Momento de torsión y equilibrio rotacional - .5.2 El brazo de palanca 95 (b) Figura 5.1 (a) Hay

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  • Puente Golden Gate:Los ingenieros mecnicos deben asegurarse de que todas las fuerzas y momentos de torsin estn equilibrados en el diseo y la construccin de los puentes.(Foto vol. 44 PhotoDisc/ Getty.)

    Momento de torsin y equilibrio rotacional

    93

  • 9 4 Captulo 5 M om ento de torsin y equilibrio rotacional

    ObjetivosC uando te rm ine de estud ia r este captu lo el a lum no:

    1. Ilustrar m ed ian te e jem p los y de fin ic iones su com prensin de los t rm inos brazo de palanca y m om ento de torsin.

    2. Calcular el m om en to de to rs in resu ltante respecto a cua lqu ie r e je, dadas las m agn itudes y posic iones de las fuerzas que actan sobre un o b je to a largado.

    3. D eterm inar las fuerzas o distancias desconocidas ap licando la prim era y segunda cond ic iones de equ ilib r io .

    4. D efin ir cen tro de gravedad y dar e jem p los de d icho concep to .

    En los captulos anteriores nos hemos referido a las fuerzas que actan en un solo punto. Existe un equilibrio traslacional cuando la suma vectorial es cero. Sin embargo, en muchos casos las fuerzas que actan sobre un objeto no tienen un punto de aplicacin comn. Este tipo de fuerzas se llaman no concurrentes. Por ejemplo, un mecnico ejerce una fuerza en el maneral de una llave para apretar un perno. Un carpintero utiliza una palanca larga para extraer la tapa de una caja de madera. Un ingeniero considera las fuerzas de torsin que tienden a arrancar una viga de la pared. El volante de un automvil gira por el efecto de fuerzas que no tienen un punto de aplicacin comn. En casos como stos, puede haber una tendencia a girar que se define como momento de torsin. Si aprendemos a medir y a prever los momentos de torsin producidos por ciertas fuerzas, ser posible obtener los efectos rotacionales deseados. Si no se desea la rotacin, es preciso que no haya ningn momento de torsin resultante. Esto conduce en forma natural a la condicin de equilibrio rotacional, que es muy importante en aplicaciones industriales y en ingeniera.

    ' V i U Condiciones de equilibrioCuando un cuerpo est en equilibrio, debe encontrase en reposo o en estado de movimiento rectilneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton, lo nico que puede cambiar dicha situacin es la aplicacin de una fuerza resultante. Hemos visto que si todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo tienen un solo punto de interseccin y si su suma vectorial es igual a cero, el sistema debe estar en equilibrio. Cuando sobre un cuerpo actan fuerzas que no tienen una lnea de accin comn, tal vez exista equilibrio traslacional pero no equilibrio rotacional. En otras palabras, quiz no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando. Al estudiar el equilibrio debemos tomar en cuenta el punto de aplicacin de cada fuerza adems de su magnitud.

    Considere las fuerzas que se ejercen sobre la llave de tuercas de la figura 5.1a. Dos fuerzas F iguales y opuestas se aplican a la derecha y a la izquierda. La primera condicin de equilibrio nos dice que las fuerzas horizontales y verticales estn equilibradas; por lo tanto, se dice que el sistema est en equilibrio. No obstante, si las mismas dos fuerzas se aplican como indica la figura 5.1b, la llave de tuercas definitivamente tiende a girar. Esto es cierto incluso si el vector que resulta de la suma de las fuerzas sigue siendo cero. Es obvio que se requiere una segunda condicin de equilibrio que explique el movimiento rotacional. Un enunciado formal de esta condicin se presentar posteriormente, aunque antes es necesario definir algunos trminos.

    En la figura 5.1b, las fuerzas F no tienen la misma lnea de accin.

    La lnea de accin de una fuerza es una lnea im aginaria que se e x tiende in d e fin id a m e n te a lo largo del ve c to r en am bas d irecciones.

    Cuando las lneas de accin de las fuerzas no se intersecan en un mismo punto, puede haber rotacin respecto a un punto llamado eje de rotacin. En nuestro ejemplo, el eje de rotacin es una lnea imaginaria que pasa a travs del perno en direccin perpendicular a la pgina.

  • 5.2 El brazo de palanca 95

    (b)Figura 5.1 (a) Hay equilibrio puesto que las fuerzas tienen la misma lnea de accin, (b) No hay equilibrio porque las fuerzas opuestas no tienen la misma lnea de accin.

    i, E! brazo de palancaLa distancia perpendicular del eje de rotacin a la lnea de accin de la fuerza se llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Por ejemplo, si se ejerce una fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, gradualmente ser ms fcil hacer girar la rueda en relacin con su centro. (Vase la figura 5.2.)

    El brazo de palanca de una fuerza es la d istancia pe rpe nd icu la r que hay de la lnea de accin de la fuerza al eje de rotacin.

    Si la lnea de accin de la fuerza pasa por el eje de rotacin (punto A de la figura 5.2), el brazo de palanca es cero. Se observa que no hay efecto rotacional, independientemente de la

    I A | B c 1

    \ Ii Fi if A

    \\ \ J m\ \X v

    Figura 5.2 La fuerza no equilibrada F no produce ningn efecto rotacional sobre el punto A, pero cada vez es ms eficaz a medida que aumenta su brazo de palanca.

  • 96 Captulo 5 M om ento de torsin y equilibrio rotacional

    La Estacin Espacial Internacional se mont usando una versin de alta tecnologa de un taladro inalmbrico.La herramienta con empuadura de pistola, o PGT, que funciona con bateras, puede contar el nmero de vueltas y limitar la cantidad de momento de torsin aplicado a un perno.La NASA exige a los diseadores usar slo un tipo de perno, uno que puedan agarrar fcilmente los astro-nautas en sus trajes de EVA (extravehicular activity).

    Momento de torsijjpj gativo

    o

    (a)

    fvom tocle

    (c)Figura 5.3 Ejemplos de brazos de palanca r.

    Momento de torsin positivo

    (d)

    magnitud de la fuerza. En este sencillo ejemplo, los brazos de palanca en los puntos B y C son simplemente la distancia de los ejes de rotacin al punto de aplicacin de la fuerza. Sin embargo, hay que notar que la lnea de accin de la fuerza no es ms que una sencilla construccin geomtrica. El brazo de palanca se traza perpendicular a esta lnea. Puede ser igual a la distancia del eje al punto de aplicacin de la fuerza, pero esto es cierto slo cuando la fuerza aplicada es perpendicular a esta distancia. En los ejemplos de la figura 5.3, r representa el brazo de palanca y O, el eje de rotacin. Estudie cada ejemplo, observando cmo se trazan los brazos de palanca y razonando si la rotacin es en el mismo sentido o contraria al avance de las manecillas del reloj con respecto a O.

    Momento de torsinSe ha definido la fuerza como un tirn o un empujn que tiende a causar un movimiento. El momento de torsin r se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional. En algunos textos se le llama tambin momento de fuerza .* Como ya hemos visto, el movimiento rotacional se ve afectado tanto por la magnitud de una fuerza F como por su brazo de palanca r. Por tanto, definiremos el momento de torsin como el producto de una fuerza por su brazo de palanca.

    Momento de torsin = fuerza X brazo de palanca

    t = Fr (5.1)

    Es preciso entender que en la ecuacin (5.1) r se mide en forma perpendicular a la lnea de accin de la fuerza F. Las unidades del momento de torsin son las unidades de fuerza por distancia, por ejemplo, newton-metro (N m) y libra-pie (Ib ft).

    Ya antes se estableci una convencin de signos para indicar la direccin de las fuerzas. La direccin del momento de torsin depende de si ste tiende a producir la rotacin en el sentido de avance de las manecillas del reloj, o sentido retrgrado (sr), o en direccin contraria a ellas o sentido directo (sd). Seguiremos la misma convencin que para medir ngulos. Si la fuerza F tiende a producir una rotacin contraria a la de las manecillas con respecto a un eje, el momento de torsin se considerar positivo. Los momentos de torsin en el sentido de avance de las manecillas del reloj se considerarn negativos. En la figura 5.3, todos los momentos de torsin son positivos (sd), excepto el correspondiente a la figura 5.3a.

    * En algunos textos, al momento de torsin tambin se le llama torque o torca. (N. del R. T.)

  • 5.3 M om ento de torsin 97

    Se ejerce una fuerza de 250 N sobre un cable enrollado alrededor de un tambor de 120 nim de dimetro. Cul es el momento de torsin producido aproximadamente al centro del tambor?

    Plan: Trace un esquema, como el de la figura 5.4, y extienda la lnea de accin de la fuerza. Determine el brazo de palanca r y luego encuentre el momento de torsin de la ecuacin (5.1).

    Solucin: Observe que la lnea de accin de la fuerza de 250 N es perpendicular al dimetro del tambor; por lo tanto, el brazo de palanca es igual al radio del tambor.

    D 120 mmr = = ----------- o r = 60 mm = 0.06 m

    2 2

    La magnitud del momento de torsin se obtiene a partir de la ecuacin (5.1).

    r = Fr = (250 N)(0.06 m) = 15.0 N m

    Finalmente, determinamos que el signo del momento de torsin es negativo porque tiende a causar una rotacin aproximadamente al centro del tambor. Por tanto, la respuesta debe escribirse como

    r = 15.0 N m

    Figura 5.4 Fuerza tangencial ejercida por un cable enrollado alrededor de un tambor.

    Un mecnico ejerce una fuerza de 20 Ib en el extremo de una llave inglesa de 10 in, como se observa en la figura 5.5. Si este tirn forma un ngulo de 60 con el mango de la llave, cul es el momento de torsin producido en la tuerca?

    Plan: A partir del esquema ordenado, determinaremos el brazo de palanca, multiplquelo por la magnitud de la fuerza y luego asigne el signo adecuado segn la c