9 dinamica rotacional

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  • DINMICA DE ROTACIN DINMICA

    ROTACIONAL

  • MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

    TRASLACION Por traslacin entendemos al movimiento en el que lodos los puntos del cuerpo se mueven en la misma direccin, con la misma velocidad y la misma aceleracin en cada instante.

    El movimiento de traslacin del cuerpo rgido es como si toda su masa estuviera concentrada en el centro de masa y las fuerzas externas actuaran sobre l.

  • MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

    ROTACION Es el movimiento en que uno de los puntos se considera fijo. S se considera fijo un punto, el nico movimiento posible es aquel en el que cada uno de los otros puntos se mueve en la superficie de una esfera cuyo radio es la distancia del punto mvil al punto fijo. Si se consideran dos puntos fijos, el nico movimiento posible es aquel en que todos los puntos con excepcin de aquellos que se encuentran sobre la lnea que une los dos puntos fijos, conocida como EJE, se mueven en circunferencias alrededor de ste.

  • MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTCULA

    Se define momento angular de una partcula como el producto vectorial del vector posicin r por el vector momento lineal mv

    L = r x p L = r x mv

  • Las partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin, con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen

    vi = ri

    El mdulo del vector momento angular es:

    Li = rimivi

    MOMENTO ANGULAR DE UN SLIDO RGIDO

  • El momento angular de todas las partculas del slido es:

    MOMENTO ANGULAR DE UN SLIDO RGIDO

    La proyeccin Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotacin es :

    El trmino entre parntesis se denomina momento de inercia :

  • Para estos ejes podemos relacionar el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma direccin, la del eje de rotacin

    L=I

    MOMENTO ANGULAR DE UN SLIDO RGIDO

    El momento de inercia no es una cantidad caracterstica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posicin del eje de rotacin. El momento de inercia es mnimo cuando el eje de rotacin pasa por el centro de masa.

    Es importante darse cuenta que el momento de inercia depende de la distribucin de la masa del cuerpo.

  • = dmrI 2MOMENTO DE INERCIA

    lineal densidad=Lm dxdm =

    lsuperficia densidad=Am dAdm =

    aVolumtric densidad=Vm dVdm =

  • De qu depende el momento de inercia de un cuerpo? 1. De la posicin del eje de rotacin.

    a) Verdadero b) Falso 2. De la velocidad angular del cuerpo.

    a) Verdadero b) Falso 3. De la momento resultante de las fuerzas aplicadas al cuerpo.

    a) Verdadero b) Falso 4. De la aceleracin angular.

    a) Verdadero b) Falso

    Pregunta 1:

  • De los siguientes objetos que tienen la misma masa, cul tiene mayor momento de inercia respecto al eje indicado?

    Pregunta 2:

  • En qu grafica resulta ms fcil poner a girar el sistema?

    Pregunta 3:

  • MOMENTO DE INERCIA DE UN CILINDRO

    ( )dVrdmrdI 22 ==

    == dVrdII 2( )rdrLrI 22=

    drrLI = 32

    42

    42

    4

    20

    4 RLLR

    MrLIR

    ==

    2

    21 MRIC =

    Cilindros, Poleas, discos

  • MOMENTO DE INERCIA DE UN ANILLO

  • TEOREMA DE LA FIGURA PLANA

    El momento de inercia de una figura plana con respecto a un eje perpendicular a la misma es igual a la suma de los momentos de inercia de la figura plana con respecto a dos ejes rectangulares en el plano de la figura los cuales se intersecan con el eje dado.

  • Determinar el momento de inercia del sistema mostrado en la figura, las masas son puntuales unidas por varillas rgidas de masa despreciable. Asuma que el eje pasa por la masa m y es perpendicular al plano del papel.

    Problema 1:

  • TEOREMA DE STEINER

    El teorema de Steiner es una frmula que nos permite calcular el momento de inercia de un slido rgido cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

  • Determinar el momento de inercia de una varilla delgada rgida de longitud L y masa m. a) Con respecto al centro de masa. b) Con respecto a un extremo

    Problema 2:

  • Solucin (Literal a):

  • Solucin (Literal b):

  • Para un cilindro hueco uniforme de longitud L, con radio interior R1 y radio exterior R2, determinar el momento de inercia alrededor del eje de simetra del cilindro.

    Problema 3:

  • Una barra de longitud L y masa M puede girar en uno de sus extremos. En el otro se encuentra pegado una esfera de radio R y masa m como se muestra en la figura. Calcule el momento de inercia del sistema respecto a o?

    M=2 kg

    m=2 kg

    L=1 m

    R=0.25 m

    Tarea:

  • Energa Cintica de Rotacin

    Las partculas del slido describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen: vi= ri .

    ( )2221

    21

    iiiii rdmvdmdK ==

    ( ) 2221 = ii dmrK

    2

    21 IKRot =

  • Un cable ligero, flexible y que no se estira est enrollado varias vueltas en el tambor de un malacate, un cilindro slido de 50kg y 0.120m de dimetro , que gira sobre un eje fijo horizontal montado en cojinetes sin friccin , tal como se muestra en la grfica adjunta. Una fuerza constante de magnitud 9.0N tira del extremo libre del cable a lo largo de una distancia de 2.0m. El cable no resbala, y hace girar al cilindro al desenrollarse. Si el cilindro estaba inicialmente en reposo, determinar su rapidez angular final y la rapidez final del cable. Asuma que el cable es ligero y que slo el cilindro tiene energa cintica.

    Problema 4:

  • En un experimento de laboratorio para probar la conservacin de energa en el movimiento rotacional, se enrolla un cable ligero y flexible en un cilindro slido de masa M y radio R. El cilindro gira con friccin despreciable sobre un eje horizontal estacionario. Se ata al extremo libre del cable un objeto de masa m y se suelta el objeto sin velocidad inicial a una altura h sobre el piso. Al caer el objeto, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar el cilindro. Determinar la rapidez del objeto que cae y la rapidez angular del cilindro justo antes de que el objeto golpee al piso.

    Problema 5:

  • Es la medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotacin de un cuerpo. Se define momento de torsin o momento de una fuerza F respecto a O como el producto de dicha fuerza y el brazo (distancia perpendicular entre la lnea de accin de la fuerza y O). Su unidad en S.I. es: Nm (no Joules). Siempre se debe escoger un sentido de rotacin como referencia para colocar signos.

    Momento de torsin

    Fr

    =

  • Ejemplo:

  • Para un cuerpo rgido entero se tiene una ecuacin anloga rotacional a la segunda ley de Newton. El momento de torsin neto que acta sobre un cuerpo rgido es igual al momento de inercia del cuerpo alrededor de su eje de rotacin multiplicado por su aceleracin angular. La sumatoria de torques slo incluye los momentos de torsin de fuerzas externas.

    Momento de torsin y aceleracin angular de un cuerpo rgido

    = I zz z : debe ser medida en rad/s2

  • Problema 6: Un cable ligero, flexible y que no se estira est enrollado varias vueltas en el tambor de un malacate, un cilindro slido de 50kg y 0.120m de dimetro, de tal forma que el cilindro gira sobre su eje. Se tira del cable con una fuerza de 9.0N. Suponiendo que el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, determinar la aceleracin del cable.

    Atencin: La fuerza neta sobre el cilindro debe ser cero porque su centro de masa no se mueve.

  • Se enrolla un cable ligero y flexible en un cilindro slido de masa M y radio R. El cilindro gira con friccin despreciable sobre un eje horizontal estacionario. Se ata al extremo libre del cable un objeto de masa m y se suelta el objeto sin velocidad inicial a una altura h sobre el piso. Al caer el objeto, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar el cilindro. Determinar la aceleracin del objeto de masa m.

    Problema 7:

  • Un deslizador de masa m1 se mueve sin friccin sobre un riel de aire horizontal , sujeto a un objeto de masa m2 con un hilo sin masa. La polea es un cilindro hueco delgado (con rayos sin masa) de masa M y radio R, y el hilo la gira sin resbalar ni estirarse. Determinar la aceleracin de cada cuerpo, la aceleracin angular de la polea y la tensin en cada parte del hilo.

    Problema 8:

  • Se puede extender el anlisis de la dinmica del movimiento rotacional a algunos casos en los que el eje de rotacin se mueve: traslacin y rotacin combinados. Traslacin del centro de masa y rotacin alrededor de un eje que pasa por el centro de masa Esto se cumple aun si el centro de masa se acelera, de modo que no est en reposo en ningn marco inercial. Ejemplos: pelota rodando cuesta abajo, un yoyo que se desenrolla. Un caso importante: rodar sin deslizar.

    Rotacin de un cuerpo rgido sobre un eje mvil

    22

    21

    21 cmcm IMvK +=

    Cuerpo rgido traslacin y rotacin

  • Un caso importante es el de rodar sin deslizar. Aqu el punto de la rueda q