Medición de masa en ingravidez 6 Véase también 7 Referencias

o 7.1 Bibliografía 8 Enlaces externos

[editar] Cinemática del movimiento armónico simple

Evolución en el tiempo del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un movimiento armónico simple.

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.

[editar] Ecuación del movimiento

[editar] Elongación

En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde es una constante positiva y es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuación donde es la frecuencia angular del movimiento:

(2)

La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma

(3)

donde:

es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.es la amplitud del movimiento (elongación máxima).es la frecuencia angular

es el tiempo.es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante

t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

(4) , y por lo tanto el periodo como

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo

la expresión .

[editar] Velocidad

La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:

(5)

[editar] Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

(6)

[editar] Amplitud y fase inicial

La amplitud y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongación y de la velocidad iniciales.

(7)

(8)

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(9)

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10)

[editar] Dinámica del movimiento armónico simple

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición.

(11)

Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle.

Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

(12)

Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:

(13)

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

(14)

[editar] Energía del movimiento armónico simple

Energía del movimiento armónico simple frente a la elongación.

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(15)

La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.

La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

(16)

La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

(17)

Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

(18)

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos y . Se obtiene entonces que,

(19)

O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio

(20)

[editar] Ejemplos

[editar] Medición de masa en ingravidez

En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición.

Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M1721 ) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:

(21)

SinusoideDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda

Función seno para A = ω = 1 y φ = 0.

En matemáticas, se llama sinusoide la curva que representa gráficamente la función seno y también a dicha función en sí.

Contenido

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1 Características o 1.1 Período (T) en una sinusoide o 1.2 Amplitud (A) en una sinusoide o 1.3 Fase inicial (φ) en una sinusoide

2 Sinusoide y cosinusoide 3 Véase también

4 Enlaces externos

[editar] Características

La sinusoide puede ser descrita por las siguientes expresiones matemáticas:

Figura 1: Parámetros característicos de una forma sinusoidal.

La forma representada es:

donde

A es la amplitud de oscilación. ω es la frecuencia angular; .

T es el período de oscilación; ωx + φ es la fase de oscilación. φ es la fase inicial.

[editar] Período (T) en una sinusoide

Es el menor conjunto de valores de x que corresponden a un ciclo completo de valores de la función; en este sentido toda función de una variable que repite sus valores en un ciclo completo es una función periódica, seno o no sinusoidal.

En las gráficas de las funciones seno-coseno, secante-cosecante el período es , mientras que para la tangente y cotangente el período es .

[editar] Amplitud (A) en una sinusoide

Es el máximo alejamiento en el valor absoluto de la curva medida desde el eje x.

[editar] Fase inicial (φ) en una sinusoide

La fase da una idea del desplazamiento horizontal de la sinusoide. Si dos sinusoides tienen la misma frecuencia e igual fase, se dice que están en fase.

Si dos sinusoides tienen la misma frecuencia y distinta fase, se dice que están en desfase, y una de las sinusoides está adelantada o atrasada con respecto de la otra.

Carece de sentido comparar la fase de dos sinusoides con distinta frecuencia, puesto que éstas entran en fase y en desfase periódicamente.

[editar] Sinusoide y cosinusoide

Obsérvese que la cosinusoide (coseno), o cualquier combinación lineal de seno y coseno con la misma frecuencia, se pueden transformar en una sinusoide y viceversa, ya que:

siendo

[editar] Véase también

DesfaseDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda

El desfase entre dos ondas es la diferencia entre sus dos fases. Habitualmente, esta diferencia de fases, se mide en un mismo instante para las dos ondas, pero no siempre en un mismo lugar del espacio.

Contenido

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1 Medida 2 Descripción matemática 3 Desfase reducido

o 3.1 Casos particulares o 3.2 Cuidado con las abscisas

[editar] Medida

Se puede medir el desfase como:

Un ángulo (en radianes o en grados o aún en giros). Un tiempo (en segundos o como un múltiplo o una fracción del período). Una distancia (en metros o como un múltiplo o una fracción de la longitud de onda).

La noción de desfase no se limita a las ondas sinusoidales. Se puede hablar de desfase de cualquier tipo de onda o fenómeno periódico. En el caso de ondas o fenómenos de período diferente, el desfase puede carecer de interés.

Para los fenómenos no periódicos, solo se puede hablar de avance o retardo.

[editar] Descripción matemática

En el caso de dos ondas sinusoidales, de igual o igual pulsación , representadas matemáticamente como:

y

,

el desfase en el instante es:

Se comprueba que si las dos ondas tienen la misma frecuencia y que las posiciones no cambian, el desfase queda constante.

En cambio, si las frecuencias no son iguales, el desfase cambia con el tiempo. Ese caso se produce en los batimientos.

Si es positivo, la onda 2 está en avance con respecto a la onda 1. Y si es negativo, la onda 2 está en retardo con respecto a la onda 1.

[editar] Desfase reducido

En la mayoría de los casos, el desfase que cuenta es el desfase dentro de un mismo período (una sinusoide es idéntica a ella misma desplazada de un número entero de longitudes de onda o de períodos). Podemos sumar o restar a tantas veces como sea necesario para obtener un desfase inferior a . Aun así nos queda una ambigüedad: una señal en avance de fase de 350° es idéntica a una señal con 10° de retardo. Podemos, arbitrariamente, sumar o restar suplementarios a para que el desfase resultante esté comprendido entre y

. Decidimos, de la misma manera arbitraria, que los desfases negativos corresponden a un retardo de fase y los desfases positivos a un avance de fase. Pero no olvidemos que ese retardo o avance convencional no corresponde necesariamente a la realidad física.

Dos ondas de igual longitud de onda con un desfase de .

En el diagrama de derecha, el desfase vale , donde T es el período de la onda y el retardo de la curva verde con respecto a la roja (en segundos).

[editar] Casos particulares

Con esta convención, si el desfase vale , distinguimos tres casos particulares:

las dos ondas están en fase. las dos ondas están en oposición de fase.

las dos ondas están en cuadratura.

Si se toma la onda negra como referencia, la onda azul esta en fase y la onda roja está en oposición de fase.

Si se toma la onda negra como referencia, la onda azul está en avance de fase y en cuadratura. La onda roja está en retardo y en cuadratura.

[editar] Cuidado con las abscisas

Las curvas de arriba están trazadas en función del tiempo. Las de abajo están trazadas en función de la posición x.

En el dibujo de derecha, las curvas de arriba están representadas en función del tiempo. El tiempo, en abscisa, aumenta hacia la derecha: el pasado está a la izquierda y el futuro a la derecha. La curva negra pasa por su cresta un poco antes que la curva roja. Es decir, la curva roja está en retardo con respecto a la negra.

En las curvas de abajo, la abscisa es la posición x. Eso corresponde a la "fotografía" de las ondas a un momento. Cuando el tiempo avanza, las ondas se desplazan hacia la derecha. En un sitio cualquiera, la cresta de la curva roja llegará antes que la cresta de la curva negra. Es decir, la curva roja está en avance con respecto a la curva negra.

¡Hay que tener cuidado con la representación que se utiliza!

Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. Para deducir y establecer las ecuaciones que rigen el movimiento armónico simple (unidimensional) es necesario analizar el movimiento de la proyección, sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme (bidimensional). El movimiento armónico simple se puede estudiar desde diferentes puntos de vista: cinemático, dinámico y energético. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que realizan los cuerpos elásticos.

IntroducciónUna clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza se dirige hacia la posición de equilibrio hay un movimiento repetitivo hacia delante y hacia atrás alrededor de esta posición.

Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor, es decir repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan.Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones en los que la distancia del móvil al centro pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrás, es decir que va y viene, (en vaivén) sobre una misma trayectoria.

Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilínea y tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.

Un movimiento vibratorio es Armónico cuando la posición, velocidad y aceleración se puede describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento armónico puede ser compuesto de forma que estén presentes varios períodos simultáneamente. Cuando haya un solo período , el movimiento recibe el nombre de Movimiento Armónico Simple o abreviadamente, M.A.S . Además de ser el más sencillo de analizar, constituye una descripción bastante precisa de muchas oscilaciones que se observan en la naturaleza.

Oscilaciones y VibracionesEs frecuente en la naturaleza la existencia de movimientos en los cuales la velocidad y aceleración no son constantes. Un movimiento que presenta tales características es el movimiento vibratorio u oscilatorio. En los movimientos oscilatorios el cuerpo va de una posición extrema y regresa a la posición inicial pasando siempre por la misma trayectoria. Algunos ejemplos de fenómenos en los que se presenta este tipo de

movimiento son: el latido del corazón, el péndulo de un reloj, las vibraciones de los átomos.

Entender el movimiento vibratorio es esencial para el estudio de los fenómenos ondulatorios relacionados con el sonido y la luz. Como ejemplos de movimientos vibratorios existe la vibración de las columnas de aire de los instrumentos musicales, la vibración de un edificio o un puente por efecto de un terremoto, las ondas electromagnéticas que viajan en el vacío, una masa unida al extremo de un resorte, etc. Entre los infinitos tipos de movimientos vibratorios que existen en la naturaleza el más importante es el armónico simple.

Ejemplos de movimiento armónico simple pueden ser: - Una lamina fija por un extremo y haciéndola vibrar por el otro extremo. - Un sistema formado por un cuerpo suspendido de un resorte.- El movimiento de un péndulo para desplazamientos pequeños. - Un líquido contenido en un tubo doblado en U.- Una esferita en una superficie cóncava. - Una cuerda tensa

Para estudiar algunas de las características relacionadas con los objetos que vibran se considera el caso de un resorte estirado que se mueve en una superficie horizontal sin fricción.Si el otro extremo del resorte se encuentra fijo a una pared y el punto 0 representa la posición de equilibrio del cuerpo. Al empujar una distancia A , hasta la posición B , una vez que se suelte el cuerpo empezará a oscilar regresando a su posición de equilibrio 0 , hasta alcanzar una posición extrema B' , separándose nuevamente a una distancia A del punto 0. Como no hay fricción, este movimiento de vaivén entre los puntos B y B' sigue repitiéndose indefinidamente, se concluye entonces que el cuerpo está oscilando o vibrando entre los puntos B y B'.

Cuando se separa un resorte de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un M.A.S. La fuerza recuperadora de ese resorte, variable con la elongación, es la que genera una aceleración proporcional también a la elongación, la cual le confiere ese movimiento de vaivén llamado M.A.S.

Un movimiento armónico simple (M.A.S) es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.

La fuerza F recuperadora, de la cual se habla es proporcional al desplazamiento X pero de sentido contrario a él, pudiéndose escribir que:

(Ec.1)

Esta relación conocida como la ley de Hooke indica que la fuerza es proporcional al desplazamiento y el signo (-) se coloca para señalar que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento, que es una de las características más importante del M.A.S. Todos los cuerpos elásticos que cumplan la Ley de Hooke , al ser sometidos a una fuerza vibran con M.A.S.

Todo punto material sometido a una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto a éste, realiza un movimiento lineal de vaivén llamado Movimiento Armónico Simple.

Ahora se va analizar el movimiento considerando la segunda ley de Newton . Al soltar el cuerpo, la fuerza que actúa sobre él produce una aceleración que es proporcional a de acuerdo a la segunda ley de Newton, que:

= Fuerza restauradora

m = Es la masa que vibra

= Es la aceleración instantánea

Donde:

(Ec.2)Newton

Como K y m son valores constantes para cada caso, también lo será su cociente, lo cual implica que la aceleración es proporcional al desplazamiento y el signo (-) indica que la

aceleración tiene sentido contrario al desplazamiento.

Elementos del M.A.S.De todos los movimientos oscilatorios el movimiento armónico simple (M.A.S.), constituye una aproximación muy cercana a muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza, además que es muy fácil de describir matemáticamente. El nombre armónico se debe así porque sus fórmulas dependen del Seno y del Coseno, que se llaman funciones armónicas.

Antes de iniciar el estudio cuantitativo y cualitativo del M.A.S es útil definir algunos términos de uso frecuente:

Oscilación o vibraciónEs el movimiento efectuado hasta volver al punto de la partida, es decir una ida y vuelta del cuerpo en movimiento.

Período (T)Es el tiempo necesario para realizar una vibración u oscilación completa.

Frecuencia ( )Es el número de vibraciones completas que el cuerpo efectúa por unidad de tiempo.

Elongación (x)Es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado

Amplitud (A)Es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio.

Posición de equilibrio

Es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

Pulsación (w)Representa la velocidad angular del MCU auxiliar. Es una constante del M.A.S

Fase inicial (ao) Representa la posición angular de la partícula para t= 0 en el MCU auxiliar.

Fase (.t + ao ) Representa la posición angular de la partícula en el MCU auxiliar para el tiempo t.

El estudio del movimiento armónico simple es muy importante en la Física ya que son muchos los fenómenos físicos que se relacionan con el mismo, ya sea fenómenos

estudiados al analizar el comportamiento de la Naturaleza como también por el sin número de fenómenos creados por el hombre y basados en dicho movimiento.

Esto movimiento muy común puede ser observado en el caso de una masa colgando de un resorte al oscilar.

Es la forma más elemental de una oscilaciónDefinición

Una partícula realiza un Movimiento Armónico Simple (MAS) cuando al desplazarse a la largo de un eje (X) su posición se encuentra descripta en función del tiempo por la

expresión

Donde los valores A, y son constantes siendo

A la amplitud del movimiento la frecuencia angular

t + la fase del movimiento es la fase inicial de movimiento

Se llama amplitud (A) al máximo desplazamiento de la partícula respecto al punto origen (0) del eje X o punto de equilibrio.

Como la función seno toma como valores extremos +1 y -1, el movimiento se encuentra acotado por los valores x = + A y x = - A

El movimiento que se repite a sí mismo se llama periódico, siendo precisamente el período (T) el tiempo que es necesario que transcurra para que se produzca su repetición.

La función seno es periódica y se repite cada 2 rad, por lo tanto el valor de la abscisa x se repite cuando el argumento de la función se incrementa en 2rad.

Por lo tanto siendo t el valor del tiempo para un cierto valor de x, el mismo valor de x se repetirá para cuando el valor del tiempo sea t + T

Dado que sen ( . (t + T) + sen ( . t + entonces .( t + T) + . t +

por lo tanto simplificando nos queda que lo que permite calcular el valor del período en función de la frecuencia angular

Aquí se observa que el período T es inversamente proporcional a la frecuencia angular

Representación gráfica del movimiento y de la función x=f(t)

La fase inicial se encuentra relacionada con el momento que se toma como origen de tiempos y la posición en que se encuentra la partícula en dicho instante.

Observando la expresión x = A . sen (.t + podemos estudiar que sucede cuando t = 0 y

obtenemos que x = A . sen por lo tanto y el valor de

Por ejemplo si la partícula comienza a oscilar desde x = A para t = 0 s tendremos que

La fase inicial en la descripción de un movimiento armónico simple de una sola partícula no es muy importante pues siempre podremos elegir el instante t = 0 para el cual

x = 0.Frecuencia

El número de oscilaciones por unidad de tiempo se llama frecuencia, magnitud que es inversamente proporcional al período. Se representa con la letra f y su unidad es el Hertz

(Hz).

que establece la relación entre la frecuencia y la frecuencia angular.

UnidadesEl período T como es un tiempo en el Sistema Internacional se mide en segundos

La frecuencia f que es inversa del período se mide en el Sistema Internacional en Hz (Hertz) que tiene la dimensión de un tiempo elevado a la menos uno.

Utilizando la frecuencia o el período la expresión de la posición en función del tiempo resulta

Contenido

Apunte: Características de un movimiento armónico simple. Ecuación fundamental del movimiento armónico simple. Ecuación de la velocidad en el Movimiento armónico simple. Ecuación de la aceleración en el Movimiento armónico simple.

Ecuaciones del movimiento armónico simple

Características de un movimiento armónico simple

Vibración u oscilación : Distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén. Centro de oscilación , O: Pto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas

alcanzadas por la partícula móvil Elongación , y. Distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación O,

tomado como origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en un momento dado . Consideramos positivos las valores de esta coordenada a la derecha del pto O y negativos a la izquierda.

Amplitud A, valor máximo de la elongación. Periodo T, tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa. Frecuencia , f o n, número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Inversa del periodo f =

1/T (Hz) Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular , w, Nº de periodos comprendidos entre 2π

unidades de tiempo. ω = 2.π/T = 2.π.f.rard/s.

Ecuación fundamental del movimiento armónico simple

En la figura se ha representado la posición x de un péndulo que oscila después de haber sido desplazado un pequeño ángulo en función del tiempo. Se han representado dos oscilaciones completas.

Si lo hacemos oscilar desde su posición vertical con un pequeño impulso obtendremos una gráfica similar solo que para t = 0, x = 0. La primera gráfica corresponde a un coseno y la segunda a un seno. Ambas gráficas representan el mismo movimiento con la única diferencia de la posición inicial de oscilación.

Si comparamos el movimiento del péndulo con el de una partícula que describe un movimiento circular, con radio igual a la de la amplitud de la oscilación y el mismo periodo (es decir, ajustamos la w de la partícula para que coincida el T).

Para un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que su posición es x = A cos (w.t).

Puesto que A y w son iguales para los dos movimientos y las posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuación

describe los dos movimientos.

En general, si la elongación no es A, basta con introducir una fase que ajuste la posición inicial x = A cos (w.t + d).

Para t = 0 x = A cos d

Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo.

En general, la ecuación del movimiento armónico simple la escribiremos

x = A.cos (w.t + d)

w.t + d: fase del movimiento.

Al cabo de una oscilación completa la fase aumenta en 2.π rad y vuelve a la misma posición cos (w.y + d) = cos (w.t + d + 2.π)

d: cte de fase o fase inicial.

Si t = 0 se obtiene la posición inicial xo= A.cos d

La ecuación puede escribirse indistintamente en función del seno o del coseno x = A.sen (w.t + d)

A veces conviene usar una u otra:

1- Si hacemos oscilar un muelle o péndulo desde su máxima elongación, debe cumplirse que:

xo = A en t = 0 Ecuación más sencilla es x = A.cos w.t ya que cos 0 = 1. También se podría escribir:

x = A.sen (w.t + π/2) ya que en t = 0 x = A.sen π/2 = A.

- Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que:

x0 = 0 en t= 0.

Lo más sencillo es x = A.sen w.t pero también x = A cos (w.t ± π/2)

- Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno y calcular d a partir de xo, A y w.

Ver ejemplo n° 1

Ecuación de la velocidad en el Movimiento armónico simple

x = A cos (wt + d)

v = dx/dt = -w.a.sen (w.t + δ)

La velocidad en un movimiento armónico simple varía de forma armónica (sinusoidal).

Sabemos que sen² (w.t + δ) + cos² (w.t + δ) = 1

sen (w.t +d) =

v = -w.A sen (w.t + d) = -w.A

.

Como la raíz lleva doble signo para cada valor de x hay dos de v (ida y vuelta) v =

La velocidad es cero cuando x = ±A (extremos) La velocidad es máxima cuando x = 0 (centro) v = ±w.A Las gráficas de x y v están desfasadas π/2 cos (w.t + π/2) = - sen w.t

Si representamos la posición y la velocidad frente al tiempo

x = A.cos w.t = A.cos (2.π/T).t

v = -A.w.sen w.t = -w.A.sen (2.π/T).t

Ver ejemplo n° 2

Ecuación de la aceleración en el Movimiento armónico simple

V = -w.A sen (w.t +d)

a = dv/dt = -w².A.cos (w.t + δ)

Sabemos que v = a.cos (w.t + δ)

a = -w².x La aceleración en un MAS es una función armónica que depende sinusoidalmente de tiempo.

La aceleración es nula en la posición de equilibrio (x = 0) Es máxima en los extremos en cuyo caso vale –w².A Sentido opuesto a x

La gráfica está desfasada π respecto de la posición x cos (w.t +d) = - cos (w.t)

x = a.cos (2.π/T).t

v = -w.A.sen (2.π/T).t

a = -w².A.cos (2.π/T).t

Ver ejemplo n° 3Autor: Leandro BautistaFuente: http://www.freewebs.com/fisicamontpe/Fisica de 2° de Bachillerato - Colegio Montpellier

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