Universidad Tecnología de Panamá

Facultad de Ingeniería Industrial

Lic. En Ingeniería Industrial

Materia:

Dinámica aplicada y teoría de control

Laboratorio #9

Vibración Armónica de Sistemas Dinámicos de Segundo Orden

Profesora:

Ing. Jacqueline Quintero

Estudiante:

Cristhian Vargas

Cédula:

4-764-745

2015

Introducción

Se dice que un sistema mecánico o estructural experimenta vibración forzada siempre que se suministra energía externa al sistema durante la vibración (Singiresu, 2012).

Esta energía puede ser aplicada mediante una fuerza o mediante un desplazamiento impuesto. Si esta excitación es armónica la respuesta del sistema se llama respuesta armónica.

La respuesta armónica total puede obtenerse como la suma de la respuesta homogénea (respuesta a entrada cero) y la respuesta particular (respuesta a condiciones iniciales cero).

En el laboratorio 6 obtuvimos mediante simulink la respuesta libre de los sistemas de primer orden, como asignación se pidió al estudiante que investigara las funciones de la paleta sources, entre las que se encuentra la función senoidal que utilizaremos en este laboratorio. Por medio de un procedimiento similar al utilizado en el laboratorio 6, se modelará el sistema de segundo orden mediante bloques de simulink, pero esta vez sí existirá una entrada para el puerto del sumador destinado a la función excitatriz (la función armónica). Se podrá observar la respuesta ante esta entrada y como es el comportamiento de esta respuesta ante las variaciones de los parámetros del sistema.

Objetivos

Simular sistemas lineales de segundo orden. Analizar la respuesta armónica de sistemas de un solo

grado de libertad. Investigar como influyen los parámetros del sistema en

las características de la respuesta.

Fundamento Teórico

Ecuación de Movimiento

Si una fuerza F(t) = P cos ωt actúa en un sistema masa resorte viscosamente amortiguado, la ecuación de movimiento es:

Como esta ecuación es no homogénea la suma de la solución homogénea y la solución particular proporciona su solución general. La ecuación homogénea representa la vibración libre del sistema. Esta vibración libre siempre se reduce a cero, siempre que exista amortiguamiento, es por ello que se llama transitoria; la solución particular, que permanece mientras la excitación permanezca, representa la respuesta de estado estable.

La respuesta de estado estable, puede ser asumida de la forma

como se observa la respuesta de estado estable tendrá la misma frecuencia que la señal excitatriz. No se suministra aquí las ecuaciones para el cálculo de las constantes de esta ecuación, si lo necesita refiérase al libro te texto (Singiresu, 2012).

En la sección experimental (9.4) podrá observar y comparar las respuestas armónicas de sistemas no amortiguados y

amortiguados, para diferentes frecuencias de entradas y factores de amortiguamiento.

Procedimiento experimental

Vibración Armónica de Sistemas no amortiguados

Modele en Simulink un sistema de segundo orden no amortiguado, para m = 10 kg, k = 4000 N/m; F(t) = 200senωt N, x 0 = 0,1 m y ˙x 0 = 10 m/s.

Al ser un sistema no amortiguado no habrá C x=0

M x+C x+kx=f (t )

M x+kx=Psenωt

x+ kMx= PMsenωt

x=−kMx+ PMsenωt

Sistema Armado

La frecuencia natural será

ω=√ kM=√ 400010 =20 rads

Sustituyendo en la ecuación tenemos:

x=−400 x+200sin 20 t

Utilizando las condiciones iniciales en 0 para comenzar se obtiene

Cuando ω>ωn se obtiene

Cuando ω<ωn se obtiene

Script para ω=20 rads

x=−400 x+200sin 20 t

Función de transferencia: X ( s)=0.1 s3+10 s2+40 s+4400

( s4+800 s2+160000 )

Modele en Simulink un sistema de segundo orden amortiguado, si la m = 10 kg, k = 1000 N/m; F(t) = 100senωt N, ω = 20 rad/s y factor de amortiguamiento ζ

La frecuencia natural de este sistema es: .

Obtenga la curva de respuesta para valores de ς, de 0,1, 0,3, 0,5, 1,0, 2,0.

Muestre todas las curvas en una sola figura. Edite.

Calculando la frecuencia natural ωn=√ KM=√ 100010 =10 rads

Con la ecuación

M x+C x+Kx=f (t)

x=−CMx− KMx+ PMsenωt

Para cada uno de los casos haremos lo siguiente

Para

ς=0.1

C=ς∗2√Km

C=0.1∗2√1000(10)

C=20 Nsm

Reemplazando en la ecuación se obtiene lo que siguiente

x=−CMx−Kmx+ Pmsenωt

x=−2010

x−100010

x+ 10010sen20 t

x=−2 x−100 x+10 sen20 t

Se realiza el mismo procedimiento para los demás valores de ς obteniendo así los siguientes resultados:

Para ς=0.3

C=60 Nsm

x=−6 x−100 x+10 sen 20t

Para ς=0.5

C=100 Nsm

Reemplazando en la ecuación obtenemos

x=−10 x−100 x+10 sen20 t

Para ς=1.0

C=200 Nsm

Reemplazando en la ecuación obtenemos:

x=−20 x−100 x+10 sen20 t

Para ς=2.0

C=400 Nsm

Reemplazando en la ecuación obtenemos:

x=−40 x−100x+10 sen20 t

Diagrama para todas las ecuaciones

Se obtiene la siguiente grafica

Conclusión

Este laboratorio ha sido de mucha ayuda para entender las funciones de los modelo de diagrama de bloques de Simulink que no son más una representación gráfica del modelo matemático de un sistema dinámico.

Simulink es una herramienta que nos ayuda a comprender mejor por medio de diagramas y graficas que nos permiten ver el funcionamiento o el comportamiento de los sistemas amortiguados y no amortiguados y modificarlos para poder ver ya sea el comportamiento con distintos valores o cómo se comporta un sistema con respecto a otro.

Bibliografía

Rao Singiresu. Vibraciones Mecánicas. PEARSON EDUCACIÓN, México, quinta edition, 2012.