CLASE DE DINAMICA

REALIZADO POR:ING. ROMEL VALENZUELAING. FERNANDO LEIVA CLASE 8

Vibraciones libres Amprtiguadas con un solo grado de libertad

Cualquier sistema físico con movimiento tiene presente fuerzas friccionantes o de amortiguamiento, estas fuerzas forman mecanismos que disipan o transforman la energía mecánica en otra forma de energía, como por ejemplo el calor

Estas fuerzas disipativas son proporcionales a la magnitud de la velocidad y opuesta a la dirección del movimiento, este tipo de amortiguamiento se denomina amortiguamiento viscoso.

C= coeficiente de amortiguamiento viscoso

Aplicando la 2da ley de Newton :

Diagrama de cuerpo Libre

퐹 = 푚푎

퐹 푡 − 푘푥 − 푐푣 = 푚푎

푚푎 + 푘푥 + 푐푣 = 퐹(푡)Ecuación fundamental de la dinámica estructural para el caso amortiguado

Sujeto a las condiciones iniciales

푥 푡 = 0 = 푥

푣 푡 = 0 = 푣

퐹 푡 = 0

푚푎 + 푘푥 + 푐푣 = 0

푎 +푘푚푥 +

푐푚푣 = 0

휔 =푘푚

푎 +푘푚 푥 +

2푐2푚 푣 = 0

Se define :

훽 =푐2푚

푎 + 휔 푥 + 2훽푣 = 0

푑 푥푑푡 + 휔 푥 + 2훽푣 = 0

La solución de la ecuación diferencial es de la forma:

푥 푡 = 퐶푒

C y u son constantes

푣 푡 = 퐶 푢 푒

푎 푡 = 퐶 푢 푒

Sustituyendo en:

푎 + 휔 푥 + 2훽푣 = 0

퐶 푢 푒 + 휔 퐶푒 + 2훽퐶 푢 푒 =0

Cancelando el factor común :

퐶 푒 = 0

푢 + 2훽 푢 + 휔 = 0

Ecuación Característica

Como la Ecuación Característica es una ecuación lineal

푢 , = −푢 ± 훽 − 휔

La solución de la ecuación diferencial es:

푥 = 퐶 푒 + 퐶 푒

Donde C1 y C2 son cte de iteración determinadas de las condiciones iniciales

Sin embargo la forma de la ecuación depende de:

훽 − 휔

Caso II Sistema con amortiguamiento Critico

훽 − 휔 =0

Caso I Sistema sub amortiguado

훽 − 휔 < 0

Caso III Sistema con Sobre amortiguamiento

훽 − 휔 > 0

Caso I ( Sistema sub amortiguado)

훽 − 휔 < 0

Es decir que el Valor del radical es negativo y las raíces de la ecuación característica es compleja

휔 = 푓푟푒푐푢푒푛푐푖푎 푛푎푡푢푟푎푙 푑푒푙 푠푖푠푡푒푚푎

휔 = 휔 − 훽 > 0

훽 − 휔 = −1(휔 − 훽 )

−1 휔 = 푖휔

푢 , = −훽 ± 푖휔

Evaluando la ecuación para los valores de u1 y u2

푥 = 퐶 푒 + 퐶 푒푥 = 퐶 푒 + 퐶 푒

푥 = 퐶 푒 + 퐶 푒( )

푥 푡 = 푒 ∗ 퐶 푒 + 퐶 푒

Utilizando la formula de Euler que relaciona las ecuaciones exponenciales y trigonométricas de la siguiente forma:

푒 = cos 휃 +isen(θ)

푒 = cos 휃 − isen(θ)

푥 푡 = 푒 퐶 cos 휔 푡 + 푖 푠푒푛 휔 푡 + 퐶 cos 휔 푡 − 푖 푠푒푛 휔 푡

푥 푡 = 푒 ∗ 퐶 + 퐶 cos 휔 푡 + 푖 퐶 + 퐶 푠푒푛 휔 푡

퐴 = 퐶 + 퐶 퐵 = 푖(퐶 + 퐶 )

푥 푡 = 푒 ∗ 퐴 cos 휔 푡 + 퐵푠푒푛 휔 푡

푆푠푖:

푥 0 = 푥

푣 0 = 푣

퐴 = 푥

푣 푡 = −훽 푒 퐴 cos 휔 푡 + 퐵 푠푒푛 휔 푡 + 푒 (−퐴 휔 푠푒푛 휔 푡 + 퐵 휔 cos(휔 푡))

푒푛 푡 = 0

푣 = −퐴훽 + 퐵 휔 퐴 = 푥

퐵 =(푣 +훽 푥 )

휔

Remplazando en x(t)

푥 푡 = 푒 ∗ 푥 cos 휔 푡 +(푣 +훽 푥 )

휔푠푒푛 휔 푡

Donde:

훽 =푐2푚 휔 = 휔 − 훽

También podemos determinar las ecuaciones de velocidad y aceleración

푥 푡 = 푒 ∗ 퐴 cos 휔 푡 + 퐵푠푒푛 휔 푡

푣 푡 = 푒 −훽퐴 + 퐵 휔 cos 휔 푡 − 훽 퐵 + 퐴 휔 푠푒푛 휔 푡

푣 푡 = 푒 퐶 cos 휔 푡 − 퐷 푠푒푛 휔 푡

퐶 = −훽퐴 + 퐵 휔 = −훽푥 +푣 + 훽푥

휔 휔 = 푣

퐷 = 훽퐵 + 퐴휔 =훽 푣 + 훽 푥

휔 + 푥 휔 =훽푣 + 휔 푥

휔

La expresión se rescribe

푣 푡 = 푒 푣 cos 휔 푡 −훽푣 + 휔 푥

휔 푠푒푛 휔 푡

푎 푡 = 푒 − 훽퐶 + 퐷 휔 푐표푠 휔 푡 + 훽퐷 − 퐶휔 푠푒푛 휔 푡

퐸 = 훽퐶 + 퐷 휔 = 훽 푣 + 훽 푣 + 휔 푥 = 2훽푣 + 휔 푥

퐹 = 훽퐷 − 퐶 휔 =훽 푣 + 훽휔 푥

휔 − 푣 휔 =푣 훽 − 휔 + 훽휔 푥

휔

푎 푡 = 푒 − 2훽푣 + 휔 푥 푐표푠 휔 푡 +푣 훽 − 휔 + 훽휔 푥

휔 푠푒푛 휔 푡

푆푠푖 훽 = 0

휔 = 휔

퐴 = 푥 +푣 + 훽푥

휔

Si multiplicamos y dividimos A por x(t)

푥 푡 = 퐴푒 ∗푥퐴

cos 휔 푡 +(푣 +훽 푥 )

퐴휔푠푒푛 휔 푡

cos 훼 =푥

푥 + 푣 + 훽푥휔

푠푒푛 훼 =

(푣 +훽 푥 )휔

푥 + 푣 + 훽푥휔

푥 푡 = 퐴푒 ∗ cos (α )cos 휔 푡 + 푠푒푛(훼 )푠푒푛 휔 푡

푇 =2휋휔

Periodo Amortiguado

Frecuencia Amortiguado

푓 =1푇

Relación de amortiguamiento

휀 =훽휔 =

푐2푚휔 =

푐푐

푐 = 2푚휔

푥 > 0

푣 > 0

퐶 = 푎푚표푟푡푖푔푢푎푚푖푒푛푡표 푐푟푖푡푖푐표

Para el caso donde 훽 < 휔, 푐 < 퐶

Frecuencia Natural:

휔 = 휔 − 훽 = 휔 1 − 휀

퐴 푒 = 0 ; 푡 → ∞

Para encontrar el valor máximo de amplitud hay que encontrar el tiempo t que hace que v(t)=0

푣 푡 = 퐴 ∗ 푒 ∗ −휔 푠푒푛 휔 푡 − 훼 − 훽 cos 휔 푡 − 훼

푡 → ∞

퐴 ∗ 푒 = 0

−휔 푠푒푛 휔 푡 − 훼 − 훽 cos 휔 푡 − 훼 = 0

푠푒푛 휔 푡 − 훼cos 휔 푡 − 훼 = −

훽휔

푡푎푛 휔 푡 − 훼 = −훽휔

푡 =atan − 훽

휔 + 훼

휔

푓 푡 = 퐴 ∗ 푒 푓 푡 = −퐴 ∗ 푒

푥 푡 = 퐴 푒 (cos (휔 푡 − 훼 )

En los seg.

퐴 푒 (cos 휔 푡 − 훼 = 퐴 ∗ 푒

(cos 휔 푡 − 훼 =1

(cos 휔 푡 − 훼 ) =1

La expresión dentro del paréntesis es:

휔 푡 − 훼 = 2푗휋

푗 = 0,1,2,3, …

푡 =2푗휋 + 훼

휔

푝푎푟푎 푓 푡 = 퐴 ∗ 푒

푡 =휋 2푗 + 1 + 훼

휔

푗 = 0,1,2,3, …

푝푎푟푎 푓 푡 = −퐴 ∗ 푒

CLASE DE DINAMICA

REALIZADO POR:ING. ROMEL VALENZUELAING. FERNANDO LEIVA CLASE 9

Caso II ( Sistema críticamente amortiguado)

Ocurre cuando:

훽 = 휔

Y la expresión dentro del radical es =0

푐2푚 −

푘푚 = 0

푐 = 2푚휔

Las dos soluciones de la ecuación característica son iguales entonces:

푢 , = −훽 = −휔

푥 푡 = 퐶 푒 + 퐶 푡 푒

Sujeto a condiciones iniciales

푥 0 = 푥

푣 0 = 푣

퐶 = 푥

푣 푡 = −휔 퐶 푒 퐶 (푒 − 휔푡푒 )

퐶 = 푣 + 휔 푥

푥 푡 = 푥 푒 + (푣 + 휔 푥 )푡푒

푥 푡 = 푒 푥 + 푣 + 휔푥 푡

푣 푡 = 푒 푣 − 푣 + 휔 푥 휔푡

푎 푡 = 푒 (−휔 2푣 + 휔푥 + 푣 휔푥 휔푡)En 1 푣 > 0

En 2 푣 = 0

En 3 푣 < 0 y el termino 푣_0 + 휔푥 > 0

En 4 푣 < 0 y el termino 푣_0 + 휔푥 < 0

Caso III ( Sistema sobre amortiguado)

La curva que se muestra representa losdesplazamientos de sistemas sobre amortiguados ,los cuales son similares a los desplazamientos delmovimiento críticamente amortiguado. Pero elregreto a la posición de equilibrio requiere muchomas tiempo

훽 > 휔

Las raíces de la ecuación característicason reales, de manera que:

푥 푡 = 퐶 푒 + 퐶 푒

Donde:

푢 = −훽 + 훽 − 휔

푢 = −훽 − 훽 − 휔

Sustituyendo las condiciones iinicialestenemos:

푥 0 = 푥

푣 0 = 푣

푥 = 퐶 + 퐶

퐶 = 푥 − 퐶

푣 = 푢 퐶 + 푢 퐶

Sustituyendo:

푣 = 푢 퐶 + 푢 (푥 − 퐶 )

퐶 =푣 − 푢 푥푢 − 푢

퐶 = 푥 − 퐶

퐶 = 푥 −푣 − 푢 푥푢 − 푢

퐶 =푥 푢 − 푢 − 푣 + 푢 푥

푢 − 푢

퐶 =푥 푢 − 푣푢 − 푢

Sustituyendo:

푥 푡 = 퐶 푒 + 퐶 푒

푥 푡 =푣 − 푢 푥푢 − 푢 푒 +

푥 푢 − 푣푢 − 푢 푒

푥 푡 =푣 − 푢 푥푢 − 푢 푒 +

푥 푢 − 푣푢 − 푢 푒

Definiendo :

휔′ = 훽 − 휔

휔 = 휔 휀 − 1

푢 = −훽 + 휔

푢 = −훽 − 휔

Sustituyendo:

퐶 =푣 − (−훽 − 휔 )푥

2휔 =푥 훽 + 휔 + 푣

2휔

푢 − 푢 = −훽 + 휔 − (−훽 − 휔 )

푢 − 푢 = 2휔

퐶 =푣 − 푢 푥푢 − 푢

퐶 =푥 푢 − 푣푢 − 푢

퐶 =푥 −훽 + 휔 − 푣

2휔

푥 푡 = 퐶 푒 + 퐶 푒

푥 푡 =푥 훽 + 휔 + 푣

2휔 푒 +푥 −훽 + 휔 − 푣

2휔 푒( )

푥 푡 =푥 훽 + 휔 + 푣

2휔 푒 푒 +

푥 −훽 + 휔 − 푣2휔

푒 푒

푥 푡 = 푒푥 훽 + 휔 + 푣

2휔 푒 +

푥 −훽 + 휔 − 푣2휔

푒

푥 푡 = 푒푥 훽2휔

푒 − 푒 + 푥 푒 + 푒 +푣

2휔푒 − 푒

Si :

푠푒푛ℎ 푥 =12 (푒 − 푒 ) cosh 푥 =

12 푒 + 푒

푥 푡 = 푒푥 훽2휔 푒 − 푒 + 푥 푒 + 푒 +

푣2휔 푒 − 푒

푥 푡 = 푒 (푥 cosh 휔 푡 +푥 훽 + 푣

휔 )푠푒푛ℎ(휔 푡))

Ya que :

휀 =훽휔 훽 = 휀휔

푥 푡 = 푒 (푥 cosh 휔 푡 +푥 훽 + 푣

휔 )푠푒푛ℎ(휔 푡))

La ecuación de desplazamiento no representa una oscilación debido a que la resistencia viscosa estan grande que cuando el cuerpo es libre no vibra solamente se desliza gradualmente hacia laposición de equilibrio

Decrecimiento logarítmico :

푥 푡 = 푒 (푥 cosh 휔 푡 +푥 훽 + 푣

휔 )푠푒푛ℎ(휔 푡))

En el caso de sobre amortiguamiento se establece que la proporción de amortiguamiento dependede:

훽휔

Y también que la relación de amplitud sucesivas 푥 푦 푥 es:

푥푥

=퐴푒

퐴푒= 푒 = 푒

푓 = ln푥푥 = 훽 ∗ 푇 ≈

2휋훽휔

Si se desea una mayor aproximación seusa una relación de dos ciclos

푥푥

= 푒

“j” es numero de oscilaciones tomadadespués de la oscilación “i”

푓 =1푗 ∗ ln

푥푥

Existen casos en los que al contrario laenergía es guardada dentro delsistema y como resultado la amplitudde la vibración, en estos casos se utilizael concepto de amortiguamientonegativo.

Si 훽 es negativa entonces 푒 crece con el tiempo ylas vibraciones se superponen gradualmente

Si se considera que 훽 es positivo y las vibracionesdecrecen, se encuentra en un movimiento estable.

Se puede concluir que si 훽 es negativo, entonces esun sistema inestable