Movimiento Armonico Simple Selectividad

7/31/2019 Movimiento Armonico Simple Selectividad

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1. Escribe la ecuacin senoidal del movimiento del muelle de la figura

cuya grfica posicin-tiempo es la que se indica:

x(cm)

0,3

1,3

2,3

3,3

4,3 t(s)

5

-10

Laecuacindelmovimientodelmuellesecorresponde

conlaexpresin:

x=Asen(wt+f0)

Elongacin Amplitud

Frecuenciaangular Faseinicial

Fase

Identificamostrminosapartirdelagrfica:

Amplitud:A= 10cm.

Frecuenciaangular:w

n= =2

2T

.Elperiodoeseltiempoentre

dosmximossucesivos:

T= - =2 3 0 3, ,s s 2 s

w

= =2

2rad/s

Faseinicial: x A t0 0 0= +sen( )w f ;parat0= 0,x0= 5cm:

5 10 0= sen( )f

f

0 0 5 6= =arc sen rad( , )

Portanto:

x t= +

0 16

, sen m

2. Se estira un muelle hasta que su longitud aumenta 5 cm. A continuacin

se suelta y se le deja oscilar libremente, de forma que da 30 oscilaciones

completas en 5 segundos.


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Determina:

a) La ecuacin de su movimiento suponiendo que empezamos a estudiarlo

cuando se encuentra en la posicin ms estirada.

b) La posicin en la que se encuentra el muelle a los 10 s de iniciado

el movimiento.

c) El tiempo que tarda el muelle en alcanzar la posicin de equilibrio

desde que est en la posicin de mximo estiramiento.

a) Dadoqueenelenunciadosemencionaquelaposicininicial

deestudio(t= 0)coincideconunmximo,utilizaremos

laecuacincosenoidalparadescribirelmovimiento.

Deestamanerasudesfaseinicialsernulo:x A t= cos( )w ;para

t= 0,x= A.

Laamplituddelmuellecoincideconsuelongacinmxima:

A= 5cm= 0,05m.

w

n = = = =

22 2 12

T

30 ciclos

5 srad/s

Sustituyendo:x t= 0 05 12, cos( ) m

b) x t( ) , cos( )= = = =10 s 0,05 m 5 cm0 05 12 10 .Elmuelleseencuentraensuposicindeelongacinmxima

positiva(estiradoalmximo).

c) Enlaposicindeequilibrox= 0:

0 0 05 12= , cos( ) t

arc cos( )0 122

1

2 12= = = =

t t

0,042 s

3. Representa la grfica posicin-tiempo de un muelle cuyo movimiento

se describe en la actividad anterior.

x(m)0,05

-0,05

0

0,0 1,0 5,04,03,02,0 t(s)

4. Cul ser la velocidad del mvil del ejemplo 2 cuando se encuentra

a 2 cm del punto ms bajo?

Enestecasoseencuentraenlaposicinx= 4cm.


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Sustituyendoigualqueenelejemplo:

v A x= - = - -2 2 0 25 6 4 72 2 2 2n , ( (Hz cm) cm) cm/s

Esdecir,elmdulodelavelocidadeselmismoqueenlaposicin

calculadaenelejemplo.(Noconfundirlavelocidad,v,conla

frecuencia,n.)

5. En el extremo de un muelle colocamos un cuerpo, lo estiramos

una longitud de 4 cm y lo dejamos oscilar libremente. Escribe la funcin

que permite conocer su elongacin, velocidad y aceleracin en funcin

del tiempo si vibra con una frecuencia de 2 Hz. Representa grficamente

dichas funciones tomando valores del tiempo que permitan conocer

lo que sucede en dos oscilaciones completas.

Comolaposicininicialconsideradasecorrespondeconsuelongacin

mxima,utilizaremoslaecuacincosenoidaldelMAS.

Elongacin:

Laelongacinmxima

esprecisamenteA = 0,04m.

Calculamosw:

w n = = =2 2 2 4

Hz rad/sLaecuacindelaelongacinser:

x t= 0 04 4, cos( ) m

Velocidad:

Lavelocidadseobtienederivando

laexpresindelaelongacin

conrespectoaltiempo:

vdx

dtA t

t

= = - + =

= -

w w f

sen

sen

( )

, ( )

0

4 0 04 4

v t= - 0 16 4, ( ) sen m/s

Aceleracin:

Laaceleracinseobtienederivandolaexpresindelavelocidad


adv

dtA t= = - + =

= -

w w f

20

24 0 04 4

cos( )

( ) , cos(

= -

t

a t

)

, cos( )

0 64 42 m/s2

x(m)0,04

0,02

0

-0,02

-0,04

0 0,5 1,0t

v(m/s2)

0,6

0

-0,6

0

0,5 1,0

a(m/s2

)

-8

-4

0

4

8

0 0,5 1,0


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6. Haz la representacin grfica de las funciones x(t), v(t) y a(t) para

un muelle que oscila apoyado en una superficie horizontal sin rozamiento.

De forma similar a la figura 6.23, indica en qu posicin las magnitudes x,

vy aalcanzan sus valores mximos y mnimos.

Respuestagrfica:

x= A sen(w t)

v= A wcos(w t)

a=-w2 A sen(w t)=-w2 x

-w2 A

-w A

-A

w2 A

w A

A

a

v

x Mximo:T/4

Mnimo:3T/4

Mximo:0

Mnimo:T/2

Mximo:3T/4

Mnimo:T/4

T/4 T/2 3T/4 T

7. Calcula la aceleracin y la velocidad en el instante inicial, t= 0 s,para un muelle cuyo movimiento viene descrito por la ecuacin:

x t t( ) , cos= +

0 3 2

6

(xen cm)

Laecuacindelaposicines:

x t t( ) , cos= +

0 3 26

Enelinstantet= 0:

x( , cost= = +

=0) 0,26 m0 3 2 0

6

Lavelocidadseobtienederivandolaposicinconrespectoaltiempo:

vdx

dtA t t= = - + = - +

w w f

sen sen( ) ,0 2 0 3 2

6

Enelinstantet= 0:

v( , ,t= = - +

= - 0) sen s2 0 3 2 0

6

2 0 3

een 0,3 m/s

6

= -


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Laaceleracinseobtienederivandolavelocidadconrespectoaltiempo:

adv

dtA t x= = - + = -w w f w2 0

2cos( )

Enelinstantet= 0:

a

x t

( ,

( )

t= = - = -

=

0) 1,04 m/s22 0 2620

8. Un objeto de 2,5 kg est unido a un muelle horizontal y realiza

un movimiento armnico simple sobre una superficie horizontal

sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz.

Determine:

a) El periodo del movimiento.b) La velocidad mxima y la aceleracin mxima del objeto.

a) Eldatodelafrecuencianospermiteconocerelperiodo,T:

T= = =1 1

3 3n , Hz0,303 s

b) Calculamoswapartirdeldatodelperiodo,segn:

w

= = =2 2

0 30320 73

T ,,

srad/s

LavelocidadmximaenunMASes:

v Amx. rad/s m 1,037 m/s= = =w 20 73 0 05, ,

LaaceleracinmximaenunMASes:

a Amx.2

rad/s m 21,49 m/s= = =w2 2 2

20 73 0 05, ( ) ,

9. Una partcula puntual realiza un movimiento armnico simple de amplitud

8 m que responde a la ecuacin a=16x, donde xindica la posicin

de la partcula en metros y aes la aceleracin del movimiento expresada

en m/s2.

a) Calcula la frecuencia y el valor mximo de la velocidad.

b) Calcula el tiempo invertido por la partcula para desplazarse

desde la posicin x1= 2 m hasta la posicin x2= 4 m.

a) Apartirdelaexpresinquedeterminalaaceleracindeuncuerpo

enunMAS:

adv

dt

d A t

dt

A t

= = +

=

= - +

[ cos( )]

(

w w f

w w

0

2

sen ff w02

) = - x


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Identificando:

- = - = =w w w2 216 16 4x x rad/s

Calculamoslafrecuenciaapartirdelafrecuenciaangular:

w

n nw

= = = = =

22

2

4

2T

rad/s0,64 Hz

Ahorayasepuedecalcularlavelocidad:

v A t v A= + = = =w w f wcos( )0 4 8 mx. rad/s m 32 m/s

b) Paracalculareltiempoquetardaentrasladarsedeunpuntoalotro

obtendremoselvalordeltiempocuandoseencuentraencada

unadeesasposiciones.Paraestonecesitamosconocerlaecuacin

querigesumovimientoyque,suponiendoquenoexistedesfase

inicial,puedeobtenersecomo:

x A t t = + = +sen sen( ) ( )w f f0 08 4

Enx= 4m:

4 8 41

242 0 2 0= + = + sen sen( ) ( )t tf f

41

2 62 0t + =

=f

arc sen [1]

Enx= 2m:

2 8 41

441 0 1 0= + = +sen sen( ) ( )t tf f

41

40 2531 0t + =

=f arc sen , [2]

Restandolasexpresiones[1]y[2]:

( ) ( ) ,4 46

0 2532 0 1 0t t+ - + = -f f

4 0 270 27

42 1 2 1 - = - = =( ) ,

,t t t t 0,0675 s

10. Un punto material pende del extremo de un muelle. Se tira de l

y se le hace oscilar de manera que entre el punto ms alto y el ms bajo

este recorre una distancia de 20 cm y tarda 20 s en completarcinco oscilaciones. Determina la velocidad y la aceleracin del mvil

cuando se encuentra a 6 cm del punto ms bajo.

Siladiferenciaentreelpuntomsaltoymsbajodelrecorrido

es20cm,laelongacinmximadelMASesA = 10cm= 0,1m.

Obtenemoslafrecuenciadelmovimiento:

n w n

= = = = =5 ciclos

20 s

0,25 Hz Hz rad/s 2 2 0 25

2

,


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A6cmdelpuntomsbajoelpuntoseencuentra4cmpordebajo

desuposicindeequilibrio,esdecir,en x= 4cm.

Sepuedenobtenerlavelocidadylaaceleracininstantnea

deunMASconlasrelaciones:

v A x= - = - =w 2 2 2 22

0 1 0 04 0 144, , , m/s

a x= - = -

- =w

2

2

20 04 0 098( , ) , m/s2

11. Disea una experiencia para comprobar que el periodo de un oscilador

armnico no depende de la amplitud de la oscilacin.

Material:

Soportedelaboratorio.

Muelle.

Portapesas.

Unapesa.

Cronmetro.

Procedimiento:

1. Colocarelmuelleenelsoportecomo

semuestraenlafigura.Poner

unportapesasensuextremoinferior.

2. Colocarenelportapesaslapesa

elegida.Estirarlademaneraque

sedesplaceunpocodesuposicin

deequilibrioydejarlaoscilar.

3. Cuandoosciledemanerauniforme(despusdelas3o5primeras

oscilaciones),ponerelcronmetro

enmarchaymedireltiempo

quetardaendar20oscilaciones.

Anotarelresultado.

4. Repetirlospasos2y3utilizando

siemprelamismamasayvariando

laamplitudinicialdelaoscilacin.

5. Deacuerdoconlaexpresin:

Tm

k= 2

alusarsiemprelamismamasam

yelmismomuelle(mismak),

elperiodoobservado

deberadeserconstante.

Muelle

Portapesas


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12. Se dispone de un muelle elstico sujeto por un extremo

al techo de una habitacin. Si colgamos por el otro extremo

un cuerpo de 6 kg de masa, el muelle se alarga 20 cm. Calcule:

a) La constante elstica del muelle.

b) El periodo de las oscilaciones que realizar si se le apartade su posicin de equilibrio y se le deja libremente para que ejecute

un movimiento armnico simple.

a) Determinaremoslaconstantedeelasticidadestticapormedio

delaleydeHooke:

P m g F k x k

m g

x= - = = - =

=

=

6 9 8

0 2294

,

,

N

m

b) Aunquelaconstantedeelasticidadestticaydinmicanoson

exactamenteiguales,utilizaremoseldatocalculadoenelapartado

anteriorparaobtenerelperiododelaoscilacin:

T

m

k= = =2 2

6

294 0,9 s

13. Se tienen dos muelles de constantes elsticas

k1 y k2 en cuyos extremos se disponen dos

masas m1 y m2, respectivamente, tal que

m1k2.

b) Elperiododeoscilacindeunmuellevienedadoporlaexpresin:

T

m

k= 2

Elperiododeoscilacindeunmuelleesmayorcuantomayor

seasumasaycuantomenorseasuconstanteelstica.

Ambascircunstanciasindicanqueelperiododelsegundo

oscilador(m2)esmayorqueeldelprimero.

1

1

2x

F

2


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14. Disea una experiencia de laboratorio que te permita comprobar

que el periodo de un pndulo armnico no depende de la amplitud

de la oscilacin.

Material:


Hilodenailon.

Bolaconganchodepesoconocido.

Metro(paramedirlongitudes).

Cronmetro.

Procedimiento:

1. Atarunhilodeaproximadamente1,5mdelongitudalextremo

deunabolapequeademasa

conocida.

2. Colocarloluegoenelsoporte

demaneraquepuedaoscilar,

comoseindicaenlafigura.

3. Medirexactamente

lalongituddelhilodesdeelextremodelsoportehastalabola.Debe

sersiempreexactamentelamisma

longitud.Separarlabolaenelplanoverticaldemanera

quesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrioydejarla

oscilar.

4. Cuandoosciledemanerauniforme(despusdelas3o5

primerasoscilaciones),ponerelcronmetroenmarcha

ymedireltiempoquetardaendar20oscilaciones.Anotarelresultado.

5. Repetirlospasos2y3,separandolaboladiferentesngulosq

(conelloseconsiguendistintasamplitudes).Deacuerdocon:

TL

g= 2

silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenido

debesersiempreelmismo.

6. Paracalcularelperiodoencadacasohayquetenerencuentaque:

T =Tiempo

N. de ciclos

Sisiempresemideeltiempoqueseempleaencompletar

20ciclos,eltiempoquehemosmedidodebesersiempre

equivalente.

Hilo

Bola

q


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15. Disea una experiencia de laboratorio que te permita

comprobar que el periodo de un pndulo armnico

no depende de su masa.

Material:


Hilodenailon.

Variasbolascongancho

depesosconocidos.

Metro(paramedirlongitudes).

Cronmetro.

Procedimiento:

1. Atarunhilodeaproximadamente

1,5mdelongitudalextremo

deunabolapequeademasa

conocida.

2. Colocarloluegoenelsoporte

demaneraquepuedaoscilar,

comoseindicaenlafigura.

3. Medirexactamentelalongituddelhilodesdeelextremodelsoporte

hastalabola.Debesersiempre

exactamentelamismalongitud.Separarlaenelplanovertical

demaneraquesedesplaceunpocodesuposicindeequilibrio

ydejarlaoscilar.

4. Cuandoosciledemanerauniforme(despusdelas3o5

primerasoscilaciones),ponerelcronmetroenmarchaymedir

eltiempoquetardaendar20oscilaciones.

Anotarelresultado.

5. Cambiarlabolaporotrademasadiferenteyrepetirlospasos2y3.

Deacuerdocon:

TL

g= 2

silalongituddelhiloessiemprelamisma,elperiodoobtenido

debesersiempreelmismo.

6. Paracalcularelperiodoencadacasohayquetenerencuentaque:

T =Tiempo

N. de ciclos

Sisiempresemideeltiempoqueseempleaencompletar

20ciclos,eltiempoquehemosmedidodebesersiempre

equivalente.

Hilo

Bola

q


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EW gW

b

-

16. En una catedral hay una lmpara que cuelga desdeel techo de una nave y que se encuentra a 2 m del suelo.

Se observa que oscila levemente con una frecuencia

de 0,1 Hz. Cul es la altura hde la nave?

Dato:g=9,8 m/s2.

Calculamoselperiodo:

T= = =1 1

0 1n , Hz10 s

Necesitamosobtenerlalongituddelhilodelquependelalmpara.

Paraellopodemosutilizarlaexpresin:

TL

gL g

TL= = = =2

49 8

10

4

2

2

2

2

, m/s

s24,82 m2

2

Silalmparaseencuentraa2mdelsuelo,laalturatotalser:

h= L+ 2m= 26,82m

17. Sea un pndulo electrosttico situado en un laboratorio

en la superficie de la Tierra, formado por una pequeaesfera atada al extremo de un hilo aislante

muy delgado de 20 cm de longitud,

estando el otro extremo atado

a un punto fijo.

La esfera tiene 1 g de masa

y es portadora de 2 nC

de carga elctrica de signo

negativo y se encuentrasometida a la accin del campo

gravitatorio terrestre y tambin

a un campo elctrico uniforme

de mdulo 3,3 106 N/C,

direccin vertical y sentido

hacia abajo. Calcular el periodo

de oscilacin del pndulo

en esas condiciones.

Dadoquelacargadelaesferaesnegativa,tendremosunafuerza

electrostticadesentidocontrarioalcampoelctrico

descritoenelenunciado.

Estafuerzaelectrostticaqueactasobrelaesfera

tendrdireccinverticalysentidohaciaarribay,

portanto,opuestoaldelafuerzagravitatoria

quetambinactasobrelamisma.

h

2m


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mg

Fcos q

Fsen q

q

q

TW

EW

Fuerza

restauradora

q

WFE

Elsistemadefuerzasresultanteser:

FW=FWE+PW=-qEW+PW

Comoelsentidodelasfuerzas

esopuesto,elmdulode

laresultanteserigualaladiferenciadelosmdulos

decadaunadeellas(P>|FE |):

F P F

F

= - =

= -

=

- -

E

10 9 8 2 10 3 3 10

3 2 10

3 9 6, ,

, --3 N

ElpndulotieneunMAS.Enconsecuencia:

F m a m x

F mT

L

= =

=

sen

sen sen

q w

q

q

2

2

2

2

( )

Nota:suponemosqueqesmuy

pequeoyhacemosquelacuerda

coincidaconelarco(x.q,qenradianes).

DespejamosT:

Tm L

F=

=

=

-

-2 2

10 0 2

3 2 10

3

3

kg m

N1,57 s

,

,

18. Se quiere medirga partir del periodo de oscilacin de un pnduloformado por una esfera de cierta masa suspendida de un hilo. La esfera

tiene una carga qpositiva y el pndulo se encuentra en una regin

con un campo elctrico dirigido hacia abajo; sin embargo,

el experimentador no conoce estos hechos y no los tiene en cuenta.

Responda, justificando su respuesta, si el valor de la gravedad

que obtiene es mayor o menor que el real.

Elvalordelagravedadqueobtieneesmayorqueelreal.Alser

unacargapositivabajouncampoelctricodirigidoverticalmente

haciaabajo,seveafectadaporunafuerzaelectrostticaenlamisma

direccinysentidoquelafuerzagravitatoria.

Estosignificaquelafuerzaelectrostticasesumaalafuerza

gravitatoriaqueproduceelMASy,portanto,lafuerzaresultante

ejercerunaaceleracinresultantemayorquelaejercidanicamente

porlafuerzagravitatoria,yaqueF=ma.

W


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19. Un oscilador armnico se encuentra en un instante determinado

en una posicin que es igual a un tercio de su amplitud A. Determina

para dicho instante la relacin existente entre la energa cintica

y la energa potencial (EC/EP).

Utilizamoslasexpresiones:

E k xP =1

2

2

E E E k A k x k A x C M P= - = - = -1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

Obtenemoslarelacinentreambas:

E

E

k A x

k x

A x

x

A A

A

C

P

/3

/3=

-

=

-

=

-

1

2

1

2

2 2

2

2 2

2

2 2

( )( )

( ))

( )2

2

2

18=

-

=

A

A

1/9

1/9

20. Una partcula describe un movimiento vibratorio armnico de amplitud A

y pulsacin . Si duplicamos a la vez la amplitud y el periodo

del movimiento, cambiar la energa cintica de la partcula cuando

pase por el punto central de la oscilacin? Cambiar su energa

potencial en ese punto? Justifique la respuesta.

Enesteproblema:

E E E k A k x k A x C M P= - = - = -1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

E k xP =1

2

2

Enelpuntocentraldelaoscilacin,x= 0,porloquelaenerga

potencialsersiemprenula.

Enesepunto:

E k AC =1

2

2

Paraelosciladorarmnico:

k m mT

E mT

A

k

= = = w

2

2

2

2

2

24 1

2

4C

Siseduplicanalavezlaamplitudyelperiodo:

E mT

A EC C' = =1

2

4

22

2

2

2

( )( )

Esdecir,laenergacinticanovara.


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21. Una partcula de masa m= 0,1 kg oscila armnicamente en la forma

x=A sen t, con amplitud A= 0,2 m y frecuencia angular

= 2 rad/s.

a) Calcula la energa mecnica de la partcula.

b) Determina y representa grficamente las energas potencial y cinticade men funcin de la elongacin x.

a) Sepuedeobtenerlaenergamecnicadelapartculaapartir

delaexpresin:

E E E k A x k x k AM C P= + = - + =1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

Paraunosciladorarmnico:

k m

E k A

= = =

= =

w 2 2

2

0 1 2 3 95

1

2

1

23 95 0

, ( ) ,

,

N

m

M

,, ,2 7 9 102 2= - J

b) Enestecaso:

E k x k A t

E

P

P

[sen

[se

= = +

=

1

2

1

20 079

2 20

2( )]

,

w f

nn( )]2 2 t

Energapotencial: Energacintica:

E tP sen= 0 079 2, E tC = 0 079 2, cos

0,08

0,04

050 1 2 3 4

EP(J)

t(s)

0,04

00 1 2 3 4 5

0,08

EC(J)

t(s)

E m A t

k A t

C = + =

=

1

2

1

2

2 20

2

2

w w f

w

[cos( )]

[cos( ++

=

f

02

20 079 2

)]

, [cos( )]

E tC


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22. Las lneas siguientes representan la posicin frente al tiempo

para dos mviles con MAS. Obsrvalas y responde:

x

x

t

-x

x'

-x'

0

A

B

a) Cul de los dos mviles tarda ms en completar una oscilacin?

b) Cul de los dos mviles tiene mayor energa mecnica?

c) Suponiendo que los dos mviles tienen la misma masa, cul de ellos

se ve sometido a una mayor fuerza de recuperacin?

a) Losdosmvilestardanelmismotiempoencompletarunaoscilacin.ElperiododelMASsecalculaapartir

delaseparacinentredosmximossucesivosdelagrfica.

Estaseparacinesidnticaenamboscasos.

b) Como:

E E E k A x k x k AM C P= + = - + =

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

resultaquelaenergamecnicaesdirectamenteproporcionalalcuadradodelaamplituddelMAS.Dadoquelaamplitudesmayor

enelcasodelagrficaA,tambinsermayorsuenergamecnica.

Laenergamecnicatambindependedek.Suponemosque

secumpleloqueseindicaenelapartadoc),dedondesededuce

quektieneelmismovalorparaambosmviles.

c) ParaunmvilconMAS,lafuerzaderecuperacinesF k x= - .Enestecaso:

k mT

=

22

Silasmasassoniguales,ambosmvilestienenlamisma

constantedeelasticidad,yaque,comohemosrazonado,

tienenelmismoperiododeoscilacin.

Enlagrficasemuestraque,enunmismoinstante,elvalor

dexdelmvilBesmenorqueeldelmvilA,porloquelafuerza

recuperadoradelmvilAesmayorqueladelBencadainstante.


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23. Las lneas siguientes representan la posicin frente al tiempo

para dos mviles con MAS. Obsrvalas y responde:

A

B

x

x

t

-x

0

a) Cul de los dos mviles tarda ms en completar una oscilacin?

b) Cul de los dos mviles tiene mayor energa mecnica?

c) Suponiendo que los dos mviles tienen la misma masa, cul de ellos

se ve sometido a una mayor fuerza de recuperacin?

a) ElmvilAtardamsencompletarunaoscilacin,yaquelaseparacinentremximosconsecutivosesmayorenestecaso

queenlagrficaB.Estosignificaquesuperiododeoscilacin

esmayory,portanto,tardamsencompletarunaoscilacin.

b) ParaunmvilconMAS,laenergamecnicaes:

E E E k A x k x k AM C P= + = - + =

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( ) [1]

Laconstantekvale:

k mT

=

22

[2]

Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:

E mT

AM = 1

2

22

2

2( )

Suponiendoqueambosmvilestienenlamismamasa(como

seindicaenelapartadoc),ydadoqueambostienenlamismaamplitud(A),laenergamecnicaresultaserinversamente

proporcionalalcuadradodelperiodo.LamasaAtieneunperiodo

deoscilacinmayor,loqueindicaquetieneunaenergamecnica

menorquelamasaB.

c) ParaunmvilconMAS,lafuerzaderecuperacinesF k x= - :

k m

T

=

22


17/36

Sisuponemosquelasmasassoniguales,laconstantedeelasticidad

serinversamenteproporcionalalcuadradodelperiodode

oscilacin.EstosignificaquelaconstanterecuperadoradelamasaA

esmenorqueladelamasaB,yaquetieneunperiodomayor.

Paraunmismox,lafuerzarecuperadoradelamasaAesmenor

queladelamasaB.Observandolagrficavemosque,dependiendodelinstanteconsiderado,laxdelamasaBpuedesermayor,menor

oigualqueladelamasaA.Portanto,nosepuedepredecir,con

carctergeneral,qumasatendrmayorfuerzaderecuperacin.

24. Dos partculas tienen un MAS con la misma frecuencia y amplitud

y se mueven en la misma trayectoria. Si se cruzan en el centro

de la trayectoria, la diferencia de fase entre ellas ser:

a) /2 radianes. d) /4 radianes.

b) radianes. e) /3 radianes.

c) 3/2 radianes.

Larespuestacorrectaeslab),yaqueenunmovimientogobernado

porunafuncinsenoidalestoequivaleaundesfasede180

(invertirelsigno)y,portanto,secruzarnenlosmismospuntos

consentidodeavanceopuesto.

25. Una partcula de masa m, que solo puede moverse a lo largo del eje OX,

se sita inicialmente (t= 0) en la posicin x=x0 y se libera con velocidad

nula. Sobre ella acta una fuerza, dirigida segn el eje OX, F=kx,

donde kes una constante positiva.

a) Qu tipo de movimiento realiza la partcula? Describe analtica

y grficamente cmo dependen del tiempo su posicin, x(t), y su

velocidad, v(t).b) Para m= 0,1 kg, k= 30 N/m y x0= 0,5 cm, calcula las energas

cintica y potencial de la partcula cuando pasa por x= 0.

a) DescribirunMAS,unmovimientooscilatorioaamboslados

delaposicindeequilibrio(x= 0).Lafuerzarecuperadoraser

laqueproduzcalaoscilacin,oponindosealavance

delapartcula.ElmovimientoessiempreenladireccindelejeX,yaquetantoelmovimientodelapartculacomo

lafuerzarecuperadoraactanenesteeje.

Lasecuacionesquedeterminanlaposicinylavelocidad

deunmvilconMASson:

x A t= +cos( )w f0

vdx

dtA t= = - +w w fsen( )0


18/36

Elenunciadoespecificaqueparat= 0,v= 0.

Portanto:

0 0 0 00 0 0= - + = =w f f fA sen sen( )

Elongacin:

-A

A

Tiempo

Velocidad:

Tiempo

0

4

vmx.

-vmx.

-0,4

Ambasgrficassonfuncionessinusoidalesconelmismoperiodo.

Lasdosgrficasestndesfasadas/2.

b) Laenergapotenciales:

E k xP = = =1

2

1

230 0 0

2

Parat= 0,x= 0,5cm:

0,5 cm cm= =A Acos( ) ,w 0 0 5

1

Portanto:

E k A x C J= - = - = -1

2

1

2

30 0 005 0 3 75 102 2 2 4( ) ( , ) ,


19/36

26. Estiramos un resorte 5 cm y lo dejamos oscilar libremente, resultando

que completa una oscilacin cada 0,2 s.

Determina:

a) La ecuacin que nos permite conocer su posicin en funcin del tiempo.

b) La velocidad y la aceleracin a la que estar sometido su extremo librea los 15 s de iniciado el movimiento. Interpreta el resultado.

a) Elmovimientoempiezaenelpuntodemximaelongacin:A = 0,05m.

Apartirdelperiodocalculamoslafrecuenciaangular:

w

= = =2 2

0 210

T , srad/s

Contodosestosdatospodemosexpresarlaposicinenfuncindeltiempocomo:

x A t= +sen( )w f0

Parat= 0,x= A:

A A= + =sen( )w f f

02

0 0

Portanto:

x t= +

0 05 102

, sen m

b) Lavelocidadseobtienederivandolaexpresindelaelongacin


vdx

dt

d A t

dtA t= =

+= +

[ ( )]cos( )

sen w fw w f0 0

v t= +

10 0 05 10 2

, cos m/s

Parat= 15s:

v t( ) , cos= = +

=15 1 571 10 15

2s 0 m/s

Laaceleracinsecalculaderivandolaexpresindelavelocidad


adv

dt

d A t

dtA t= =

+= - +

[ cos( )](

w w fw w f0 2 sen 00 )

a t= - +

( ) ,10 0 05 102

2

sen m/s2

Parat= 15s:

a t( ) ( ) ,= = - +

15 10 0 05 10 152

2s sen

= -49,35 m/s2


20/36

Elvalordelavelocidadescero,porloqueelcuerpoestar

enalgunodelosextremos(elongacinmxima).Elvalor

delaaceleracincorrespondienteeselmximo.Como

laaceleracinesdevalornegativo,resultaqueelresorte

estarprximoasucompresinmxima.

27. Una masa de 20 g realiza un movimiento vibratorio armnico simple

en el extremo de un muelle que realiza dos oscilaciones por segundo,

siendo la amplitud del movimiento 5 cm.

Calcula:

a) La velocidad mxima que llega a alcanzar la masa que oscila.

b) La aceleracin de la masa en el extremo del movimiento vibratorio

armnico.c) La constante del muelle.

a) Calculamoslafrecuenciaangularapartirdelafrecuencia

deoscilacindeterminadaenelenunciado.

n w n

w

= = = =

=

2 ciclos

1 s

2 Hz Hz

rad/s

2 2 2

4

Lavelocidadmximaalaquesemuevelamasapuedeobtenerse

apartirde:

v Amx. = = =w 4 0 05 0 63rad/s m m/s, ,

b) LaaceleracinalaquesemueveelMASsecalculaas:

a x A= - = - = - = -w w 2 2 24 0 05 ( ) ( ,rad/s) m 7,9 m/s2 2

c) Obtenemoslaconstantedelmuelle:

k m= = =w 2 20 02 4 3 16, ( ) ,N

m

28. Un objeto realiza un MAS. Cules de las siguientes magnitudes

son proporcionales entre s?:

a) La elongacin y la velocidad.b) La fuerza recuperadora y la velocidad.

c) La aceleracin y la elongacin.

a) LaexpresindelavelocidadenunMASes:

v A x= -w2 2

Portanto,vyxnosondirectamenteproporcionales.


21/36

b) LaexpresindelafuerzarecuperadoradelMASes:

F m a m x = = - ( )w2

Portanto,lafuerzarecuperadoraylavelocidad

nosonproporcionalesentres.

c) LaexpresindelaaceleracindeunMASes:

adv

dt

d A t

dt

A t

= = +

=

= - +

[ cos( )]

(

w w f

w w

0

2 sen ff w02) = - x

Portanto,laaceleracinylaelongacinsonmagnitudes

directamenteproporcionales.

29. Una partcula que describe un movimiento armnico simple recorreuna distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento, y su aceleracin

mxima es de 48 m/s2. Calcule:

a) La frecuencia y el periodo del movimiento.

b) La velocidad mxima de la partcula.

a) LaaceleracinmximadeunMASsepuedeobtenerapartirde:

a A= w2 .

Siencadaciclorecorre16cm,suelongacinmximaes A= 8cm.

ConestopodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMAS:

a Aa

A= = = =w w2

48

0 0824 5

m/s

mrad/s

,,

Como:

w n nw

= = = =2

2

24 5

2

, rad/s3,9Hz

Elperiodoes:

T= = =1 1

3 9n , Hz0,26 s

b) Lavelocidadmximadeunapartculaes:

v A= = =w 24 5 0 08, ,rad/s m 1,96 m/s

30. Una partcula oscila segn un movimiento armnico simple de 8 cm

de amplitud y 4 s de periodo. Calcula su velocidad y aceleracin

en los siguientes casos:

a) Cuando la partcula pase por el centro de oscilacin.

b) Medio segundo despus de que la partcula haya pasado

por uno de los extremos de la trayectoria.


22/36

PodemosobtenerlafrecuenciaangulardelMASconeldato

delperiodo:

w

= = =2 2

4 2T srad/s

a) Cuandolapartculapasaporelcentrodeoscilacin,laelongacinesnula(x= 0):

v A x= - = - = =w

2 2 2 2

20 08 0

20 08, , 0,126 m/s

a x= - = - =w w2 2 0 0

b) Necesitamosconocerlasexpresionesdex,vyaenfuncin

deltiempo:

x A t= +( )cos w f0Obtengamoslafaseinicial.Suponiendoquecomienza

sumovimientoenlaposicindeequilibrio:t= 0,x= 0:

0 0 02

0 0 0= +( ) = =A cos cosw f f f

rad

Entonces:

x t= +

0 082 2

, cos

m

Derivandolaposicin:

vdx

dt

d A t

dtA t= =

+= - + =

= -

[ cos( )]( )

w fw w f0 0sen

00 08

2 2 2

, +

sen m/st

Ylaaceleracines:

a x t= - = -

+

w

2

2

20 08

2 2, cos

m/s2

Teniendoencuentaelvalordelperiodo,lapartculatarda1s

enllegardesdelaposicindeequilibrioaunextremo.Tenemos

quecalcularx,vyaenelinstantet= 1,5s:

x t( , ) , cos ,= = +

= -1 5 0 08

21 5

2s 0,0

557 m

v t( , ) , ,= = - +

=1 5 0 08

2 21 5

2s sen

00 089, m/s

a t x t ( , ) ( , ) ( ,= = - = -

-1 5 1 5

2

02

2

s sw

0057) = 0,141m/s2


23/36

31. Un cuerpo de masa M= 0,1 kg oscila armnicamente en torno

al origen O de un eje OX. En la figura se representa la aceleracin

de Men funcin del tiempo.

10

5

0

-5

-100 0,1 0,2 0,3 0,4

t(s)

a(m/s2)

a) Determina la frecuencia y la amplitud de oscilacin de M.

b) Determina y representa grficamente la energa cintica de M

en funcin del tiempo.

a) Lafrecuenciadeoscilacindelamasaserlamisma

quelafrecuenciadeoscilacindesuaceleracin.Susperiodosyfrecuenciasangularestambinsoncoincidentes:

T= 0,2s.Portanto:

w

w n

n

w

= = = =

= =

2 2

0 210 2

2

10

T , srad/s

rad/s

22= 5 Hz

Calculamoslaamplitudconeldatodelaaceleracinmxima

delMAS:

a A Amx.2m/s= = = w 2 210 10 10 ( )

A = = =-10

101 013 10 1

2

2

( ),

m ,013 cm

b) LaenergacinticainstantneaenunMASsecorresponde

conlasiguienteexpresin:

E mv m A t C = = 1

2

1

2

2 2 2 2w w[cos( )]

Identificandolostrminosconlosdatosquetenemosseobtiene

laexpresin:

E tC = -

1

20 1 10 1 013 10 10

2 2 2, ( ) ( , ) [cos( )] 22

3 25 06 10 10

E tC J= -

, [cos( )]


24/36

Representacingrfica:

t(s)

EC(J)

0,006

0,004

0,002

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

32. a) En un movimiento armnico simple, cul es la relacin

entre la energa total y la amplitud?b) Un oscilador armnico se encuentra en un momento dado

en una posicin igual a la mitad de su amplitud (x=A/2).

Cul es la relacin entre la energa cintica y potencial

en ese momento?

a) EnunMASlaenergamecnicatotalencadapuntosepuede

obtenerapartirde:

E E E k A x k x k AM C P= + = - + =1

2

1

2

1

2

2 2 2 2( )

Portanto,laenergamecnicatotalesfuncindelcuadrado

delaamplitud.

b) LasenergascinticaypotencialenunMASsepuedencalcular

apartirde:

E k xP =1

2

2

E mv m A x k A x C = = - = -1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 2 2w ( ) ( )

Calculamoslarelacinentreambas:

EE

k A x

kx

A xx

E

E

AA

C

P

C

P

=

-

= -

=

-

1

2

1

2

2

2 2

2

2 2

2

2

( )

=

-

2

2

2

2

11

4

A

A

=

A21

4

3


25/36

33. Supn un mvil que describe un MAS con una amplitud igual a 10 cm

y con una frecuencia de 0,2 Hz. En qu punto de su trayectoria

las energas cintica y potencial coinciden?

Veamoslasexpresionesdelaenergacinticaypotencialenfuncin

delaposicindelMAS:

E k xP =1

2

2

E mv m A x k A x C = = - = -1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 2 2w ( ) ( )

Queremosdeterminarenqupuntoseigualan:

E E k x k A x x A x x AP C= = - = - = 1

2

1

222 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )

xA

= = = =-

2

0 1

2

7 07 102

,,

mm 7,07 cm

34. De dos resortes con la misma constante elstica kse cuelgan sendos

cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitud

que el otro. El cuerpo vibrar con la misma frecuencia? Razone

su respuesta.

Tenemos:

k m mk

m= = =

w n n

2 2

22

4( )

Sededucequelafrecuenciadependedelaconstanteelstica

ylamasa,peronodelalongituddelmuelle.Comolaconstantek

ylamasadeloscuerposeslamisma,lavibracintendrlamisma

frecuenciaaunquevarelalongituddelresorte.

35. A un muelle de constante elstica kle colocamos una masa m0. Al estirarlo

un valor A, comienza a oscilar con una frecuencia angular o pulsacin 0,

teniendo una energa cintica mxima E0 y una velocidad mxima v0.

Si al mismo muelle en lugar de m0 le colocamos una masa 4m0y lo estiramos el mismo valor A, en funcin de 0, E0 y v0, determinar:

a) La nueva frecuencia angular.

b) La nueva energa cintica mxima.

c) La nueva velocidad mxima.

Laexpresinquepermitedeterminarelvalordelaconstanteelsticak

enfuncindelosparmetrosdadosenelenunciadoes:k=mw2.


26/36

Lavelocidadmximaesv= wA,ylaenergacinticadeunMASse

obtienecomoE mvC =1

2

2 ,porloquelaenergacinticamximaser:

E mv m AC = = 1

2

1

2

2 2( )w

a) Definimoslafrecuenciaangularenfuncindelaconstantek:

w w= =k

m

k

m 0

0

Llamamosw'alanuevafrecuenciaangular:

w w''

= = = = k

m

k

m

k

m4

1

2

1

20 00

b) LlamamosE'Calanuevaenergacintica:

E m A m AC' ' '= =

1

2

1

24

1

2

20 0

2

( )w w == =1

20 0

20m A E( )w C

As,laenergacinticamximanohavariado.

c) Llamamosv'alanuevavelocidadmxima,queser:

v A A v ' '= = =w w

1

2

1

20 0

36. Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resorte

de constante elstica k= 72 N m1. Al desplazar el bloque

verticalmente hacia abajo de su posicin de equilibrio comienza a oscilar,

pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m s1.

a) Razone los cambios energticos que se producen en el proceso.

b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilacin.

a) Observamosloscambiosenergticosproducidosenlaoscilacindeun

MASproducidaporunresorte,talycomoseplanteaenelenunciado:

0Mxima

compresin Equilibrio

Mximo

estiramiento

T

4

T

2

-A

A

T

4

EC=0

EP=1

2kA2 EC=

1

2kA2

EP=0

EC=0

EP=

1

2 kA2

3


27/36

Aspues,laenergamecnicatotalesconstante,deacuerdo

conelteoremadeconservacindelaenergamecnica.

EC(x)+EP(x)

EP(x)

EC(x)

+A-A 0x

E

Enelpuntodeequilibriodelosciladorlaenergapotencial

sernula,ylaenergacinticasermximaeigualalaenerga

mecnicatotal.Enlosextremosdelaoscilacinlaenerga

cinticasernulaylaenergapotencialserigualalaenerga

mecnicatotal.

b) Comosepuedeobservarenelgrficodelapartadoanterior,alpasarporelpuntodeequilibriosetienelavelocidad

mximadelMAS,v= wA.Porotraparte,conocemos

elvalordelaconstantedeelasticidaddelresorte,queenfuncin

delafrecuenciaangularpuedeexpresarsecomok=mw2.

Apartirdeesteltimodatoobtendremoselvalordelafrecuencia

angular:

w = = =

k

m

72

0 5

N/m

kg 12 rad/s,

Portanto:

Av

= = =

w

6

12

m/s

rad/s0,5m

37. Un muelle se deforma 12 cm cuando se cuelga de l una partcula

de 2 kg de masa.a) Determina la constante elstica kdel muelle.

b) A continuacin se separa otros 10 cm de la posicin de equilibrio

y se deja oscilar en libertad. Cules son la frecuencia

angular y el periodo de oscilacin en estas condiciones?

c) Escribe la ecuacin de la posicin de la partcula en funcin del tiempo.

(g= 9,81 m/s2.)


28/36

a) Apartirdelpeso:

P m g F k x

km g

x

= - = = -

=

=

=

2 9 8

0 12163

kg m/s

m

2,

,,333

N

m

b) Calculamoslafrecuencia:

k mk

m= = = =w w

2163 33

2

, N/m

kg9,04 rad/s

Yelperiodo:

Tm

k= = =2 2

2

163 33

kg

N/m0,695 s

,

TantolafrecuenciaangularcomoelperiododelaoscilacinsonindependientesdelaamplituddelMAS.

c) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposicin

deelongacinmxima.UtilizamoslaecuacincosenoidaldelMAS,

yaquelafuncincosenoesmximaent= 0.

x A t t = = cos( ) , cos( , )w 0 1 9 04 m

38. Un cuerpo de 200 g de masa est en reposo y colgado de un muellecuya constante elstica es de 5 N/m. Se tira de dicho cuerpo con

una fuerza de 0,3 N y se le abandona libremente. Suponiendo ausencia

de rozamiento:

a) Calcular la amplitud y la pulsacin del movimiento vibratorio.

Proporcionar la expresin matemtica de la ecuacin del movimiento

vibratorio armnico simple (suponer que en t= 0 la constante de fase

es 3/2).

b) Determinar los valores mximos de la velocidad y de la aceleracin

de dicho movimiento vibratorio.

a)Laexpresindelafuerzaenfuncindelaelongacines:

F= kx.Cuandosetiradelcuerpoparaluegoliberarlo,selellevaasuelongacinmxima.Conociendolaconstantedelresorte

ylafuerzaquesehaaplicado(lafuerzaderecuperacinserequivalente,perodesentidocontrario),sepuedeobtenerla

amplitudresultante:

F k A AF

k= = = = =

0 3

50

, N

N/m,06 m 6 cm

Teniendoencuentaque:

k mk

m

= = = =w w2

5

0 2

N/m

kg

5 rad/s

,


29/36

Conlosresultadosobtenidos:

x t= +

0 06 53

2, sen m

b) Secalculanlosvaloressolicitados:

v Amx. rad/s m 0,3 m/s= = =w 5 0 06,

a Amx.2rad/s m 1,5 m/s= = =w2 25 0 06,

39. De un resorte de 40 cm de longitud se cuelga un peso de 50 g de masa

y, alcanzado el equilibrio, la longitud del resorte es de 45 cm. Se estira

con la mano el conjunto masa-resorte 6 cm y se suelta.

Obtener:

a) La constante del resorte.

b) La ecuacin del MAS que describe el movimiento.

c) Deduce la ecuacin de la energa potencial elstica.

(g= 9,8 m/s2.)

a) Comoalcolgarlamasaelconjuntosehaestirado

de40a45cm,resultaquelamasahaproducidounaelongacinde5cm.Conocidaesta,obtendremos

laconstantekapartirdelpeso:

P m g F k x

km g

x

= - = = -

=

=

=

0 05 9 8

0 059

, ,

,

kg N/kg

m,,8 N/m

b) Consideramosqueelmovimientoseiniciaensuposicin

demximaelongacin.Describiremoselmovimientomedianteunafuncincosenoidal,yaquelafuncincosenoesmxima

ent= 0:

x A t= cos( )w

Deacuerdoconelenunciado,laelongacinmximaser

A= 6cm.Calculamoslafrecuenciaangular:

k m

k

m= = = =w w

29 8

0 05

,

,

N/m

kg14

rad/s

Portanto:

x t= 0 06 14, ( )cos m

c) Laenergapotenciales:

E k x k A t P = = = 1

2

1

2

1

29 8 0 06

2 2 2 2[cos( )] , , [cw oos( )]

, [cos( )]

14

1 76 10 14

2

2 2

= -

t

E t

P J


30/36

40. Para el resorte del ejercicio anterior, determina el valor de la velocidad

y la aceleracin cuando se encuentra a 2 cm de la posicin de equilibrio.

Haz un estudio del signo que tendrn estas magnitudes.

Suponemosx>0pordebajodelaposicindeequilibrio(inicio:muelle

estirado).A2cmdelaposicindeequilibrio(pordebajo),x>0.Velocidad:

v A x= - = - =w 2 2 2 214 0 06 0 02 0 79rad/s m m m/s2 2, , ,

Aceleracin:

a x= - = - = -w2 214 0 02 3 92( , ,rad/s) m m/s2

Mxima

compresin

EC=1

2

kA2

EP=0

Elsignodelavelocidadserpositivomientraselmuelle

seestestirando,ynegativomientrasseestcomprimiendo.

Elsignodelaaceleracinserelcontrario:negativocuando

seestestirandoypositivocuandoseestcomprimiendo.

41. Para medir el tiempo construimos un reloj de pndulo formadopor una bola metlica unida a una cuerda. Lo hacemos oscilar de manera

que en los extremos toque unas lminas metlicas.

a) Cul debe ser la longitud de la cuerda si queremos que de un toque

al siguiente haya un intervalo de tiempo de 1 s?

b) Con el tiempo, es muy probable que la cuerda se estire. Significa

esto que nuestro reloj va ms rpido o ms lento?

Dato: suponemos que el pndulo es ideal y que estamos en un lugar

en queg= 9,8 m s2.

Siqueremosqueduntoquecadasegundoylaslminassecolocan

aamboslados,elperiodototaldeoscilacindelpnduloserT= 2s.

Enellibrodelalumnosehadeducidoqueparaunpndulo:

g

LL

g g

T

= = =

=

ww

2

2 2

2

9 8

2

2

, m/s

s

2

= =2 2

9 80

,

m ,993 m

Mximo

estiramiento(inicio)

EC=0EP=

1

2kA2

EC=0

EP=1

2

kA2

A2cmdela

posicin

deequilibrio

(x>0)

-A

0

AEquilibrio


31/36

Larelacinentrelalongituddelhiloyelperiododeoscilacin

delpndulovienedadaporlaexpresin:

TL

g= 2

SiLaumenta,aumentartambinTy,conesto,sermayorlaseparacinentretoquessucesivos.Estosignificaquelavelocidad

disminuyeyelrelojvamslento.

42. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie sin rozamiento

a una velocidad de 3 m/s. En un momento dado impacta con un resorte

y queda unido a l vibrando como un oscilador armnico. Si el muelle

tiene una constante k=

750 N/m, determina:a) La mxima compresin que puede alcanzar el muelle.

b) La velocidad del oscilador cuando se encuentre a la mitad

de la compresin mxima.

a) Laenergacinticadelcuerpoquesedeslizasetransformaenenerga

potencialelsticadelresorte.Laenergacinticainicialcoincide

conlaenergapotencialdelresorteenestadodecompresinmxima.

O

1

2

k

Deacuerdoconelprincipiodeconservacindelaenerga:

E E E E E E E E M M C P C P C P1 2 1 1 2 2 1 2= + = + =

Calculamoslaenergacinticaquetenaelcuerpo

ensumovimiento:

E mvC = = =

1

2

1

25 3 22 5

2 2 kg (m/s) J2 ,

Estaenergacoincideconlaenergapotencialmximadelresorte:

E k A AE

kPmx.

P mx. J

N/m0,2= =

=

=

1

2

2 2 22 5

750

2

,445 m

Lamximacompresinquepuedealcanzarelmuelle

esA= 0,245m.


32/36

b) Lavelocidadsepuedeexpresaras:v A x= -w 2 2 .Apartirdek:

k mk

m= = = =w w2

750

512 25

N/m

kgrad/s,

Entonces:

v A x= - =

= ( ) -

w 2 2

2

12 25 0 2450 245

2, ,

,rad/s m

m

=

2

2,6 m/s

43. Un cuerpo de 5 kg se desplaza sobre una superficie cuyo coeficiente

de rozamiento es 0,2 a una velocidad de 3 m/s. En un momento dado

impacta con un resorte y queda unido a l vibrando como un oscilador

armnico. Si el muelle tiene una constante k= 750 N/m, determina:

a) La mxima compresin que puede alcanzar el muelle.

b) La distancia que recorre el oscilador hasta pararse.

a) Enestecaso,laenergacinticadelcuerpoquesedesliza

seinvierteenenergapotencialelsticayenvencereltrabajo

derozamientomientrassealcanzalacompresinmxima.

O

1

2

k

Elbalanceeselsiguiente:

E E F AC P elstica R= + 1

2

1

2

2 2m v k A mg A = +

1

25 3

1

2750 0 2 5 9 8

2 2 = + A A, ,

22 5 375 9 82

, ,= + =A A A 0,232 mComovemos,debidoalrozamientolaamplitudesmenor

queenlaactividadanterior.

b) Elresorteestaroscilandohastaquetodalaenergacintica

inicialsehayatransformadoentrabajoderozamiento.

Calculamoselespacioqueharecorridoelcuerpo:

1

2

1

2

5 3 0 2 5 9 82 2m v mg s s s = = = , , 2,3 m


33/36

44. La grfica representa la fuerza

que debe hacerse para estirar

un muelle en funcin de su

alargamiento. Cunto vale

la constante recuperadora

del muelle? Cunto trabajo

hay que hacer para estirar el muelle

30 cm a partir de su longitud

natural?

200

00 40

F(N)

L(cm)

DadoqueF= kx,siidentificamosx= Lenlagrfica,resulta

quelaconstanterecuperadoraserlapendientedelamisma:

k= =200

0 4500

N

mN/m

,

Podemoscalculareltrabajocomoladiferenciadeenergapotencial

entreambospuntos.Ensulongitudnatural,laenergapotencial

esnula.A30cmdelaposicindeequilibrio:

E k x WP N/m m 22,5 J= = ( ) = =1

2

1

2500 0 3

22

,

45. Un estudiante dispone de un muelle y de cuatro masas (M), las cuales

suspende sucesivamente del primero y realiza experimentos de pequeas

oscilaciones, midiendo en cada caso el periodo de oscilacin (T).

El estudiante representa los resultados experimentales segn se muestra

en la figura.

0,4

0,3

0,2

0,1

0,00 25 50 75 100 125 150 175 200

T2(s2)

M(g)

Se pide:

a) Determinar la constante elstica del muelle.

b) Justificar fsicamente el comportamiento observado.


34/36

a) Necesitamosdeterminarlapendientedelarectaresultante

delasobservaciones.

Paraello,tomamosdospuntosdelamisma,expresando

lascantidadesenunidadesdelSI:

A(0,05,0,13). B(0,2,0,42).

Lapendienteser:

ay

x= =

-

-=

0 42 0 13

0 2 0 051 933

, ,

, ,,

0,4

0,3

0,2

0,1

0,00 25 50 75 100 125 150 175 200

T2(s2)

M(g)

Tenemosencuentaque:

T

M

k= 2

y= ax + b

T2=42

k M+ 0

Queda:

1 9334 4

1 93320 42

2 2

,,

,= = =

kk N/m

b) Cuandoseestiraelmuelleapareceunafuerzarecuperadora

queleobligaarealizarunmovimientoarmnicosimple.

Comosehadeducidoenellibrodelalumno,elcuadrado

delperiododeoscilacinesdirectamenteproporcional

alamasadelresorte.


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46. Un astronauta realiza un viaje espacial a un planeta del Sistema Solar.

Durante su aproximacin determina, con sus aparatos de telemetra,

el radio de dicho planeta, que resulta ser R= 3,37 106 m. Una vez

en la superficie del planeta utiliza un pndulo simple, formado

por una pequea esfera de plomo y un hilo de 25 cm de longitud,

y realiza el anlisis de sus oscilaciones, variando la amplitud angular

de la oscilacin () y midiendo, en cada caso, el tiempo (t) correspondiente

a 5 oscilaciones completas del pndulo. El astronauta representa

los valores experimentales segn la grfica:

q()

10,0

9,5

9,0

8,5

8,0

7,5

7,00 10 20 30 40 50 60 70 80 90

t(s)

a) Comentar fsicamente los resultados mostrados en la figura.

b) Determinar la masa del planeta.

Dato: G= 6,67 1011 N m2/kg2.

a) Elperiododelpnduloserelacionaconsulongitudyelvalordegenelpuntodondeoscila:

TL

g= 2

Deacuerdoconladeduccinqueserecogeenellibrodelalumno,

elperiodoesindependientedelaamplitudangularsiempre

queestanoexcedade15,yaque,paravaloresmsaltos,

nosecumplelasimplificacinq.senq.

Enlagrficaseobservaqueeltiempoquetardaelpndulo

endarcincooscilaciones(y,portanto,superiodo)aumenta

amedidaqueaumentalaamplitudangular.Paraamplitudes

mayoresde15elmovimientodelpndulodejadeserarmnico.

b) Enlagrficaleemosqueelperiododelpnduloes:

T= =Tiempo

N. de oscilaciones

8,4 s

5 oscilaciones

== 1,68 s


36/36

Conestedatocalculamosgenlasuperficiedelplaneta:

gT

L= = =4 4

1 680 25 3 5

2

2

2

2

( ,, ,

s)m m/s2

Comoseestudieneltema2,elvalordegenlasuperficie

delplanetaes:

g GM

RM

g R

G= =

=

=

-2

2 6 2

11

3 5 3 37 10

6 67 106

, ( , )

,,,55 1020 kg

47. Se construye un pndulo colgando un cuerpo de 1 kg de una cuerda

de 1 m. Se le hace oscilar de manera que el cuerpo llega a subir hasta

una altura de medio metro en la posicin ms elevada. Calcula

la velocidad en el punto ms bajo de las dos formas siguientes:

a) Utilizando el principio de conservacin de la energa.

b) Considerando que describe un MAS.

c) Explica las diferencias que se obtienen entre ambos resultados.

a) Segnelprincipiodeconservacindelaenerga:

E E E E E E E E M A MB C A P A C B P B C A P B= + = + =

TomandocomocerodeenergapotenciallaquetienelabolaenA:

1

2

2 2 9 8 0 5

2mv mgh

v g h

A

A 3,13 m/s

=

= = =

, ,

b) SidescribeunMAS,enelpuntomsbajo

delatrayectoriatendrunavelocidad:

v A

T

Amx. = = w2

Elperiododelpnduloes:

TL

g= = =2 2

1

9 8

m

m/s2 s

2,

CalculamosApormedio

delarelacintrigonomtrica:

A = - =( ( ,1 0 52 2m) m) 0,87 m

Entonces:

vT

Amx.s

m 2,73 m/s= = =2 2

20 87

,

L=1m

1m

A

0,5cm

0,5cm

Movimiento Armonico Simple Selectividad

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