PADRE DE LA NANOTECNOLOGIA

Cuaderno de Actividades: FI

7)Movimiento ArmnicoEs unmovimiento peridico, y vibratorio en ausencia de friccin, producido por la accin de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posicin. Y que queda descrito en funcin deltiempopor una funcin senoidal (senoo coseno). Si la descripcin de un movimiento requiriese ms de una funcin armnica, en general sera un movimiento armnico, pero no un MAS.Aquel movimiento que es posible describir con funcin armnica.

Movimiento ( Armnico: sen, cosMovimiento peridico complejo admite soluciones armnicas. Teorema de Fourier: Usando serie de senos o cosenos para descripcin de movimiento peridicos complejos.El teorema de Fourier establece que una funcin peridica f(t) de perido P=2p/wpuede expresarse como la sumaf(t)=a0+a1coswt+a2cos2wt+...+ancosnwt+...+b1senwt+b2sen2wt+...+bnsen nwt+... Toda onda compleja peridica se puede representar como la suma de ondas simples. Lo anterior es equivalente a decir que podemos construir una onda compleja peridica mediante la suma sucesiva de ondas simples. Esto es lo que se conoce como el Teorema de Fourier.

7.1) Descripcin del movimiento armnico simple, MAS.

Es unmovimiento peridico. Producido por la accin de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posicin.

Cuerpo oscila de un lado al otro de su posicin de equilibrio, en una direccin determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Denominamosmovimientos armnicos simples(MAS)a aquellos en los que la partcula se mueve en lnea recta en torno a un punto de equilibrio y que pueden expresarse mediante una funcin armnica (seno o coseno) de una nica variable. Atleta late 60 veces en 20 si) Descripcin Cinemtica del MAS

Una partcula describe un Movimiento Armnico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posicinxdada en funcin del tiempotpor la ecuacin

x=Asen(t+)

Donde

Aes la amplitud.

la frecuencia angular.

t+la fase. la fase inicial.

La ecuacin del movimiento armnico simple es del tipo:

x(t ) = A sen( t + () o x (t ) = Acos( t + ()

siendo A la amplitud, una constante positiva denominada pulsacin o

frecuencia angular y ( una constante denominada fase inicial. La unidad de pulsacin SI es el radin por segundo, y la de fase inicial el radin.

El argumento de la funcin seno o coseno empleada en la ecuacin del movimiento, t + , se denomina fase. Su unidad SI es el radin.El movimiento armnico simple es peridico. El perodo viene dado por:

y la frecuencia por:

La ecuacin de la velocidad se obtiene derivando la ecuacin del movimiento

respecto del tiempo. Si empleamos la funcin seno en la ecuacin del movimiento se obtiene:

A partir de estas dos ecuaciones, se tiene que:

Las caractersticas de un M.A.S. son:

Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una regin del eje X comprendida entre-Ay+A.

La funcin seno es peridica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2, es decir, cuando transcurre un tiempoPtal que(t+P)+=t++2.

P=2/ Fenomenologa del MAS

(=0

PE

( x(-A 0 x(+A xMovimiento oscilatorio y peridico en torno a la PE (x (0), la oscilacin esta confinada para A ( x ( A,

Cmo debera ser x (t) (? (

Donde,

w: Frecuencia de oscilacin natural del sistema.w = w(k,m(A, (: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.c.i.:(x (0) ( v (0)(Para la velocidad,

(

Para la aceleracin,

(

Estas ecuaciones tambin se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).La proyeccin del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estara reportando un comportamiento cinemtico idntico al MAS. ii)Descripcin Dinmica del MAS La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posicin, esto es,

, c: depende del sistema

F(x) ( x

-A 0 x A Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma MAS.

F = FR = Fs FRes = FR 2da ley, FR ( ma

a ( ( ( v ( ( ( x ( (FR ( F = -k x ( m

m+kx ( 0

+ ( 0

+ w2x ( 0,

W: frecuencia angular (

A,(: c.i.X: Posicin

ElongacinA: Amplitud

(: Desfasaje7.2) Casos especiales de MASi) Sistema m-k

PE

m k ( =0

1)

1)

PE

2) k

d

m PE PE

PE

k o m d o (

3)

Siempre el MAS se observar de la PE (caso 1) y de las PE (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular informacin entre sistemas coordenados de Os en PE ( PE, donde la conexin ser d, la cual se obtiene del equilibrio de m.

Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE (2,3).ii) Sistema lg O O

g

t

g (

l

wt ( PE n

PE

(: describe la posicin

wt ( w sen(( FRes ( wt ( -mg sen(

(: pequeo( sen( ((( F ( -mg(, FRes ( - cx

FR,t ( mat

( ((t) ( (m sen(wt + (( ; (m ( A(, . ( : desfasajeAhora, si la descripcin ha de darse en los s, usando s ( l(,( ; ,

iii) Pndulo Fsico

Es un CR pendular,

CR 0

PE

0

C

( PE

produce un ( restaurador que debe llevar al CR a la PE,( ( - r w sen(, w ( mg

(: pequeo ( ( = - r w ( ( Sen( ( (

( O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),

EMBED Equation.DSMT4 ,

(( (t( ( (m sen (wt + ((

iv) Pndulo de Torsin

Parapequeas torsiones, la varilla ejerce una torca sobre el disco dada por:

INCLUDEPICTURE "http://ce.azc.uam.mx/profesores/navarrete/dinamica/Teoriadinamica/oscilaciones_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET ,dondees la constante de torsin de la varilla.Entonces para el movimiento del disco en variables angulares se tiene:

INCLUDEPICTURE "http://ce.azc.uam.mx/profesores/navarrete/dinamica/Teoriadinamica/oscilaciones_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET ,Dnde:

INCLUDEPICTURE "http://ce.azc.uam.mx/profesores/navarrete/dinamica/Teoriadinamica/oscilaciones_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://ce.azc.uam.mx/profesores/navarrete/dinamica/Teoriadinamica/oscilaciones_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET ,

INCLUDEPICTURE "http://ce.azc.uam.mx/profesores/navarrete/dinamica/Teoriadinamica/oscilaciones_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://ce.azc.uam.mx/profesores/navarrete/dinamica/Teoriadinamica/oscilaciones_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET ,

INCLUDEPICTURE "http://ce.azc.uam.mx/profesores/navarrete/dinamica/Teoriadinamica/oscilaciones_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://ce.azc.uam.mx/profesores/navarrete/dinamica/Teoriadinamica/oscilaciones_archivos/empty.gif" \* MERGEFORMATINET .0yw0son la posicin y velocidad angular dement=0e Ies el momento de inercia del disco.

A 0 0

P ( P

PE PE

Debido a la torsin en la varilla vertical (segn el eje del disco) se producir un torque restaurador proporcional a ( (para pequeos (s) de tal forma que:(restaurador ( ( ( - k(

(k: constante de torsin (de la varilla)

Analoga: k ( k (resorte) (FRes = - kx(

( O: punto fijo.

( ;

(((t) ( (m sen(wt + (( ( ,

7.3) Energa en el MAS

i) Energa Cintica, Ek

Si x(t) ( A sen (wt + ((v(t) ( (t) ( Aw cos(wt + ((

ii) Energa Potencial (Elstica), Ep,el

; x : posicin ( deformacin , 0 ( PE

iii) Energa Mecnica, EM EM ( Ek + Ep ( cte ( sistemas MAS,

(mw2 = k

( En particular sistema mk

Grficos:i) Ek Ek

0 T t

Ek -A 0 +A x

ii) Ep Ep

0 T t

Ep x

0 Observaciones:En los casos de sistemas m k donde se tenga una contribucin gravitacional, la EM deber considerarse,EM ( Ek + Ep,el +Ep,g ( PE

EM ( Ek + Ep,el ( PE

7.4) Oscilaciones amortiguadasSe considerara medios de amortiguacin modelables mediante la velocidad, esto es, la fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas fsicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.

f: fuerza de friccin

f ( a + bv + cv2 +

0

x ( f (v)

Ahora, para describir el sistema planteamos la 2 ley,

( MAAComparaciones: ( MASm k :

l g :

PF :

PT :

1) Caso de inters: wb < wr

Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)

A ( A(0) ( amplitud inicial

: Frecuencia de oscilacin

La ecuacin se interpreta como una parte oscilatoria y una modulacin de la oscilacin dada por el factor exponencial.

( w del resorte, ( w del medio. X A

0 t

2) Caso cuando wb ( wr, Movimiento crticamente amortiguado, x

t3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado, x

tEjemplo:

Sea una oscilacin amortiguada de frecuencia angular propia0=100 rad/s, y cuya constante de amortiguamiento=7.0 s-1. Sabiendo que la partcula parte de la posicinx0=5 con velocidad inicial nula,v0=0, escribir la ecuacin de la oscilacin amortiguada.

La frecuencia angular de la oscilacin amortiguadaes:

5=Asen0=sen+ AcosLa ecuacin de la oscilacin amortiguada es

x=5.01exp(-7t)sen(99.75t+1.5)

Como vemos la amplitudAno es 5 ni la fase iniciales /2, como en lasoscilaciones libres

S7P5) Un oscilador armnico simple amortiguado tiene ( = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,

a)Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento dbil?

b)Determine el valor ( para el movimiento amortiguado dbil.

c)Escriba la ecuacin de movimiento si para t = 0 tiene una amplitud de 0,5 m.

SOLUCION:

( = 0, 11 kg/s (=b)MAAk = 180 N/m

m= 0, 31 kg

Oscilador armnico amortiguado

Wb < w0 ( wkOscilador crticamente amortiguado

Wb ( w0Oscilador sobreamortiguado

Wb > w0

en donde

a)

(;

( wb < w0 ( wk :MAAb)

((15c)

x(0) = 0,5

X A

0 t

7.6) Oscilador armnico forzado y resonancia

Como es bien sabido, ningn sistema fsico podra librarse de la accin de la fuerza de friccin (factor de amortiguamiento, b(r), por lo tanto, para mantenerlo activo se requiere de la intervencin de una fuerza externa al sistema, esto es, se debe considerar la accin de una fuerza externa impulsora,.

Supongamos que la fuerza externa est dada por,

Aplicando la 2da Ley de Newton,

,

La solucin estacionaria de esta ecuacin diferencial es,

Este resultado muestra resonancia en la amplitud del movimiento para una frecuencia de la fuerza externa , dependiendo tambin la forma de la curva de resonancia del parmetro de amortiguamiento, b, tal como se aprecia en la figura siguiente (,.

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw? Como se producira la resonancia por energa.

TRANSFERENCIA DE ENERGA POR RESONANCIA

Trasferencia de energa entre dos pndulos simples.

Cuando hacemos oscilar un pndulo, se trasfiere energa al otro pndulo, cuando el primero, se para, el otro pndulo adquiere la energa mxima transferida y cuando el segundo pndulo reduce su energa el otro la va aumentando.

Esta energa transferida, depende de la masa del pndulo, la amplitud de oscilacin y la longitud de la cuerda de la que cuelga el pndulo.

Si colocamos otro pndulo con una longitud de cuerda diferente, veremos que mientras los otros dos pndulos, siguen transmitindose la energa, el tercero en discordia, es decir, el que tiene la cuerda con la longitud ms corta, no se mueve. Esto es debido a que en un sistema oscilante, para que exista trasferencia de energa, los pndulos tienen que ten es las mismas caractersticas temporales, es decir, el mismo periodo, frecuencia y pulsacin, y esta depende de la longitud de la cuerda.

Cuando esto sucede, se dice que los dos pndulos estn en resonancia.

S7P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:

a)El desplazamiento en funcin del tiempo.

b)La velocidad cuando x = +A/2.

c)La aceleracin cuando x = + A/2.

d)Cul es la fuerza sobre el bloque cuando t = (/15 s?

SOLUCIN:

a) x(t) = A sen (wt + ()( x(0) = A sen (w(0) + ()=Asen(()=+0,05

v(t) = Aw cos (wt + ()( v(0) = Aw cos (w(0) + ()= Aw cos (()= 0

De la ltima Ec ( = (/2 {la v (-) para t ( 0} ( A=0,05

( x(t) = 0,05 sen (10t + (/2)

( v(t) = 0,5 cos (10t + (/2)

Observen la consistencia de tomar ((=()= (/2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema cerca de 0, tanto para x como para v. Que ocurre si tomamos ((=()= 3(/2?b) Recordando la relacin v-x

c) Recordando la relacin a-x

d) FR= FRES ( -kx= -k A sen (wt + ()= -(200)(0,05) sen (10t + (/2)=?

(( F (+)! veamos

FR (t=(/15) = -10 sen (10{(/15} + (/2) ( (-10) (-0, 5) = +5S7P52) Una partcula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) Con que amplitud oscila la partcula?, b) Cual es la ecuacin de movimiento para la partcula? (Elija la direccin hacia arriba como positiva).SOLUCIN:

g

k

v(0)

m

t =0 X x(0)=0 v(0)

v(0)

Nos proporcionan directamente la , las condiciones iniciales son,

Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),

a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuacin para la A, en particular para t=0,

Reemplazando datos,

b) La ecuacin para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),

Para t=0 y vecindades,

Para satisfacer x(0)=0, , el valor correcto es , con lo cual las ecuaciones quedan,

g

k

+

X = 0 m -S7P4) En el sistema mostrado en la figura

Obtenga la expresin de la energa mecnica para todo instante de tiempo t.

Si: X = A cos (w0 t + ()

g: aceleracin de la gravedad

SOLUCION:

PE

0

d

PE 0 x

x

X, XEn

Desde 0:

Esta ecuacin nos dice que desde 0 se observara MAS de frecuencia

. Ahora, debido a que la fuerza resultante es , cuando se

escriba la EM desde 0 solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,

como la , es una fuerza elstica conservativa, solo tendr asociada

una energa potencial elstica, por lo tanto,

S7P32)

(s

B

k

PUna placa P hace un movimiento armnico simple horizontal sobre una superficie sin friccin con una frecuencia ( = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de friccin esttico entre el bloque y la placa es (s = 0,6 Cul es la mxima amplitud de oscilacin que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?

SOLUCIN:

a

m

Fres M

0

a

fS,M ( (s mg

FRES FR ( FRES -(s mg

DCL (M):De las ecuaciones anteriores,

(

S7P6)

k

R

MEn la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para pequeos desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogneo rueda sin deslizar, considere, M( masa del disco,

R ( radio del disco y k ( constante del resorte.

t

M

k

0 FR

P

0 oSOLUCIN:

x pequeo ( MAS , w0 = ?

x = s = R(P // CM : ( = I (

k

r

(S7P33) Un cilindro de peso W y radio r est suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda est unido directamente a un soporte rgido mientras que el otro extremo est unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ngulo ( y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema.

SOLUCION:

P

x

P

0 O T kx x O

X ( w P P

() De la dinamica rotacional,

Por la rodadura:

De la dinmica traslacional,

Usando nuevamente la rodadura,

De 1 y 2,

1)De la rodadura:

2)2) ( 1):

3)Sea

cos

sen

Movimientos periodicos

EMBED Equation.DSMT4

PAGE 209

Mg. Percy Vctor Caote Fajardo

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